2019-2020学年新一线同步人教A版数学必修一练习：2.2 基本不等式 Word版含解析

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2。

2基本不等式
课后篇巩固提升
基础巩固
1。

已知正实数a、b满足a+b=ab,则ab的最小值为(）
A.1
B.√2C。

2 D。

4
ab=a+b≥2√ab,（√ab）2≥2√ab,∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号,故ab的最小值为4. 2已知0<x<1,则当x(1—x）取最大值时，x的值为（)
A.1
3B.1
2
C.1
4
D.2
3
0〈x〈1，∴1—x〉0.∴x(1-x)≤(x+1-x
2)
2
=1
4
,当且仅当x=1-x，即x=1
2
时，等号成立。

3.已知a，b是不相等的正数,x=√a+√b
√2
,y=√a+b,则x,y的关系是（) A.x〉y B。

x〈y
C.x〉√2y
D.y<√2x
2=a+b+2√ab
2<2(a+b)
2
=a+b，y2=a+b，所以x2<y2,∵x>0，y>0,∴x〈y。

4
《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重
要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O），点D在半圆O上,且CD ⊥AB,CE⊥OD于E,设AC=a,BC=b，则该图形可以完成的“无字证明”为(）
A。

√ab≤a+b
2
（a〉0，b>0）
B.a+b
2<2ab
a+b
(a〉0,b〉0，a≠b)
C。

2ab
a+b
≤√ab(a〉0，b〉0)
D.2ab
a+b <√ab<a+b
2
（a〉0,b>0,a≠b）
AC=a ，BC=b ,可得半圆O 的半径
DO=a+b 2
,易得DC=√AC ·BC =
√ab ，DE=DC 2
DO
=2ab
a+b ，∵DE
〈DC<DO ，∴2ab a+b <√ab <a+b
2（a 〉0,b>0,a ≠b ).故选D .
5已知a>0,b 〉0，且a+2b=8,则ab 的最大值等于 .
解析a>0,b 〉0且a+2b=8,则ab=12a ·2b ≤1
2
a+2b
2
2
=12
×16=8，当且仅当a=2b=4,取得等号,则ab 的最大值为8.
答案8
4x+a x
(x>0，a>0）在x=3处取得最小值,则a= .
,得4x+a
x ≥2√4x ·a
x =4√a ，当且仅当4x=a
x ,即x=√a
2时,等号成立,即√a
2=3,a=36。

7.已知t>0，则
t 2-3t+1
t
的最小值为 .
=t+1t —3≥2√t ·1
t
-3=-1，当且仅当t=1时,取等号.
1
8已知a>0,b>0，求证:a+b+1≥√ab +√a +√b .
≥2√ab ,a+1≥2√a ，b+1≥2√b ，
上面三式相加，得2(a+b+1)≥2√ab +2√a +2√b , 所以a+b+1≥√ab +√a +√b 。

9。

已知a>0，b>0,c 〉0,且a+b+c=1,求证：1a +1b
+1
c ≥9。

证明因为a>0,b 〉0,c>0,且a+b+c=1，所以1a +1b +1c =a+b+c a +a+b+c b +a+b+c c =3+a b +b a
+
c a +a
c
+
c
b
+b c
≥3+2+2+2=9，当且仅当a=b=c=13
时取等号. 能力提升
1。

(多选题）若正实数a ,b 满足a+b=1，则下列说法错误的是( )
A 。

ab 有最小值14 B.√a +√b 有最小值√2 C 。

1
a +1
b 有最小值4
D 。

a 2+b 2
有最小值√2
2
a>0,b 〉0，且a+b=1，∴1=a+b ≥2√ab ，∴ab ≤14.∴ab 有最大值1
4
,∴选项A 错误；（√a +√b )
2
=a+b+2√ab =1+2√ab ≤1+2√14=2,∴√a +√b ≤√2,即√a +√b 有最大值√2，∴B 项错误;1a +1
b
=
a+b ab
=
1ab ≥4，∴1a +1b
有最小值4，∴C 正确；a 2
+b 2
=（a+b )2
-2ab=1—2ab ≥1-2×14=1
2
，∴a 2
+b 2
的最小值是1
2,不是√2
2,∴D 错误。

2。

已知a>b 〉c ,则√(a -b )(b -c )与
a -c
2
的大小关系是 .
a>b>c ，∴a-b 〉0,b-c 〉0，
∴a -c 2=(a -b )+(b -c )
2
≥√(a -b )(b -c ).
当且仅当b=a+c 2时取等号.
(a -b )(b -c )≤
a -c
2
3。

直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为 。

a 、
b ,斜边长为
c ，面积为S ，周长L=2，由于
a+b+√a 2+b 2=L ≥2√ab +√2ab （当且仅当a=b 时取等号),∴√ab ≤2+√2
.
∴S=12ab ≤1
2
L
2+√2
2
=12·(2-√2)L
2
2
=3-2√24
L 2=3—2√2. 答案3-2√2
4.已知a ，b ,c 为不全相等的正实数，且abc=1.求证：a+b+c 〈1a 2+1b
2+
1
c 2。

a ,
b ,
c 都是正实数,且abc=1，
所以1
a 2+
1b
2
≥
2ab =2c ,1b
2+
1
c 2
≥
2bc =2a ,1a 2+1c 2≥
2
ac
=2b ， 以上三个不等式相加,得:21a 2
+
1b
2
+1
c 2≥2（a+b+c ），即1
a 2+
1b
2
+1
c 2≥a+b+c ，
因为a ,b ,c 不全相等,所以上述三个不等式中的“="不都同时成立，所以a+b+c 〈1
a 2+1b
2
+
1c 2
.。