八年级数学培优教材讲义

八年级数学培优教材讲义
一、经典题型
1.如图，矩形ABCD的边分别与两坐标轴平行，对角线AC经过坐标原点，点D
在反比例函数
2510
k k
y
x
-+
=（0
x>）
则k的值为（ D ）．
A．2 B．6
C．2或3 D．1
-或6
2.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B
上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD
运动过程中，点D到点O的最大距离为（）
A1B C．
5
5 D．
5
2
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于．
4.以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是．
5.如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形
对角线交于点O ，连接OC ，已知AC=5，OC=6
，则另一直角边BC 的长？
．
6.已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正
三角形．
7.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、
BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F
8.如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC
的外侧作正方形
ACDE
和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB
9. 如图，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF 、CE ，
（1）求证：四边形AFCE 为菱形；
（2）设AE=a ，ED=b ，DC=c ．请写出一个a 、b 、c 三者之间的数量关系式．
10. 已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2． （1）若CE=1，求BC 的长； （2）求证：AM=DF+ME
11.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的
一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ． （1）求证：∠APB =∠BPH ；
（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；
A B C
D
E
F
G H P
A C
D
E
F G
H P
（备用图）
二、动点问题
1.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
2.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点
P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．
3.直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O⇒B⇒A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
4.已知,矩形ABCD 中,4AB cm =,8BC cm =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC
于点E 、F ,垂足为O .
(1)如图1,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；
(2)如图2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中,
已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.
A
B C D
E
F 图1
O 图2
备用图
三、探究题型
1.如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是（ ） A ．54 B ．110 C ．19 D ．109
2.如图所示，直线y=x+1与y 轴相交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，记作第一个正方形；然后延长C 1B 1与直线y=x+1相交于点A 2，再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，记作第二个正方形；同样延长C 2B 2与直线y=x+1相交于点A 3，再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第5个正方形的边长为_______________；第n 个正方形的边长为_______________________。

3.如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作
第二个正方形ACEF 、再以对角线AE 为边作笫三个正方形AEGH ，如此下去…．若正方形ABCD 的边长记为a 1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，…，a n ，则a n = ．
4.已知：如图1，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，点
A ，C 的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D 是线段BC 上的一个动点（点D 与点
B ，
C 不重合），过点
D 作直线y ＝－12
x ＋b 交折线O －A －B 于点E ．
（1）在点D 运动的过程中，若△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如图2，当点E 在线段OA 上时，矩形OABC 关于直线DE 对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B ′分别交CB ，OA 于点D ，M ，O ′A ′分别交CB ，OA 于点N ，E ．探究四边形DMEN 各边之间的数量关系，并对你的结论加以证明； （3）问题（2）中的四边形DMEN 中，ME 的长为____________．
5.如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG
于点F。

（1）求证：DE－BF＝EF；
（2）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）；
（3）若AB=2a，点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论。