2018高考数学文理一轮复习检测：第六章 不等式、推理与证明 第2讲 含答案 精品

第六章第二讲
A组基础巩固
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅲ)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝导学号30071672(D)
A．[2,3]B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)
[解析]集合S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S∩T＝(0,2]∪[3，＋∞)．
2．(2017·山东省济南一中期中数学试题)在R上定义运算⊗：a⊗b＝ab＋2a＋b，则满足x ⊗(x－2)＜0的实数x的取值范围为导学号30071673(B)
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
[解析]根据规定的新定义运算法则先把不等式化简，然后利用一元二次不等式求解集的方法求出x的范围即可．
解：∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＜0，
∴化简得x2＋x－2＜0即(x－1)(x＋2)＜0，
得到x－1＜0且x＋2＞0①或x－1＞0且x＋2＜0②，解出①得－2＜x＜1；解出②得x ＞1且x＜－2无解．
∴－2＜x＜1.故选B．
3．(2016·浙江模拟)设关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0(a∈R)的解集为{x|－1<x<1}，则a 的值是导学号30071674(D)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
[解析]∵关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0(a∈R)的解集为{x|－1<x<1}，∴对应一元二次
方程(ax－1)(x＋1)＝0的两个实数根为－1和1，∴x＝1
a＝1，或x＝－1，∴a＝1，即a的值
是1，故选D．
4．(2016·天津模拟)已知2a＋1<0，关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是导学号30071675(C)
A．{x|x>5a或x<－a} B．{x|－a<x<5a}
C ．{x |x <5a 或x >－a }
D ．{x |5a <x <－a }
[解析] 不等式x 2－4ax －5a 2>0可化为(x －5a )(x ＋a )>0．
∵方程(x －5a )(x ＋a )＝0的两根为x 1＝5a ，x 2＝－a ，且2a ＋1<0，a <－1
2，∴5a <－a ，
∴在不等式的解集为{x |x <5a ，或x >－a }，故选C ．
5．(2016·湖北模拟)关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是导学号 30071676( B )
A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B ．(－1,3)
C ．(1,3)
D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)
[解析] 由题意关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)可得b
a ＝1，且a <0，(ax ＋
b )(x
－3)>0可变为(x －3)(x ＋b
a
)<0，即得(x －3)(x ＋1)<0，
所以－1<x <3，所以不等式的解集是(－1,3)，故选B ．
6．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为导学号 30071677( A )
A ．{x |－1<x <1
2}
B ．{x |x <－1或x >1
2}
C ．{x |－2<x <1}
D ．{x |x <－2或x >1}
[解析] 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．
由韦达定理⎩⎨⎧
－1＋2＝－b
a .
(－1)×2＝2
a
⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝1. ∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0． 可知x ＝－1，x ＝1
2
是对应方程的根，∴选A ．
7．(2016·皖南八校第二次联考) 若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围为导学号 30071678( A )
A ．[－1,4]
B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D ．[－2,5]
[解析] x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.故选A ．
[解法总结] (1)解决恒成立问题一定要分清主元与参数，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的
二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．
8．(2016·黄山模拟)已知下列不等式①x 2－4x ＋3<0；②x 2－6x ＋8<0；③2x 2－9x ＋a <0，且使不等式①②成立的x 也满足③，则实数a 的取值范围是导学号 30071679( C )
A ．a ≥94
B ．a ≤10
C ．a ≤9
D ．a ≥－4
[解析] 联立①②得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋3<0
x 2－6x ＋8<0即⎩⎨⎧
1<x <32<x <4，
解得2<x <3，∴2<x <3也满足③2x 2－9x ＋a <0，∴③的解集非空且(2,3)是③解集的子集． 由f (x )＝2x 2－9x ＋a <0，得f (2)＝8－18＋a ≤0， 且f (3)＝18－27＋a ≤0，解得a ≤9，故选C ．
另解：或a <－2x 2＋9x ＝－2(x －94)2＋81
8，x ∈(2,3)恒成立．
记g (x )＝－2x 2＋9x ，x ∈(2,3) 由g (x )>9可知a ≤9，故选C ． 二、填空题
9．(2016·潍坊模拟)若不等式2kx 2＋kx －3
8≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是(－
3,0].导学号 30071680
[解析] 根据题意，得：
当k ＝0时，不等式化为－3
8
≥0，解集为空集，满足题意；
当k ≠0，应满足⎩⎨⎧
k <0
Δ<0
，
即⎩⎪⎨⎪⎧
k <0k 2－4·2k ·(－3
8
)<0， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
k <0－3<k <0，∴－3<k <0．
综上，k 的取值范围是(－3,0]．
10．(2016·西安模拟)关于x 的不等式x 2－2ax －3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝12，则实数a 的值等于－3.导学号 30071681
[解析] 因为关于x 的不等式x 2－2ax －3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，所以x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－3a 2，又x 2－x 1＝12，(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1·x 2，所以144＝4a 2＋12a 2＝16a 2，解得
a ＝±3，因为a <0，所以a ＝－3．
11．(2017·上海市长宁区延安中学高三上学期期中数学试题)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是[－2，＋∞).导学号 30071682
[解析] 根据题意，分x ＝0与x ≠0两种情况讨论，①x ＝0时，易得原不等式恒成立，②x ≠0时，原式可变形为a ≥－(|x |＋1
|x |)，由基本不等式的性质，易得a 的范围，综合两种情
况可得答案．
解：根据题意，分2种情况讨论；
①x ＝0时，原式为1≥0，恒成立，则a ∈R ；
②x ≠0时，原式可化为a |x |≥－(x 2＋1)，即a ≥－(|x |＋1
|x |)；
又由|x |＋1|x |≥2，则－(|x |＋1
|x |
)≤－2；
要使不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，需有a ≥－2即可； 综上可得，a 的取值范围是[－2，＋∞)； 故答案为：[－2，＋∞)．
[点拨] 本题考查了函数的恒成立问题，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题． 三、解答题
12．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .导学号 30071683 (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为
2
2
，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0． [答案] (1)[0,1] (2)(－12，3
2
)
[解析] (1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．
当a ≠0时，则有⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＞0，
Δ＝(2a )2
－4a ≤0， 解得0＜a ≤1，
综上可知，a 的取值范围是[0,1]．
(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ， ∵a ＞0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝
22，∴a ＝1
2
，
∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为 x 2－x －34＜0.解得－12＜x ＜3
2，
所以不等式的解集为(－12，3
2
)．
13．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n ).导学号 30071684
(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1
a
，比较f (x )与m 的大小．
[答案] (1)a >0时{x |x ＜－1或x >2}，a <0时{x |－1<x <2} (2)f (x )<m [解析] (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0， 即a (x ＋1)(x －2)＞0． 那么当a ＞0时，
不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}． (2)由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，
得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1
a ，
∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0． ∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m ．
B 组能力提升
1．(2016·莆田模拟)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的零点为2和3，那么不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为导学号 30071685( A )
A ．{x |2<x <3}
B ．{x |－3<x <－2}
C ．{x |13<x <12
}
D ．{x |－12<x <－1
3
}
[解析] ∵二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的零点为2和3，∴对应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根为2和3，又∵a >0，∴不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |2<x <3}，故选A ．
2．已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )>0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为导学号 30071686( B )
[解析] 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－c
a ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，f (－x )＝－x 2
＋x ＋2的图象为B ．
3．(2016·江苏模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为9.导学号 30071687
[解析] 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a 2)2＋b －a 2
4
．
∵f (x )的值域为[0，＋∞)．∴b －a 24＝0. 即b ＝a 2
4．
∴f (x )＝(x ＋a
2)2．
又∵f (x )<c .∴(x ＋a
2)2<c ．
即－a 2－c <x <－a
2
＋c ．
∴⎩⎨⎧
－a
2－c ＝m .①－a
2＋
c ＝m ＋6.②
②－①，得2c ＝6，∴c ＝9．
4．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则k 的取值范围为12<k <2
3
.导学号 30071688
[解析] 由题意得应满足⎩⎪⎨⎪⎧
f (0)>0f (1)<0f (2)>0解得12<k <2
3
．
5．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.导学号 30071689
(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围；
(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． [答案] (1)－4<m ≤0 (2){m |m <6
7}
[解析] (1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0；
若m ≠0，则⎩
⎪⎨⎪
⎧
m ＜0，Δ＝m 2
＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0． 所以－4＜m ≤0．
(2)要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m (x －12)2＋3
4m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
方法一 令g (x )＝m (x －12)2＋3
4m －6，x ∈[1,3]．
当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0， 所以m ＜67，所以0＜m ＜6
7；
当m ＝0时，－6＜0恒成立； 当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，
所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6＜0，所以m ＜6，所以m ＜0． 综上所述：m 的取值范围是{m |m ＜6
7
}．
方法二 因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6
x 2－x ＋1．
因为函数y ＝6
x 2－x ＋1
＝
6(x －12)2＋
34
在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜6
7即可． 所以，m 的取值范围是{m |m ＜6
7
}．
[点拨] (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．。