中考数学总复习《三角形的综合题》专项测试卷-附参考答案

中考数学总复习《三角形的综合题》专项测试卷-附参考答案
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共12题；共24分)
1．如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使⊥CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（）
A．一直增大B．一直减小
C．先增大后减小D．保持不变
2．如图，△ABC中BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：
①∠DFB=∠DBF；②△EFC为等腰三角形；③△ADE的周长等于△BFC的周长；④∠BFC= 90∘+12∠A.其中正确的是（）
A．①②B．①③C．①②④D．①②③④
3．如图，在⊥ABC中，已知⊥1＝⊥2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝（）
A．3B．4C．5D．6
4．如图，在5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是
正方形的顶点），那么与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）．
A．2B．3C．4D．5
5．有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2√2，AD=4，上面有一个以AD为直径的半圆（如图1），E 为边AB上一点，将纸片沿DE折叠，A点恰好落在BC上，此时半圆还露在外面的部分（如图2，阴影部分）的面积是（）
A．π−2B．2−π
2C．
4
3π−√3D．
2
3π−1
6．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A．7，24，25B．12，412，512
C．3，4，5D．4，712，812
7．给出下列说法：
①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；
②三角形的三边a、b、c满足a2+c2＝b2则⊥C＝90°；
③⊥ABC中，若⊥A：⊥B：⊥C＝1：5：6则⊥ABC是直角三角形；
④⊥ABC中，若a：b：c＝1：2：√3则这个三角形是直角三角形.
其中，错误的说法的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC=CQ.连接PD、AQ则PD+AQ的最小值为（）
A．4√5B．√89C．2√5+5D．7√2
9．如图，点D是⊥ABC外的一点，BD，CD分别平分外角∠CBE，∠BCF连接AD交BC于点O．下列结论一定成立的是（）
A．DB＝DC B．OA＝OD
C．⊥BDA＝⊥CDA D．⊥BAD＝⊥CAD
10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点PE⊥BC，PF⊥CD垂足分别为E，F连接AP，EF下列结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD与四边形PEFD的面积相等.其中正确的结论是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
11．如图，在矩形ABCD中AB=2，∠AOB=60°则BD的长为（）
A．1B．2C．3D．4
12．如图，点D是⊥ABC内一点AD=CD，∠ADB=∠CDB则以下结论①∠DAC=∠DCA；②AB= AC；③BD平分⊥ABC；④BD与AC的位置关系是互相垂直，其中正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题(共6题；共7分)
13．如图，△ABC是直角三角形∠ACB=90°，分别以AC、CB为边向两侧作正方形.若图中两个正方形的面积和S1+S2=36，则AB=.
14．如图，DE是⊥ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE，AF交于点O.现有以下结论：
①DE⊥BC；②OD=14BC；③AO=FO；④S⊥AOD=14S⊥ABC，其中正确结论的序号为。

15．定义：在Rt△ABC中∠C=90°，把⊥Ａ的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA.等腰三角形中有两条边为4和6，则底角的余切值为.
16．如图，RtΔABC中AB=18，BC=12，∠B=90°，将ΔABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为．
17．如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，
GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，AD=AC=3米，CD=3.6米．
（1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则BD=米．
（2）投石车投石过程中，AP的延长线交线段DC于点E，若DE：CE=5：1则点G距地面为
米．
18．如图，在平面内有一等腰Rt△ABC，∠ACB=90°点A在直线l上．过点C作CE⊥l与点E，过点B 作BF⊥l于点F，测量得CE=3，BF=2则AF的长为．
三、综合题(共6题；共66分)
19．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF.
（1）求证：AD平分⊥BAC；
（2）已知AC=18，BE=4，求AB的长.
20．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C与顶点A重合，点D落在点G处．
（1）点C，F，G三点是否共线？并说明理由．
（2）若AB=4，BC=8求折叠后纸片重合部分的面积．
21．如图，在直角坐标系中，直线l1：y=kx−1与直线l2；y=12x+2交于点A(m，1)．
（1）求m的值．
（2）设直线l1，l2分别于y轴交于点B，C求△ABC的面积．
（3）结合图像，直接写出不等式0<kx−1<1
2x+2
的解集．
22．在Rt△ABC中∠ACB=90°，CB=CA=2√2点D是射线AB上一点，连接CD，在CD右侧作∠DCE=90°，且CE=CD，连接AE，已知AE=1．
（1）如图，当点D在线段AB上时，
①求∠CAE的度数；
②求CD的长；
（2）当点D在线段AB的延长线上时，请直接写出∠CAE的度数和CD的长．
23．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线∠ADB=90∘，E是AB的中点，F是BD的中点，连接EF并延长交DC于点G，连接B G.
（1）求证：△BEF≅△DGF
（2）证明四边形DEBG是菱形.
24．如图1所示，边长为4的正方形ABCD与边长为a（0＜a＜4）的正方形CFEG的顶点C重合，点B在对角线AC上.
（1）[问题发现]如图1所示，AE与BF的数量关系为；
（2）[类比探究]如图2所示，将正方形CFEG绕点C旋转，旋转角为α（0＜α＜30°），请问此时上述结论是否还成立？若成立，写出推理过程，若不成立，说明理由；
（3）[拓展延伸]当a＝√2时，正方形CFEG若按图1所示位置开始旋转，在正方形CFEG的旋转过程中，当点A、F、C在一条直线上时，求出此时线段AE的长.
参考答案
1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】D 12．【答案】B 13．【答案】6 14．【答案】①②③
15．【答案】√24
或3√77
16．【答案】8. 17．【答案】（1）1.4
（2）8√
5+125
18．【答案】4
19．【答案】（1）证明：∵DE⊥AB ，DF⊥AC
∴⊥E=⊥DFC=90° 在Rt⊥BDE 和Rt⊥CDF 中 {
BD =CD BE =CF
∴Rt⊥BDE⊥Rt⊥CDF （HL ） ∴DE=DF ，DE⊥AB ，DF⊥AC ∴AD 平分⊥BAC.
（2）解：∵⊥BDE⊥⊥CDE
∴BE＝CF
又∵AD平分⊥BAC
∴⊥EAD＝⊥CAD
又∵AD＝AD
∴Rt⊥AED⊥Rt⊥AFD（AAS）
∴AE=AF，CF=BE=4
∵AC=18
∴AB=AE-BE=18-8=10.
20．【答案】（1）证明：点C，F，G三点共线，理由如下连接CF
∵矩形纸片ABCD沿EF折叠
∴CD=AG GF=DF
∴△CDF≅△AGF（SAS）
∴∠CFD=∠AFG
∵∠AFC+∠CFD=180°
∴∠AFC+∠AFG=180°
∴点C，F，G三点共线
（2）解：由折叠可得：AE=EC
设BE=x，则AE=EC=8-x
在Rt⊥ABE中AB2+BE2=AE2
∴42+x2=(8−x)2，解得x=3
∴AE=EC=8-x=5
∵矩形ABCD
∴AD⊥BC
∴∠AFE=∠CEF ∴∠AEF=∠AFE ∴AE=AF=5
折叠后纸片重合部分⊥AEF的面积为1
2AB⋅AF=
1
2×4×5=10
21．【答案】（1）解：∵直线l2：y= 12x+2过点A（m，1）．
∴1= 1
2m+2，解得m=-2
（2）解：∵直线l1：y=kx-1过点A（-2，1）
∴1=-2k-1，解得k=-1
∴直线l1的表达式为y=-x-1
∴B（0，-1）
由直线l2：y= 12x+2可知C（0，2）
∴BC=3
∴S⊥ABC= 12×3×2=3
（3）解：在直线l1：y=-x-1中，令y=0，则x=-1
观察图象可知，不等式0＜kx-1＜1
2x+2的解集是-2＜x＜-1
22．【答案】（1）解：①∵⊥ACB＝90° ⊥DCE＝90°∴⊥ACB−⊥ACD＝⊥DCE−⊥ACD
即⊥BCD＝⊥ACE
在⊥BCD和⊥ACE中
{
BC=AC
∠BCD=∠ACE CD=CE
∴⊥BCD⊥⊥ACE（SAS）∴⊥B＝⊥CAE
∵⊥ACB＝90° AC＝BC ∴⊥B＝⊥CAB＝45°
∴⊥CAE＝45°；
②连接DE，如图1
∵⊥ACB＝90° CB＝CA＝2√2
由勾股定理得：AB＝√AC2+BC2=4
∵⊥B＝⊥CAB＝⊥CAE＝45° BD＝AE＝1∴⊥DAE＝90°
AD＝AB−BD＝3
由勾股定理得：DE＝√AD2+AE2=√10∵⊥DCE＝90°，且CE＝CD
由勾股定理得：CD2＋CE2＝DE2
即2CD2＝10
∴CD＝√5；
（2）解：⊥CAE＝135° CD＝√13．
根据题意作出图形，连接DE，如图2
∵⊥ACB＝90° ⊥DCE＝90°
∴⊥ACB−⊥BCE＝⊥DCE−⊥BCE
∴⊥BCD＝⊥ACE
在⊥BCD和⊥ACE中
{
BC=AC
∠BCD=∠ACE CD=CE
∴⊥BCD⊥⊥ACE（SAS）
∴⊥CBD＝⊥CAE BD＝AE＝1
∵⊥ACB＝90° AB＝4
∴⊥CAE＝⊥CBD＝180°−⊥ABC＝135°
AD＝AB＋BD＝4＋1＝5
∴⊥DAE＝⊥CAE−⊥CAB＝135°−45°＝90°
由勾股定理得：DE＝√AD2+AE2=√26
∵⊥DCE＝90°，且CE＝CD
由勾股定理得：CD2＋CE2＝DE2
即2CD2＝26
∴CD＝√13．
23．【答案】（1）证明：如图∵ABCD为平行四边形
∴AB//DC
∴∠1=∠2 ∠3=∠4
∵F是BD的中点
∴BF=DF
在ΔBEF和ΔDGF中
{∠1=∠2∠3=∠4 BF=DF
∴ΔBEF≅ΔDGF(AAS)
（2）解：由（1）知DG=EB
又DG//EB
∴四边形DEBG是平行四边形
∵∠ADB=90∘，E是AB的中点
∴DE=1
2AB=EB
∴四边形DEBG是菱形
24．【答案】（1）AE＝√2BF
（2）解：上述结成立，理由如下：
连接CE，如图2所示：
∵⊥FCE＝⊥BCA＝45°
∴⊥BCF＝⊥ACE＝45°﹣⊥ACF
在Rt⊥CEF和Rt⊥CBA中，CE＝√2CF，CA＝√2CB
∴CE
CF=
CA
CB＝√2
∴⊥ACE⊥⊥BCF
∴AE
BF=
AC
CB＝√2
∴AE＝√2BF；
（3）解：如图3﹣1中，当点F落在AC上时
∵AB＝CB＝4，⊥B＝90°
∴AC＝√2AB＝4 √2
∵CF＝EF＝√2
∴AF＝3 √2
∵⊥AFE＝90°
∴AE＝√(3√2)2+(√2)2=2√5.
如图3﹣2中，当点F落在AC的延长线上时，同法可得AE＝√(5√2)2+(√2)2=2√13.
综上所述，AE的长为2 √5或2 √13.
故答案为：2 √5或2 √13.。