山东省潍坊市2018-2019学年高二12月联考数学试题(解析版)

山东省潍坊市2018-2019学年高二12月联考数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设a，，若，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意逐一考查所给命题的真假即可.
【详解】逐一考查所给的选项：
取，满足，但是不满足，选项A错误；
取，满足，但是不满足，选项B错误；
取，满足，但是不满足，选项C错误；
因为指数函数是增函数，且所以，选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2.命题“，”的否定是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
据此可得命题“，”的否定是，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.
3.抛物线的准线方程是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由于抛物线的准线方程为，求解即可．
【详解】由于抛物线的准线方程为，
抛物线，即的准线方程为，
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于中等题．
4.在等差数列中，，则数列的前9项和等于
A. 126
B. 130
C. 147
D. 210
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合等差数列的性质和等差数列前n项和公式求解S9即可.
【详解】在等差数列中，，
，
解得，
数列的前9项和：
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5.设，是椭圆的两个焦点，点P为该椭圆上的任意一点，且，，则椭圆的短轴长为
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义与性质，转化求解即可．
【详解】设、是椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的点，且，可得，
，可得，
则椭圆的短轴长为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及其应用，属于基础题.
6.使不等式成立的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求解二次不等式，然后确定其成立的一个充分不必要条件即可.
【详解】由得，得，
若使不等式成立的一个充分不必要条件，
则对应范围是的一个真子集，
即，满足条件，
故选：A．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，转化为集合真子集关系是解决本题的关键．
7.已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为和，则双曲线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据渐近线方程和焦点在x轴上，可设双曲线方程为，化成标准方程并结合焦点坐标列式，可解出的值，从而得到双曲线方程．
【详解】双曲线的渐近线为，焦点坐标为和，焦点在x轴上，
设双曲线方程为，
得，所以，双曲线方程为：．
故选：B．
【点睛】本题给出双曲线的渐近线、焦点，求双曲线的标准方程，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单性质，属于中等题．
8.若实数m是和20的等比中项，则圆锥曲线的离心率为
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
求出m值，然后利用椭圆、双曲线的性质求解离心率即可．
【详解】实数m是和20的等比中项，可得或，
当时，圆锥曲线化为：是焦点在x轴上的椭圆，离心率为：．
当时，圆锥曲线化为：，是焦点在y轴上的双曲线，离心率为：．
故选：D．
【点睛】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，等比数列的性质，考查计算能力．
9.大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一
道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则该数列第18项为
A. 200
B. 162
C. 144
D. 128
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，首先猜想数列的通项公式，然后求解该数列第18项即可.
【详解】偶数项分别为2，8，18，32，50，
即，，，，，
即偶数项对应的通项公式为，
则数列的第18项为第9个偶数
即，
故选：B．
【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据数列寻找偶数项的规律是解决本题的关键．
10.已知下列结论：
若数列的前n项和，则数列一定为等差数列
若数列的前n项和，则数列一定为等比数列
非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则可能构成等差数列
非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则一定构成等比数列
则其中正确的结论是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
①由题意求得数列的通项公式，然后看数列是否为等差数列即可；
②由题意求得数列的通项公式，然后看数列是否为等比数列即可；
由题意可得，据此考查题中的说法是否正确即可；
由题意可得，，据此考查是否构成等比数列即可.
【详解】若数列的前n项和，
可得；时，，
上式对不成立则数列不为等差数列，故错；
若数列的前n项和，
可得；时，，
则数列为首项为1，公比为的等比数列，故对；
非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，
可得，，，
由，即，即为，不成立，则不可能构成等差数列，故错；
非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，
可得，，则一定构成等比数列，故对．
故选：A．
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式，以及数列的递推式的运用，考查运算能力和推理能力，属于中等题．
11.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m的取值范围.
【详解】若不等式有解，即即可，
，，
则，
当且仅当，即，即时取等号，此时，，
即，
则由得，即，
得或，
即实数m的取值范围是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．
12.定义直线l：为椭圆的右准线，研究发现椭圆上任意一点M到右焦点的距离与它到l 的距离之比为定值，已知椭圆，为椭圆内一点，点M为椭圆上的动点，当取最小值时，
M点的坐标为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合准线的性质可得即点M到准线的距离.据此数形结合找到当取最小值时的几何条件为点A，B，M三点共线，据此结合椭圆方程确定点M的坐标即可.
【详解】由椭圆方程可得准线方程为：，
考查右顶点到右焦点的距离与它到l的距离之比：.
故即点M到准线的距离.
如图：过点M作右准线的垂线，垂足为B，
当点A，B，M在同一直线上时，此时取最小值，
点的纵坐标为，
，
解得，或舍去，
故点M的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了转化
思想和数形结合的思想，属于中档题
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知，，且，则的最大值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
由题意结合均值不等式的结论和对数的运算法则确定的最大值即可.
【详解】，，且；
，当且仅当时取等号；
；
；
的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查对数的运算法则，均值不等式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14.已知椭圆方程，过点的直线与椭圆相交于P，Q两点，若点M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用点差法确定直线方程即可.
【详解】设，，直线的斜率为，
由题意可得：，，
两式作差可得：，
即，
由于，故，解得：，
所以直线的方程为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查点差法及其应用，直线与椭圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15.在R上定义运算，若对于，使得不等式成立，则实数m的取值范围为______．【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合新定义的运算和二次函数的性质确定实数m的取值范围即可.
【详解】根据题意，即，
变形可得：，
即，
又由，则的最小值为2，
则有，
解可得：，
即m的取值范围为；
故答案为：．
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
16.已知下列命题：
是a，G，b成等比数列的充要条件；
函数的最小值为4；
设数列满足：，则数列的通项公式为；
已知，，，则动点P的轨迹是双曲线的一支．
其中正确的命题是______写序号．
【答案】
【解析】
【分析】
逐一考查所给的命题是否正确即可.
【详解】对于，推不到a，G，b成等比数列，比如，反之成立，
则是a，G，b成等比数列的必要不充分条件，故错；
对于，函数，当且仅当，即，
y取得最小值4，故对；
对于，设数列满足：，
时；时，，
又，相减可得，
即为，故错；
对于，，，，
由双曲线的定义可得动点P的轨迹是双曲线的一支，故对．
故答案为：．
【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是充分必要条件的判断和基本不等式的运用、数列的通项公式的求法，双曲线的定义，考查定义法和推理能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知命题p：实数x满足，其中，命题q：实数x满足，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求解命题p和命题q，然后由题意得到关于实数a的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.
【详解】由得，其中，
由得，
若p是q的充分不必要条件，则，
则，得，即，即实数a的取值范围是．
【点睛】本题主要考查不等式的解法，由充分不必要条件求解参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18.已知数列是首项，公差的等差数列，其前n项和为，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
若，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由题意首先求得公差，然后求解通项公式即可；
(2)结合(1)中求得的通项公式列项求和求解数列的前n项和即可.
【详解】数列是首项，公差的等差数列，
，，成等比数列，
可得，
即为，
解得，
即有；
，
则前n项和
．
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.已知点在抛物线C：上，F为其焦点，且．
求抛物线C的方程；
过点的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由题意结合抛物线的定义确定p的值即可求得抛物线方程；
(2)分类讨论直线斜率存在和不存在两种情况确定的值即可.
【详解】抛物线C：，
焦点．
由抛物线定义得：，
解得，
抛物线C的方程为．
当l的斜率不存在时，此时直线方程为：，
，，
则．
当l的斜率存在时，设，，
由，可得，
设，，
则，
，
由题意可得
．
【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.
20.为响应国家节能减排的号召，某汽车制造企业计划在2019年引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且该企业确定每辆新能源汽车售价为6万元，并且全年内生产的汽车当年能全部销售完．
求2019年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式其中利润销售额成本；
年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求最大利润．
【答案】（1）；
（2）2019年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1800万元.
【解析】
【分析】
(1)结合题意写出利润函数即可；
(2)结合(1)中的利润函数分段讨论函数的最值即可求得最终结果.
【详解】当时，，
当时，
．
当时，，
当时，取得最大值1500；
当时，，
当且仅当即时取等号．
当时，取得最大值1800．
即2019年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1800万元．
【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.
(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
21.已知数列中，，．
求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
已知数列，满足．
求数列的前n项和；
若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）；.
【解析】
【分析】
(1)由题意结合等比数列的定义证明数列是等比数列，然后求解其通项公式即可；
(2)(i)首先确定数列的通项公式，然后求解其前n项和即可；
(ii)结合恒成立的条件分类讨论n为奇数和n为偶数两种情况确定的取值范围即可.
【详解】，，，
，
，
，
是以3为首项，3公比的等比数列，
．
．
解由得，
，
，
两式相减，得：，
．
由得，
令，则是递增数列，
若n为偶数时，恒成立，
又，，
若n为奇数时，恒成立，
，，．
综上，的取值范围是
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，错位相减求和，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22.如图，设F是椭圆C：的左焦点，线段MN为椭圆的长轴，且已知点满足．
求椭圆C的标准方程；
若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B．
求证：；
求三角形ABF面积的最大值．
【答案】（1）；（2）见解析；.
【解析】
【分析】
(1)由题意分别确定a,b的值即可确定椭圆方程；
(2)(i)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况证明即可；
(2)首先求得面积函数，然后结合均值不等式的结论确定面积的最大值即可. 【详解】线段MN为椭圆的长轴，且，
，
，
，代入得，解得或舍去
，
椭圆的标准方程为
证明：当AB的斜率为0时，显然，满足题意．
当直线AB的斜率不为0时，
当AB方程为，代入椭圆方程整理得，设，，
，即，
，
，
，
，从而，
综上可知，恒有．
解，，，
，
，
当且仅当即此时适合的条件时取等号
三角形ABF面积的最大值是．
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。