五次方程式简化

五次方程式简化
一般五次方程无根式解是伽罗瓦用群论证明的，但五次方程式
5432123450z a z a z a z a z a +++++= ， （A ）
可简化成如下形式：
5450x d x d ++= ，（B ）
有利于理论分析。

其简化过程为：
（一） 令
15
a z w =−
可消去四次方项，将（A ）式化为 53223450w b w b w b w b ++++= ，（1）
形式。

（二）布灵--杰拉德（Bring-Jerrard ）转换
令
2y w pw q =++， （2）
将（2）式代入（1）消除五次幂，然后再将（2）式代入与（1）式的计算结果中，消除四次幂，如此逐次反复进行，得到下式：
()()
22422222324323y p q b y p p q b p b p q b q b w +−++−+−+−+ ()233223235242py pq p pb b y p q pq b pq b q b −+−−++−+−+ ，（3） 将（3）式代入（2）消除w ，w 2，整理得
5432123450y c y c y c y c y c +++++= ，（4）
在（4）式中，
1225c b q =−
令 10c = ，
225
b q = 22222322431082
c p b b p q qb b b =++−++
令 20c = ，将 225
b q = 代入上式，得
2p =在将q ，p 代入345,,c c c 中，则（4）式化简为
()52345120;0y c y c y c c c +++=== ，（5）
形式。

这里
32223322233231031239c q p qb q b qb p b pqb pb b =−−+−+−+−
223442454625b p b qb b b pb +−++ ，
4223223224422233233453832922c q p q b q b q b p qb pq b pqb b qb p b =+−+−+−++−
2222344242434455253586451032p qb q b p b b qb b pb b b p b pqb pb b b b ++−−++−+− ，
52343232325222332323c q p q b q b q b p q b pq b pq b b =−−+−+−+−
22422322534442424345422q b p qb p q b q b p qb b q b b pqb b p b −+−−+++−
3232255252535354555532p qb pq b p b b pqb b p b b qb b pb b b ++−−++− .
将p ，q 代入345,,c c c 中，就可确定其值。

（三）契尔恩豪森转换（Tschirnhaus transformation ）
()52345120;0y c y c y c c c +++=== ，（5）
令
()432,1,2,3,4,5n n n n n x y y y y n αβγδ=++++= ；（6）
12345,,,,y y y y y ，为方程（5）五个根。

设转换后的方程为
5432123450,x d x d x d x d x d +++++= ，（7）
形式。

12345,,,,x x x x x ，为方程（7）五个根。

,n n x y 应满足方程（6）的解.
我们的目的就是选择方程（6）的系数,,,αβγδ的值，使方程（7）的系数由,,,αβγδ与方程（5）的系数表出。

应用牛顿等幂和公式可求得结果。

我们记为方程（5）等幂和为：
()5
1k k k n n n S S y y ===∑
方程（7）等幂和为：
()5
1k k k n n n T T x x ===∑
根据牛顿等幂和公式计算S n 的值如下：
当 k n ≤ 时
112211k k k k k S c S c S c S kc −−−=−−−−−L ，
110S c =−=
211220S c S c =−−=
312213333S c S c S c c =−−−=−
41322314444S c S c S c S c c =−−−−=−
5142332415555S c S c S c S c S c c =−−−−−=−
当 k n > 时
1122k k k n k n S c S c S c S −−−=−−−−L ；
26152433425133S c S c S c S c S c S c =−−−−−=
71625344352347S c S c S c S c S c S c c =−−−−−=
28172835445343548S c S c S c S c S c S c c c =−−−−−=+
39182736455445393S c S c S c S c S c S c c c =−−−−−=−
22101928374655534510S c S c S c S c S c S c c c =−−−−−=−
22111102938475653341111S c S c S c S c S c S c c c c =−−−−−=−−
4312111210394857334543244S c S c S c S c S c S c c c c c =−−−−−=−−
M
20119218317416515317416515S c S c S c S c S c S c S c S c S =−−−−−=−−−
一直计算到 S 20 为止。

根据牛顿等幂和公式计算T n 的值如下：（令 1230d d d ===）
当 k n ≤ 时
112211k k k k k T d T d T d T kd −−−=−−−−−L ，
110T d =−=
211220T d T d =−−=
31221330T d T d T d =−−−=
41322314444T d T d T d T d d =−−−−=−
5142332415555T d T d T d T d T d d =−−−−−=−
将（6）式的五个等式相加，得
4
3
2
11111x y y y y αβγδ=++++ ，
432
22222x y y y y αβγδ=++++ ，
432
33333x y y y y αβγδ=++++ ，
432
44444x y y y y αβγδ=++++ ，
432
55555x y y y y αβγδ=++++ ，
11432150d T S S S S αβγδ==++++= ，
将 4321,,,S S S S 代入上式，整理得，
434350c c αδ−−+=
43
435c c αδ+= ， （8）
将（6）式的五个等式，每个等式两边平方后，相加，得
()()22287652222d T S S S S ααβγαβ==++++++
()()2243222250S S βδαγβγαδδ+++++=，
将 876543,,,,,,S S S S S S δ 代入上式，整理得
()3452
2222
3
34
53435468106464106480
555c c c c c c c c c c c c γβααβαββ−−−+
+−+−++= ，（9）
在（9）式中令
()34568100c c c γβα−−−= ，（10）
222223345343546464106480555c c c c c c c c c αβαββ +−+−++=
，（11） 从（10）解出 β，
453
453c c c αβ+−= ，（12） 将（12）代入（11）式， 整理化简得
()()4
323223345434354522
32343545273001602737540018452500c c c c c c c c c c c c c c c c c αα+−++−+
−−= ，（13）
这是一个 α 的二次方程，即α确定。

这一步是契尔恩豪森转换的关键地方。

在（9）式中，令γ的系数为0，含α，β的系数二次方程为0，进而确定α，β的值。

将（6）式的五个等式，每个等式两边立平方后，相加，得
()()()23223312111098333633363d T S S S S S ααβααβγββααγδ==++++++++++
()()223227636366633S S αββγγααδβγβαδβδαγ+++++++++
()()()22222233543363633363650S S S γβαδβγαγδβδγβδγαδαδγβδγδ++++++++++++= 将 1211109876543,,,,,,,,,,,S S S S S S S S S S δβ 代入上式，整理得
()3322423353433456753375360020254500c c c c c c c c c γαγ +−−−+
()()322223252334543435453435567560007200405015000202596759735c c c c c c c c c c c c c c c ααγ ++−++++ ()
432233534345451485384393752400c c c c c c c c c α+−−−−
632332233453435456754770108625015000c c c c c c c c c c −−−−= ，（14）
这是一个 γ 的三次方程，即γ可解出 . 将（6）式的五个等式，每个等式两边四次方后，相加。

将444T d =−，16153,,,S S S L 代入相加的式中，解出4d ，4d 由345,,,,,,c c c αβγδ表出。

将（6）式的五个等式，每个等式两边五次方后，相加。

将555T d =−，20193,,,S S S L 代入相加的式中，解出5d ，5d 由345,,,,,,c c c αβγδ表出。

这可能就是五次方程与正二十
面体有关系的因果吧。

致此方程（A ）化简为
5450,x d x d ++=（B ）
的形式。

（四）契尔恩豪森转换的又一方法
契尔恩豪森转换也可用结式解，当然布灵--杰拉德转换也可用结式解，但是不如代入法直观。

()52345120;0y c y c y c c c +++=== ，（5）
令
4320,y y y y x αβγδ++++−= ；（6-1）
将（5）式用 32
,,,1y y y 分别乘之得 8543345743234563234552345000
0y c y c y c y y c y c y c y y c y c y c y y c y c y c +
++=+
++=+++=+++=
将（6-1）式用 432
,,,,1y y y y 分别乘之得 ()()()()()87654765436543254324320
y y y x y y y y x y y y y x y y y y x y y y y x αβγδαβγδαβγδαβγδαβγδ++++−=++++−=++++−=++++−=++++−=
将以上9个方程排列成行列式，即西尔维斯特（Sylvester ，James Joseph ）形式 345345345345100000010000001000000
100100000100000100000
1000001c c c c c c c c c c c c x x x x x αβγδα
βγδαβγδαβγδαβγδ − − − − −
若方程（5），（6-1）有公根，上面的行列式的值为0 .
求解行列式，得到如下方程：
54320,x ax bx cx dx e +++++=(15)
在这里：
434350a c c αδ=−−+= ，（16）
()222234333101216333b c c c c c δαδβγαβ=−+++−+
224434455352456550c c c c c c c c c βαγααβγ+++++−= ，（17）
33322223334333333310333c c c c c c c c δγβαβγγααβ=−+−+−+++
()2222222344343434343418244522c c c c c c c c c c c c c δαβγαβαγβγαβ−−−+−+−++
2222223222244434455353544845578c c c c c c c c c c c c αββαγαβγγαββ−−−−−−−++
2322223535454545345553211855c c c c c c c c c c c c c c c αγαααβγαβ++−−++++
()2222233344344553599961215181515120c c c c c c c c c c c c δβγαββαγααβγ+−++++++−=，（18）
()()3432222223434533434354545535322652d c c c c c c c c c c c c c c c c c c αδγββδγα=−+−+−+++−−+
22222223233434443443522222354534555459102284314711510c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c δγδδγβδγβγαβδβγββδ −−+++−+−+ −++++
3232222333434343422222223223444343443452222232535353535454524534531266123215341632410156262134103c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c δβγδβδδβγβδδβγβγγδβδγγδβδβγγδβδβγβδγ−−+++++−−−+−+−−+++−+++−−+222345455355
3545c c c c c c c αββγβ + −−++ 43232222233333335292696c c c c c c δγδβγδβδγδβδγδ−+++−−+
44222333344443434342861634c c c c c c c c c c c δγβγδβδδβγγβγδ+−+−−−++ 222342222222222343434444434343448185c c c c c c c c c c c c c c γβδγββγβδββγβ+−++−+−++
2334322424445553535285101529c c c c c c c c c c βδβγβγδγδββγ−++−+−−+
2223223535353545453451612623224c c c c c c c c c c c c c c c βδδβγββγγδβ−+−+−−+
2232222222234545345555353545167455107260c c c c c c c c c c c c c c c c c δγβγβδγβ+−−++−+−= ，（19）
()35322245434545354532e c c c c c c c c c c c αδδγγβα=+−++−−+
232222222334343535453454532222353535523525c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c δγδβδγβδδβγδαγδβδβ −++−−−−++ ++−
3222222222323343444344352322222354545345345455222222223355354545535352443727114555645c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c δγδδγδβδγδβδγδβδγβγδγβδβγβγαβδδβγβδγ −++−−−+−+ +++−−−−+ −++−+− (422233222323334343434343334353c c c c c c c c c c c c δβγδβδγδβγδβδδβγδ+−−−−−++
222222223322344343443455483455c c c c c c c c c c c βγδγδβδδγδδγδβδ+−+−++−+
322222222223535353535354536364c c c c c c c c c c c c c c βγβγγδβγβδδβγ−−−+−−−
322224545453453453451323103c c c c c c c c c c c c c c c βδγδβδβγγδδ−+++−+
2222323223222454534555535354355537c c c c c c c c c c c c c c γβδγβγγβγδβγ+−+++−−−
)222222333353545345554542755c c c c c c c c c c c c c βδγβγββδα+−++−++
53233222223223244333333343333c c c c c c c c δγδβγδβδγδβδγδδγδ−+−−−++−−+
222343322244434343434424323c c c c c c c c c c c βγδβδδβγδγδβγδγδ−+++−−−
22342222223222234344444343424465c c c c c c c c c c c c βδγδβδβγδβδδβγδβδ+−−+−+−− 232345322332444455553535245553c c c c c c c c c c c βδδδγβγδβγδγδβγγ+−+−+−−−+
422233222235353535353535298436c c c c c c c c c c c c c c βδβγδβδδγβγδγ+−++−−+
3432223
545454545345243115c c c c c c c c c c c c c βδβγβγβγδγδβγ++−+−+ 2222222334534534545453454548274c c c c c c c c c c c c c c c c c c βδδβγβγγδδγ−++−++−
5222232222222222255555353535555537c c c c c c c c c c c ββγβδγδβδβγγδβ−+−−++−− 223222223545454534522363c c c c c c c c c c c δβγβδγ−++−−
2233445535552c c c c c c ββγβ−+− ， （20）
在（17）式中，合并γ同类项，将（16）式中δ代入整理化简得，
222323453445542233333203802532593593c c c c c c c c c c c c c αα −+−+−+−−
()224543534523
502345059c c c c c c c c c βαγ+++++= ，（17-1） 在（17-1）式中令 γ 的系数为0，解出 β，
453
453c c c αβ+=−
， 并将代入α二次方程中， 222232234534455454435222333333203802550322059359359c c c c c c c c c c c c c c c c c c c αα −+−+−+−−++=
整理得
()()4
32322334543435452232343545273001602737540018452500
c c c c c c c c c c c c c c c c c αα+−++−+
−−= ，（17-2）
即 α 确定。

在（18）式中，将,δβ 代入上式，整理得 ()3322423353433456753375360020254500c c c c c c c c c γαγ +−−−+
()()322223252334543435453435567560007200405015000202596759735c c c c c c c c c c c c c c c ααγ ++−++++ ()
432233534345451485384393752400c c c c c c c c c α+−−−−
632332233453435456754770108625015000c c c c c c c c c c −−−−= ，（18-1） 再将（17-2）中解出的α代入上式，这是一个 γ 的三次方程，即γ可解出 .
将,,,αβγδ代入（19），（20）中，d ，e 系数确定。

从以上化简的过程看，计算繁琐，表达式极其复杂，如果将
1234512345,,,,;,,,,a a a a a b b b b b
等系数代入表示，公式更为复杂。

故在工程中高次方程一般用数值解法。

化简过程只具有理论上的意义而已。

以上使用Mathematica 或Mathcad 等电脑辅助软件计算，操作要仔细，公式复杂很容易看错。

参考资料：
维基百科 /wiki/%E4%BA%94%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B
Polynomial Transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard （Victor S. Adamchik Department of Computer Science,
Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, USA）数学小丛书《对称》段学复，人民教育出版社，1979年 .
《范氏大代数》
《高等代数》北大数学力学系，人民教育出版社，1978年.
公式复杂输入可能有误，如有不妥之处，请网友指正。

我的邮箱：*************** .。