浅谈数学在金融中的应用

浅谈数学在⾦融中的应⽤
2019-10-20
摘要：以⾦融数学为对象，分析了数学在⾦融中的应⽤，从随机最优控制理论、微分对策理论以及资本资产定价模型，探讨了数学在⾦融领域中的应⽤。

关键词：数学⾦融数学资产定价
引⾔
随着现代⾦融理论的逐步发展和完善，现代⾦融理论变得更加的复杂。

⽽其中数学⽅法在其中的应⽤尤为重要，尤其是在⾦融数学形成之后，数学在进⼊体系中的应⽤变得更加重要。

因此，分析数学在⾦融领域当中的具体应⽤具有现实的意义。

⼀、⾦融数学的基本定义
从⾦融数学的⼴义定义来讲，⾦融数学是指将数学理论与⽅法应⽤到⾦融经济运⾏当中的⼀门新学科。

从狭义的定义来讲，⾦融领域中的数学问题主要是对不确定条件下多组合证券选择以及组合投资资产定价理论的分析，其中的套利、最优以及均衡是整个理论当中最为重要的三个基本概念。

将数学应⽤到⾦融领域当中就是以⼀些⾦融或者是经济中的相关假设出发，采⽤抽象的数学⽅法来构建如何⾦融机理的相关数学模型。

⾦融数学的主要包括数学基本概念与⽅法、相关的⾃然科学⽅法等在进⼊理论当中的多种形式的应⽤。

通过数学的应⽤来表达、推理以及证明相关的⾦融学基本原理。

从⾦融数学的本质来看，⾦融数学属于⾦融学的⼀个重要分⽀。

所以，⾦融数学是完全建⽴在⾦融理论的背景和基础之上的，通过⾦融正规学术训练的从事⾦融数学的⼈将会在这个背景下更加具有优势。

⾦融学是以经济学的应⽤分⽀学科⾝份发展起来的，虽然它以⾃⾝充⾜的特征⽽从经济学中独⽴了出来，但是它依然需要以经济原理以及相关的经济技术作为基础背景。

同时，⾦融数学还需要财务知识、税收理论以及会计原理等作为知识背景。

⼆、随机最优控制理论
在当前⾦融理论的数学应⽤过程中，⼀个重要的应⽤领域就是利⽤数学来解决⾦融问题当中的随机性问题。

⽽采⽤数学理论来解决⾦融问题的⼀个重要⽅法和⼿段就是随机最优控制理论。

随机最优控制是在整个控制理论发展晚期逐步的发展起来的，通过应⽤贝尔曼最优化原理，在结合测度理论以及泛函分析的⽅法来对随机性问题进⾏分析。

这种⽅法形成于上世纪的60 年代末，并在70年代初变得逐步的成熟。

从应⽤随机最优控制理论⽅法⽽⾔，⾦融学家在这⽅⾯的反应是⼗分迅速的。

在70年代初，⾦融学研究领域当中就出现了⼏篇相关的经济学论⽂，其中就包括默顿（Merton）利⽤连续时间的⽅法论述消费与资产组合中存在的问题，使得两者之间的组合分析更加符合实际情况；⽽布罗克 (Brock) 和⽶尔曼（Mirman）则在随机变化的情况下，使⽤离散时间的⽅法对经济最优增长的问题进⾏了论述。

随后，随机最优控制⽅法在⼤部分的⾦融领域当中都得到了应⽤。

我国的彭实⼽等中青年学者在这⽅⾯也做出了⼤量的卓越贡献。

三、微分对策⽅法在期权定价与投资决策中的应⽤
在现代⾦融理论当中，数学在⾦融领域中的另外⼀个重要应⽤就是利⽤微分对策⽅法在期权定价以及投资决策中进⾏了分析，⽽且这⽅⾯的应⽤取得了较为明显的成果。

由于在⾦融市场的整体规律与稳态假设不相符合，出现异常的波动过程中，就会导致证券的价格出现异常变化，往往这种变化不服从集合布朗运动。

这时，我们就需要使⽤随机动态模型来对证券投资的整体决策问题进⾏研究和分析。

这种⽅法不管是从理论上还是从实际中都存在着较⼤的偏差。

⽽利⽤微分对策⽅法来对⾦融领域当中的⾮⼏何布朗分布规律的⾦融问题有重要的所⽤，不但可以有效的放松这个⽅⾯的假设，还可以将不确定的扰动假象成为敌对的⽅⾯。

针对整个不确定问题进⾏的优化分析将可以得到稳定性(鲁棒性)最强的投资组合策略。

同时，在利⽤微分对策⽅法对进⼊领域中的问题进⾏分析的过程中，只需要进⾏⼀次贝尔曼⽅程的求解，⽽该⽅程属于⼀阶偏微分⽅程，相对随机求解问题中的⼆阶偏微分⽅程⽽⾔要简单得多。

所以，应⽤微分对策⽅法来研究⾦融领域当中的问题将具有⼴阔的前景，尤其是对于那些随机对策、重复问题、组合问题等⾦融证券投资问题当中的研究具有尤为重要的意义。

四、资本资产定价模型(CAPM)
这⾥所提到的资本资产定价模型就是建⽴在以夏普、林特纳以及莫⾟独⽴提出的模型基础之上的。

这个模型具有⼀系列的相关理想假设，可以将其数学模型描述成为：
或
其中，——零风险利率；
——证券市场所有证券的评价预期收益率；
——证券市场所有证券的评价预期⽅差；
——证券I 的预期收益率；
——证券I 的平均收益率；
——预期收益率与平均收益之间的协⽅差。

通过利⽤CAPM模型，建⽴起了风险与证券收益之间的关系，将风险报酬之间的内部结构进⾏了完整的表述，也就是说风险报酬属于⼀个影响着证券所有收益的相关影响因⼦的风险组合。

⽽所有的相关因素是表⽰的是证券市场对风险的承担者所提供的报酬，它们只与各个相关因素直接相关，⽽与单个证券种类没有明显的关系。

利⽤这个证券模型建⽴起了各个证券收益与整个资产组合收益之间存在的量化关系，其中的值反映的就是这种相关程度的⼤⼩。

⽽各个不同程度的值就可以反映出证券市场当中所有证券的收益结构。

在⾦融领域当中，还可以利⽤CAPM来对证券⾦融市场中的风险进⾏归类，分为系统与⾮系统风险两种。

总的来讲，通过数学来建⽴模型，可以为资本资产定价模型以及收益的预期提供⼀个更加近似的预测。

五、结语
本⽂对⾦融数学的基本定义以及功⽤进⾏了论述，从随机优化理论、微分对策在期权定价与投资决策中的应⽤以及资本资产定价模型的构建三个⽅⾯探讨了数学在⾦融领域中的应⽤。

体现出了数学对现代⾦融分析的重要作⽤。

参考⽂献：
[1]陶袁，张志军.现代⾦融理论中⾦融数学的应⽤. 集团经济研究, 2007(34):252
[2]周鑫.⾦融数学的最新理论和现展.⼤众商务（下半⽉）, 2010(2):165
[3]林云彤.浅析数学⽅法在⾦融领域的应⽤. 财经界（学术）, 2010(10):13
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