广工-2011-4线性代数试题B卷答案
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此时 ，方程组无解.……………（12分）
七.（10分）
解：该矩阵的特征方程为：
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以特征值为 ，…………………（3分）
当 时，齐次方程组为
取基础解系 ，…………………（6分）
当 时，齐次方程组为
取基础解系 ，…………………（9分）
因为 ，所以向量组 线性无关，
A可以对角化，此时取可逆矩阵 ，
故 …………………（12分）
四．（10分）
证一：将向量组 由向量组 线性表示的关系式写成矩阵形式：
……………………（4分）
因为 ，所以 为满秩矩阵，根据秩的性质得
……………………（7分）
又因 线性无关，则
从而 ……………………（9分）
所以 向量组线性无关…………………（10分）
证二：从线性无关的定义出发，考察
…………………（2分）
利用该递推关系，可得
……………（9分）
……………（10分）
六.（12分）
解：根据克拉默法则，系数行列式不为零时方程组有唯一解，
……………（3分）
所以当 时，方程组有唯一解；……………（4分）
当 时，方程组为 ，
方程有无数多个解，其解为 ，……………（6分）
即 ……………（8分）
当 时，方程组为 ，
……………（10分）
由向量组 与向量组 线性表示的关系得：
= 0…………………（5分）
又因 线性无关，所以 ………（7分）
解得 …………………（9分）
所以 向量组线性无关.…………………（10分）
五.（10分）
解：可以看出 ，对 按第一行展开
……………（4分）
对两个(2n-1)阶行列式各按最后一行展开，得
……………（7分）
七.（10分）
解：该矩阵的特征方程为：
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以特征值为 ，…………………（3分）
当 时，齐次方程组为
取基础解系 ，…………………（6分）
当 时，齐次方程组为
取基础解系 ，…………………（9分）
因为 ，所以向量组 线性无关，
A可以对角化，此时取可逆矩阵 ，
故 …………………（12分）
四．（10分）
证一：将向量组 由向量组 线性表示的关系式写成矩阵形式：
……………………（4分）
因为 ，所以 为满秩矩阵，根据秩的性质得
……………………（7分）
又因 线性无关，则
从而 ……………………（9分）
所以 向量组线性无关…………………（10分）
证二：从线性无关的定义出发，考察
…………………（2分）
利用该递推关系，可得
……………（9分）
……………（10分）
六.（12分）
解：根据克拉默法则，系数行列式不为零时方程组有唯一解，
……………（3分）
所以当 时，方程组有唯一解；……………（4分）
当 时，方程组为 ，
方程有无数多个解，其解为 ，……………（6分）
即 ……………（8分）
当 时，方程组为 ，
……………（10分）
由向量组 与向量组 线性表示的关系得：
= 0…………………（5分）
又因 线性无关，所以 ………（7分）
解得 …………………（9分）
所以 向量组线性无关.…………………（10分）
五.（10分）
解：可以看出 ，对 按第一行展开
……………（4分）
对两个(2n-1)阶行列式各按最后一行展开，得
……………（7分）