高中数学三角函数易错题

高中数学易做易错题 专题一：三角比
1．假设角α终边上一点P 的坐标为〔θcos ，θsin 〕〔Z k k ∈+≠,2
π
πθ〕，那么θα-＝。

错解：由θαtan tan =得πθαk =-〔Z k ∈〕。

正解：同时θαsin sin =，θαcos cos =，∴πθαk 2=-〔Z k ∈〕。

2．βαβαtan 3tan ,sin 2sin ==，求α2cos 。

错解：由1cot csc 22
=-ββ消去β得1cot 9csc 422=-αα，解得8
3
cos 2=α。

分析：遗漏0sin =α的情形。

还有1cos 2=α的情形。

3．α、β∈〔0，π〕，135
)sin(,212tan
=+=
βαα
，求βcos 。

错解：544112122tan 12tan 2sin 2=+⨯=+=
ααα，5
34
114112tan 12tan 1cos 22=+
-
=+-=ααα ∵α、β∈〔0，π〕，∴13
12
169251)(sin 1)cos(2
±=-±=+-±=+βαβα， ∴αβααβααβαβsin )sin(cos )cos(])cos[(cos +++=-+=
∴6516cos -=β，或65
56
cos =β。

分析：∵)sin(13554sin βαα+=>=，∴2πβα>+，∴1312)cos(-=+βα，∴65
16
cos -=β。

4．设πα<<0，2
1
cos sin =
+αα，那么α2cos 的值为。

错解：432sin -
=α，∵πα220<<，∴4
72cos ±=α。

正解：∵0cos ,0sin <>αα且02
1
cos sin >=
+αα， ∴
432
παπ
<
<，∴232παπ<<，∴4
72cos -=α。

4－1．π<≤=+x x x 0,13
7
cos sin ，那么=x tan 。

错解：512-
或125-。

正解：5
12
-。

5．方程01342=+++a ax x 〔a 为大于1的常数〕的两根为αtan ，βtan ，且α、β)2
,2(π
π-∈，
那么2
tan β
α+的值是。

错解：
2
1
或－2。

正解：由0tan ,0tan <<βα知：02
2
<+<
-β
απ
，∴2
tan
β
α+的值是－2。

5－1。

θtan 和)4
tan(
θπ
-是方程02=++q px x 的两根，那么p 、q 间的关系是〔 〕
〔A 〕01=+-q p 〔B 〕01=++q p 〔C 〕01=-+q p 〔D 〕01=--q p 答案：C 。

5－2。

30cot cot ,25tan tan =+=+y x y x ，那么=+)tan(y x 〔 〕 〔A 〕120〔B 〕150〔C 〕180〔D 〕200 答案：B 。

6．关于x 的方程0cot sin 2sin 2
=-+θθθx x 的两根为α、β，且πθ20<<。

假设数列1，
)1
1
(β
α
+
，
2)1
1
(
β
α
+
，……，的前100项和为0，求θ的值。

错解：由韦达定理知：θαβθβαcos ,2sin -=-=+，∴θβ
α
sin 2)1
1
(
=+
，
由0sin 21)sin 2(1100100
=--=θ
θS 得21sin ±=θ，∵πθ20<<，∴6πθ=或65πθ=或67πθ=或611π
θ=。

正解：〔1〕当1=q 与1≠q 时，等比数列的求和公式不同； 〔2〕方程有解还应考虑△≥0。

∴6
11π
θ=。

7．假设m =αcot ，)2,(ππα∈，那么=αcos 。

错解：由αα22csc cot 1=+解得2
2
11
sin m
+=
α， ∴22
2
1cos m m +=α，∴22211cos m
m m m +±=+±=α。

正解：22211cos m
m
m m +-=+±=α。

∵当0>m 时，α为第三象限角，0cos <α，当0<m 时，α为第四象限角，0cos >α，当0=m 时，
0cos =α。

8、α∈Ⅱ,其终边上一点(P x ,且cos ,x α=
求sin α.
解：sin tan cos 44
x x ααα=⋅=
=。

注：假设去掉α为第二象限角这一条件限制，上述解法易遗漏0x =的情形。

9
cos 2(,),.2k
k Z θθπ=≠∈求θ的取值围.
错解：2
2
cos |cos |sin |sin |cos sin θθθθθθ+=-，∴cos 0
sin 0θθ>⎧⎨<⎩
，
∴22,2
k k k Z π
πθπ-
+<<∈
分析：cos 0,|cos |sin θθθ<=时也成立，故为3(2,2){2},2
4
k k k k Z π
π
πππ-++
∈
10、在△ABC 中,3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=求∠C 的大小. 解：两式平方相加：1sin()2
A B +=
，∴A ＝300，或A ＝1500。

∴C ＝300。

当A ＝300
时，00
4sin 3cos 4sin 03cos301B A +>+>故应舍去。

注：舍去A ＝300
对学生来说是一个难点。

11、sin αsin β=
2
1
，求cos αcos β的取值围。

解法一 令cos αcos β=m
那么sin αsin β+cos αcos β=m+
2
1 cos (α－β)=m+
21 m= cos (α－β)－2
1
-1≤cos (α－β)≤1
-
23≤m ≤21
分析：又由cos αcos β－sin αsin β＝m －
21，得13
22
m -≤≤ ∴11
22
m -
≤≤。

事实上，当4
π
αβ==时，1
2
m =
等。

12、一组似是而非的问题
1．在ΔABC 中，53cos =A ，135sin =B ，求C sin 的值。

2．在ΔABC 中，53cos =A ，135
sin =B ，求C cos 的值。

3．在ΔABC 中，54sin =A ，13
12
cos =B ，求C sin 的值。

解1：
∵ππ<<<<B A 0,0，
∴54)5
3
(1cos 1sin 2
2
=
-=-=A A ，13
12)135(1sin 1cos 22
±=-±=-±=B B ， ∴B A B A B A B A C sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=π，
∴656313553131254sin =⨯+⨯=C ，或65
33
135********sin -=⨯+⨯-=C ， 又∵C 为三角形的角，∴0sin >C ，
∴65
63
sin =C 。

解2；
∵ππ<<<<B A 0,0，
∴54)5
3(1cos 1sin 2
2
=
-=-=A A ，13
12)135(1sin 1cos 22
±=-±=-±=B B ， ∴B A B A B A B A C sin sin cos cos )cos()](cos[cos +-=+-=+-=π，
∴当1312cos =
B 时，651613554131253cos -=⨯+⨯
-=C ， 当1312cos -=B 时，6556
135********cos =⨯+⨯=C ，
∵)cos(cos 13
126556cos B B C -=-=<=
π ∴B C ->π，即π>+C B ，
∴65
16
cos -=C 。

注：舍去增解是难点，可利用单位圆中的余弦线段先作直观判断。

解3：
∵ππ<<<<B A 0,0，
∴5
3)5
4(1sin 1cos 2
2
±=-±=-±=A A ，13
5)1312(1cos 1sin 22
=-=-=B B ， ∴B A B A B A B A C sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=π， ∴656313553131254sin =⨯+⨯=
C ，或65
33
135********sin =⨯-⨯=C 。

注：此题两解均成立。

假设求C sin ，必为两情形之一：两解均成立或一解为负值；
13、假设x y A -=〔定值〕，那么sin sin x y -的最大值为。

错解：sin sin 2cos
sin 2cos sin 222
x y x y x y
x y A +-+-==， ∴sin sin x y -的最大值为2sin A 。

正解：|2sin |A 。

14、1sin sin 3
x y +=
，求2
sin cos x y -的最大值和最小值。

解一：2
2111sin cos (sin )612
x y x -=+-，
当1sin 6x =-
时，取得最小值1112
-； 当sin 1x =时，取得最大值1；
解二：22
111
sin cos (cos )212
x y x -=--
，
当1cos 2x =时，取得最小值11
12
-；
当cos 1x =-时，取得最大值4
3
；
分析：解法二忽略了围限制，
应由1sin 11
1sin sin 13y x y -≤≤⎧⎪⎨-≤=-≤⎪⎩ 得：2
sin 13
y -≤≤〔下略〕。

专题二：解三角形
1. 在ABC ∆中c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且c
c b A 22cos
2
+=，那么ABC ∆是〔 〕 A 、等边三角形 B 、直角三角 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 2.在锐角ABC ∆中，A B BC ∠=∠=2,1那么
A
AC
cos 的值等于。

AC 的取值围为。

3.假设270360α︒<<︒
〔 〕 A ．sin 2
α
B ．sin
2
α
- Ｃ．cos 2
α
Ｄ．cos
2
α
-
4.
在
ABC
∆中，
角
C B A ,,所
对
应的
边
分
别
为
c
b a ,,2
cos sin sin ,42tan 2tan
,322A
C B C B A a =⋅=++=，求B A ∠∠,与c b ,
5. 在ABC ∆中c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，b c a 22
2=-,且C A C A sin cos 3cos sin =,求b
6. 在ABC ∆中c b a ,,分别是角C B A ,,的对边。

且A C 2=，4
3cos =A 〔1〕求C cos 和B cos 的值； 〔2〕当2
27
=
⋅BC BA 时，求c b a ,,的值 7. 在ABC ∆中c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,2
,2π
==C c 。

〔1〕假设ABC ∆的面积等于3，求,,b a 〔2〕假设A B sin 2sin =,求ABC ∆的面积
8. 在ABC ∆中c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且4sin ,3cos ==A b B a 〔1〕求边长a
〔2〕假设ABC ∆的面积10=s ，求ABC ∆的周长l 。

9. 在ABC ∆中，假设2lg sin lg lg lg -==-B c a ，且B 为锐角，是判断ABC ∆的形状。

10.ABC ∆的三边各不相等，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且,cos cos B b A a =求c
b
a +的取值围。

11. ABC ∆是半径为R 的圆的接三角形，且(
)(
)
22
2sin sin 2sin R A C a b B -=-
〔1〕求角C ；
〔2〕试求ABC ∆面积的最大值
12.在ABC ∆中，()()ab c b a c b a 3=-+++，且C B A sin sin cos 2=⋅，确定ABC ∆的形状。

13.在ABC ∆中，60,16,2203,ABC A AB S ︒
∆===求BC ABC ∆及与切圆的半径。

专题三 解三角形在实际中的应用
1、〔德阳市2013年〕如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为300
，看这栋
高楼底部C 的俯角为600
，热气球A 与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼BC 的高度为
A. 40 3m
B. 803m
C. 1203m
D. 160 3m 答案：D
解析：过A作AD⊥BC于D，那么∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120。

BC＝BD＋CD＝120tan30°＋120tan60°＝D。

2、〔2013•〕如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，小敏同学身高〔AB〕为1.6m，那么这棵树的高度为〔〕〔结果准确到0.1m，≈1.73〕．
A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：应用题．
分析：设CD=x，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE=4m，可求出x的值，再由树高=CD+FD 即可得出答案．
解答：解：设CD=x，
在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，
那么AD=x，
在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，
那么ED=x，
由题意得，AD﹣ED=x﹣x=4，
解得：x=2，
那么这棵树的高度=2+1.6≈5.1m．
应选D．
点评：此题考察了解直角三角形的应用，解答此题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．
3、〔2013聊城〕河堤横断面如下图，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，那么AB的长为〔〕
A．12 B．4米C．5米D．6米
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：根据迎水坡AB的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度．
解答：解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：，
∴那么AC=BC×=6，
∴AB===12．
应选A．
点评：此题主要考察解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答此题的关键．
〔2013•〕如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，4、
BC的长是50m，那么水库大坝的高度h是〔〕
A．25m B．25m C．25m D．
m
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．3718684
分析：首先过点C作CE⊥AB于点E，易得∠CBE=60°，在Rt△CBE中，BC=50m，利用正弦函数，即可求得答案．
解答：解：过点C作CE⊥AB于点E，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°，
在Rt△CBE中，BC=50m，
∴CE=BC•sin60°=25〔m〕．
应选A．
点评：此题考察了坡度坡角问题．注意能构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
5、〔2013市〕如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角BAC30
∠=，那么该山坡的高BC的长为_____米。

答案：100
解析：BC=AB·sin30°=1
2
AB=100m
6、〔2013•〕如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小侧B点的俯角为30°，那么小西两侧A、B两点间的距离为750米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．3718684
分析：作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD 的长度，然后根据∠B=30°求出AB的长．
解答：解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD=75°﹣30°=45°，
AC=30×25=750〔米〕，
∴AD=AC•sin45°=375〔米〕．
在Rt△ABD中，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=750〔米〕．
故答案为：750．
点评：此题考察了解直角三角形的应用，解答此题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．
7、〔2013，10，2分〕如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道〔B，C在同一水平面上〕，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观
察B地的俯角为30°，那么BC两地之间的距离为〔〕
A．
B．
m C．
D
m
【答案】A
【解析】依题得：AC＝100，∠ABC＝30°，tan30°＝AC
BC
，BC
A。

8、〔2013•〕如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°〔测角仪的高度忽略不计〕如果BC=3米，那么旗杆的高度AC= 3米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．3718684
专题：应用题．
分析：在Rt△BDC中，根据∠BDC=45°，求出DC=BC=3米，在Rt△ADC中，根据∠ADC=60°即可求出AC 的高度．
解答：在Rt△BDC中，
∵∠BDC=45°，
∴DC=BC=3米，
在Rt△ADC中，
∵∠ADC=60°，
∴AC=DCtan60°=3×=3〔米〕．
故答案为：3．
点评：此题考察了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形，解直角三角形，难度一般．
9、〔2013•〕如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，
AE=15米．〔i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比〕
〔1〕求点B距水平面AE的高度BH；
〔2〕求广告牌CD的高度．
〔测角器的高度忽略不计，结果准确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732〕
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：〔1〕过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH；
〔2〕在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，
那么CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．
解答：解：〔1〕过B作BG⊥DE于G，
Rt△ABF中，i=tan∠BAH==，
∴∠BAH=30°，
∴BH=AB=5；
〔2〕由〔1〕得：BH=5，AH=5，
∴BG=AH+AE=5+15，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5+15．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15．
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．
点评：此题综合考察了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
10、〔13年省10分、19〕如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α=600，汛期降临前
对其进展了加固，改造后的背水面坡角β=450，假设原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE〔结果保存根号〕
11、〔2013•〕某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF〔如下图〕，立杆AB的高度是3米，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC的值．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：应用题．
分析：在Rt△ABD中，知道了角的对边，可用正切函数求出邻边AD的长；同理在Rt△ABC中，知道了角的邻边，用正切值即可求出对边AC的长；进而由BC=AC﹣AB得解．
解答：解：∵在Rt△ADB中，∠BDA=45°，AB=3米，
∴DA=3米，
在Rt△ADC中，∠CDA=60°，
∴tan60°=，
∴CA=3．
∴BC=CA﹣BA=〔3﹣3〕米．
答：路况显示牌BC是〔3﹣3〕米．
点评：此题主要考察了解直角三角形的应用，当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路．
12、〔2013•〕如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度〔结果准确到个位〕
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．3718684
分析：易得DE=AB，利用BC长和60°的正弦值即可求得CD长，加上DE长就是此时风筝离地面的高度．解答：解：依题意得，∠CDB=∠BAE=∠ABD=∠AED=90°，
∴四边形ABDE是矩形，〔1分〕
∴DE=AB=1.5，〔2分〕
在Rt△BCD中，，〔3分〕
又∵BC=20，∠CBD=60°，
∴CD=BC•sin60°=20×=10，〔4分〕
∴CE=10+1.5，〔5分〕
即此时风筝离地面的高度为〔10+1.5〕米．
点评：考察仰角的定义，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是仰角问题常用的方法．
13、〔201324〕如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．小明的眼睛与地面的距离〔AB〕是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离〔CD〕是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧〔点B、N、D在同一条直线上〕．求出旗杆MN的高度．〔参考数据：，，结果保存整数．〕
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，那么EF=0.2m．由△AEM是等腰直角三角形得出AE=ME，设AE=ME=xm，那么MF=〔x+0.2〕m，FC=〔28﹣x〕m．在Rt△MFC中，由tan∠MCF=，得出=，解方程求出x的值，那么MN=ME+EN．
解答：解：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，
那么EF=AB﹣CD=1.7﹣1.5=0.2〔m〕，
在Rt△AEM中，∵∠AEM=90°，∠MAE=45°，
∴AE=ME．
设AE=ME=xm，那么MF=〔x+0.2〕m，FC=〔28﹣x〕m．
在Rt△MFC中，∵∠MFC=90°，∠MCF=30°，
∴MF=CF•tan∠MCF，
∴x+0.2=〔28﹣x〕，
解得x≈10.0，
∴MN=ME+EN≈10+1.7≈12米．
答：旗杆MN的高度约为12米．
点评：此题考察了解直角三角形的问题．该题是一个比拟常规的解直角三角形问题，建立模型比拟简单，
但求解过程中涉与到根式和小数，算起来麻烦一些．
14、〔2013•地区〕如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方
向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高．〔准确到0.1米，≈1.732〕
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：应用题．
分析：
设EC=x，那么在Rt△BCE中，BC=EC=x；在Rt△BCD中，CD=BC=3x；
在Rt△ACD中，AC=AB+BC=73.2+x，CD=3x，利用关系式AC=CD列方程求出x；
塔高DE=CD﹣EC=2x可以求出．
解答：解：设EC=x〔米〕，
在Rt△BCE中，∠EBC=30°，∴BC==x；
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，∴CD=BC•tan60°=x•=3x；
在Rt△ACD中，∠DBC=45°，
∴AC=CD，
即：73.2+x=3x，
解得：x=12.2〔3+〕．
塔高DE=CD﹣EC=3x﹣x=2x=2×12.2〔3+〕=24.4〔3+〕≈115.5〔米〕．
答：塔高DE约为115.5米．
点评：此题考察了解直角三角形的应用，解答此题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示
出相关线段的长度，难度一般．
15、〔2013•六盘水〕阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
sin〔α±β〕=sinαcosβ±cosasinβ
tan〔α±β〕=
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°=tan〔45°﹣30°〕===
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题
〔1〕计算：sin15°；
〔2〕乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一〔图1〕，小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．〔准确到0.1米，参考数据，〕
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：〔1〕把15°化为45°﹣30°以后，再利用公式sin〔α±β〕=sinαcosβ±cosasinβ计算，即可求出sin15°的值；
〔2〕先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据AB=AE+BE即可得出结论．
解答：
解：〔1〕sin15°=sin〔45°﹣30°〕=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=×﹣×=
﹣=；
〔2〕在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米，
∴BE=DE•tan∠BDE=DE•tan75°．
∵tan75°=tan〔45°+30°〕===2+，
∴BE=7〔2+〕=14+7，
∴AB=AE+BE=1.62+14+7≈27.7〔米〕．
答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米．
点评：此题考察了：
〔1〕特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．
〔2〕解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出BE的长是解题的关键．
16、〔2013•〕我市某中学在创立“特色校园〞的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌〔AB〕，放置在教学楼的顶部〔如下图〕．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°．教学楼高BM=17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度〔结果准确到0.1米，参考数据：
≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75〕．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．3718684
分析：首先过点C作CN⊥AM于点N，那么点C，E，N在同一直线上，设AB=x米，那么AN=x+〔17﹣1〕=x+16〔米〕，那么在Rt△AEN中，∠AEN=45°，可得EN=AN=x+16，在Rt△BCN中，∠BCN=37°，
BM=17，可得tan∠BCN==0.75，那么可得方程：，解此方程即可求得答案．
解答：解：过点C作CN⊥AM于点N，那么点C，E，N在同一直线上，
设AB=x米，那么AN=x+〔17﹣1〕=x+16〔米〕，
在Rt△AEN中，∠AEN=45°，
∴EN=AN=x+16，
在Rt△BCN中，∠BCN=37°，BM=17，
∴tan∠BCN==0.75，
∴，
解得：x=1≈1.3．
经检验：x=1是原分式方程的解．
答：宣传牌AB的高度约为1.3m．
点评：此题考察了俯角的定义．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
17、〔2013•州〕“一炷香〞是闻名中外的大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶〞N的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底〞D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香〞前行110，到达B处，测得“香顶〞N的仰角为60°．根据以上条件求〔测角器的高度忽略不计，结果准确到1米，参考数据：，〕．出“一炷香〞的高度．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：首先过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，可得四边形BEDF是矩形，然后在Rt△ABE 中，由三角函数的性质，可求得AE与BE的长，再设BF=x米，利用三角函数的知识即可求得方程：55+x=x+55，继而可求得答案．
解答：解：过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，
∵∠D=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴BE=DF，BF=DE，
在Rt△ABE中，AE=AB•cos30°=110×=55〔米〕，BE=AB•sin30°=×110=55〔米〕；
设BF=x米，那么AD=AE+ED=55+x〔米〕，
在Rt△BFN中，NF=BF•tan60°=x〔米〕，
∴DN=DF+NF=55+x〔米〕，
∵∠NAD=45°，
∴AD=DN，
即55+x=x+55，
解得：x=55，
∴DN=55+x≈150〔米〕．
答：“一炷香〞的高度为150米．
点评：此题考察了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
18、〔2013•黄冈〕如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB〔结果保存整数，≈1.73，≈1.41〕
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．3481324
专题：应用题．
分析：先判断△ACE为等腰三角形，在Rt△AEF中表示出EF、AF，在Rt△BEF中求出BF，根据AB=AF﹣BF即可得出答案．
解答：解：依题意可得：∠AEB=30°，∠ACE=15°，
又∵∠AEB=∠ACE+∠CAE
∴∠CAE=15°，
即△ACE为等腰三角形，
∴AE=CE=100m，
在Rt△AEF中，∠AEF=60°，
∴EF=AEcos60°=50m，AF=AEsin60°=50m，
在Rt△BEF中，∠BEF=30°，
∴BF=EFtan30°=50×=m，
∴AB=AF﹣BF=50﹣=≈58〔米〕．
答：塔高AB大约为58米．
点评：此题考察了解直角三角形的知识，解答此题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．
19、〔2013•〕如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．那么建筑物CD的高度为12m〔结果不作近似计算〕．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．
解答：解：过点D作DE⊥AB于点E，
那么四边形BCDE是矩形，
根据题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，
∴DE=BC=18m，CD=BE，
在Rt△ABC中，AB=BC•tan∠ACB=18×tan60°=18〔m〕，
在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=18×tan30°=6〔m〕，
∴DE=BE=AB﹣AE=18﹣6=12〔m〕．
故答案为：12．
点评：此题考察俯角的知识．此题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．。