高三数学易错三角函数与解三角形多选题 易错题同步练习试题

高三数学易错三角函数与解三角形多选题 易错题同步练习试题
一、三角函数与解三角形多选题
1．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭且对于R x ∀∈都有
144f x f x ππ⎛
⎫-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝
⎭成立．现将函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π
个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数066g x g x ππ⎛⎫⎛
⎫-++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
B ．函数()g x 相邻的对称轴距离为π
C ．函数23
g x π
⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
是偶函数 D ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增 【答案】ABCD 【分析】
先利用已知条件求出()f x 的周期T π=，即可得2ω=，再利三角函数图象的平移伸缩变换得()g x 的解析式，在逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】
因为对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛
⎫-=-
⎪⎛
⎫⎝⎭+ ⎪
⎝
⎭成立 所以
()1
2f x f x π=-
⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，()12f x f x ππ⎛
⎫+=- ⎪+⎝⎭
， 所以
()()
()1
1f x f x f x ππ=-
=+-
+对于R x ∀∈都成立， 可得()f x 的周期T π=，所以22T
π
ω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
， 将函数()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
6
π
个单位长度，可得 2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得
()2sin 6g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
对于选项A:
()2sin 2sin 2sin 2sin 0
666666g x g x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-++=--++-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
故选项A 正确；
对于选项B ：函数()g x 周期为221
T ππ==，所以相邻的对称轴距离为2T
π=，故选项B
正确；
对于选项C ：222sin 2sin 2cos 3362g x x x x ππππ⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫+=+-=+=
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭是偶函数，故选
项C 正确； 对于选项D ：当
6
3
x π
π
≤≤
，06
6
x π
π
≤-
≤
，所以函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增，故选项D 正确， 故选：ABCD 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是由144f x f x ππ⎛
⎫-=-
⎪⎛
⎫⎝⎭+ ⎪
⎝⎭恒成立得出 ()()f x f x π=+可得ω的值，求出()f x 的解析式.
2．设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（ ） A ．()20f >
B ．()f x 在53,2
ππ⎛⎫
--
⎪⎝
⎭
上单调递增 C ．()f x 的值域为[]
12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π 【答案】ABD 【分析】
由()23sin 22cos2f =+，结合
322
4
π
π
<<
，可判定A 正确；作出函数2sin sin y x x =+的图象，可得函数()f x 的值域及单调性，可判定B 正确，C 不正确；
结合函数的图象，可得()f x 在[]0,2π上的所有零点之和，可判定D 正确. 【详解】
由题意，函数()2sin sin 2cos2f x x x =++， 可得()22sin 2sin 22cos23sin 22cos2f =++=+
因为
322
4
π
π
<<
，所以sin 2cos20>->，所以()20f >，所以A 正确； 由3sin ,222sin sin ,sin ,222x k x k y x x k Z x k x k πππ
ππππ
≤≤+⎧=+=∈⎨
-+≤≤+⎩， 作出函数2sin sin y x x =+的图象，如图所示， 可得函数()f x 是以2π为周期的周期函数，
由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 在3(,
)2
π
π上单调递增， 又由()f x 是以2π为周期的周期函数，可得函数()f x 在5(3,)2
π
π--上单调递增， 所以B 是正确的；
由由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 的值域为[2cos 2,32cos 2]+， 所以C 不正确； 又由
222
3π
π<<
，所以1
cos 202
-<<，则02cos21<-<， 令()0f x =，可得2sin sin 2cos2x x +=-，
由图象可知，函数()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π，所以D 正确. 故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题.
3．（多选题）如图，设ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，、、A B C 成等差数列，D 是ABC 外一点，1,3DC DA ==，下列说
法中，正确的是（ ）
A ．3
B π
=
B ．AB
C 是等边三角形
C ．若A B C
D 、、、四点共圆，则13AC =D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】ABC 【分析】
根据等差数列的性质和三角形内角和可得3
B π
=
，根据等比中项和余弦定理可得a c =，
即ABC 是等边三角形，若A B C D 、、、四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得
23
D π
=
，再利用余弦定理可求13AC =211sin sin 223
ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+和2
222cos AC AD CD AD CD D 可得
3335353
sin cos 3sin()22232
S D D D π=
-+=-+
，从而求出最大面积. 【详解】
由、、A B C 成等差数列可得，2A+C =B ，又A B C π++=， 则3
B π
=
，故A 正确；
由a b c 、、成等比数列可得，2b ac =，根据余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，
两式相减整理得，2
()0a c -=，即a c =，又3
B π
=
，
所以，ABC 是等边三角形，故B 正确；
若A B C D 、、、四点共圆，则B D π+=，所以，23
D π=
， ADC 中，根据余弦定理，2
222cos AC AD CD AD CD D ，
解得13AC =C 正确； 四边形ABCD 面积为：
211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=
⋅+233sin 2D AC = 又2222cos 106cos AC AD CD AD CD D D =+-⋅=-，
所以，3sin 3sin()23S D D D π=
=-+
因为(0,)D π∈，当四边形面积最大时，sin()13
D π
-=，
此时max 3S =，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】
本题考查解三角形和平面几何的一些性质，同时考查了等差等比数列的基本知识，综合性强，尤其是求面积的最大值需要一定的运算，属难题.
4．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2
ϕπ
<
），08f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，3()8f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ）
A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数
B ．3(0)4
f f π
⎛⎫=
⎪⎝⎭
C ．ω是奇数
D ．ω的最大值为3
【答案】BCD 【分析】 根据3()8f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】
08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221
T k π
=
+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫
=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，
k Z ∈，
当,1224x ππ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫
+∈++ ⎪⎝⎭
，k Z ∈，
()f x 在区间,1224ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，
024
3
ωπ
π
<
≤
，故
6
2
ωπ
π
≤
，故3ω≤，
综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；
1ω=或3ω=，故8
k ϕπ
π=
+或38
k ϕπ
π=
+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；
当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+
⎪⎝⎭
，33sin sin 4488f k k π
πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
； 当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫
==+
⎪⎝⎭
， 393sin sin 4488f k k π
πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 综上所述：3(0)4
f f π
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，B 正确； 故选：BCD. 【点睛】
本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
5．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于任意()()()a b c D f a f b f c ∈，，，，，分别为某个三角形的边长，则称()f x 为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（ ） A ．()4sin f x x =- B ．()2
2sin 10cos 13f x x x =-++
C ．()tan 2
x f x = D ．()sin 20,34f x x x ππ⎛⎫
⎡⎤
=+
+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
【答案】AD 【分析】
结合三角形的性质有:两边之差小于第三边，得若()f x 为 “三角形函数”则
()()()max min min f x f x f x <-恒成立，即()()max min 2f x f x <恒成立即可，根据条件求
出函数的最大值和最小值，进行判断即可. 【详解】
解:①()4sin f x x =-，则()max 415f x =+=，()min 413f x =-= 则()()max min 2f x f x <恒成立,则A 满足条件
②()2
2
532cos 10cos 112cos 22f x x x x ⎛⎫=++=+= ⎪⎝
⎭
当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，0cos 1x ≤≤∴当cos 0x =时，函数()f x 取得最小值()min 11f x =,当cos 1x =时，函数()f x 取得最大值，()max 23f x =
则()()max min 2f x f x <不恒成立，则B 不满足条件 ③()()()tan ,00,2
x
f x =∈-∞⋃+∞，则不满足条件()()max min 2f x f x <恒成立，故C 不是
④()sin 23f x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，52,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，则
()
max sin
12
f x π
=+=+()min 51
sin
62
f x π=+=+
则()min 21f x =+，则()()max min 2f x f x <恒成立，故D 满足条件 故选AD 【点睛】
本题考查了三角形的性质及“三角形函数”的概念，根据条件转化为()()max min 2f x f x <恒成立是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.
6．已知函数()1
cos cos 632
f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减
C ．51,62π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为
12
【答案】ABC 【分析】
利用三角恒等变换思想化简()11
sin 2232
f x x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】
cos cos sin 326
6x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，
()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.
对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22
T π
π==，A 选项正确； 对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，32232x πππ≤+≤， 此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，
51511
11sin 2sin 262632222f π
πππ⎛⎫⎛⎫=⨯
++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 所以，51,62π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的一个对称中心，C 选项正确； 对于D 选项，()max 11
1122
f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成
()sin y A ωx φ=+形式，
再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
7．已知函数)
()lg
1( 2.7)x x f x x e e e -=+-+≈⋯，若不等式
(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（ ）
A ．1
B
C ．3
D ．4
【答案】CD 【分析】
令)
()lg
x x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调
递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以
sin cos sin 2t θθθ>++，
令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可. 【详解】
令)
()lg
x x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，
()g x 的定义域为R ，
)
)
()()lg
lg
x x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=，
所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数， 不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于
[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，
即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，
当0x >时y x =
单调递增，可得)
lg
y x =单调递增，
x y e =单调递增，x y e -=单调递减，
所以)()lg
x x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，
又因为)
()lg x x g x x e e -=+-为奇函数，
所以)
()lg
x x g x x e e -=+-在R 上单调递增，
所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++， 令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，
令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-，
所以()2
1h m m m =+-，对称轴为12
m =-
，
所以m =()max 211h m ==，
所以1t >
可得实数t 的可能取值为3或4，
故选：CD 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()g x 奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f 转化为函数恒成立问题.
8．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2
C π
>
，则222sin sin sin C A B >+
C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形
D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ 【答案】ABC 【分析】
根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD. 【详解】
A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理
sin sin a b
A B
=，可知sin sin A B >，故A 正确； B.
2
C π
>，222
cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知
222sin sin sin C A B >+，故B 正确；
C.当02A π
<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭
，即
2
2
A B A B π
π
->⇒+<
，即2
C π
>
，则ABC 为钝角三角形，若2
A π
>
，
sin cos cos cos 2A B A B π⎛
⎫<⇔-< ⎪⎝
⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当
2
A π
=
是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，
故C 正确；
D.A B A B ππ+<⇒<-，
0,0A B πππ<<<-<，
()cos cos cos A B B π∴>-=-，
即cos cos 0A B +>，故D 不正确. 故选：ABC 【点睛】
关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.
二、数列多选题
9．已知数列{} n a 满足11a =，1
21++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()211
21n n
S n a -=-⋅ B ．212
n n S S =
C ．2311222
n n n S S ≥
-+ D ．212
n n S S ≥+
【答案】CD 【分析】
根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：
22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.
【详解】
因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ，
两式相减得：22n n a a +-=，
所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列；
偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列；
所以数列{}
n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =+
+=，而 ()1322122⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122S =+
=，而 11122S =，故错误； C. 当1n =时， 213122
S =+=，而 31132222-+=，成立，当2n ≥时，211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以11212
n n >-，所以111111311...1 (352148222)
n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n
-=+++++++，令()1111...1232f n n n n n
=+++++++，因为()111111()021*******
f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()112
f n f ≥=，故正确； 故选：CD
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（ ）
A ．若2
1,n S n =-则{}n a 是等差数列 B ．若21,n
n S =-则{}n a 是等比数列 C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =
D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则221212n n n S S S -+⋅>
【答案】BC
【分析】
由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与2
2S 大小即可判断D.
【详解】
对于A 选项，若21n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A
错误；
对于B 选项，若21n
n S =-，则1112,21,1n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确； 对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()199995099992a a S a +=
=，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，()()22222
2132111110S S S a q q a q a q ⋅-=++-+=-<，故当
1n =时不等式不等式，故221212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.
故选：BC
【点睛】
本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，
13S S ⋅与22S 大小情况.此外还需注意一下公式：11,2,1
n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数列，则()2121n n S n a -=-.。