5.3_留数在定积分计算中的应用
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iax iaz CR k 1
K
故，我们得到
R iax R CR
0
iaz
Jordan引理3.1见下页
K
R ( x )e dx R ( z )e dz 2i Re s[ R ( z )e iaz , z k ]
k 1
从上面可以看出 本方法可以计算下列形式的积分： ,
R
R
R( x ) cos axdx R( x ) sin axdx ，
于是 1 p2 1 p4 I 2i 2 2ip 2ip 2 (1 p 2 )
6
(2) 形如 R( x)dx的积分
(有理函数积分)
（1） 被积函数与某一个解析函数相关联.
用z替换 x
要求！！
z n a1 z n 1 a n (1) 设R ( x ) R ( z ) m , m n 2. m 1 z b1 z bm 且 R ( z )在实轴上没有奇点.
用z替换 x
且 R ( z )在实轴上没有奇点.
（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分.
取积分路线如图，则构成了一个 闭路C C R [ R, R ], 使得R ( z )e
iaz
(2)
z2 zK
CR
z1
-R
R
在上半平面内所有的奇点都含于C内.
于是，有
R
R
R( x )e dx R ( z )e dz 2i Re s[ R ( z )e iaz , z k ]
函数R( z )在上半平面内的所有奇点为z ai, 且都为一级极点.
ze iz ea Re s[ R( z )e , ai] lim ( z ai) z ai ( z ai)( z ai) 2 于是，有
iz
于是
R( x )e ix dx 2i Re s[ R( z )e iz , ai]. 其中f ( z ) R ( z )e iz
z Im z 0
CR
R
z
则对任何a 0, 有
R CR
lim
g ( z )e iaz dz 0.
CR
z
R
13
sinc函数介绍
sinc 函数定义为
sin x sinc( x ) x 严格讲函数在x 0处是无定义的, 但是因为 sin x lim 1 x 0 x 所以定义 sinc( 0) 1, 用不严格的形式就写作
故当 | z | 充分大时, 有 1 | a1 z 1 a n z n | 1 | R ( z ) | , m n 2. m n 1 m |z| 1 | b1 z bm z |
1 1 1 / 10 2 . m n 2 |z| 1 1 / 10 | z |
R( z )eiz dz
CR
Cr
（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分.
-R -r
注意 : 函数R( z )在实轴上有一个孤立奇点z 0, 于是 由Cauchy积分定理, 有
变换
ix R e e ix e iz e iz R x dx Cr z dz r x dx CR z dz 0 r
k 1 n
要求： 1. 圆周无奇点. 2. 圆内只有有限个 孤立奇点.
4
cos 2 d (0 p 1)的值 0 1 2 p cos p 2 解： 令z e i ,0 2 , 则dz iei d d 1 dz iz 1 1 1 1 cos ( e i e i ) ( z z 1 ), cos 2 ( e i 2 e i 2 ) ( z 2 z 2 ). 2 2 2 2
8
因此， R 0时, 有 当 | R ( z )dz |
CR
CR
| R ( z ) | ds
CR
2 2 2 ds 2 R 0. 2 |z| R R
K
于是，有 R( x )dx lim R( x )dx R( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z k ] CR R R k 1
| 1 a1 z 1 a n z n | 1 因为 | R ( z ) | , m n 2. m n 1 m |z| | 1 b1 z bm z | 注意：当 | z | 充分大时, 总可使
| a1 z 1 an z n |, | b1 z 1 bm z m | 1 / 10.
2
aR sin
2 R 2 e aR sin d
0
令 , d d
16
2 R 2 e aR sin d
0
注意: 当0
2 R e
2 0
2 aR
d
时 2 sin sin 是单调递减, 且
R
z2 zK
CR
z1
-R
R
9
例2
x2 计算 dx ( a 0, b 0)的值 ( x 2 a 2 )( x 2 b 2 )
z2 令 解： R( z ) 2 2 2 2 , 易见, 函数满足上述条件. ( z a )( z b )
函数R( z )在上半平面内的所有奇点为z ai, bi, 且都为一级极点. 于是
3
(1) 形如 R(cos , sin )d的积分
0
2
(三角有理函数积分)
（1） 被积函数与某一个解析函数相关联.
令z e i ,0 2 , 则dz iei d d 1 dz iz 1 i z2 1 1 i z2 1 i i sin ( e e ) , cos ( e e ) . 2i 2 zi 2 2z
例1
计算
2
因此 I 1 2 1 1 ( z z 2 ) dz |z|1 2 1 1 2 p ( z z 1 ) p 2 iz 2 1 z4 dz f ( z )dz |z|1 2iz 2 (1 pz)( z p ) |z|1
被积函数有三个奇点z 0, p,1 / p, 且只有z 0, p在 | z | 1内, 其中 z 0为二级极点, z p为一级极点.而
§5.3 留数在定积分计算中的 应用
1
0. 一般性陈述
在高等数学以及实际问题中，常常需要计算一些定积分或 广义积分，而这些积分中被积函数的原函数，往往不能用 初等函数表示出来；有的即使可以求出原函数，但计算也 往往比较复杂。 利用留数定理，要计算某些类型的定积分或广义积分，只 须计算某些解析函数在孤立奇点的留数！！！ 关键：如何把计算积分的问题转化成计算留数的问题。 （1） 被积函数与某一个解析函数相关联, （2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分。
（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分.
当 : 0 2时，z恰好沿 | z | 1正向绕行一周 .
于是，有
2
0
z2 1 z2 1 1 R(cos , sin )d R 2 z , 2 zi iz dz |z|1 2i Re s[ f ( z ), z k ]
1
0
a a
[1 e .
aR
]
sin
sin
2 , 即 sin 2 .
2
从而有
R CR
Jordan不等式
lim
g ( z )e iaz dz 0.
17
例3
计算
0
x sin x dx (a 0)的值 2 2 x a
z 解：令R( z ) 2 2 , 易见, 函数满足上述条件. z a
z2 a2 Re s[ R( z ), ai] lim ( z ai) 2 2 z ai ( z ai)( z ai)( z b ) 2ai( a 2 b 2 ) z2 b Re s[ R( z ), bi] lim ( z bi) 2 . 2 2 2 z ai ( z a )( z bi)( z bi) 2i (b a )
iaz
2
1
g (Re )e
i
ia Rei
Riei d
2 1
R | g (Re ) ||e
i
2
iaR (cos i sin )
1
R e
0
aR sin
d R e
2 0
| d R e aR sin d
d R e aR sin d
z e iz . z2 a2
18
2. 综合举例
sin x dx 的值 例4 0 x sin x sin x 1 sin x 解：因为 是偶函数，所以, dx dx 0 x x 2 x 计算
挖洞!
（1） 被积函数与某一个解析函数相关联.
1 令R( z ) , 则我们考虑如下积复积分 : z
sin x 1, 则函数在整个实轴连续 x x0
14
sinc(x)
x
15
Jordan引理3.1的证明：
z Im z 0
lim g ( z ) 0 对任给的 0, 存在R1 0, 使得
当R R1时, 有 | g ( z ) | . 于是
CR
g ( z )e dz
2
1. 几种特殊类型的积分
利用留数定理计算定积分或广义积分没有普遍适用的方法， 我们只考虑几种特殊类型的积分：
(1) 形如 R(cos , sin )d的积分
0 2
(三角有理函数积分) (有理函数积分) (有理函数乘以三角函数的积分)
( 2) 形如 R( x )dx的积分
(3) 形如 R(x )e iax dx ( a 0)的积分
于是，有
R ( x )dx 2i Re s[ f ( z ), z k ]
k 1
2
10
(3) 形如 R( x)eiax dx (a 0)的积分
(有理函数乘以指数函数的积分)
（1） 被积函数与某一个解析函数相关联.
z n a1 z n 1 a n (1) 设R ( x ) R ( z ) m , m n 1. m 1 z b1 z bm
5
d 2 1 z4 1 p2 Re s[ f ( z ),0] lim z 2iz 2 (1 pz)( z p ) 2ip 2 . z 0 dz
1 z4 1 p4 Re s[ f ( z ), p ] lim ( z p ) 2 . 2 2 z 0 2iz (1 pz)( z p ) 2ip (1 p )
r R
令x : x
R
r
ix R e e ix e iz e iz dx dz dx dz 0 Cr z r x CR z x
R
R
12
Jordan引理3.1
设函数g ( z )在闭区域（类似于扇形区域） 1 arg z 2 , : R0 | z | (0 R0 , 0 1 2 )上连续, 且圆弧C R： | z | R ( R0 ).如果当z在闭区域内时, 有 lim g ( z ) 0,
（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分.
取积分路线如图，则构成了一个 闭路C C R [ R, R ], 使得R ( z )在 上半平面内所有的奇点都含于C 内.
-R (2)
~~~~~~~~
z2 zK
CR
z1
R
7
于是，有
0
K CR k 1
R
R
R ( x )dx R ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z k ]
K
故，我们得到
R iax R CR
0
iaz
Jordan引理3.1见下页
K
R ( x )e dx R ( z )e dz 2i Re s[ R ( z )e iaz , z k ]
k 1
从上面可以看出 本方法可以计算下列形式的积分： ,
R
R
R( x ) cos axdx R( x ) sin axdx ，
于是 1 p2 1 p4 I 2i 2 2ip 2ip 2 (1 p 2 )
6
(2) 形如 R( x)dx的积分
(有理函数积分)
（1） 被积函数与某一个解析函数相关联.
用z替换 x
要求！！
z n a1 z n 1 a n (1) 设R ( x ) R ( z ) m , m n 2. m 1 z b1 z bm 且 R ( z )在实轴上没有奇点.
用z替换 x
且 R ( z )在实轴上没有奇点.
（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分.
取积分路线如图，则构成了一个 闭路C C R [ R, R ], 使得R ( z )e
iaz
(2)
z2 zK
CR
z1
-R
R
在上半平面内所有的奇点都含于C内.
于是，有
R
R
R( x )e dx R ( z )e dz 2i Re s[ R ( z )e iaz , z k ]
函数R( z )在上半平面内的所有奇点为z ai, 且都为一级极点.
ze iz ea Re s[ R( z )e , ai] lim ( z ai) z ai ( z ai)( z ai) 2 于是，有
iz
于是
R( x )e ix dx 2i Re s[ R( z )e iz , ai]. 其中f ( z ) R ( z )e iz
z Im z 0
CR
R
z
则对任何a 0, 有
R CR
lim
g ( z )e iaz dz 0.
CR
z
R
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sinc函数介绍
sinc 函数定义为
sin x sinc( x ) x 严格讲函数在x 0处是无定义的, 但是因为 sin x lim 1 x 0 x 所以定义 sinc( 0) 1, 用不严格的形式就写作
故当 | z | 充分大时, 有 1 | a1 z 1 a n z n | 1 | R ( z ) | , m n 2. m n 1 m |z| 1 | b1 z bm z |
1 1 1 / 10 2 . m n 2 |z| 1 1 / 10 | z |
R( z )eiz dz
CR
Cr
（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分.
-R -r
注意 : 函数R( z )在实轴上有一个孤立奇点z 0, 于是 由Cauchy积分定理, 有
变换
ix R e e ix e iz e iz R x dx Cr z dz r x dx CR z dz 0 r
k 1 n
要求： 1. 圆周无奇点. 2. 圆内只有有限个 孤立奇点.
4
cos 2 d (0 p 1)的值 0 1 2 p cos p 2 解： 令z e i ,0 2 , 则dz iei d d 1 dz iz 1 1 1 1 cos ( e i e i ) ( z z 1 ), cos 2 ( e i 2 e i 2 ) ( z 2 z 2 ). 2 2 2 2
8
因此， R 0时, 有 当 | R ( z )dz |
CR
CR
| R ( z ) | ds
CR
2 2 2 ds 2 R 0. 2 |z| R R
K
于是，有 R( x )dx lim R( x )dx R( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z k ] CR R R k 1
| 1 a1 z 1 a n z n | 1 因为 | R ( z ) | , m n 2. m n 1 m |z| | 1 b1 z bm z | 注意：当 | z | 充分大时, 总可使
| a1 z 1 an z n |, | b1 z 1 bm z m | 1 / 10.
2
aR sin
2 R 2 e aR sin d
0
令 , d d
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2 R 2 e aR sin d
0
注意: 当0
2 R e
2 0
2 aR
d
时 2 sin sin 是单调递减, 且
R
z2 zK
CR
z1
-R
R
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例2
x2 计算 dx ( a 0, b 0)的值 ( x 2 a 2 )( x 2 b 2 )
z2 令 解： R( z ) 2 2 2 2 , 易见, 函数满足上述条件. ( z a )( z b )
函数R( z )在上半平面内的所有奇点为z ai, bi, 且都为一级极点. 于是
3
(1) 形如 R(cos , sin )d的积分
0
2
(三角有理函数积分)
（1） 被积函数与某一个解析函数相关联.
令z e i ,0 2 , 则dz iei d d 1 dz iz 1 i z2 1 1 i z2 1 i i sin ( e e ) , cos ( e e ) . 2i 2 zi 2 2z
例1
计算
2
因此 I 1 2 1 1 ( z z 2 ) dz |z|1 2 1 1 2 p ( z z 1 ) p 2 iz 2 1 z4 dz f ( z )dz |z|1 2iz 2 (1 pz)( z p ) |z|1
被积函数有三个奇点z 0, p,1 / p, 且只有z 0, p在 | z | 1内, 其中 z 0为二级极点, z p为一级极点.而
§5.3 留数在定积分计算中的 应用
1
0. 一般性陈述
在高等数学以及实际问题中，常常需要计算一些定积分或 广义积分，而这些积分中被积函数的原函数，往往不能用 初等函数表示出来；有的即使可以求出原函数，但计算也 往往比较复杂。 利用留数定理，要计算某些类型的定积分或广义积分，只 须计算某些解析函数在孤立奇点的留数！！！ 关键：如何把计算积分的问题转化成计算留数的问题。 （1） 被积函数与某一个解析函数相关联, （2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分。
（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分.
当 : 0 2时，z恰好沿 | z | 1正向绕行一周 .
于是，有
2
0
z2 1 z2 1 1 R(cos , sin )d R 2 z , 2 zi iz dz |z|1 2i Re s[ f ( z ), z k ]
1
0
a a
[1 e .
aR
]
sin
sin
2 , 即 sin 2 .
2
从而有
R CR
Jordan不等式
lim
g ( z )e iaz dz 0.
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例3
计算
0
x sin x dx (a 0)的值 2 2 x a
z 解：令R( z ) 2 2 , 易见, 函数满足上述条件. z a
z2 a2 Re s[ R( z ), ai] lim ( z ai) 2 2 z ai ( z ai)( z ai)( z b ) 2ai( a 2 b 2 ) z2 b Re s[ R( z ), bi] lim ( z bi) 2 . 2 2 2 z ai ( z a )( z bi)( z bi) 2i (b a )
iaz
2
1
g (Re )e
i
ia Rei
Riei d
2 1
R | g (Re ) ||e
i
2
iaR (cos i sin )
1
R e
0
aR sin
d R e
2 0
| d R e aR sin d
d R e aR sin d
z e iz . z2 a2
18
2. 综合举例
sin x dx 的值 例4 0 x sin x sin x 1 sin x 解：因为 是偶函数，所以, dx dx 0 x x 2 x 计算
挖洞!
（1） 被积函数与某一个解析函数相关联.
1 令R( z ) , 则我们考虑如下积复积分 : z
sin x 1, 则函数在整个实轴连续 x x0
14
sinc(x)
x
15
Jordan引理3.1的证明：
z Im z 0
lim g ( z ) 0 对任给的 0, 存在R1 0, 使得
当R R1时, 有 | g ( z ) | . 于是
CR
g ( z )e dz
2
1. 几种特殊类型的积分
利用留数定理计算定积分或广义积分没有普遍适用的方法， 我们只考虑几种特殊类型的积分：
(1) 形如 R(cos , sin )d的积分
0 2
(三角有理函数积分) (有理函数积分) (有理函数乘以三角函数的积分)
( 2) 形如 R( x )dx的积分
(3) 形如 R(x )e iax dx ( a 0)的积分
于是，有
R ( x )dx 2i Re s[ f ( z ), z k ]
k 1
2
10
(3) 形如 R( x)eiax dx (a 0)的积分
(有理函数乘以指数函数的积分)
（1） 被积函数与某一个解析函数相关联.
z n a1 z n 1 a n (1) 设R ( x ) R ( z ) m , m n 1. m 1 z b1 z bm
5
d 2 1 z4 1 p2 Re s[ f ( z ),0] lim z 2iz 2 (1 pz)( z p ) 2ip 2 . z 0 dz
1 z4 1 p4 Re s[ f ( z ), p ] lim ( z p ) 2 . 2 2 z 0 2iz (1 pz)( z p ) 2ip (1 p )
r R
令x : x
R
r
ix R e e ix e iz e iz dx dz dx dz 0 Cr z r x CR z x
R
R
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Jordan引理3.1
设函数g ( z )在闭区域（类似于扇形区域） 1 arg z 2 , : R0 | z | (0 R0 , 0 1 2 )上连续, 且圆弧C R： | z | R ( R0 ).如果当z在闭区域内时, 有 lim g ( z ) 0,
（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分.
取积分路线如图，则构成了一个 闭路C C R [ R, R ], 使得R ( z )在 上半平面内所有的奇点都含于C 内.
-R (2)
~~~~~~~~
z2 zK
CR
z1
R
7
于是，有
0
K CR k 1
R
R
R ( x )dx R ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z k ]