高中数学-排列组合100题(附解答)

高中数学-排列组合100题(附解答)
高中数学_排列组合100题
一、填充题
1. (1)设{}3,8A =﹐{}8,36B x =+﹐若A B =﹐则x =____________﹒
(2)设{}
2|320A x x x =-+=﹐{}1,B a =﹐若A B =﹐则a =____________﹒ 2. (1)822x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中10x 项的系数为____________﹒ (2)52123x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中3x 项的系数为____________﹒ (3)53212x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中常数项为____________﹒ 3. (1)()82x y z +-展开式中332x y z 项的系数为____________﹒
(2)()532x y z -+展开式中﹐2.3x y 项的系数为____________﹒
4. 四对夫妇围一圆桌而坐﹐夫妇相对而坐的方法有___________种﹒
5. {}{}1,21,2,3,4,5,A ⊂⊂且A 有4个元素﹐则这种集合A 有____________个﹒
6. 从2000到3000的所有自然数中﹐为3的倍数或5的倍数者共有____________个﹒
7. 从1至10的十个正整数中任取3个相异数﹐其中均不相邻的整数取法有____________种﹒
8. 某女生有上衣5件﹑裙子4件﹑外套2件﹐请问她外出时共有__
·····__________种上衣﹑裙子﹑外套的搭配法﹒（注意：外套可穿也可不穿﹒）
9. 已知数列n a 定义为11
32n n a a a n +=⎧⎨=+⎩﹐n 为正整数﹐求100a =____________﹒ 10. 设A ﹑B ﹑T 均为集合﹐{},,,A a b c d =﹐{},,,,=B c d e f g ﹐则满足T A ⊂或T B ⊂的集合T 共有
____________个﹒
11. 李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇围坐一圆桌聊天﹐试求下列各情形之排列数：
(1)男女间隔而坐且夫妇相邻____________﹒
(2)每对夫妇相对而坐____________﹒
12. 体育课后﹐阿珍将4个相同排球﹐5个相同篮球装入三个不同的箱子﹐每箱至少有1颗球﹐则方法有
13. 如图﹐由A 沿棱到G 取快捷方式（最短路径）﹐则有____________种不同走法﹒
14. 0﹑1﹑1﹑2﹑2﹑2﹑2七个数字全取排成七位数﹐有____________种方法﹒
15. 10
132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
展开式中﹐各实数项和为____________﹒
16. 有一数列n a 满足11a =且1213n n a a +=+﹐n 为正整数﹐求()13n n a ∞=-=∑____________﹒ 17. 设{}2,4,1A a =+﹐{}
24,2,23B a a a =----﹐已知A B ⋂{}2,5=﹐则()()A B A B ⋃-⋂=____________﹒ 18. 把1～4四个自然数排成一行﹐若要求除最左边的位置外﹐每个位置的数字比其左边的所有数字都大或都小﹐
则共有____________种排法﹒（例如：2314及3421均为符合要求的排列）
19. 从1到1000的自然数中﹐
(1)是5的倍数或7的倍数者共有____________个﹒
(2)不是5的倍数也不是7的倍数者共有____________个﹒
(3)是5的倍数但不是7的倍数者共有____________个﹒
20. 如图﹐从A 走到B 走快捷方式﹐可以有____________种走法﹒
21. 1到1000的正整数中﹐不能被2﹑3﹑4﹑5﹑6之一整除者有____________个﹒
22. 将100元钞票换成50元﹑10元﹑5元﹑1元的硬币﹐则
(1)50元硬币至少要1个的换法有____________种﹒
(2)不含1元硬币的换法有____________种﹒
23. 求()2
1x -除1001x +的余式为____________﹒
24. 在()8x y z ++的展开式中﹐同类项系数合并整理后﹐(1)共有____________个不同类项﹒(2)其中323x y z 的系数
25. 小明与小美玩猜数字游戏﹐小明写一个五位数﹐由小美来猜；小美第一次猜75168﹐小明说五个数字都对﹐但
只有万位数字对﹐其他数字所在的位数全不对﹐则小美最多再猜____________次才能猜对﹒
26. 若{}
|,,110000S x x x x =≤≤為正整數為正整數﹐{}|12,,110000T x x k k x ==≤≤為正整數﹐则()n S T -=____________﹒
27. 小于10000之自然数中﹐6的倍数所成集合为A ﹐9的倍数所成集合为B ﹐12的倍数所成集合为C ﹐则
(1)()n A B ⋂=____________﹒ (2)()n A B C ⋂⋂=____________﹒ (3)()n A B C ⎡⋂⋃⎤=⎣⎦____________﹒
(4)()n A B C ⎡⋂⋃⎤=⎣⎦____________﹒
28. 1到300的自然数中﹐是2或3的倍数但非5的倍数有____________个﹒
29. ()10222x x -+除以()3
1x -所得的余式为____________﹒ 30.
如圖﹐以五色塗入各區﹐每區一色且相鄰區不得同色﹐則有
____________種不同的塗法﹒（圖固定不得旋轉）
31. 如图﹐则
(1)由A 取捷徑到
B 的走法有____________種﹒ (2)由A 走到
B ﹐走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←﹐且不可重複走﹐則走法有____________種﹒
32. 求()()2
3311x x ++++……()2031x ++展开式中12x 项系数为____________﹒ 33. ()
1001k k x =-∑展开式中5x 的系数为____________﹒
34. 展开()20
0.990.abcd =……﹐则a b c ++=____________﹒
35. 建中高二教室楼梯一层有11个阶梯﹐学生上楼时若限定每步只可跨一阶或二阶﹐则上楼的走法有
____________种﹒
36. 利用二项式定理求12323n n
n n n C C C nC +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+和为____________﹒ 37. 四对夫妇Aa ﹑Bb ﹑Cc ﹑Dd 围一圆桌而坐﹐若Aa 要相对且Bb 要相邻的坐法有____________种﹒
49. 将pallmall 的字母全取排成一列﹐相同字母不相邻的排法有____________种﹒
50. 二个中国人﹑二个日本人﹑二个美国人排成一列﹐同国籍不相邻有____________种排法﹒
二、计算题
1. 设数列n a 满足14a =且132k n a a +=+
﹐n 为自然数﹐试求(1)2a ﹐3a ﹐4a ﹐5a ﹒(2)推测n a 之值（以n 表示）﹒(3)40
1k k a =∑﹒
2. 某校从8名教师中选派4名教师分别去4个城市研习﹐每地一人﹒其中甲和乙不能同时被选派﹐甲和丙只能同
时被选派或同时不被选派﹐问共有几种选派方法？
3. 试求()6
32x y -的展开式﹒
4. 试求()421x -的展开式﹒
5. 从SENSE 的5个字母中任取3个排成一列﹐问有几个排法？
6. 下列各图形﹐自A 到A 的一笔划﹐方法各有多少种﹖ (1) (2) (3)
7. 如图﹐至少包含A 或B 两点之一的矩形共有几个？
8. 设()n x y +展开式中依x 降序排列的第6项为112﹐第7项为7﹐第8项为14
﹐试求x ﹑y 及n 之值﹒（但x ﹑y 都是正数）
9. 红﹑白﹑绿﹑黑四色大小相同的球各4颗共16颗球﹐任取四颗﹐则
(1)四球恰为红﹑白二色的情形有几种？
(2)四球恰具两种颜色的情形有几种？
10. 一楼梯共10级﹐某人上楼每步可走一级或两级﹐要8步走完这10级楼梯﹐共有多少种走法？
11. 设{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U =为一基集（宇集）﹐则{}1,2,4,5,8A =﹐{}1,2,5,7,9B =﹐求(1)A B ⋃
(2)A B ⋂ (3)A B - (4)B A - (5)'A (6)'B (7)()'⋃A B (8)''⋂A B (9)()'A B ⋂ (10)''A B ⋃﹒
12. 若()19
22381211x x a x a x x -+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+﹐求1a 和2a 的值﹒
13. 某一场舞会将4位男生与4位女生配成4对﹐每一对皆含一位男生与一位女生﹐试问总共有几种配对法﹖
(1)43C ﹒ (2)4
4P ﹒ (3)44﹒ (4)44H ﹒ (5)4﹒
→一笔划的方法数有几种﹖
14. 如图﹐A A
(1)(2)
15. 如图﹐由A至B走快捷方式﹐不能穿越斜线区﹐有多少种走法﹖
0.998之近似值﹒（至小数点后第6位）
16. 求()7
17. 设()1012220211x x ax bx cx +-=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+﹐求a ﹑b ﹑c 之值﹒
18. (1)试证明下列等式成立:()1012121.12311
n n n n n n C C C C n n ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-++ (2)设n 为自然数﹐且满足120
31,2311n n n n
n C C C C n n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++则n 之值为何？
19. 王老师改段考考卷﹐她希望成绩是0﹑4﹑5﹑6﹑7﹑8﹑9所组成的2位数﹐则
(1)不小于60分的数有几个﹖
(2)有几个3的倍数﹖
(3)改完考卷后发现由小到大排列的第12个数正是全班的平均成绩﹐请问班上的平均成绩是几分﹖
﹐国文也要连两堂上课﹐但同科目的课程不跨上﹑下午（即第四五节课不算连堂）﹐若第四﹑五堂课也不排体育﹐则该日之课程有几种可能的排法﹖
21. ()10122320211,x x ax bx cx x +-=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+求a ﹑b ﹑c ﹒
22. 已知{}{}{}0,,1,2,1,1,2=∅A ﹐下列何者为真﹖
(A)∅∈A (B)∅⊂A (C)0A ∈ (D)0A ⊂ (E){}1,2A ∈ (F){}1,2A ⊂ (G){}∅⊂A ﹒
23.
設有A ﹑B ﹑
C ﹑
D ﹑
E 五個市鎮﹐其通道如圖所示﹐今某人自A 地到
E 地﹐同一市鎮不得經過兩次或兩次以
24. 设数列n a 的首项15a =且满足递归关系式()123n n a a n +=+-﹐n 为正整数﹐试求(1)2a ﹐3a ﹐4a ﹐5a ﹒(2)一
般项n a （以n 表示）﹒(3)20a ﹒
25. 方程式10x y z ++=有多少组非负整数解？
26. 用0﹑1﹑2﹑3﹑4﹑5作成大于230的三位数奇数﹐数字可重复使用
(1)可作成多少个﹖ (2)其总和若干﹖
27. 求5
67819
2023451617C C C C C C ++++++的值﹒
28. 妈妈桌球俱乐部拟购买8把桌球拍以供忘记携带球拍的会员使用﹐若球拍分为刀板﹐直拍与大陆拍3类﹐试问
俱乐部有多少种不同的购买方式？
29. 设直线方程式0ax by +=中的,a b 是取自集合{}3,2,1,0,2,4,6---中两个不同的元素﹐且该直线的斜率为正
值﹐试问共可表出几条相异的直线﹖
30. 下列各图﹐由A 到B 的一笔划﹐方法各有多少种﹖ (1) (2)
31. 以五种不同的颜色﹐涂入下列各图（图形不能转动）﹐同色不相邻﹐颜色可重复使用﹐则涂法各有多少种﹖ (1) (2)
32. 平面上有n 个圆﹐其中任三个圆均不共点﹐此n 个圆最多可将平面分割成n a 个区域﹐则(1)求1a ﹐2a ﹐3a ﹐4
a ﹒(2)写出n a 的递归关系式﹒(3)求第n 项n a （以n 表示）﹒
33. 于下列各图中﹐以五色涂入各区﹐每区一色但相邻不得同色﹐则各有几种不同的涂法﹖（各图固定﹐不得旋
转） (1) (2) (3)
34. 车商将3辆不同的休旅车及3辆不同的跑车排成一列展示﹒求下列各种排列方法：
(1)休旅车及跑车相间排列﹒(2)休旅车及跑车各自排在一起﹒
35. 从6本不同的英文书与5本不同的中文书中﹐选取2本英文书与3本中文书排在书架上﹐共有几种排法？
36. 将9本不同的书依下列情形分配﹐方法各有几种？
(1)分给甲﹐乙﹐丙3人﹐每人各得3本﹒
(2)分装入3个相同的袋子﹐每袋装3本﹒
(3)分装入3个相同的袋子﹐其中一袋装5本﹐另两袋各装2本﹒
37. 学校举办象棋及围棋比赛﹐已知某班级有42位同学参赛﹐其中有34位同学参加围棋比赛﹐而两种棋赛都参加
的同学有15人﹒试问此班有多少位同学参加象棋比赛？
38. 求()321x x ++的展开式中2x 的系数﹒
39. 求()322x x -+的展开式中4x 的系数﹒
41. 自甲地到乙地有电车路线1条﹐公交车路线3条﹐自乙地到丙地有电车路线2条﹐公交车路线2条﹒今小明自
甲地经乙地再到丙地﹐若甲地到乙地与乙地到丙地两次选择的路线中﹐电车与公交车路线各选一次﹐则有几种不同的路线安排？
42. 某班举行数学测验﹐测验题分A﹐B﹐C三题﹒结果答对A题者有15人﹐答对B题者有19人﹐答对C题者有
20人﹐其中A﹐B两题都答对者有10人﹐B﹐C两题都答对者有12人﹐C﹐A两题都答对者有8人﹐三题都答对者有3人﹒试问A﹐B﹐C三题中至少答对一题者有多少人？
43. 在1到600的正整数中﹐是4﹐5和6中某一个数的倍数者共有几个？
44.
用黑白兩種顏色的正方形地磚依照如右的規律拼圖形：
設n a 是第n 圖需用到的白色地磚塊數﹒
(1)寫下數列n a 的遞迴關係式﹒
(2)求一般項n a ﹒
(3)拼第95圖需用到幾塊白色地磚﹒
45. 欲将8位转学生分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹒
(1)若平均每班安排2人﹐共有几种分法？
(2)若甲乙两班各安排3人﹐丙丁两班各安排1人﹐共有几种分法？
46. 求满足12320003000n n n
n
n C C C C <++++<的正整数n ﹒
47. (1)方程式9x y z ++=有多少组非负整数解﹖
(2)方程式9x y z ++=有多少组正整数解﹖
48. 旅行社安排两天一夜的渡假行程﹐其中往返渡假地点的交通工具有飞机﹑火车及汽车3种选择﹐而住宿有套房
与小木屋2种选择﹒试问全部渡假行程﹐交通工具与住宿共有几种安排法﹖
49. 老师想从10位干部中选出3人分别担任班会主席﹑司仪及纪录﹒试问有几种选法﹖
50. 如果某人周末时﹐都从上网﹑打牌﹑游泳﹑慢跑与打篮球等5种活动选一种作休闲﹐那么这个月4个周末共有
答 案
一、填充题 (65格 每格0分 共0分)
1. (1)1-;(2)2
2. (1)112;(2)0;(3)40
3. (1)4480;(2)90-
4. 48
5. 3
6. 468
7. 56
8. 60
9. 9903 10. 44 11.
(1)48;(2)384 12. 228 13. 6 14. 90 15. 1
2- 16. 6 17. {}4,4- 18. 8 19. (1)314;(2)686;(3)172 20. 35 21.
266 22. (1)37;(2)18 23. 10098x - 24. (1)45;(2)560 25. 9 26. 84 27. (1)555;(2)277;(3)1111;(4)1111 28. 160 29. 2102011x x -+ 30. 780 31. (1)26;(2)120 32. 20349 33. 462- 34. 16 35. 144 36. 12n n -⋅ 37. 192 38. 21 39. (1)27;(2)81 40. 63 41. 8 42. 64 43. (1)56;(2)20 44. (1)369;(2)76 45. 129 46. 3756 47. 8640 48. 80 49. 54 50. 240
二、计算题 (75小题 每小题0分 共0分)
1. (1)2112a =
﹐37a =﹐4172a =﹐510a =;(2)35
22
n +;(3)1330 2. 600 3. 见解析 4. 见解析 5. 18 6.
(1)48;(2)48;(3)96 7. 150 8. 4x =﹐1
2
y =
﹐8n = 9. (1)3;(2)18 10. 28 11. 见解析 12. 1219,190a a =-= 13. (2) 14. (1)32;(2)64 15. 27 16. 0.986084 17. 101,4949,a b ==1c =- 18. (1)见解析;(2)4 19. (1)28;(2)14;(3)57 20. 52 21. 101,4949,a b ==156550c = 22. (A)(B)(C)(E)(F)(G) 23. 76 24. (1)24a =﹐35a =﹐48a =﹐513a =; (2)248n n -+;
(3)328 25. 66 26. (1)63;(2)25299 27. 5980 28. 45 29. 13 30. (1)72;(2)864 31. (1)420;(2)3660 32. (1)12a =﹐24a =﹐38a =﹐414a =;(2)12n n a a n +=+⨯;(3)22n n -+ 33. (1)260;(2)3380;(3)43940 34. (1)72;(2)72 35. 18000 36. (1)1680;(2)280;(3)378 37. 23 38. 6 39. 9 40. 20 41. 8 42. 27 43. 280 44.
(1)15,2n n a a n -=+≥;(2)53n +;(3)478 45. (1)2520;(2)1120 46. 11 47. (1)55;(2)28 48. 18 49. 720 50.
625
解 析
一、填充题 (65格 每格0分 共0分)
1. (1)3631x x +=⇒=-﹒
(2)()()2320120x x x x -+=⇒--=1,2x ⇒=﹐∴2a =﹒
2. (1)设第1r +项为10
x 项﹐则()
()8828
16222r
r
r r r r
r C
x C x
x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
163102r r ⇒-=⇒=﹐∴10x 项之系数为()2
822112C -=﹒ (2)设第1r +项为3
x 项﹐则()
55
255102112233r r
r
r r r
r
r C
x C x
x x ----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
7
10333
r r ⇒-=⇒=
（不合）﹐∴3x 项之系数为0﹒ (3)设第1r +项为常数项﹐则()
5535515322122r
r
r r r
r
r C
x C x
x x ----⎛⎫= ⎪⎝⎭
15503r r ⇒-=⇒=﹐∴常数项为52
3240C =﹒
3. (1)()()()()332
2
38!22144803!3!2!
x y z -⇒⨯⨯-=﹒ (2)
()()()()2303
223235!321031902!3!
x y z x y x y -=⨯-=-﹐∴系数为90-﹒ 4. 所求为1161412148⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒ [另解]
3
4!2484
⨯=﹒ 5. {}1,2,3,4﹐{}1,2,3,5﹐{}1,2,4,5﹐共3个﹒ 6. 2000~3000中3的倍数有3000200033433⎡⎤⎡⎤
-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐ 2000~3000中5的倍数有30002000120155⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐ 2000~3000中15的倍数有30002000671515⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
个﹐ ∴所求为33420167468+-=﹒ 7. 8
3563!
P =﹒
8. ()542160⨯⨯+=﹒ 9. ∵12n n a a n +=+﹐ ∴2121a a =+⨯ 3222a a =+⨯
()1)21n n a a n -+=+⨯-
()()2112121323
2
n n n a a n n n -⋅=+⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤=+⨯
=-+⎣⎦﹐
∴210010010039903a =-+=﹒ 10. ∵T A T B ⊂⋃⊂﹐
∴T 的个数为4522221632444+-=+-=﹒
11. (1)
5!
2485
⨯=﹒ (2)A a B b C c D d E e 1181614121384⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒ [另解]
55!1
238452
⨯⨯=﹒ 12. 全部－（恰有一空箱）－（恰有二空箱）
()()33322311
4514524511H H C H H C H H ⨯-⨯---⨯
()67564545323228C C C C =⨯-⨯--=﹒
13. 3216⨯⨯=﹒ 14. 任意排0-在首位
7!6!56756
10515904!2!4!2!22
⨯⨯⨯=
-=-=-=﹒ 15. 展开后各实数项和为 2
4
6
8
10
8
64210101010100246811313131322222C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10
1010132C ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
5121
10242
=-
=-﹒ [另解]
原式()()10cos 60sin 60i =⎡-︒+-︒⎤⎣⎦()()cos 600sin 600i =-︒+-︒13
2=-+﹐ ∴实数项和为1
2-﹒
16. ∵12
13
n n a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∴12
13
n n a a -=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅
-
()112
3
n n n n a a a a +-⇒-=
- 而11a =﹐2125133a a =+=﹐212
3
a a -=﹐
表示数列1n n a a +-为首项23﹐公比2
3的等比数列﹐
()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-
1
1122133221121322
3313
n n n ---⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭
⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+
=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
-﹐
∴()1
11223262
313
n n n n a -∞
∞==⎛⎫
-==
= ⎪⎝⎭
-∑∑﹒
17. ∵{}2,5A B ⋂=﹐∴154a a +=⇒=﹐
∴{}2,4,5A =﹐{}4,2,5B =-﹐{}4,2,4,5A B ⋃=-﹐ ∴()(){}4,4A B A B ⋃-⋂=-﹒ 18. 1234 3214 2134 3241 2314 3421 2341 4321 共8种﹒
19. 设1到1000的自然数所成的集合为基集U ﹐
1到1000的自然數中﹐5的倍數者所成的集合為A ﹐
而7的倍數者所成的集合為
B ﹐
則A B ⋂表示35的倍數者所成的集合﹐ (1)即求()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂
100010001000200142283145735⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
﹒
(2)即求()()()()1000314686⎡⎤'''⋂=⋃=-⋃=-=⎢⎥⎣⎦n A B n A B n U n A B ﹒
(3)即求()()()20028172n A B n A n A B -=-⋂=-=﹒
20.
7!
354!3!
=﹒ 21. 若一整数不能被2整除﹐则必不能被4﹑6整除﹐
故本题即求1到1000正整数中﹐不能被2﹑3﹑5之一整除者的个数﹒
设1到1000之正整数中﹐可被2﹑3﹑5整除者之集合分别为A ﹑B ﹑C ﹐则()10005002n A ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦﹐()10003333n B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10002005n C ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
﹐
()10001666n A B ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐()100010010n A C ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐()10006615n B C ⎡⎤
⋂==⎢⎥⎣⎦﹐ ()10003330n A B C ⎡⎤⋂⋂==⎢⎥
⎣⎦
﹐ ()()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂ 5003332001661006633734=++---+=﹐
故所求为()()'''10001000734266n A B C n A B C ⋂⋂=-⋃⋃=-=（个）﹒
22. (1)①一个50⇒设10元x 个﹐5元y 个﹐1元z 个﹐则10550x y z ++=﹐
x
0 1 2 3 4 5 y 0～10 0～8 0～6 0～4 0～2
0 z 50～0 40～0 30～0 20～0 10～0
共119753136+++++=种﹒ ②二个50⇒1种﹒ ∴所求为36137+=种﹒
(2)设50元x 个﹐10元y 个﹐5元z 个﹐则50105100x y z ++= 10220x y z ⇒++=﹐
x
0 1 2 y
0～10 0～5 0 z
20～0
10～0
共116118++=种﹒
23. ()()()100
2100100100121111111x x C x C x +=⎡+-⎤+=+-+-+⎣⎦
……()
100
100
10011C x +-+﹐
∴1001x +除以()2
1x -的余式为()11001110098x x +-+=-﹒
24. (1)31010
88245H C C ===﹒
(2)
8!
560.3!2!3!
= 25. 先考虑5不在千位﹐1不在百位﹐6不在十位﹐8不在个位的方法﹐ 14!43!62!41!10!9⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=﹐∴最多再猜9次﹒
26. {}
{}2222,1100001,2,3,
,100,=≤≤=為正整數S x x x ∴()100n S =﹐
{}|12,,110000T x x k k x ==≤≤為正整數﹐ 令()
2
222
12232336x k k ==⨯⨯=⨯⨯=﹐
则()()(){
}
22
2
61,62,
,616,⋂=⨯⨯⨯S T
∴()16n S T ⋂=﹐故()1001684n S T -=-=﹒ 27. (1)所求为999955518⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦﹒ (2)所求为999927736⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
﹒
(3)()()()()n A B C n A B n C n A B C ⎡⋂⋃⎤=⋂+-⎡⋂⋂⎤⎣⎦⎣⎦ 5558332771111=+-=﹒ (4)()()()n A B C n A B A C ⎡⋂⋃⎤=⎡⋂⋃⋂⎤⎣⎦⎣⎦
()()()()n A B n A C n A B A C =⋂+⋂-⎡⋂⋂⋂⎤⎣⎦ ()555833n A B C =+-⋂⋂ 5558332771111=+-=﹒ 28.
()()()()()()236151030n n n n n n +---+
15010050203010160=+---+=﹒
29. ()()10
10
2
22211x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦
()()1092210
1010
911C x C x ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦……()()2
2210101021011C x C x C ⎡⎤+-+-+⎣⎦
故余式为()()2
101022
10110211102011C x C x x x x -+=-++=-+﹒
30.
①B ﹑D 同﹐
54143240,A B D C E ⨯⨯⨯⨯=
②B ﹑D 異﹐
54333540,
A B D C E ⨯⨯⨯⨯=
由①②可得﹐共有240540780+=种﹒ 31.
(1)走捷徑等於是走向只許向右與向上兩種﹒如圖﹐ 由A 開始朝任何方向走都有1種走法﹐走至交叉 點P 後﹐將會合箭頭的方法數全部加起來﹐即為
走到該點的走法數（累加法）﹒如圖﹐走法有
26種﹒
(2)走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←又不可重複走﹒
如圖﹐由
P 出發﹐依所規定的走法﹐走到隔鄰的鉛垂路線上立即停止﹐再決定走向﹒如此相鄰的兩鉛垂路線間的走法數相乘﹐即為所求的走法數﹒∴走法有120種﹒
32. ()()23311x x ++++……()
()()()
()()20
33213320
3
33
11111111x x x x x x x ⎡⎤++-+-+⎢⎥⎣⎦++==+-﹐ 所求即分子()21
31x +展开式中15x 项系数
∴所求为21
52120191817
2034954321
C ⨯⨯⨯⨯=
=⨯⨯⨯⨯﹒
33.
()()()()
10
1
2
1111k
k x x x x =-=-+-+-+∑……()10
1x +-
()()()11
11
1111111x x x x
⎡⎤----⎣⎦==--﹐
展开式中5x 系数即为()11
11x --展开式中6x 系数﹐ ∴所求为()6
1161462C --=-﹒ 34. ()()20
20
0.9910.01=⎡+-⎤⎣⎦
()()()2
3
20202012310.010.010.01C C C =+-+-+-+……()20
20
200.01C +-
10.20.0190.00114=-+-+……0.81786≈﹐ ∴81716a b c ++=++=﹒
35. 设一步一阶走x 次﹐一步二阶走y 次﹐则211x y +=﹐
x
1 3 5 7 9 11 y
5
4
3
2
1
6!7!8!9!10!15!3!4!5!3!7!2!9!
⇒
+++++144=﹒ 36. 令12323n n n
n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅
则()0111n n n
n S nC n C C -=+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅
+
()0122
n n n n
n S n C C C n ⇒=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅﹐∴12n S n -=⋅﹒ 37.
()1142!4!192.
⨯⨯⨯⨯=選位A a
Bb
38. 设白色x 块﹐黑色y 块﹐则27x y +=﹐
y 0 1 2 3 x
7
5
3
1
⇒6!5!4!
116104215!2!3!3!
+++=+++=﹒ 39. (1)333
11127C C C =﹒
(2)333333333
21121121181C C C C C C C C C ++=﹒
40. 62163-=
41. 20202020123202320S C C C C =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 202020
01192019S C C C =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅
()202020200120220202S C C C +⇒=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⨯﹐∴20102S =⨯﹐
∵20log220log2200.3010 6.02==⨯=﹐∴202为7位数﹐∴S 为8位数﹒ 42. ①选一面4⇒﹐ ②选二面4312⇒⨯=﹐ ③选三面43224⇒⨯⨯=﹐ ④选四面⇒432124⨯⨯⨯=﹐
由①②③④可得﹐共可作成412242464+++=种﹒
43. (1)
8!
565!3!
=﹒
(2)所求=全部()n C D -⋃
()()()56A C B A D B A C D B =-⎡→→+→→-→→→⎤⎣⎦ 3!5!4!4!3!
4!5612!3!2!3!2!2!2!2!2!⎛⎫=-⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭
()5630241820=-+-=﹒
44. (1)含中空:3342
111172,C C C C ⨯⨯⨯=
左 上 右 下
不含中空:37934792334342
222222222222223C C C C C C C C C C C C C C +++----
左 上 右 下 左上 右上 左下 右下 631081263691836297=+++----= ∴所求为72297369.+=
(2)含中空:边长为31⇒﹐边长为44⇒﹐边长为56⇒﹐边长为63⇒﹐∴共14个﹐ 不含中空:
()()()()625128176352418523122362,⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+--⨯+⨯--=
左 上 右 下 左上 右上 左下 右下 ∴所求为146276+=个﹒ 45. ①只用一色:3种﹐
②只用二色:()()()()()()6,1,5,2,4,3,3,42,5,1,6
∴()3
22!636,C ⋅⨯=
上下色交換
③用三色:红+白+黄=7 1 1 1 剩4
∴36
443!690,⨯=⨯=H C 紅白黃排列
∴共33690129++=种﹒
46. 444333222111234234234234146410H H H H H H H H H H H H ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯
700049006604103756=-⨯+⨯-⨯+=﹒
47. 6A a Bb →→→坐法其他人坐法 1162!6!8640⨯⨯⨯⨯=﹒
48. ()A B A P B A Q B A P Q B →-→→+→→-→→→ 10!4!6!5!5!4!5!16!4!2!2!4!2!3!2!3!2!2!2!3!2!⎛⎫
⇒
-⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭
()210901006080=-+-=﹒ 49. aa 不相邻且llll 不相邻﹐可先排pm aa ﹐再安插llll ﹐ ①aa 排在一起时：aa 排法有3!6=种﹐
再安插4个l ：p m a a △△△△△方法有434C =种﹒
↑ l
②aa 不排在一起时：p m △△△排法有322!6C ⨯=种﹐ 再安排4个l ：p a m a △△△△△方法有545C =种﹒ 由①②可知﹐排法有646554⨯+⨯=种﹒ [另解]
llll 不相邻llll -不相邻且aa 相邻54444!3!606542!4!4!
P P =⨯-⨯=-=﹒
50. 6!35!2!34!2!2!13!2!2!2!240-⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=﹒
二、计算题 (75小题 每小题0分 共0分)
1. ∵132n n a a +=+
﹐∴13
2
n n a a +-=﹐ 表示n a 为首项4﹐公差3
2的等差数列﹐
(1)2133114222a a =+=+=﹐ 323113
7222a a =+=+=﹐ 4333177222a a =+=+=﹐ 543173
10222
a a =+
=+=﹒ (2)()()1335
141222
n a a n d n n =+-=+-⨯=+﹒
(3)()4012401
34024401213302k k a a a a =⎡
⎤⨯+-⨯⎢⎥⎣⎦=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=
=∑﹒ 2. 从8名教师中选出4名教师去4个城市研习的方式可分为甲去和甲不去两种情形： (1)若是甲去研习﹐则丙也会去﹐而乙不去﹐
因此需从剩下的5名教师中选出2人去参加研习﹐故选法有52C 种﹒ (2)若是甲不去研习﹐则丙也不会去﹐而乙可去也可不去﹐
因此需从剩下的6名教师中选出4名教师去参加研习﹐故选法有64C 种﹒
综合这两种情形﹐从8名教师中选派4名教师的选法共有56
2425C C +=种﹒
而选出4名教师后﹐分别安排到4个城市去研习﹐则安排的方式有4!种﹐ 因此总共有254!600⨯=种选派方法﹒
3. ()()()()()()()()()()6
6
5
1
4
2
3
3
2
4
666660123432332323232x y C x C x y C x y C x y C x y -=+-+-+-+- ()()()5
6
66
56322C x y C y +-+-
6542332456729291648604320216057664.x x y x y x y x y xy y =-+-+-+
4. ()()()()()()()()()4
4
3
1
2
2
1
3
4
44444012342122121211x C x C x C x C x C -=+-+-+-+-
43216322481x x x x =-+-+﹒
5. SENSE 的5个字母中取3种字母﹐其中任取3个字母可能取出「三个字母皆不相同」或「两个字母同另一不同」两种情形：
(1)选出三个字母皆不相同的选法有331C =种﹐排列的方法有
3!种﹐ 因此排法有333!6C ⨯=种﹒
(2)选出两个字母同另一不同的选法有22
11
C C ⨯种﹐排列的方法有3!
2!1!
种﹐ 因此排法有22
113!
122!1!
C C ⨯⨯
=种﹒ 综合这两种情形﹐共有18种排法﹒
6. (1)先走任一瓣都可以﹐故将3瓣视为3条路任意排列﹐方法3!种﹐又每一瓣走法有2种（两个方向）﹐故所求为323!⨯48=种﹒
(2)323!48⨯=﹒ (3)423!96⨯=﹒
7. ()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂
253343422332
111111111111
C C C C C C C C C C C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 909636150.=+-=
8. 55
5112n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 66
67n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
77714n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
6165x
n y
⇒
⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅- 7286x
n y
⇒
⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅- ()()
6616
7528
n n -⇒
=
-﹐∴8n =﹐ 代入⇒8x y =﹐由
⇒()8
7
7
184C y y =8
812y ⎛⎫
⇒= ⎪⎝⎭
﹐即得12y =±﹐4x =±﹐
∴1
4,,82x y n ===（取正值）﹒
9. (1)红+白=4
1 1 剩223
223H C ⇒==﹒
[另解] 红 白 132
23
13.
⇒共種 (2)利用第(1)题的结果42318C ⇒⨯=﹒
10. 用8步走完10级楼梯﹐假设一级走了x 步﹐两级走了y 步﹐
可列得8210x y x y +=⎧⎨+=⎩解得6x =﹐2y =﹐
因此用这样的走法共有
8!
286!2!
=（种）﹒ 11.
(1){}1,2,4,5,7,8,9A B ⋃=﹒ (2){}1,2,5A B ⋂=﹒ (3){}4,8A B -=﹒ (4){}7,9B A -=﹒ (5){}3,6,7,9,10'=-=A U A ﹒
(6)
{}
3,4,6,8,10'=-=B U B ﹒
(7)(){}3,6,10'
⋃=A B ﹒
(8)
{}
3,6,10''⋂=A B ﹒
(9)(){}3,4,6,7,8,9,10'
⋂=A B ﹒
(10)
{}
3,4,6,7,8,9,10''⋃=A B ﹒
12. ()()()()19
19
19
18
2219192011111x x x x C x C x x ⎡⎤-+=-+=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦
﹐ ∴()1919101119,a C C =-=-191919
2021190.a C C C =+=
13. 可看作第一位男生有4位女生舞伴可选择﹐第二位男生有3位女生舞伴可选择﹐以此类推得舞会配对方法数共有44432124P =⨯⨯⨯=种﹒ 故选(2)﹒ 14. (1)5232=﹒
(2)①先往右42232⨯=﹐ ②先往左42232⨯=﹐ 共有323264+=﹒ 15.
如图﹐共有27种方法﹒
16. ()()()()()7
7
2
3
7
777712370.99810.00210.0020.0020.0020.002C C C C =-=-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⨯
10.0140.0000840.0000002800.9860837200.986084.≈-+-=≈ 17. ()
()101
101
22
11x x x x ⎡⎤+-=+-⎣⎦
()
()
()
()()2
101
101
100
99
10121012101
212101111x C x x C x x C x =+-+++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-
()
101
11c =-=-﹐
∵()101
1x +展开式中才有x 项﹐∴1011101,a C == ∵()101
1x +及()
100
101211C x x -+展开式中均有2x 项﹐∴101101
214949.b C C =-=
18. (1)∵()()()()()()1
11!!11!1!1!1!1
n n k k n C n C k n k k k n n k k n +++===+-+⋅+⋅-++﹐
∴左式()()111
1121011121.1
11n
n n n n n k n k C C C C k n n +++++==⨯=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=
-+++∑ (2)承(1)知﹐
()11131
21213111
n n n n ++-=⇒-=++﹐得4n =﹒ 19. (1)□□：4728⨯=﹒ ↓ 6﹑7﹑8﹑9
(2)45﹑48﹑54﹑57﹑60﹑66﹑69﹑75﹑78﹑84﹑87﹑90﹑96﹑99﹐共14个﹒ (3)4□7⇒个﹐ 5□7⇒个﹐
∴1459a =﹐1358a =﹐1257a =﹐∴平均为57分﹒ 20.
上午 下午 1 2 3 4 5 6 7
數 數 國 國 ╳ 體 體 2228⇒⨯⨯=
數 數 體 ╳ 國 國 體
2228⇒⨯⨯=
數 數 體 ╳ ╳ 國 國 2124⇒⨯⨯=
體 數 數 ╳ 國 國 體 2228⇒⨯⨯= 體 數 數 ╳ ╳ 國 國 2124⇒⨯⨯=
體 體
數
數
國
國 體 23212⇒⨯⨯=
體
體 數 數 ╳
國
國 2228⇒⨯⨯=
∴共有8848412852
++++++=種﹒
21. ()()()(
)
101
101
22
11x x
x x
+-=++-
()()
()()()
()
2
101
101
100
99
1012
101
21012
12
101111x C x x C x x C x =+++-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-
()
()
()101
100
2411011x x x x f x =+-++⋅﹐其中()f x 为一多项式﹐
∴x 项的系数1011101,a C == 2x 项的系数10121014949,b C =-=
3x 项的系数10110031101156550.c C C =-⨯=
23.
∴共有441212218396676+++++++++=种走法﹒ 24. (1)∵()123n n a a n +=+-且15a =﹐ ∴()21213514a a =+⨯-=-=﹐ ()32223415a a =+⨯-=+=﹐ ()43233538a a =+⨯-=+=﹐ ()542438513a a =+⨯-=+=﹒ (2)∵()123n n a a n +=+-﹐ ∴()21213a a =+⨯- ()32223a a =+⨯-
()()121223)
213n n n n a a n a a n ---=+⎡⨯--⎤⎣⎦+=+⎡⨯--⎤⎣⎦
()()()211212131523348
2
n n n a a n n n n n -⋅=+⨯⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤--=+⨯
-+=-+⎣⎦﹒
(3)20a =2204208328-⨯+=﹒
25. x ﹐y ﹐z 的非负整数解共有331011212
101010266H C C C +-====（组）﹒
26. (1)3﹑4﹑5 1﹑3﹑5 →有363⨯⨯个 2 4﹑5 1﹑3﹑5 →有123⨯⨯个 2 3 1﹑3﹑5 →有113⨯⨯个
∴共有()()36323363⨯⨯+⨯+=个大于230的三位数奇数﹒
(2) 个位数字为1者有()()()36121121⨯+⨯+⨯=个﹐为3﹑5者也各有21个﹐
故个位数字的和为()21135189⨯++=﹒
②十位数字为1﹑2者各有339⨯=个﹐为3者有()33312⨯+=个﹐为4﹑5者各有 ()331312⨯+⨯=个﹐
故十位数字和为()()()9121231245171⨯++⨯+⨯+=﹒
③百位数字为3﹑4﹑5者各有6318⨯=个﹐为2者有()()23139⨯+⨯=个﹐ 故百位数字和为()()1834592234⨯++⨯⨯=﹒
由①②③可知﹐总和为()()1891711023410025299+⨯+⨯=﹒
27. 由于515C =且5656
22125C C C C =-=-﹐于是利用帕斯卡尔定理111n n n m m m C C C ---=+﹐得 原式()
6678
1920234516175C C C C C C =++++
++-
778
1920
34516175C C C C C =+++++-
881920
4516175C C C C =++++-
21175C =-
5980=﹒
28. 设桌球俱乐部拟购买刀板﹐直拍与大陆拍各1x ﹐2x ﹐3x 把﹐ 根据题意得1238x x x ++=﹒
其非负整数解有33811010
888245H C C C +-====（组）﹐
故共有45种不同的购买方式﹒
29. 直线0ax by +=是恒过原点﹐且斜率为a b -的直线﹒因为斜率a
b
-为正值﹐所以,a b 必须异号﹐且,a b 皆不等于0﹒我们以a 的正负情形讨论如下﹕
(1)当0a >时﹐a 有3种选法﹐而此时0b <亦有3种选法﹐ 因此有339⨯=种选法﹒
(2)当0a <时﹐a 有3种选法﹐而此时0b >亦有3种选法﹐ 因此有339⨯=种选法﹒ 但是
①当()()()(),2,1,4,2,6,3a b =---时﹐均表示同一条直线20x y -=﹒ ②当()()()(),3,6,2,4,1,2a b =---时﹐均表示同一条直线20x y -+=﹒ ③当()(),2,2a b =-﹐()2,2-时﹐均表示同一条直线0x y -=﹒ 因此需扣除重复计算的2215++=条直线﹒ 故共可表出99513+-=条相异的直线﹒ 30.
(1)從A 走到
P 後 ﹐方法有2種﹐ 完成A 到P 的各路線﹐方法有
3!種﹐ 完成P 到
B 的各路線﹐方法有3!種﹐
∴共有()2
23!3!23!⨯⨯=⨯72=種﹒
(2)A 到P 後 ﹐方法2種﹐P 到Q 後 ﹐方法2種﹐
∴共有
()3
2223!3!3!23!⨯⨯⨯⨯=⨯864
=種﹒
A
B
A Q P B
31. (1)B ﹑D 同色﹐A BD C E →→→ 5433180⨯⨯⨯=﹐ B ﹑D 异色﹐A B D C E →→→→ 54322240⨯⨯⨯⨯=﹐ ∴共有180240420+=种涂法﹒
(2)B ﹑D ﹑F 同色﹐A BDF C E G →→→→ 54333540⨯⨯⨯⨯=﹐ B ﹑D ﹑F 异色﹐A B D F C E G →→→→→→ 5432222960⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹐ B ﹑D 同色﹐F 异色﹐A BD F C E G →→→→→ 543322720⨯⨯⨯⨯⨯=﹐
同理B ﹑F 同色﹐D 异色；D ﹑F 同色﹐B 异色涂法也各有720种﹐ ∴共有54096072033660++⨯=种﹒ 32.
(1)12a = 24a = 38a = 414a =
1n = 2n = 3n =
4n =
(2)12a =
﹐212a a =+﹐3222a a =+⨯﹐4323a a =+⨯﹐∴12n n a a n +=+⨯﹒ (3)∵12n n a a n +=+⨯且12a =﹐ ∴2121a a =+⨯ 3222a a =+⨯
()1222n n a a n --=+⨯- ()1)21n n a a n -+=+⨯-
()()21121212222
n n n a a n n n -⨯=+⨯⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤=+⨯=-+⎣⎦
∴22n a n n =-+﹒ 33. (1)
①A ﹑C 同色﹐
541480,
A B C D
⨯⨯⨯=
②A ﹑C 异色﹐
5433180,
A B C D ⨯⨯⨯=
由①②可得﹐共有80180260+=种﹒
(2)由(1)可知[]541433⨯⨯⨯+⨯﹐推得[]2
5414333380⨯⨯⨯+⨯=﹒ (3)[]3
54143343940⨯⨯⨯+⨯=﹒ 34.
(1)休旅車及跑車相間排列的情形﹐可分為兩
種情形﹐如圖所示：
3輛休旅車排成一列共有
3!6=種方法﹐ 同樣地﹐3輛跑車排成一列共有
3!6=種方法﹐ 因此根據乘法原理﹐共有26672⋅⋅=種排法﹒ (2)因為休旅車及跑車要各自排在一起﹐如圖所示：
所以可以將3輛休旅車看成「1」輛﹐3輛跑車看 成「1」輛﹐變成2輛的排列問題﹐有2!2=種方法﹒又3輛休旅車之間有
3!6
=
種排列方法﹐3輛跑車之間有3!6=種排列方法﹒
故共有2!3!3!26672
⋅⋅=⋅⋅=種排法﹒
35. 选出2本英文书3本中文书的方法有6523150C C ⋅=（种）﹐
将此5本书作直线排列﹐有5!种排法﹐
故所求排法为65
235!18000C C ⋅⋅=（种）﹒
36.
(1)從9本中取出3本給甲﹐取法有93C 種；
再從其餘的6本取出3本給乙﹐取法有63C 種；剩下的3本給丙﹐即33C 種﹒
因此﹐全部分配方式共有
9633331680C C C ⋅⋅=（種）
﹒ (2)先假設袋子上依序標示有甲﹐乙﹐
丙的記號﹐則有963333C C C ⋅⋅種分
法﹐但事實上袋子是相同的﹐因 此每3!種只能算1種﹐如圖所示﹒
故分配方式共有963
333
16802803!6
C C C ⋅⋅==（種）﹒ (3)仿上述作法﹐先假設袋子依序有甲﹐乙﹐丙的記號﹐甲得5本﹐乙丙各得 2本的分法有9
4
2
522C C C ⋅⋅種﹒
因袋子是無記號的﹐所以如圖的
2!
種其實是同1種﹒
故分配方式共有942
522
3782!
C C C ⋅⋅=（種）﹒
37.
設集合A 表示參加象棋比賽的同學﹐ 集合B 表示參加圍棋比賽的同學﹐ 集合A B ⋃表示參加棋藝活動的同學﹐ 集合A B ⋂表示參加兩種棋藝活動的同學﹒ 由題意知()34n B =﹐()42n A B ⋃=﹐()15n A B ⋂=﹒ 利用()()()()
n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂﹐
得
()423415
n A =+-﹐即
()23
n A =﹒
故這個班級中共有23位同學參加象棋比賽﹒
38. 因为()()()3
3
2211x x x x ++=++﹐所以利用二项式定理将乘积展开﹐得
()()
()()()3
3
2
1
2
32320111A x x C x C x x ++=++部分+()()()1
2
3
323
2311B C x x C x +++部分
﹒
由于上式中A 部分的各项次数均超过2次﹐因此全部展开式中2x 的系数﹐就是B 部分的展开式中的2x 系数﹒ 又B 部分的展开式为()()
223243232133137631x x x x x x x x x x ++++++=++++﹐ 故全部展开式中2x 的系数为6﹒
39. 因为()()()
3
3
2222x x x x -+=-+﹐所以利用二项式定理将乘积展开得
()(
)
()()()()()()()()3
3
2
1
1
2
3
232323232012322222A B x x C x x C x x C x x C x x -+=-+-+-+-部分部分
上述()()
3
22x x -+展开式
中B 部分各项次数低于4次﹐因此要计算展开式中4x 的系数只要计算A 部分各项展开式即可﹐又A 部分展开式
为
()()()()3201
3
2320122C x x C x x -+- ()()654343233322x x x x x x x =-+-+-+⨯6543239136x x x x x =-+-+
故4x 的系数为9﹒
40. 将240作质因子分解﹐得411240235=⨯⨯﹒
因为240的正因子必为235a b c ⨯⨯的形式﹐其中{}0,1,2,3,4a ∈﹐{}0,1b ∈﹐{}0,1c ∈﹐
所以a 有5种选择﹐b 有2种选择﹐c 有2种选择﹒
利用乘法原理﹐得240的正因子个数有52220⨯⨯=个﹒
41. 依题意图示如下：
其中实线表电车路线﹐虚线表公交车路线﹒ 因为电车与公交车路线各选一次﹐所以路线安排可分成以下二类：
(1)先电车再公交车：利用乘法原理﹐得有122⨯=种路线﹒
(2)先公交车再电车：利用乘法原理﹐得有326⨯=种路线﹒
由加法原理得知﹐共有268+=种路线安排﹒
42. 设A ﹐B ﹐C 分别表示答对A ﹐B ﹐C 题的人组成的集合﹒
由题意知()15n A =﹐()19n B =﹐()20n C =﹐()10n A B ⋂=﹐()12n B C ⋂=﹐()8n C A ⋂=﹐
()3n A B C ⋂⋂=﹒
利用排容原理﹐得
()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n B C n C A ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂
()n A B C +⋂⋂
151920101283=++---+27=﹒
故三题中至少答对一题者有27人﹒
43.
設集合A ﹐
B ﹐
C 分別表示從1到600的自然數當中的4﹐5,6倍數所形成的集合﹐
即()150n A =﹐
()120n B =﹐()100n C =﹐()30n A B ⋂=﹐()20n B C ⋂=﹐()50n C A ⋂=﹐()10n A B C ⋂⋂=
利用排容原理
()()()()()()()
n A B C n A n B n C n A B n B C n C A ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂
()
n A B C +⋂⋂﹐ 得()15012010030205010280n A B C ⋃⋃=++---+=﹒
故1到600的自然數中﹐是4﹐5﹐6中某一個數的倍數﹐共有280個﹒
44. (1)n a 代表「第n 个图需用到白色地砖的块数」﹐我们可以发现图形每次均增
加1个黑色地砖与5个白色地砖﹐因此15n n a a -=+﹐2n ≥﹒
(2)而上述这些图形中﹐白色地砖的个数可视为一个首项为8﹐公差为5的等
差数列﹐故()81553n a n n =+-⨯=+﹒
(3)拼第95图所需用到白色地砖数955953478a =⨯+=﹒
45. (1)先将这8位转学生分成四堆﹐每堆2人﹐
再将这四堆分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹐
故总共有8
6428642222222224!25204!
C C C C C C C C ⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅=种分法﹒ (2)先将这8位转学生分成四堆﹐两堆3人﹐两堆1人﹐
再将3人的两堆分发到甲乙两班﹐1人的两堆分发到丙丁两班﹐
故总共有8
5218521331133112!2!11202!2!
C C C C C C C C ⋅⋅⋅⨯⨯=⋅⋅⋅=⋅种分法﹒ 46. 因为01232n n n
n n n n C C C C C ++++
+=﹐ 所以1230221n n
n n
n n n n C C C C C ++++=-=-﹒
即原式可改写为2000213000n <-<﹐
即200123001n <<﹐
得11n =﹒ 47. (1)3119911!559!2!
H C ===组﹒ (2)3
38936628H H C -===组﹒
48. 因为去程有3个交通工具可以选择﹐住宿则有2个方式可供选择﹐而回程亦有3个交通工具可以选择﹒因此由
乘法原理得共有32318⨯⨯=种安排法﹒
49. 10
310!
1098720 7!
P==⨯⨯=种选法﹒
50. 由题意知每个周末都有5种休闲活动可以选择﹒
利用乘法原理﹐得4个周末共有5555625
⨯⨯⨯=种休闲安排﹒。