点集拓扑练习题及答案

点集拓扑练习题及答案
点集拓扑练习题及答案
点集拓扑练习题
一、单项选择题（每题1分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T
③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③
2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：②
3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案：①
4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T ③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③
7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）
①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ） ①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：②
10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）
①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：④ 11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）
①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：② 12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）
①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案：④ 13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的
非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 0 ②
1 ③
2 ④
3 答案：①
16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③
17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
18、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ） ① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：① 20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ） ① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④ 21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z
是（ ） ① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：① 22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ） ① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：② 23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ） ① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③ 24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ） ① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③
25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）
① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答
案：④
26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X
的子集,则下列关系
中错误的是（ ） ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃
③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A
= 答案: ③
27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系
中正确的是（ ）
① ()()()
d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B
-=-
③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①
28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系
中正确的是（ ）
① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-
③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④
29、已知X
是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列
结论中正确的是（ ） ① ()d A φ= ② ()d A X A =- ③ ()d A A = ④
()d A X
= 答案：①
30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列
结论中不正确的是（ ） ① 若A φ
=,则()d A φ
= ② 若0{}
A x =,则()d A X A =- ③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠
答案：④ 31、已知X
是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列
结论中正确的是（ ） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}
A x =,则()d A X
=
③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =
答案：①
32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓
扑是（ ）
① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ②
{X ,φ,{c },{d },{c ,d }}
③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①
33、设X 是至少含有两个元素的集合，
p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.
① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈
③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③
34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基. ① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}
③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }
答案：② 35、离散空间的任一子集为( ) ① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③ 36、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④ 37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )
① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：② 38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③ 39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）
① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：① 40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z ' 答案：④ 41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
答案：④
42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）
① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④
43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个 ① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④
44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) ①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈
③当T T '⊂时,
T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答
案：③
45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ） ① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③
46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：② 47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的
子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ= ③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答
案：③ 48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )
① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ= ③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：②
49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，
{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=
③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案：
②
50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的
子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④
{,,{1}}T X φ= 答案：① 51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )
① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ= ③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案：② 52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的
子空间A 的拓扑为( )
① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ= ③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：
④
53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ） ① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案：② 54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5
P 是X 到5X 的投射，则5
P 是（ ）
① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ） ①A B A B ⨯≠⨯ ②A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂ 答案：② 61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①
62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：① 63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①
64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( ) ①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集 答案：② 65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ） ① 离散空间 ② 不一定是平庸空间 ③ 平庸空间 ④ 不连通空间 答案：③ 66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ） ① 离散空间 ② 不一定是离散空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：① 67、设12,X X 是连通空间，则积空间12
X X ⨯是（ ） ① 离散空间 ② 不一定是连通空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：④ 68、实数空间R 中的连通子集E 为( ) ① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对 答案：④
69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为
( )
①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案：③
70、实数空间R中的连通子集E为( )
①开区间②闭区间③区间④区间或一点答案：④
71、下列叙述中正确的个数为（）
（Ⅰ）单位圆周1S是连通的；（Ⅱ）{0}
R-是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}
R-是连通的（Ⅳ）2R和R同胚
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：
②
72、实数空间R( )
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都
不对答案：③
73、整数集Z作为实数空间R的子空间（）
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都
不对答案：③
74、有理数集Q作为实数空间R的子空间（）
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都
不对答案：③
75、无理数集作为实数空间R的子空间（）
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都
不对答案：③
76、正整数集Z
+作为实数空间R的子空间（）
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都
不对答案：③
77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足
第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都
不对 答案：③
78、2维欧氏间空间2R （ ） ① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
79、3维欧氏间空间3R （ ） ① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都
不对 答案：③ 80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 平庸性 ② 连通性 ③ 离散性 ④ 第一可数性公理 答案：②
81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） ① 第一可数性公理 ② 连通性 ③ 第二可数性公理 ④ 平庸性 答案：② 82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 第一可数性公 ② 可分性 ③ 第二可数性公理 ④ 离散性 答案：② 83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是
（ ） ① 平庸性 ② 可分性 ③ 离散性 ④ 第二可数性公理 答案：②
84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2
T 空间 ④ 以上都不对 答案：①
85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：①
86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间 答案：①
87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④
88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④
89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④
90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④
91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：① 92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集， 则X 是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：③ 93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭
集， 则X 是（ ） ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：③ 94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ） ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4
T 空间 答案：① 95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,
则X 是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：②
96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间 答案：④
97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间 答案：④
98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间 答案：④
99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案：④
100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案：④
101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4
T 空间 ④ 正规空间 答案：④ 102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（ ）
① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间 答案：③ 103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）
① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对 答案：③ 104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ） ① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案：③ 105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ） ① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案：③ 106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ） ① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集 答案：②
107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧
致子集 答案：② 108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧
致子集 答案：② 109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）
① 1
T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 答案：①
二、填空题（每题1分）
1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=
2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ= 3同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;答案：拓扑不变性质
4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.答案： R
5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案： ({})U A x φ⋂-≠
6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X
7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X
8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X
9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X 10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{2}
11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{1} 12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{1}
13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的
内部为 ;答案：φ
14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ= 15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ= 16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{3}
17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =
的内部为 ;答案：{1} 18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入 19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射 20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;答案：开映射 21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;答案：闭映射 22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间 23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间 24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；答案：不连通空间 25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ; 答案：连通子集
26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；答案：
在连续映射下保持不变的性质
27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有
也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质 28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ; 答案：有限可积性质 29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间. 30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;答案：第一可数性公理
31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;答案：第二可数性公理
32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子
空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案：可遗传性质 33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个 ；答案：稠密子集 34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；答案：可分空间 35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；
答案：Lindel Öff 空间 36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案：对于开子空间可遗传性质 37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案：对于闭子空间可遗传性质
38、设X 是一个拓扑空间，如果 则称X 是一个0
T 空间; 答案：X 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点
39、设X 是一个拓扑空间，如果
则称X 是一个1T 空间; 答案：X 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点 40、设X 是一个拓扑空间，如果 则称X 是一个2T 空间; 答案：X 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交
41、正则的1T 空间称为 ；答案：3T 空间 42、正规的1T 空间称为 ；答案：4T 空间
43、完全正则的1T 空间称为 ；答案： 3.5T 空间或Tychonoff 空间
44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一
个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 . 答案：紧致空间 45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .答案：紧致子集
46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .答案：可数紧致空间
47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .答案：列紧空间
48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .答案：序列紧致空间
三．判断（每题4分，判断1分，理由3分） 1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√
理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.
2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12
T T ⋂不一定是集合X 的
拓扑( )答案:×
理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂； （２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２； （３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则2
1,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑． 3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√
理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.
4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√ 理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.
5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：×
理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠. 6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.
7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）答案：√ 理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=，并且这时
有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂= 从而B 是X 的一个闭子集，
同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=. 8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )案：√ 理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.
9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）答案：√
理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族，从而X 在点x 处有可数邻域基，故X 满 足第一可数性公理. 10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）答案：√
理由：由于X 满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B ，因为Y 是X 的子空间，则{|}B| B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基，从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理. 11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）答案：√
理由：由于X 满足第一可数性公理，所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ，因为Y 是X 的子空间，则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y 在点x 的一个可数邻域基，从而
X 的子空间Y 也满足第一可数性公理. 12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )答案：×
理由：因为{1,3}是X 的一个闭集，对于点２和{1,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，从而不是3T 空间. 注：也可以说明X 不是1T 空间． 13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )答案：× 理由：因为{2,3}是X 的一个闭集，对于点１和{2,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，
从而不是3T 空间.注：也可以说明X 不是1
T 空间．
14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )答案：×
理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是1T 空间． 注：也可以考虑点２和点３.
15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )答案：×
理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含
１，从而X 不是1T 空间．故(,)X T 是4T 空间. 注：也可以考虑点２和点３.
16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）答案：√ 理由：因为3T 空间是正则的1T 空间，所以对于3T 空间
X 中的任意不同的两点,x y X ∈，{}y 是X 中的闭集，由于X 是正则空间，从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域
,U V 使得U V φ⋂=，所以X 是2T 空间. 17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）答案：√ 理由：因为4T 空间是正规的1T 空间，所以对于4T 空间
X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ，由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间，故存在{},x A 的开邻域,U V 使
得U V φ⋂=，这说明X 是正则空间，因此X 是3T 空间. 18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )答案：√
理由：设A 是一个由X 中的开集构成的A B ⋃的覆盖，由于A 和B 都是X 的紧致子集，从而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分别是A 和B 的覆盖，故12⋃A A 是A 的有限子族且覆盖A B ⋃，所以A B ⋃是紧致子集. 19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案：√
理由：设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集，则对于任何x X ∈，若x A ∉，则易知x 不是A 的凝聚点，因此A A =，从而A 是一个闭集. 四．名词解释(每题2分) 1．同胚映射 答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1
:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚. 2、集合A 的内点 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.
如果A 是点x X ∈的一个邻域，则称点x 是集合A 的一个内点.
3、集合A 的内部 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.
4．拓扑空间(,)T X 的基 答案：设(,)T X 是一个拓扑空间，B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B 中的某些元素的并，则称B 是拓扑T 的一个基.
5．闭包 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.集合A 与集合A 的导集()d A 的并()A d A ⋃称为集合A 的闭包. 6、序列 答案：设X 是一个拓扑空间，每一个映射:S Z X +→叫做X 中的一个序列. 7、导集 答案：设X 是一个拓扑空间，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.
8、不连通空间 答案：设X 是一个拓扑空间，如果
X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间. 9、连通子集 答案：设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是X 的一个连通子集.
10、不连通子集 答案：设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个不连通空间，则称Y 是X 的一个不连通子集.
11、1 A 空间 答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为1 A 空间.
12、2 A 空间 答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为2 A 空间. 13、可分空间 答案：如果拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个可分空间. 14、0T 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是0T 空间. 15、1T 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是1
T 空间.
16、2T 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X 是2
T 空间. 17、正则空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正则空间. 18、正规空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正规空间. 19、完全正则空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果对于x X ∀∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集B 存在一个连续映射:[0,1]f X →使得()0f x =以及对于任何y B ∈有()1f y =，则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.
20、紧致空间 答案：设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间. 21、紧致子集 答案：设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的
一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个紧致子集.
22、可数紧致空间 答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间.
23、列紧空间 答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X
的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个列紧空间.
24、序列紧致空间 答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个序列紧致空间.
五．简答题（每题4分） 1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明
()()d A d B ⊂. 答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂，从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ⊂. 2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.
答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111
()()(())g f W f g W ---=是X 的开集，所以:g f X Z →是连续映射.
3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.
答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.
4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是
一个开集，则A 是一个闭集. 答案：设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =，这说明A 是一个闭集. 5、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出
Y 的商拓扑T. 答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T 6、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=
7、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写
出Y 的商拓扑T. 答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=-- 8、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T. 答案：{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--
9、在实数空间R 中给定如下等价关系:。