高中数学抽象函数专题

三、值域问题
例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。

解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。

若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有
f(0)=1。

由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0
)2()(2
≥⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛
=x f x f ,
又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+11 ,求f(x)的解析式。

解:(1)1),x 0(x x 1)x
1x (f )x (f ≠≠+=-+且Θ----
,1
2)11()1(:x 1-x x
x x f x x f x -=-+-得代换用
（2）
:)1(x -11 得中的代换再以x .12)()x -11f(x x x f --=+---（3）1)x 0(x x
2x 21
x x )x (f :2)2()3()1(2
23≠≠---=-+且得由 例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:
①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.
解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*)
小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解. 练习：1、.23
2|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:0
2)x (x f 3 x
,x
1)x (f 2)x
1(f ,x x
12
=++=-与已知得得代换用，.
23
2
|)x (f |,024)x (9f
02
≥
∴≥⨯-≥∆得由
3、函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求(0)f 的值；
（2）对任意的11
(0,)2x ∈，21(0,)2
x ∈，都有f (x 1)+2<log a x 2成立时，求a 的取值范围． 解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令1x =，0y =得(1)(0)2f f -=，又∵(1)0f =，
∴(0)2f =-． （2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令0y =得()(0)(1)f x f x x -=+，由（1）知(0)2f =-，∴2()2f x x x +=+．∵11(0,)2
x
∈，∴22111111()2()24f x x x x +=+=+-在11(0,)2
x ∈上单调递增，
∴13
()2(0,)4
f x +∈．要使任意11(0,)2
x ∈，21(0,)2
x ∈都有12()2log a f x x +<成立，必有
23log 4
a x ≤都成立.当1a >时，21
log log 2a a x <,显然不成立．当01a <<时，
213
(log )log 24
a a x >≥，解得
3414a ≤<∴a 的取值范围是3
4[,1)4． 五、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决）
.
练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x 、y ，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R 上为增函数。

证明：设R 上x 1<x 2，则f(x 2-x 1)>1，
f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)f(x 1),(注意此处不能直接得大于f(x 1)，因为f(x 1)的正负还没确定) 。

取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f （0）=0,令x>0,y=0，则f(x)=0与x>0时，f(x)>1矛盾，所以f(0)=1，x>0时，f(x)>1>0,x<0时，-x>0，f(-x)>1,∴由
0)
(1
)(1)()()0(>-=
=-=x f x f x f x f f 得，故f(x)>0，从而f(x 2)>f(x 1).即f(x)在R 上是
增函数。

（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性）
练习：已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－
2
1
)=0,当x >－2
1时，f (x )>0.求证：f (x )是单调递增函数；
证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－2
1>－2
1,由题意f (x 2－x 1－2
1)>0,∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－
x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－2
1)－1=f ［(x 2－
x 1)－2
1］>0,∴f (x )是单调递增函数.
练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y 都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>1时,f(x)<1。

试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性。

解:0)x (f ,0)x (f ,0)x (f )x x (
f )x (f R x 2>≠≥=•=∈+故又有对，则则且设,1x x ,x x ,R x ,x 1
22121><∈+
1
)x x
(f )x (f )x (f )x x
(f )x (f )x x x (
f )
x (f )
x (f 1
21112111212<=•=•=
，所以f(x 1)>f(x 2),故f(x)在R +上为减函数.
练习6、. 已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有
()2f x ≥；(2)(1)3f =，(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值； (III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足
*12(3),n n S a n N =--∈.求证：1231
12332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-
L .
解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤，由对任意[]0,1x ∈，总有
()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则
212101,()2
x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max ()(1)3
f x f ∴==
(III)*12(3)()n n S a n N =--∈Q 1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥1
111133
(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴=Q
1
11112113333333()()()()()23()4n n n n n n n n
f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 1
111
43
333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。

2211221
14144144441
12133333333333()()()()2n n n n n n n f a f a f a f a ------∴≤+≤++≤≤+++++=+L L 故113()2n n f a -≤+ 1213
1
3
1()1()()()2n n
f a f a f a n --∴+++
≤+L 即原式成立。

六、奇偶性问题
解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系
（2）已知y=f (2x +1)是偶函数，则函数y=f (2x )的图象的对称轴是（ D ）
A.x =1
B.x =2
C.x =－21
D.x =2
1
解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称. 注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。

F （x ）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。

例15：设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在)0,(-∞上是增函数，又
)123()12(22+-<++a a f a a f 。

求实数a 的取值范围。

解析：又偶函数的性质知道：)(x f 在),0(+∞上减，而0122>++a a ，01232>+-a a ，所以由)123()12(22+-<++a a f a a f 得1231222+->++a a a a ，解得30<<a 。

（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：)21()1()1()1(a f a f f a f -<+<+或等；也可将定义域作一些调整）
例16：定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x +y )=f (x )+f (y )．
(1)求证f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．
解答：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R)---- ①令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，∴f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k ·3x )＜-f(3x -9x -2)=f(-3x +9x +2)， k ·3x ＜-3x +9x +2，32x -(1+k)·3x +2＞0对任意x ∈R 成立．令t=3x ＞0，即t 2-(1+k)t+2＞0对任意t ＞0恒成立．
221()(1)2,2
101(0)20,20,
100,()02
(1)80
122
令其对称轴当
即时，符合题意；1+k 当时2
对任意恒成立解得-1k f t t k t x k
k f k
t f t k k +=-++=+<<-=>≥+⎧≥⎪
>>⇔⎨⎪∆=+-<⎩≤<-+故：312
2(3)(392)0时，x x k f k f <-+⋅+--<对任意x ∈R 恒成
立。

说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x ∈R 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t 2-(1+k)t+2对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：分离系数由k ·3x ＜-3x +9x +2得
,12213
23,1323-≥-+=-+
<x
x x x u k 而要使对x R ∈不等式23 1.3x
x k <+-恒成立，只需k<12
2-
七、周期性与对称性问题（由恒等式．．．简单判断：同号看周期，异号看对称） 编号
周 期 性
对 称 性
1
()()a x f a x f -=+→
T=2a
()()a x f a x f +-=+→对称轴a x =⇔()y f x a =+是
偶函数；
()()a x f a x f +--=+→对称中心（a,0）
⇔()y f x a =+是奇函数
2
()()x b f x a f +=+→T=a b -
()()x b f x a f +=-→对称轴2
b
a x +=
； ()()x b f x a f +-=-→对称中心)0,2
(
b
a +； 3
f(x)= -f(x+a)→T=2a
f(x)= -f(-x+a)→对称中心⎪⎭⎫
⎝⎛0,2
a
4 ()()x b f x a f +-=+→
T=2a b - ()()x b f x a f --=+→对称中心⎪⎭
⎫
⎝⎛+0,2b a 5
f(x)=±()x f 1
→T=2a f(x)= b-f(-x+a)→对称中心⎪⎭
⎫
⎝⎛2,2b a
6 f(x)=1-()
()0)(1
≠+x f a x f →T=3a
结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a ，x=b 对称，则函数y=f(x)是周期函数，
且T=2|a-b|
(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|
(3) 函数图象关于直线x=a ，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b|
(4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与y=f(b-x)关于2a b x -=
对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点)0,2
(
a
b -对称
（可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x 为对称轴）
3、函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且11()()2
2
f x f x +=-,则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= 解析：法一：因f(x)为奇函数且关于12
x =对称，T=2,可借助图象解答，得结果为0. 小结：此方法为数形结合法
法二：因f(x)为奇函数且关于12
x =对称，类比()sin f x x =联想函数()sin f x x π=
∴(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=0, 小结：此方法为抽象函数具体化法
4、已知函数(21)y f x =-是定义在R 上的奇函数，函数()y g x =是()y f x =的反函数，若120x x +=则12()()g x g x +=( )
A ）2
B ）0
C ）1
D ）-2
解析：法一：(函数具体化)设()1f x x =+符合题意，则()1g x x =-则
121212()()(1)(1)()22g x g x x x x x +=-+-=+-=-，
法二：y=f(2x-1)是R 上的奇函数→f(-2x-1)=-f(2x-1)，即f(-2x-1)+f(2x-1)=0，由反函数的关系就可以取x 1= f(-2x-1),x 2= f(2x-1),所以g(x 1)+g(x 2)=-2x-1+(2x-1)=-2.
函数综合
1.奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致（在整个定义域内未必单调），推广：函数在其对称中心两侧单调性相同。

偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反，推广：函数在其对称轴两侧的单调性相反；此时函数值的大小取决于离对称轴的远近。

解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域。

关注具体函数“抽象化”。

举例2] 设函数x x x f +=3)(，若0≤θ≤2
π时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是
解析：此题不宜将msin θ及1-m 代入函数x x x f +=3)(的表达式，得到一个“庞大”的不等式，因为运算量过大，恐怕很难进行到底。

注意到：函数f(x)为奇函数，原不等式等价于：)1()sin (->m f m f θ，又函数f(x)递增，∴msin θ>m-1对0≤θ≤2
π恒成立，分离参变量m （这是求参变量取值范围的通法）得：m<
θ
sin 11
-,（0<1- sin θ
≤1,事实上当sin θ=1时不等式恒成立，即对m 没有限制，所以无需研究）,记g(θ)=
θ
sin 11
-,则m<g(θ)min ， 又∵0<1- sin θ≤1，∴g(θ)min =1（当且仅当θ=0时等号成立），∴m<1。

[巩固]定义在[-1，a]上的函数f(x)满足:f(2+x)=f(2-x),且在[2,5]上递增，方程f(x)=0的一根为4，解不等式f(3+x)>0 [提高]定义在R 上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=
)
(1
x f ,且f(x)在[-3，-2]上是减函数，又α、β是钝角三角形的两锐角，
则下列结论中正确的是: A.f(sin α)>f(cos β) B. f(sin α)<f(cos β) C.f(sin α)<f(sin β) D. f(cos α)<f(cos β 2．关注“分段函数”。

分段函数的反函数、值域一般分段求，分段函数的奇偶性、单调性一般要借助于图象。

f(x)=max{g(x),h(x)} 、f(x)=min{g(x),h(x)}也是一种分段函数,作出它的图象是研究这类函数的有效途径。

3.研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数性质、已知函数值域研究定义域等一般用函数图象（作图要尽可能准确）。

[
4. 求最值的常用方法：①单调性：研究函数在给定区间内的单调情况是求函数值域的最重要也是最根本的方法。

②基本不等式：满足条件“一正、二定、三相等”时方可使用，如果“不相等”，常用函数)0(,>+=a x
a
x y 的单调性解决。

③逆求法：用y 表示x ，使关于x 的方程有解的y 的范围即为值域，常用于求分式函数的值域，判别式法就是其中的一种。

④换元法：需要把一个式子看作一个整体即可实施换元，“三角换元”是针对“平方和 等于1”实施的，目的多为“降元”；求值域时的换元主要是为了“去根号”。

⑤数形结合。

[举例1]已知函数)1(1
2
22->+++=x x x x y ，则其图象的最低点的坐标是 （ ） A 、（1，2） B 、)2,1(- C 、（0，2） D 、不存在
解析：求函数图象的最低点的坐标即求函数当x 取何值时函数取得最小值，最小
值是多少； 此题不宜“逆求”（判别式法），因为⊿≥0不能保证x>-1（这是使用“判别式法”时需特别注意的）。

记x+1=t,(t>0),此时x=t-1,设
g(t)=21
12)1(2)1(22≥+=+=+-+-t
t t t t t t (当且仅当t=1即x=0时等号成立，（注意这里
的“换元”实质是“整体化”的具体落实，将需要“整体化”的部分换成一个变
量，比“凑”更具一般性也更易实施），选C 。

[举例2]已知R b a b a ∈=+,,1+，则ab
ab 1
+
的最小值为 解析：本题关注ab 的取值范围，对ab
ab 1
+使用基本不等式，当且仅当ab =±1时等
号成立，事实上：4
1
)2(02=+≤<b a ab ，∴等号不成立，即不能使用基本不等式。

记
ab =t （0<t ≤41）, ab ab 1+=t +t
1=g(t ),函数g(t )在（0，41]上递减，∴g(t )min =g(41)=417。

5.求参变量的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的值域或最值；也
可以整体研究函数y =f(a,x)的最值。

[举例] 关于x 的方程22x -m2x +4=0(x<0)有解，求实数m 的取值范围。

解析：令2x =t,(0<t<1),原方程变为：t 2-mt+4=0在（0，1）上有解，这里显然不能简单地用判别式处理，因为⊿≥0不能保证方程在（0，1）上有解，还需附加更多的条件才成，繁！事实上，求参变量范围的问题首先考虑的是“分离参变量”：
t
t m 4
+
==)(t g ，所谓方程有解，即m 在函数)(t g 的值域内（这也是解决方程有解问题的通法），∵t ∈（0，1），∴不能使用基本不等式（等号不成立），注意到函数)(t g 在（0，1）上递减，∴)(t g ∈（5，∞+）即m ∈（5，∞+）。