2014年四川省成都市高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2014年四川省成都市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个
选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，3}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（）A．{﹣2}B．{3}C．{﹣2，3}D．∅
2．（5分）若复数z满足z（1﹣2i）＝5（i为虚数单位），则复数z为（）A．B．1+2i C．1﹣2i D．
3．（5分）在等比数列{a n}中，a1a8a15＝64，则a8＝（）
A．16B．8C．4D．4
4．（5分）计算log5+所得的结果为（）
A．1B．C．D．4
5．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊥α．则m⊥n
C．若m⊥α，n∥α，则m⊥n
D．若m与α相交，n与α相交，则m，n一定不相交
6．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为（，）和（﹣，），则cos（α+β）的值为（）
A．﹣B．﹣C．0D．
7．（5分）已知α∈[﹣，]，则cosα的概率为（）
A．B．C．D．
8．（5分）一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示
（单位：cm），则该几何体的体积为（）
A．120cm2B．80cm2C．100cm2D．60cm2
9．（5分）某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．若用函数f（x）＝﹣x2+4x+7 （x∈[0，5]，x∈n）进行价格模拟（注x＝0表示4月1号，x＝1表示5月1号，…，以此类推，通过多年的统计发现，当函数g（x）＝取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，则可以预测明年拓展外销市场的时间为（）
A．5月1日B．6月1日C．7月1日D．8月1日10．（5分）已知函数f（x）＝，若函数F（x）＝f（x）﹣
kx在区间[，4]上恰好有一个零点，则k的取值范围为（）
A．（，16ln2]∪{0}B．（，+∞）∪{0}
C．[，16ln2）∪{0}D．（，16ln2]∪{0}
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）若f（x）＝x2+（a﹣1）x+1是定义在R上的偶函数，则实数a＝．12．（5分）某公司生产A，B，C三种型号的轿车，产量分别是600辆，1200辆和1800辆，为检验产品的质量，现从这三种型号的轿车中，用分层抽样的方法抽取n辆作为样本进行检验，若B型号轿车抽取24辆，则样本容量n ＝．
13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|﹣|＝．14．（5分）设x1，x2是函数f（x）＝x3﹣2ax2+a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是．
15．（5分）已知f（x）＝﹣2|2|x|﹣1|+1和g（x）＝x2﹣2|x|+m（m∈R）是定义在
R上的两个函数，则下列关于f（x），g（x）的四个命题：
①函数f（x）的图象关于直线x＝0对称；
②关于x的方程f（z）﹣k＝0恰有四个不相等实数根的充要条件是k∈（﹣1，0）；
③当m＝1时，对∀x1∈[﹣1，0]，∃x2∈[﹣1，0]，f（x1）＜g（x2）成立；
④若∃x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[﹣1，1]，f（x1）＜g（x2）成立，则m∈（﹣1，+∞）．其中正确的命题有（写出所有正确命题的序号）．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．
16．（12分）已知向量＝（cos，cos2），＝（2sin，2），设函数f（x）
＝．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且f（2B﹣）＝+1，a＝3，b＝3，求sin A的值．
17．（12分）如图①，四边形ABCD为等腰梯形，AE⊥DC，AB＝AE＝DC，F 为EC的中点，现将△DAE沿AE翻折到△P AE的位置，如图②，且平面P AE ⊥平面ABCE．
（Ⅰ）求证：平面P AF⊥平面PBE；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣PBC与E﹣BPF的体积之比．
18．（12分）已知等差数列{a n}中，a4a6＝﹣4，a2+a8＝0，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若{a n}为递增数列，请根据如图的程序框图，求输出框中S的值（要求写出解答过程）．
19．（13分）我国采用的PM2.5的标准为：日均值在35微克/立方米以下的空气质量为一级；在35微克/立方米一75微克/立方米之间的空气质量为二级；75微克/立方米以上的空气质量为超标．某城市环保部门随机抽取该市m天的PM2.5的日均值，发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图所示．
请据此解答如下问题：
（Ⅰ）求m的值，并分别计算：频率分布直方图中的[75，95）和[95，115]这两个矩形的高；
（Ⅱ）通过频率分布直方图枯计这m天的PM2.5日均值的中位数（结果保留分数形式）；
（Ⅲ）从[75，95）中任意抽取一个容量为2的样本来研究汽车尾气对空气质量的影响，求至少有一个数据在[80，90）之间的概率．
20．（14分）已知函数f（x）＝alnx，g（x）＝﹣x2+2x﹣，a∈R．
（Ⅰ）若a＝﹣1，求曲线y＝f（x）在x＝3处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：++…++1＜2ln（2n+3），n∈N*．
2014年四川省成都市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个
选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，3}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（）A．{﹣2}B．{3}C．{﹣2，3}D．∅
【解答】解：∵A＝{﹣2，3}，B＝{x|x≥0}，
∴A∩B＝{3}．
故选：B．
2．（5分）若复数z满足z（1﹣2i）＝5（i为虚数单位），则复数z为（）A．B．1+2i C．1﹣2i D．
【解答】解：∵复数z满足z（1﹣2i）＝5，∴z（1﹣2i）（1+2i）＝5（1+2i），∴z＝1+2i．
故选：B．
3．（5分）在等比数列{a n}中，a1a8a15＝64，则a8＝（）
A．16B．8C．4D．4
【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，由等比数列的性质得，，
再由已知a1a8a15＝64，得，∴a8＝4．
故选：D．
4．（5分）计算log5+所得的结果为（）
A．1B．C．D．4
【解答】解：原式＝＝＝1．
故选：A．
5．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊥α．则m⊥n
C．若m⊥α，n∥α，则m⊥n
D．若m与α相交，n与α相交，则m，n一定不相交
【解答】解：对A，m∥α，n∥α，则直线m、n位置关系不确定，故A错误；对B，m⊥α，n⊥α，∴m∥n，故B错误；
对C，m⊥α，n∥α，过n的平面β，α∩β＝b，∴n∥b，又b⊂α，∴m⊥b，∴m ⊥n．故C正确；
对D，若m与α相交，n与α相交，当交点重合时，m、n相交，故D错误．故选：C．
6．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为（，）和（﹣，），则cos（α+β）的值为（）
A．﹣B．﹣C．0D．
【解答】解：∵点A，B的坐标为（，）和（﹣，），
∴sinα＝，cosα＝，sinβ＝，cosβ＝﹣，
则cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝×（﹣）﹣×＝﹣．
故选：A．
7．（5分）已知α∈[﹣，]，则cosα的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵α∈[﹣，]，cosα，
∴，
∴所求概率为＝．
故选：C．
8．（5分）一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）
A．120cm2B．80cm2C．100cm2D．60cm2
【解答】解：由三视图可判断几何体为一长方体削去一个角，其直观图如图：
长方体的长、宽、高分别为5、4、6，
∴长方体的体积为5×4×6＝120，
削去的三棱锥的体积为××5×4×6＝20，
∴该几何体的体积为120﹣20＝100cm2．
故选：C．
9．（5分）某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．若用函数f（x）＝﹣x2+4x+7 （x∈[0，5]，x∈n）进行价格模拟（注x＝0表示4月1号，x＝1表示5月1号，…，以此类推，通过多年的统计发现，当函数g（x）＝取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，则可以预测明年拓展外销市场的时间为（）
A．5月1日B．6月1日C．7月1日D．8月1日
【解答】解：由题意可得，函数g（x）＝＝＝
＝4﹣[（x+1）+]≤4﹣6＝﹣2，
当且仅当x+1＝，即x＝2时，取等号．
即6月1日展外销市场的效果最为明显，
故选：B．
10．（5分）已知函数f（x）＝，若函数F（x）＝f（x）﹣
kx在区间[，4]上恰好有一个零点，则k的取值范围为（）
A．（，16ln2]∪{0}B．（，+∞）∪{0}
C．[，16ln2）∪{0}D．（，16ln2]∪{0}
【解答】解：由题意可得函数y＝f（x）的图象和直线y＝kx
在区间[，4]上恰好有一个交点，
如图所示：显然，当k＝0时，满足条件．
当y＝kx和y＝lnx相切时，设切点为A（x0，lnx0），
由导数的几何意义可得＝，
解得x0＝e，故切线的斜率为．
当y＝kx经过点B（，4ln2）时，k＝＝16ln2．
故k的范围为（，16ln2]∪{0}，
故选：A．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）若f（x）＝x2+（a﹣1）x+1是定义在R上的偶函数，则实数a＝1．【解答】解：∵f（x）＝x2+（a﹣1）x+1是定义在R上的偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
即f（﹣x）＝x2﹣（a﹣1）x+1＝x2+（a﹣1）x+1，
∴﹣（a﹣1）＝a﹣1，
∴a﹣1＝0，
解得a＝1．
故答案为：1．
12．（5分）某公司生产A，B，C三种型号的轿车，产量分别是600辆，1200辆和1800辆，为检验产品的质量，现从这三种型号的轿车中，用分层抽样的方法抽取n辆作为样本进行检验，若B型号轿车抽取24辆，则样本容量n＝72．
【解答】解：∵A，B，C三种型号的轿车，产量分别是600辆，1200辆和1800辆，
∴根据B型号轿车抽取24辆，
得，
∴n＝72．
故答案为：72．
13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|﹣|＝．【解答】解：由题意可得＝2×1×cos60°＝1，
∴|﹣|＝＝＝＝，
故答案为：．
14．（5分）设x1，x2是函数f（x）＝x3﹣2ax2+a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是（2，6）．
【解答】解：∵x1，x2是函数f（x）＝x3﹣2ax2+a2x的两个极值点，
∴x1，x2是方程的两个实数根，
∴3×22﹣4a×2+a2＜0，即a2﹣8a+12＝（a﹣2）（a﹣6）＜0，
解得2＜a＜6，
故答案为：（2，6）．
15．（5分）已知f（x）＝﹣2|2|x|﹣1|+1和g（x）＝x2﹣2|x|+m（m∈R）是定义在R上的两个函数，则下列关于f（x），g（x）的四个命题：
①函数f（x）的图象关于直线x＝0对称；
②关于x的方程f（z）﹣k＝0恰有四个不相等实数根的充要条件是k∈（﹣1，0）；
③当m＝1时，对∀x1∈[﹣1，0]，∃x2∈[﹣1，0]，f（x1）＜g（x2）成立；
④若∃x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[﹣1，1]，f（x1）＜g（x2）成立，则m∈（﹣1，+∞）．其中正确的命题有①②④（写出所有正确命题的序号）．
【解答】解：∵函数f（x）＝﹣2|2|x|﹣1|+1＝的图象如下图所示：
故函数f（x）的图象关于直线x＝0对称，即①正确；
由①中函数图象可得，若已知f（x）＝﹣2|2|x|﹣1|+1和g（x）＝x2﹣2|x|+m（m∈R）是定义在R上的两个函数，则下列关于f（x），g（x）的四个命题，即②正确：
当m＝1时，g（x）＝x2﹣2|x|+1，
∵x∈[﹣1，0]时，f（x）max＝f（﹣）＝1，
x∈[﹣1，0]时g（x）＝x2﹣2|x|+1＝g（x）＝x2+2x+1∈[0，1]，
故x1＝﹣时，不存在x2∈[﹣1，0]，使f（x1）＜g（x2）成立，故③错误；
∵x∈[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣1，1]，
x∈[﹣1，1]时g（x）＝x2﹣2|x|+m＝g（x）＝x2+2x+1+（m﹣1）∈[m﹣1，m]，
若∃x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[﹣1，1]，f（x1）＜g（x2）成立，
则m＞﹣1，即满足条件的m的范围为（﹣1，+∞），故④错误；
故正确的命题有：①②④
故答案为：①②④
三、解答题：本大题共5小题，共75分．
16．（12分）已知向量＝（cos，cos2），＝（2sin，2），设函数f（x）
＝．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且f（2B﹣）＝+1，a＝3，b＝3，求sin A的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵向量＝（cos，cos2），＝（2sin，2），函数f（x）
＝，
∴f（x）＝cos2sin+2cos2＝sin+cos+1＝2sin（）+1，
∴T＝＝4π；
（Ⅱ）∵f（2B﹣）＝+1，
∴2sin B+1＝+1，
∴sin B＝，
∵a＝3，b＝3，
∴由正弦定理可得sin A＝＝＝．
17．（12分）如图①，四边形ABCD为等腰梯形，AE⊥DC，AB＝AE＝DC，F
为EC的中点，现将△DAE沿AE翻折到△P AE的位置，如图②，且平面P AE ⊥平面ABCE．
（Ⅰ）求证：平面P AF⊥平面PBE；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣PBC与E﹣BPF的体积之比．
【解答】解：（I）证明：∵EF∥AB，AB＝EF＝CD，
∴四边形AEFB为平行四边形，又AE＝AB，AE⊥CD，
∴四边形AEFB为正方形，∴BE⊥AF，
∴平面P AE⊥平面ABCE，PE⊥AE，平面P AE∩平面ABCE＝AE，
∴PE⊥平面ABCE，∴PE⊥AF，
又PE∩BE＝E，∴AF⊥平面PBE，AF⊂平面P AF，
∴平面PBE⊥平面P AF．
（II）∵V A
﹣PBC ＝V P
﹣ABC
，
V E﹣BPF＝V P﹣BEF，
∵三棱锥P﹣ABC与P﹣BEF的高相等，
底面△ABC与△BEF的面积也相等，
∴三棱锥A﹣PBC与E﹣BPF的体积之比为1：1．
18．（12分）已知等差数列{a n}中，a4a6＝﹣4，a2+a8＝0，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若{a n}为递增数列，请根据如图的程序框图，求输出框中S的值（要求写出解答过程）．
【解答】解：（I）∵等差数列{a n}中，a4a6＝﹣4…①，
∴a2+a8＝a4+a6＝0…②，
解得或
∴a n＝﹣2n+10或a n＝2n﹣10，n∈N*．
（II）若{a n}为递增数列，可得公差为正，
∴a n＝2n﹣10，n∈N*．
由已知中的程序框图可得：
S＝（﹣8×21）+（﹣6×22）+（﹣4×23）+…+6×28…③
则2S＝（﹣8×22）+（﹣6×23）+…+4×28+6×29…④
由③﹣④得：
﹣S＝﹣16+2（22+23+…+28）﹣6×29
∴S＝16﹣2（22+23+…+28）+6×29＝24+4×29＝2072
19．（13分）我国采用的PM2.5的标准为：日均值在35微克/立方米以下的空气质量为一级；在35微克/立方米一75微克/立方米之间的空气质量为二级；75微克/立方米以上的空气质量为超标．某城市环保部门随机抽取该市m天的PM2.5的日均值，发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图所示．
请据此解答如下问题：
（Ⅰ）求m的值，并分别计算：频率分布直方图中的[75，95）和[95，115]这两个矩形的高；
（Ⅱ）通过频率分布直方图枯计这m天的PM2.5日均值的中位数（结果保留分数形式）；
（Ⅲ）从[75，95）中任意抽取一个容量为2的样本来研究汽车尾气对空气质量的影响，求至少有一个数据在[80，90）之间的概率．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
∴m＝20，
易知，矩形[75，95）的高为，
矩形[95，115）的高为0.01．
（Ⅱ）根据频率分布直方图枯计可以估计这m天的PM2.5日均值的中位数为75+
．
（Ⅲ）在[75，95）中共有9个数据，从9个数据中选取2个共有36个，考虑问题的对立面即所取的两数都不在[80，90）之间的基本事件个数为10个，
∴所求的概率为P＝1﹣
20．（14分）已知函数f（x）＝alnx，g（x）＝﹣x2+2x﹣，a∈R．
（Ⅰ）若a＝﹣1，求曲线y＝f（x）在x＝3处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：++…++1＜2ln（2n+3），n∈N*．
【解答】（Ⅰ）解：当a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx，，，
∴曲线y＝f（x）在x＝3处的切线方程为：y+ln3＝﹣（x﹣3），即y＝﹣x+1﹣ln3；
（Ⅱ）解：f（x）≥g（x）恒成立，即恒成立，
也就是恒成立．
令，则．
①若a≥1，则h′（x）≥0恒成立，∴h（x）在[1，+∞）上为单调递增函数，h（x）≥h（1）恒成立，又h（1）＝0，∴a≥1符合条件；
②若a＜1，由h′（x）＝0可得和（舍去）．
当时，h′（x）0．
∴．
∴，这与h（x）≥0恒成立矛盾．
综上，a≥1．∴a的最小值为1；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当a＝2时，，当且仅当x＝1时等号成立．
令，即x﹣1＝，∴．
累加，得
∵＜＝．
∴﹣＞﹣＝﹣（）．
＞﹣．
2ln（2n+3）﹣2ln3＞﹣1+．
∴＜．
∵，
∴．
∴++…++1＜2ln（2n+3），n∈N*．。