自动控制原理根轨迹PPT课件

m
szj
K * j1
1
n
s pi
i 1
（4-11）
m
s
z
j
n
s
pi
2k
1
（4-12）
j 1
j 1
式中 k 0,1,2,
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复平面上的s点如果是闭环极点，那么它与开环零、极点所组成的向量必须满足上式的模值条件和相角 条件。
从上式可以看出，根轨迹的模值增益条件与根轨迹增益K*有关，而相角条件与K*无关。我们说，相角条 件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件，这就是说，绘制根轨迹时，可用相角条件确定轨迹上的点，用模值 条件确定根轨迹上该点对应的K*值。
式中 K * K 2
是根轨迹增益。
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令A(s)=s+4,B(s)=(s+1)(s+2)=s2+3s+2,则A’(s)=1,B’(s)=2s+3。代入A’(s)B(s)-A(s)B’(s)=0中， 得s2+8s+10=0 解出上式的根为s1≈-1.55,s2≈-6.45。 根据规则2，根轨迹在实轴上的分布为[-∞,-4]和[-2,-1]，从而可知s1是实轴上的分离点，s2是实轴上的汇合 点。 分离点和汇合点处的根轨迹增益分别为：
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K* d1
B(s) A(s)
(s 1)(s 2) s4
s1.55
0.1
K* d2
B(s) A(s)
(s 1)(s 2) s4
s6.45
9.9
规则6 根轨迹与虚轴的交点。若根轨迹与虚轴相交。则交点上的K*值和ω值可用两 种方法求得。
（1）劳斯判据； （2）令闭环系统特征方程中的s=jω ，并令虚部和实部分别为零而求得。
a
(2k 1)
nm
(2k 1)
30
取式中的k=0，1，2，得φa=π/3，π，5π/3。
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渐进线与实轴的交点为
a
1 nm
n j 1
pj
m i1
zi
(0 1 3
2)
1
三条渐近线如图4-13中的虚线所示。
（3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以 及－2点的左边，如图4-13中的粗实线所示。
（4）确定分离点。由式（4-21）得
s(s 1)(s 2)' 0
3s2 6s 2 0
解得 s1 0.423
s2 1.577
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由于在－1到－2之间的实轴上没有根轨迹，故s2=－1.577显然不是所要求的分离 点。因此，两个极点之间的分离点应为s1=－0.423。 （5）确定根轨迹与虚轴的交点 方法一 利用劳斯判据确定 闭环特征方程为
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4.2.1 等相角根轨迹的绘制规则 负反馈控制系统的典型结构图如图4.3所示。其开环传递函数和根轨迹方程式分别如式（4-7）和式（48）所示。当根轨迹增益K*大于零时，根轨迹的幅值条件和相角条件分别如式（4-11）和式（4-12）所示。 这种情况下绘制的根轨迹称为180°等相角根轨迹，下面讨论绘制180°等相角根轨迹的基本规则。
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4.1.1 根轨迹的概念
根轨迹指的是系统某个参数（如根轨迹增益K *
或开环零、极点）变化时，闭环特征根在s平面上
移动的轨迹。
下面结合图4.1所示系统，说明根轨迹的基本概念。
R(s)
2K
C(s)
s(s 2)
图4.1 系统结构图
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系统开环传递函数为
G(s) 2K s(s 2)
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【例4.3】设系统的开环传递函数为
K* G(s)H(s)
s(s 1)(s 2)
试绘制系统的根轨迹。
解：（1）系统的开环极点为0，-1，-2是根轨 迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点， 三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。
（2）系统的根轨迹有n-m=3条渐进线， 渐进线的倾斜角为
该渐近线与实轴的交点为
夹角为： a
(2k 1) nm
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
k 0,1,2,, n m 1
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【例4.1】 系统开环传递函数为
G(s)H (s)
K * (s 1) s2 (s 2)(s
4)
试根据已知的四个基本规则，确定绘制根轨迹
的有关数据。
（4-6）
满足上式的s点均为闭环系统的特征根（闭环 极点），反过来，根轨迹上的所有点均必须满足 式上式。上述式子称为根轨迹的基本方程。
上式中G(s)H(s)为系统的开环传递函数，一 般情况下开环传递函数写成零、极点形式为
m
(s z j )
G(s)H (s) K *
j 1 n
(s pi )
i 1
所以
2
有以上规则即可概略绘制出系 统的根轨迹图。
用MATL AB程序绘制出的根轨 迹图如图4.7所示。 MATL AB程序为：y=zpk([],[0 -1 2],1)；rlocus(y)
K* 6
Imaginary Axis
Root Locus 4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-6
-5
-4
-3
-2
-1
闭环极点分别如图417所17可知时系统的阻尼角为调整时间为2估算系统的性能指标系统的闭环传递凼数为60cotcot第69页共102页433利用根轨迹法分析参数调整对系统性能的影响2节介绍了从根轨迹图了解参数变化对系统性能的影响反过来二阶系统戒具有共轭复数闭环主导极点的高阶系统通常可以根据瞬态性能指标的要求在复平面上画出使系统满趍性能指标要求的闭环极点戒高阶系统的闭环主导极点所处的区域
绘制根轨迹的基本方法就是根据系统的开 环零点，极点以及根轨迹增益来获得系统闭环 极点的轨迹。因此，通常用（4-8）所示的具有 开环零、极点形式的开环传递函数来绘制根轨 迹。式（4-8）称为系统的根轨迹方程。
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因为G(s)H(s)为复变量s的函数，式（4-8）可表示成模值方程和相 角方程
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4.2绘制系统根轨迹的基本法则
4.1节介绍了根轨迹的基本概念，根轨迹的条件和用解析法和试探法绘制根轨迹的方法。利用解析法和 试探法绘制根轨迹对于低阶系统是可行的，但对于高阶系统，绘制过程是很繁琐的，不便于实际应用。
本节先讨论以根轨迹增益K*作为参变量时的180°和0°等相角根轨迹的绘制规则，然后介绍系统其他参 数作为参变量时的根轨迹绘制方法。
4. 渐近线有n-m=3条，交角为
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交点为
a
(2k 1) nm
(2k 1) nm
(2k 1) nm
3
5
3
k 0 k 1 k 2
4
a
i 1
pi z1 3
0 0 2 4 (1) 3
5 3
Im
3
2
渐近线 1
-4
-3
-2
-1
0
Re
-1 渐近线
-2
-3
。根轨迹与虚s轴交点j 处2的频率为 2 1.41
方法二 令s=jω代入闭环特征方程式，可得
( j)3 3( j)2 2( j) K * 0
即
，
(K * 32 ) j(2 2 ) 0
令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即
K * 3 2 0
2 2 0
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（4-7）
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闭环特征方程为
m
(s z j )
G(s)H (s) K *
j 1 n
1
(s pi )
i 1
（4-8）
上式中，z j ( j 1 ~ ， m) pi (i 1 ~ n) 分别为控制系统的 开环零点和极点，他们可以是复数范围内的
任何数。开环传递函数分子有理式的阶数是m，
s(s 1)(s 2) K * 0 s3 3s 2 2s K * 0
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劳斯列表为
s3
1
2
s2
3
K*
s1
s0
K*
由劳斯判据，系统稳定时 K*的临界值6 为K6*。相应于K*=6的频率可由辅助方程
3
3s2 K * 3s2 6 0 确定。
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解之得根轨迹与虚轴的交点为
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对图4.1所示的例子，在推导特征根和可调参数之间的关系时，根轨迹可用解析法绘制。但对于高阶系 统，很难写出特征根与参数之间关系的数学表达式。控制系统分析法的关键就是要有一种简单、实用的根轨迹 绘制方法，以便在特征方程根的解析表达式不易写出时，利用根轨迹图分析控制系统的性能。
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【例4.2】 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
G(s) K (0.25s 1) (s 1)(0.5s 1)
计算根轨迹的分离点和汇合点，以及分离点和汇 合点处的根轨迹增益。
解 首先将系统写成开环传递函数零、极点的形 式
G(s) K * (s 4) (s 1)(s 2)
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分离点和汇合点的坐标是下式（4-21）或式（4-22）的解
式中 或
A(s)B(s) A(s)B(s) 0 （4-21）
m
A(s) (s z j ) j 1
n
B(s) (s pi ) i 1
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
（4-22）
其中zj为各开环零点的数值；pi为各开环极 点的数值 。
•引 言 设计磁盘驱动器系统可以练习如何进行折衷和优化。磁盘驱动器必须保证磁头的
精确位置，并减小参数变化和外部振动对磁头定位造成的影响。机械臂和支撑簧片将 在外部振动的频率点上产生共振。对驱动器产生的干扰包括物理振动，磁盘转轴的磨 损和摆动，以及元器件老化引起的参数变化等。
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4.1 根轨迹的基本概念
系统闭环传递函数为
(s)
C(s) R(s)
s2
2K 2s
2K
闭环特征方程为
s2 2s 2K 0
（4-1） （4-2） （4-3）
闭环特征根为
s1 1 1 2K
s2 1 1 2K
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上式表明，特征方程的根随着变量K的变化而变化，如果令K从零变化到无穷，可以用解析的方法求出 闭环系统极点的全部数值，将这些数值在s平面上标出，并用光滑的线连接，如图4.2所示，图中的粗实线为 根轨迹，箭头表示随着K值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值为代表与闭环极点位置相应的K值。
图4.6 例4.1渐近线图
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规则5 根轨迹在实轴上的分离点和汇合点。两条或两条以上根轨迹分支在复平面上某一点相遇后又分 开，则该点称为根轨迹的分离点或汇合点。通常当根轨迹分支在实轴上相交后进入复平面时，习惯上称为该相 交点为根轨迹的分离点，反之，当根轨迹分支由复平面进入实轴时，它们在实轴上的交点称为汇合点。
0
1
2
Real Axis
图4.7 例4.3的根轨迹图
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规则7 根轨迹的出射角和入射角。开环复极点处，根轨迹的切线与正实轴的 夹角为出射角，以 标志；开环复零点处，根轨迹的切线与正实轴的夹角为入射角， 以 标志。
4.1.2 根轨迹的条件
闭环系统传递函数如图4.3所示
R(s)
C(s) G(s)
H (s)
图4.3 闭环控制系统
闭环传递函数为
(s) C(s) G(s)
R(s) 1 G(s)H (s)
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（4-4）
特征方程为
1 G(s)H (s) 0 （4-5）
或
G(s)H (s) 1
迹；
起点——对应于根轨迹上K*=0的点；
终点——对应于根轨迹上K*=∞的点。
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规则3 实轴上的根轨迹。若实轴上某一线段右边的所有开环零极点的总个数 为奇数，则这一线段就是根轨迹。
规则4 根轨迹的渐近线。当开环有限极点数n大于有限零点数m时，有n-m条 根轨迹分支趋于无穷远处并且无限接近于某一直线（渐近线）。
解 1.系统开环极点p1=0，p2=0，p3=-2，p4=-4，开环 零点为在z1=-1。将上述的开环零、极点分别用 “×”“O”在s平面的直角坐标系中进行标注。为开 环极点，终止点为开环零点和无穷远处。
3. 实轴上的根轨迹段为[-2,-1]，[-4,-∞]。
分母有理式的阶数是n。当系统的开环传递函
数写成上述形式时， 称为K *根轨迹增益，为参
变量，其值从零变化到无穷大。
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系统的开环传递函数还可以写成下述时间常数的形式
m
j
s
1
G(s)H (s) K j1 n Ti s 1
i 1
（4-9）
上式K中称为系统的开环增益。注意K和K*的区 别。
1 9 4 8 年 ， W. R . E v a n s 根 据 反 馈 控 制 系 统 开 、 闭 环 传 递 函 数 之 间 的 内 在 联 系 ， 提 出 一 种 由 系 统 开 环 零 、 极点的分布确定闭环系统特征方程根的图解方法——根轨迹法。这是一种由分析开环系统零、极点在复平面 上的分布出发，用图解表示特征方程的根与开环系统某个或某几个参数之间全部系统的方法。它不仅适用于单 回路系统，而且也可用于多回路系统。他已成为经典控制理论的基本方法之一，在工程上得到广泛的应用。
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规则1 在平面上将系统所有的开环零点以“O”表示，开环极点 以“×”表示。
规则2 根轨迹的分支数，起点和终点。根轨迹的分支数（闭环
极点数）与开环有限零点数m和有限极点数n中的大者相等，它们是
连续的并且对称于实轴。根轨迹的分支起始于开环极点，终止于开环 零点。
分支——当K*从零到无穷大变化时，闭环极点在s平面上所形成的轨