人教版九年级数学上册课件：22.2二次函数与一元二次方程

有两个
（1）
;
已知二次函数
的值为0，求自变量x的值
(的1部)分y图象 x2 3x 1; ∵ b2 4ac 13 0,
二次函数 与x轴位置关系有三种：
的图象与x
∴图象与x轴有两个公共点.
一元二次方程
抛物线
(2) y x 4x 4; (2)若抛物线与x轴没有公共点，求m的取值范围； 2
探究新知
问题4 观察下列二次函数的图象，与x轴有公共点吗？如果有公共点,写出公 共点的坐标.
（1）y x2 x 2 ；y（2x）2 6x 9
（3）
.
2 y y x2 x 2 4 y
y x2 6x 9
1
3
–3 –2 –1 O –1
2 12x
1
y ； x2 x 1
y x2 x 1
探究新知
抛物线 y ax2 bx c(a 0)
与x轴位置关系有三种： 有两个公共点， 有一个公共点， 没有公共点.
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
根的三种情况： 有两个不相等的实数根， 有两个相等的实数根， 没有实数根.
探究新知
解一元二次方程
ax2 bx c 0
2 3
1 2
–3 –2 –1 O 1 2 x 1 –1
y x2 6x 9
y x2 x 1
y 4
3
2
1
–2
–1 O 1 2 3 4 x –1 O 1 2 x
–1
–1
探究新知
问题5 当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此你能得出相应一元 二次方程的根吗？
由图象可知：
y x2 x 2
探究新知
与x轴有一个公共点，坐标是
∴方程有两个相等的实数根 .
（2）方程 当 x = x0 时，函 ∴图象与x轴没有公共点.
的根是 （；3）x2 x 1 0 .
b2 4ac 3 0, ∴方程没有实数根 .
探究新知
问题2 你能从函数解析式的角度解释解这三个
方程的含义吗？
（1） x2 x 2; 0
–1 O 1 –1
y0
一元二次方程x2 6x 9 0 有两个相等的实数根，是3
y x2 6x 9
234x
（3，0） xy
由图象可知：
（3）抛物线 y x2 x 1 与x轴没有公共点 .
探究新知 y 4
3 2
1
y x2 x 1
二次函数y x2 x 1 当x取任何实数时，y都不等于0
4
是 x1 1, x2 3 .
3
（1，0） 2
1
–2 –1 O 1 2 3 4 x –1
–2
（3，0）
x=1
新知应用
1.已知二次函数 y ax2 bx c(a 0)的部分图象
y
如图所示.
5
（2）方程 ax2 bx c 1 的根的情 4
况是有两个不相等的实数根；
3
2
解法1 ax2 bx c 1 0
探究新知
问题3 你能从函数图象的角度解释解这三个
方程的含义吗？ （1） x2 x 2 0 ;
（2） x2 6x 9 0;
（3） x2 x 1 0 . (1)确定抛物线 y x2 x 2与x轴公共点的横坐标.
(2)确定抛物线 y x2 6x 9 与x轴公共点的横坐标. (3)确定抛物线 y x2 x 1 与x轴公共点的横坐标.
1
–1 O 1 –1
y x2 6x 9
234x
（3，0）
由图象可知：
探究新知 y 4
（3）抛物线 y x2 x 1
3
与x轴没有公共点 .
2
1
y x2 x 1
–1 O 1 2 x –1
探究新知
抛物线与x轴三种不同的位置关系： 有两个公共点，有一个公共点，没有公共点.
y y x2 x 2 4 y
(1)确定抛物线
与x轴公共点的横坐标.
∴图象与x轴没有公共点. 解：∵抛物线与x轴有唯一公共点， 与x轴位置关系有三种：
b2 4ac 9 0, ∴方程有两个不相等的实数根 .
（2）x 6 x 9 0 问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的
（1）
;
2
;
（3）
.
b 4ac 0, 问题7 不画图象，你能确定二次函数的图象与x轴的公共点的2 个数吗？
2
的情况是
；
1
（3）方程 ax2 bx c k没有 –2
–1 O –1
1234x
实数根，则k的取值范围是 . –2
有两个不相等的实数根， 有两个不相等的实数根，
新知应用
抛物线
（1）方程
的根
与x轴公共点的横坐标是x0
1.已知二次函数
y ax2 bx c(a 0)的部分图象
数
y
（3）
.
已知二次函数
解法2
1
抛物线 y ax2 bx c
与直线y k没有公共点
–2 –1 O –1
–2
1234x
新知应用
2. 不画图象，判断下列二次函数的图象与x轴公共点的个数.
(1) y x2 3x 1; 二次函数图象与x轴公共点个数
(2) y x2 4x 4; 方程 ax2 bx c 0的根
4
是
；
3
2
思路2：直接看函数图象
1
方程 ax2 bx c 0 的根
–2 –1 O
–1
抛物线 y ax2 bx c
–2
1234x
与x轴公共点的横坐标
新知应用
1.已知二次函数 y ax2 bx c(a 0)的部分图象
y
如图所示.
5
（1）方程 ax2 bx c 0的根
b2 4ac
抛物线与x轴公共点个数
新知应用
y x2 x 2m
(1) 若抛物线与x轴有唯一公共点，求m的值；
(2)若抛物线与x轴没有公共点，求m的取值范围；
(3) 若抛物线与x轴有两个公共点，求m的取值范围. x2 x 2m 0. 12 4 (1) 2m 1 8m.
b2 4ac
1
ax2 bx c k 0没有实数根 –2 –1 O 1 2 3 4 x
–1
抛物线 y ax2 bx c k 与x
–2
轴没有公共点
新知应用
1.已知二次函数 y ax2 bx c(a 0)的部分图象
y
如图所示.
5
（3）方程 ax2 bx c k 没有实 4
3
数根，则k的取值范围是 k>4 . 2
y x2 6x 9
2
b2 4ac
1
–3 –2 –1 O –1
0
1234x
一元二次方程根的情况
–2 0
–3
新知应用
1.已知二次函数 y ax2 bx c(a 0)的部分图象
y
如图所示.
5
（1）方程 ax2 bx c 0的根
4
是
；
3
（2）方程 ax2 bx c 1 的根
的根的情
问题4 观察下列二次函数的图象，与x轴有公共点吗？如果有公共点,写出公共点的坐标.
二次函数的图象与x轴公共点的个数
情况. （2）方程
的根
有两个不相等的实数根，
问题4 观察下列二次函数的图象，与x轴有公共点吗？如果有公共点,写出公共点的坐标.
（1）x x 2 0 ; (2) 若抛物线与x轴没有公共点，求m的取值范围； 2
抛物线与x轴公共点个数
新知应用
y x2 x 2m
(1) 若抛物线与x轴有唯一公共点，求m的值；
0
解：∵抛物线与x轴有唯一公共点，
1 8m 0, 解得 m 1 .
8
b2 4ac
抛物线与x轴公共点个数
新知应用
y 4
3
2
1
–2
–1 O 1 2 3 4 x –1 O 1 2 x
–1
–1
探究新知
由图象可知：
y x2 x 2
y y x2 x 2
2 1
–3 –2 –1 O –1
–2
12x
（1，0）
探究新知
由图象可知：
4y
（2）抛物线 y x2 6x 9
3
与x轴有一个公共点，坐标是
2
（3，0）.
的一个根
探究新知
问题6 反过来，由一元二次方程根的情况，能确定相应的二次函数的图 象与x轴的公共点的情况吗？
探究新知
抛物线 y ax2 bx c 当 x = x0 时，函
x = x0 是方程
与x轴公共点的横
数 y ax2 bx c
ax2 bx c 0
坐标是x0
形 的值 y=0
数 的一个根
y=0 一元二次方程 x2 x 1 0 没有实数根
–1 O 1 2 x –1
从二次函数
探究新知
y ax2 bx 的c(图a象可得0如) 下结论
抛物线 y ax2 bx c(a 0) 与x轴位置关系有三种： 有两个公共点， 有一个公共点， 没有公共点.
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
1
y 1
抛物线 y ax2 bx c
–2 –1 O 1 2 3 4 x –1
与直线 y 1的公共点
–2
的横坐标
新知应用
1.已知二次函数 y ax2 bx c(a 0)的部分图象
y
如图所示.
5
（3）方程 ax2 bx c k 没有实 4
3
数根，则k的取值范围是 k>4 . 2
解法1
从二次函数
的图象可得如下结论
∵ b2 4ac 0,
∴图象与x轴有两个公共点. 抛物线与x轴公共点个数
∴图象与x轴有一个公共点.
（2）方程
的根
(3) y 2x 3x 2. 是
；
2
(1) 若抛物线与x轴有唯一公共点，求m的值；
∵ b2 4ac 7 0,
（2）
;
∴图象与x轴没有公共点.
22.2二次函数与一元二 次方程（2）
二次函数
复习回顾
一元二次方程
已知二次函数的值， 方程观点
求自变量的值
函数观点
描点画图
解一元二次方程
ax2 bx c 0
抛物线
y ax2 bx c
已知二次函数
的部分图象
（3）方程
没有实
（3）
.
探究新知
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的 （2）方程
根的三种情况： 有两个不相等的实数根， 有两个相等的实数根， 没有实数根.
从二次函数
探究新知
y ax2 bx 的c(图a象可得0如) 下结论
抛物线 y ax2 bx c
与x轴公共点的横 坐标是x0
当 x = x0 时，函 数 y ax2 bx c
的值 y=0
x = x0 是方程
ax2 bx c 0
一元二次方程根的情况
b2 4ac
(2) 若抛物线与x轴没有公共点，求m的取值范围； 有两个不相等的实数根，
新知应用
（1）方程
的根是 ；
∴图象与x轴有两个公共点. 的值为0，求自变量x的值
2. 不画图象，判断下列二次函数的图象与x轴公共点的个数.
(2)已知二次函数
的值为 ，求自变量x的值.
（3）若方程
如的图部分所图象示.
5
解：∵抛物线与x轴没有公共点，
(1)确定抛物线
是
；
（1）方程 与x轴公共点的横坐标. ax2 bx c 0 的根
4
是
；
数根，则k的取值范围是
.是
；
3
没有实数根
2
（2）方程 （2）方程 （3）方程
的的根根的的思情情 路1：直接计算
没有实
1
的值为0，求自变量x的值
（1）
;
根据函数图象信息求出
函数解析式，得到a ， b ， c 问题5 当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此你能得出相应一元二次方程的根吗？
（3）方程
没有实
抛物线与x轴公共点个数
的值，再解方程.
–2 –1 O 1 2 3 4 x –1
–2
新知应用
1.已知二次函数 y ax2 bx c(a 0)的部分图象
y
如图所示.
y y x2 x 2
2 1
y x2 x 2
y0
y0 x2 x 2 0
–3 –2 –1 O –1
–2
12x
（1，0）
xy
xy
由图象可知：
探究新知
4y
（2）抛物线 y x2 6x 9
3
与x轴有一个公共点，坐标是
2
（3，0）.
1
二次函数 y x2 6x 9 当x的值为3时，y 0
y x2 x 2;
（2） x2 6x 9; 0
y x2 6x 9;
（3） x2 x 1. 0
y x2 x 1.
(1)已知二次函数 y x2 x 2的值为0 ，求自变量x的值.
(2)已知二次函数 y x2 6x 9的值为0 ，求自变量x的值. (3)已知二次函数 y x2 x 1的值为0 ，求自变量x的值.
1
–2 –1 O
抛物线 y ax2 bx c 1
–1
与x轴公共点个数
–2
1234x
新知应用
1.已知二次函数 y ax2 bx c(a 0)的部分图象
y
如图所示.
5
（2）方程 ax2 bx c 1 的根的情 4
况是 有两个不相等的实数根；
3
2
解法2
y ax2 bx c y 1 x ?
数 已知二次函数y ax2 bx c
函数观点
的值为0，求自变量x的值
确定抛物线 y ax2 bx c
形 与x轴公共点的横坐标
方程观点
探究新知
问题7 不画图象，你能确定二次函数的图象与x轴的公共点的个数吗？
y x2 x 1
二次函数的图象与x轴公 0
y 4
共点的个数
y x2 x 2 3