高三数学：厦门市2024届高三下学期第二次质量检测试题和答案

厦门市2024届高中毕业班第二次质量检查
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}14A x x =-≤，40x B x
x ⎧⎫-=≥⎨⎬⎩⎭
，则A B =R ð（）A ．()0,4B ．[)0,4C ．[](]
3,04,5- D ．[)(]3,04,5- 2．已知正项等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且()()22334441,41S a S a =+=+，则d =（
）A ．1B ．2
C ．3
D ．43．已知,αβ为关于x 的方程2450x x -+=的两个虚根，则αβαβ
+=+（）
A ．5
2B ．5
2-C D ．4．已知样本()2,1,3,,4,5x x ∈R 的平均数等于60%分位数，则满足条件的实数x 的个数是（
）A ．0B ．1C ．2D ．35．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线3410x y ++=上．若向量()3,4a = ，则OP 在a 上的投影向量为（）
A ．3
4,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．34,55⎝⎭C ．34,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．34,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭
6．设12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，且满足112PF F F =，直线2PF 与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为（
）
A ．53
B
C ．2
D 7．已知()()()cos 140sin 110sin 130ααα-︒++=︒-︒，则tan α=（
）
A ．3
3B ．3
3
-C D ．8．设集合{}1,0,1A =-，(){}12345,,,,,1,2,3,4,5i
B x x x x x x A i =∈=，那么集合B 中满足1235413x x x x x ≤++++≤的元素的个数为（
）A ．60B ．100C ．120D ．130
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP 数据y （单位：百亿元）建
立了一元线性回归模型，根据最小二乘法得到的经验回归方程为ˆ0.4ˆ2y
x a =+，其中解释变量x 指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示：时间
1月2月3月4月5月6月编号x 1234
56y /百亿元
1y 2y 3y 11.1075y 6y （参考数据：621796i i y ==∑，()62170i i y y =-=∑）
，则（）
A ．经验回归直线经过点()
3.5,11B ．ˆ10.255a
=C ．根据该模型，该地2023年12月的GDP 的预测值为14.57百亿元
D ．第4个样本点()44,x y 的残差为0.103
10．如图1，扇形ABC 的弧长为12π，半径为AB 上有一动点M ，弧AB 上一点N 是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A 为顶点的圆锥，使得AB 和AC 重合，则在图2的圆锥中（）
（第10题图1）
（第10题图2）
A ．圆锥的体积为216π
B ．当M 为AB 中点时，线段MN 在底面的投影长为
C ．存在M ，使得MN AB
⊥D ．min 330
2
MN =11．已知()(),f x g x 都是定义在R 上的奇函数，且()f x 为单调函数，()11f >．x ∀∈R ，()()f g x x a -=（a 为常数），()()()()222g f x g f x x ++=+，则（）
A ．()20
g =B ．()33f <C ．()f x x -为周期函数D ．()21422n k f k n
n
=>+∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，点A 在C 上，且5AF =，O 为坐标原点，则AOF △的面积为______．13．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在ππ,36⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上单调，π4ππ633f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则ω的可能取值为______．14．已知函数()()log 0,0,1a
b f x x x a b b =->>≠，若()1f x ≥恒成立，则ab 的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是边长为2的菱形，1π3
ABB ∠=，AC =，M 为11A B 中
点，CM =
（第15题图）
（1）证明：平面ABC ⊥平面11ABB A ；
（2）若2BC =，求平面ABC 与平面1ABC 夹角的余弦值．
16．（15分）
定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形．如图，ABC △的面积为S ，三个内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，且222sin S C c b
=-．
（第16题图）
（1）证明：ABC △是倍角三角形；
（2）若9c =，当S 取最大值时，求tan B ．
17．（15分）
已知()2,0A ，()2,0B -，P 为平面上的一个动点．设直线,AP BP 的斜率分别为1k ，2k ，且满足
1234
k k ⋅=-．记P 的轨迹为曲线Γ．（1）求Γ的轨迹方程；
（2）直线PA ，PB 分别交动直线x t =于点C D 、，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．HC HD ⋅ 是否存
在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
18．（17分）
若*n ∀∈N ，都存在唯一的实数n c ，使得()n f c n =，则称函数()f x 存在“源数列”{}n c ．已知
()(]
ln ,0,1f x x x =∈．
（1）证明：()f x 存在源数列；
（2）（ⅰ）若()0f x
≤恒成立，求λ的取值范围；（ⅱ）记()f x 的源数列为{}n c ，证明：{}n c 前n 项和53n S <
．19．（17分）
小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5．
（1）若小明共投篮4次，在投中2次的条件下，求第二次没有投中的概率；
（2）若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中1X 次，第二组投篮2次，投中2X 次，求()12E X X -；
（3）记()P i 表示小明投篮()2,3,i i =⋅⋅⋅次，恰有2次投中的概率．
在投篮不超过()2n n ≥次的情况下，若小明投中2次，则停止投篮；若投篮n 次后，投中的次数仍不足2次，则不再继续投篮．记Y 表示小明投篮的次数．
证明：()()222n i E Y P i +=≥∑．。