2019年高考一轮热点难点精讲与专题09：无处不考的函数性质问题
高三一轮复习 函数的性质(偏难题)含答案
函数的性质及其应用教师用函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。
函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。
研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。
函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。
对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。
掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。
要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。
一、函数与反函数例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有 6 个．解：从A到B建立映射共有23=8个，其中由2个映射的像集是{4}和{5}，把这2个映射去掉，其它映射的像集都是{4，5}，函数的本质是一个数集到另一个数集的映射，所以，构成以A为定义域，B为值域的不同的函数共有8﹣2=6个，故答案为6．（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9 个．解：∵f（x）=x2﹣1，∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1因此，定义域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}，{0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况，故答案为：9（3）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= 2 ．解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f （x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2．二、函数值域及最值求法例2、（1）（2011•上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g （x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7] ．解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]，此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1 ，所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6] (1)同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =[x+g（x）]+2所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7] (2)由已知条件及（1）（2）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]故答案为：[﹣2，7]．（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是（0，4）．解：∵f（x）=4﹣在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在x∈[a，b]上值域为[f（a），f（b）]，所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb，所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0，所以mx2﹣4x+1=0必须有两个不相等的正根，故m≠0，∴，解得0＜m＜4．∴实数m的取值范围是（0，4）．故答案为：（0，4）．（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是[﹣2，6] ．解：∵函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，∴x1∈[﹣1，1]时，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]，要使上述范围内总能找到x2满足 g（x2）=f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，∵g（x）是一个二次函数，在[﹣1，1]上单调递减，∴值域为[﹣4，8]，因此，解得﹣2≤a≤6．故答案为：[﹣2，6]．三、函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013•资阳一模）已知函数若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是（﹣1，3）．解：∵x≤1时，函数y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，在（﹣∞，1]上单调递增；x＞1时，函数y=x3+1在（1，+∞）上单调递增，又x≤1时，﹣x2+2x+1≤2，x＞1时，x3+1＞2，∴函数，∴函数在R上单调增，∴2m+1＞m2﹣2，∴m2﹣2m﹣3＜0，∴﹣1＜m＜3，故答案为：（﹣1，3）（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是（1，3）．解：∵是R上的增函数，∴∴a∈（1，3）故答案为：（1，3）（3）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= 3 ．解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，又g（1）=1∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3，故答案为3（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ﹣3 ．解：由f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，得f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x﹣1），得f（x）=g（x+1）=﹣g（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2），即f（x）=﹣f（x+2），所以f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2012）=f（4×503）=f （0）=g（1）=﹣g（﹣1）=﹣3，f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（﹣1）=g（0）=0，所以f（2012）+f（2013）=﹣3，故答案为：﹣3．四、函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质热点难点突破文
专题02 函数的图象与性质1．下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的为( )A ．y ＝xB ．y ＝－3C ．y ＝12log xD ．y ＝＋1x答案 B解析 由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x 都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y ＝＋1x在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B. 2．已知函数f ()＝a －2xa ＋2x是奇函数，则f (a )的值等于( ) A ．－13B ．3C ．－13或3 D.13或3 答案 C解析 函数f ()为奇函数，则f (－)＝－f ()， 即a －2－x a ＋2－x ＝－a －2xa ＋2x在定义域内恒成立， 整理可得a ·2x －1a ·2x ＋1＝－a ＋2xa ＋2x， 即a 2＝1恒成立，∴a ＝±1，当a ＝1时，函数f ()的解析式为f ()＝1－2x 1＋2x ，f ()a ＝f ()1＝1－211＋21＝－13， 当a ＝－1时，函数f ()的解析式为f ()＝－1－2x －1＋2x ，f ()a ＝f ()－1＝－1－2－1－1＋2－1＝3. 综上可得f ()a 的值为－13或3. 3．函数f ()＝x ＋1||x ＋1log a ||x (0<a <1)的图象的大致形状是( )答案 C解析 f ()＝x ＋1||x ＋1log a ||x＝⎩⎪⎨⎪⎧ －log a x x <－1，log a ()－x ，－1<x <0，log a x ，x >0.故选C.4．设函数f ()＝12log (1＋2)＋11＋2|x |，则使得f ()≤f (2－1)成立的的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13∪[)1，＋∞答案 C5．已知函数f ()＝＋sin ，若a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f ()log 26，则a ，b ，c 的大小关系为() A ．a <b <c B ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a答案 D 解析 由于f (－)＝－f ()，且定义域为R ，故函数f ()为奇函数， 由于f ′()＝1＋cos ≥0，故函数f ()为定义域上的增函数，而2<log 26<3，所以b <c <a ，故选D.6．若函数f ()＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为( ) A ．[2,3]B ．[2，＋∞)C ．[1,3]D ．[1，＋∞)答案 A 解析 由题意得⎩⎨⎧ a 2≥1，－1＋a ＋1≤2＋1，∴a ∈[2,3]，故选A.7．函数y ＝()2－x e xx ＋12的图象大致为( )答案 B解析 令y ＝0，可得＝2，即函数y ＝2－x e xx ＋12有唯一的零点＝2，四个选项中，只有选项B 符合题意，故选B.8．已知log 2＝log 3y ＝log 5<0，则2x ，3y ，5z的大小排序为( )A.2x <3y <5zB.3y <2x <5zC.5z <2x <3yD.5z <3y <2x答案 A解析 ，y ， 为正实数，且log 2＝log 3y ＝log 5<0，令log 2＝log 3y ＝log 5＝(<0)，∴x 2＝2－1，y 3＝3－1，z 5＝5－1， 可得2x ＝21－，3y ＝31－，5z＝51－， 又1－>0，∴函数f ()＝1－在(0，＋∞)上单调递增，∴2x <3y <5z.故选A. 9．已知y ＝f ()满足f (＋1)＋f (－＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是( )A ．f (－1)＋1是偶函数B ．f (－＋1)－1是奇函数C ．f (＋1)＋1是偶函数D ．f (＋1)－1是奇函数答案 D解析 方法一 根据题干条件可知函数f ()关于点(1,1)中心对称，故f (＋1)关于点(0,1)中心对称，则f (＋1)－1关于点(0,0)中心对称，是奇函数．方法二 ∵f (＋1)＋f (－＋1)＝2，∴f (－＋1)－1＝－f (＋1)＋1＝－[f (＋1)－1]，∴f (＋1)－1是奇函数．10．若函数y ＝f ()，∈M 对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数，都有af ()＝f (＋T )恒成立，此时T 为f ()的类周期，函数y ＝f ()是M 上的a 级类周期函数，若函数y ＝f ()是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数且T ＝2，当∈[0,2)，f ()＝⎩⎨⎧ 12－2x 2，0≤x ≤1，f 2－x 1<x <2， 函数g ()＝－2ln＋122＋＋m，若∃1∈[6,8]，∃2∈(0，＋∞)使g(2)－f(1)≤0成立，则实数m的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，132B．(－∞，12]C．(－∞，39] D．[12，＋∞)答案 C解析根据题意，对于函数f()，当∈[0,2)时，f()＝⎩⎨⎧12－2x2，0≤x≤1，f2－x1<x<2，分析可得：当0≤≤1时，f()＝12－22，此时f()的最大值f(0)＝12，最小值f(1)＝－32，当1<<2时，f()＝f(2－)，函数f()的图象关于直线＝1对称，则此时有－32<f()<12，又由函数y＝f()是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数，且T＝2，则在∈[6,8)上，f()＝33·f(－6)，则有－812≤f()≤272，则f(8)＝27f(2)＝81f(0)＝812，则函数f()在区间[6,8]上的最大值为812，最小值为－812；对于函数g()＝－2ln ＋122＋＋m，g′()＝x－1x＋2x.分析可得：在(0,1)上，g′()<0，函数g()为减函数，在(1，＋∞)上，g′()>0，函数g()为增函数，则函数g ()在(0，＋∞)上有最小值g (1)＝32＋m ， 若∃1∈[6,8]，∃2∈(0，＋∞)，使g (2)－f (1)≤0成立，必有g ()min ≤f ()ma ，即32＋m ≤812， 得m 的取值范围为(－∞，39]．11．函数f ()＝122－ln 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1] B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 解析：由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′()＝－1x≤0，解得0<≤1，所以函数f ()的单调递减区间为(0，1]．答案：B12．若a >0，b >0，且函数f ()＝43－a 2－2b ＋2在＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：∵f ()＝43－a 2－2b ＋2，∴f ′()＝122－2a －2b ，又∵f ()在＝1处有极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0⇒a ＋b ＝6，∵a >0，b >0，a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．答案：D13．已知函数f ()＝133＋a 2＋3＋1有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3，3)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：f ′()＝2＋2a ＋3.由题意知方程f ′()＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4a 2－12>0，解得a >3或a <－ 3.答案：D14．已知函数f ()＝3＋a 2＋3－9，若＝－3是函数f ()的一个极值点，则实数a ＝________.解析：f ′()＝32＋2a ＋3，由题意知＝－3为方程32＋2a ＋3＝0的根，∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.答案：515．若函数f ()＝－122＋4－3ln 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．16．已知函数f ()＝e(a ＋b )－2－4，曲线y ＝f ()在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f ()的单调性，并求f ()的极大值．解：(1)f ′()＝e(a ＋a ＋b )－2－4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f ()＝4e(＋1)－2－4，f ′()＝4e(＋2)－2－4＝4(＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12. 令f ′()＝0，得＝－ln 2或＝－2.从而当∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′()>0；当∈(－2，－ln 2)时，f ′()<0.故f ()在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当＝－2时，函数f ()取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．17．设函数f ()＝1＋(1＋a )－2－3，其中a >0.(1)讨论f ()在其定义域上的单调性；(2)当∈[0，1]时，求f ()取得最大值和最小值时的的值．解：(1)f ()的定义域为(－∞，＋∞)，f ′()＝1＋a －2－32.令f ′()＝0，得1＝－1－4＋3a 3， 2＝－1＋4＋3a 3，1<2， ∴f ′()＝－3(－1)(－2)．当<1或>2时，f ′()<0；当1<<2时，f ′()>0.故f ()在(－∞，1)和(2，＋∞)内单调递减，在(1，2)内单调递增．(2)∵a >0，∴1<0，2>0.①当a ≥4时，2≥1，由(1)知，f ()在[0，1]上单调递增，∴f ()在＝0和＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，2<1.由(1)知，f ()在[0，2]上单调递增，在[2，1]上单调递减，因此f ()在＝2＝－1＋4＋3a 3处取得最大值． 又f (0)＝1，f (1)＝a ，∴当0<a <1时，f ()在＝1处取得最小值；当a ＝1时，f ()在＝0和＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f ()在＝0处取得最小值．综上①②可知，当a ≥4时，f ()取得最大值和最小值时的值分别为1和0；当0<a <4时，f ()取得最大值时的值为－1＋4＋3a 3；当0<a <1时，f ()取最小值时的值为1；当a ＝1时，f ()取得最小值时的值为0或1；当1<a <4时，f ()取得最小值时的值为0.18．已知函数f ()＝e －－a (∈R)．(1)当a ＝－1时，求函数f ()的最小值；(2)若≥0时，f (－)＋ln(＋1)≥1，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，f ()＝e －＋，则f ′()＝－1e x ＋1. 令f ′()＝0，得＝0.当<0时，f ′()<0；当>0时，f ′()>0.∴函数f ()在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．∴当＝0时，函数f ()取得最小值，其值为f (0)＝1.(2)若≥0时，f (－)＋ln(＋1)≥1，即e ＋a ＋ln(＋1)－1≥0.(*)令g ()＝e ＋a ＋ln(＋1)－1，则g ′()＝e ＋1x ＋1＋a . ①若a ≥－2，由(1)知e －＋≥1，即e －≥1－，故e ≥1＋.∴g ′()＝e ＋1x ＋1＋a ≥(＋1)＋1x ＋1＋a ≥2（x ＋1）·1x ＋1＋a ＝2＋a ≥0. ∴函数g ()在[0，＋∞)上单调递增．∴g ()≥g (0)＝0.∴(*)式成立．②若a <－2，令φ()＝e ＋1x ＋1＋a ， 则φ′()＝e －1（x ＋1）2＝（x ＋1）2e x －1（x ＋1）2≥0. ∴函数φ()在[0，＋∞)上单调递增．由于φ(0)＝2＋a <0， φ(－a )＝e －a ＋11－a ＋a ≥1－a ＋11－a ＋a ＝1＋11－a>0. 故∃0∈(0，－a )，使得φ(0)＝0.则当0<<0时，φ()<φ(0)＝0，即g ′()<0.∴函数g ()在(0，0)上单调递减．∴g (0)<g (0)＝0，即(*)式不恒成立．综上所述，实数a 的取值范围是[－2，＋∞)．19.已知函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f ()的单调区间；(2)若f ()有最大值3，求a 的值．20.已知函数f ()＝－＋log 21－x 1＋x. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值； (2)当∈(－a ，a ]，其中a ∈(0，1)，a 是常数时，函数f ()是否存在最小值？若存在，求出f ()的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f ()＋f (－)＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0. (2)f ()的定义域为(－1，1)，∵f ()＝－＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2x ＋1， 当1<2且1，2∈(－1，1)时，f ()为减函数，∴当a ∈(0，1)，∈(－a ，a ]时f ()单调递减，∴当＝a 时，f ()min ＝－a ＋log 21－a 1＋a.。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质热点难点突破文
专题函数的图象与性质．下列函数中既是奇函数，又在区间(，＋∞)上是减函数的为( )
．＝．＝－
．＝．＝＋
答案
解析由题意得，对于函数＝和函数＝都是非奇非偶函数，排除，.
又函数＝＋在区间()上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，排除，故选.
．已知函数()＝是奇函数，则()的值等于( )
．－．
．－或或
答案
解析函数()为奇函数，则(－)＝－()，
即＝－在定义域内恒成立，
整理可得＝，
即＝恒成立，∴＝±，
当＝时，函数()的解析式为
()＝，＝＝＝－，
当＝－时，函数()的解析式为
()＝，＝＝＝.
综上可得的值为－或.
．函数()＝(<<)的图象的大致形状是( )
答案
解析()＝
＝
错误!故选.
．设函数()＝(＋)＋，则使得()≤(－)成立的的取值范围是( )
．(－∞，] ．[，＋∞)
∪
答案
．已知函数()＝＋，若＝()，＝()，＝，则，，的大小关系为( )
．<< ．<<
．<< ．<<
答案
解析由于(－)＝－()，且定义域为，
故函数()为奇函数，
由于′()＝＋≥，
故函数()为定义域上的增函数，
而<<，所以<<，故选.
．若函数()＝(\\(＋，≥，,－＋＋，<))在上是增函数，则的取值范围为( ) ．[] ．[，＋∞)
．[] ．[，＋∞)
答案
解析由题意得(\\(()≥，,－＋＋≤＋，))
∴∈[]，故选.
．函数＝的图象大致为( )。
函数的概念和性质高考真题
函数的概念和性质高考真题1.函数的概念和性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是值域中的元素。
1.2 函数的性质函数有很多性质，其中一些比较重要的包括：1）定义域和值域：函数的定义域是所有可能输入的集合，值域是所有可能输出的集合。
2）奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。
3）单调性：如果对于函数f(x)，当x1f(x2)，则称f(x)在区间(x1,x2)上单调递减。
4）零点和极值：函数的零点是函数图像与x轴的交点，极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。
2.例题解答2.1（2019江苏4）函数y=7+6x-x^2的定义域是所有实数。
函数f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-eax。
若f(ln2)=8，则a=ln(1/4)。
2.2（2019全国Ⅱ理14）已知。
2.3（2019全国Ⅲ理11）设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则正确的不等式是B。
2.4（2019北京理13）设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数)，若f(x)为奇函数，则a=0；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是(-∞,0)。
2.5（2019全国Ⅰ理11）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(π/2,π)单调递增；③f(x)在[-π,π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是B。
2.6（2019全国Ⅰ理5）函数f(x)=sinx+x/cosx+x^2在[-π,π]的图像大致为D。
2.7（2019全国Ⅲ理7）函数y=2x+2-x在[-6,6]的图像大致为A。
2.8（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y=11/x^2，y=loga(x+2)(a>0且a≠1)的图像可能是B。
2019年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 3.1三角函数
2019年高考一轮复习热点难点精讲精析：3.1三角函数一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1、三角函数的定义※相关链接※（1）已知角α终边上上点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的α值。
注：若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。
※例题解析※〖例〗已知角α的终边落在直线3x+4y=0上，求sinα,cosα,tanα的值。
思路解析：本题求α的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角α的终边上任意一点P（4t,-3t）(t≠0)，求出r，由定义得出结论。
解答：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点 P（4t,-3t）(t≠0)，则x=4t,y=-3t.,当t>0时，r=5t,sinα=yr=3355tt-=-,44cos55x tr tα===，33tan44y tx tα-===-；当t<0时，r=-5t，sinα=yr=3355tt-=-，44cos55x tr tα===--，33tan44y tx tα-===-。
综上可知，sinα=35-，4cos5α=，3tan4α=-；或sinα=35,4cos5α=-,3tan4α=-.2、象限角、三角函数值符号的判断※相关链接※（1）熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键；（2）判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限；（3）对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限。
※例题解析※〖例〗（1）如果点P （sin θ·cos θ,2cos θ）位于第三象限，试判断角θ所在的象限； （2）若θ是第二象限角，则sin(cos )cos(sin 2)θθ的符号是什么？思路解析：（1）由点P 所在的象限，知道sin θ·cos θ，2cos θ的符号，从而可求sin θ与cos θ的符号；（2）由θ是第二象限角，可求cos θ，sin2θ的范围，进而把cos θ，sin2θ看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在的象限，从而sin(cos θ),cos(sin2θ)的符号可定。
高中数学重点、难点突破(3)函数的基本性质
高中数学重点、难点突破（3）函数的基本性质1．增函数、减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有：(1) ⇔f (x )在区间D 上是增函数; (2) ⇔f (x )在区间D 上是减函数.2．单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是 或 ，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的 .3．函数的最值前提设函数f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件①对于任意的x ∈I ，都有 ； ②存在x 0∈I ，使得 .①对于任意的x ∈I ，都有 ； ②存在x 0∈I ，使得 . 结论 M 是y ＝f (x )的最大值 M 是y ＝f (x )的最小值4．奇函数、偶函数的定义对于函数f (x )的定义域内的任意一个x . (1) ⇔f (x )为偶函数;(2) ⇔f (x )为奇函数.5．奇、偶函数的性质(1)图象特征：奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称．(2)对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性．(3)奇函数图象与原点的关系：如果奇函数f (x )在原点有意义，则f (0)＝ .1.如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( )A ．a ＝－2B ．a ＝2C ．a ≤－2D ．a ≥22.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )A ．y ＝3－xB ．y ＝1xC ．y ＝－x 2＋4D ．y ＝|x | 3.函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在x ∈R 上是减函数，则k 的取值范围是( )A ．k ＞12B ．k ＜12C ．k ＞－12D ．k ＜－124.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－125.已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．26.已知y ＝f (x )是偶函数，则函数y ＝f (x ＋1)的图象的对称轴是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝12D ．x ＝－127.设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数8.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |9.函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( )A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增10. 函数f(x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的单调增区间为________，f (x )max ＝________.11.函数f (x )＝11－x (1－x )的值域是________． 12.函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________. 13.已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.14.设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )＜0的解集为R ，则实数m 的取值范围是___。
2019年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.9函数与方程
2019年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.9函数与方程1、零点的判定 ○相关链接○（1）解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断。
（2）用定理：零点存在性定理。
注：如果函数()y f x =在[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且0x 是函数在这个区间上的一个零点，但()()0f a f b <不一定成立。
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断 ○例题解析○〖例〗判断下列函数在给定区间是否存在零点。
（1） f(x)=x 2-3x-18,x ∈[1,8]; （2） f(x)=log 2(x+2)-x,x ∈[1,3]分析：第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解。
解答：（1）方法一： ∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,f(8)=82-3×8-18=22>0∴f(1)·f(8)<0,故f(x)=x 2-3x-18, x ∈[1,8]存在零点 方法二：令f(x)=0得x 2-3x-18=0，x ∈[1,8]。
∴ (x-6)(x+3)=0,∴x=6∈[1,8],x=-3∉[1,8],∴f(x)=x 2-3x-18, x ∈[1,8]存在零点（2）方法一：∵f(1)=log 23-1>log 22-1=0,f(3)=log 25-3<log 28-3=0,（3） ∴f(1)·f(3)<0,故f(x)=log 2(x+2)-x,x ∈[1,3]存在零点。
方法二：设y=log2(x+2),y=x,，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当13x ≤≤时，两图象有一个交点，因此f(x)=log 2(x+2)-x,x ∈[1,3]存在零点。
注：(1)判断函数零点所在的区间，当方程f(x)=0无法解出或函数y=f(x)的图象不易作出时，常用函数零点存在的判定定理判断.(2)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题.2、函数零点个数的判定 ○相关链接○函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间［a,b ］上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.○例题解析○判断函数232()43f x x x x =+-在区间[]1,1-上零点的个数，并说明理由。
高三一轮复习函数专题1---函数的基本性质
函数专题1、函数的根本性质复习提问：1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。
2、如何求一个函数的定义域〔特别是抽象函数的定义域问题〕3、如何求一个函数的解析式。
〔常见方法有哪些〕4、如何求函数的值域。
〔常见题型对应的常见方法〕5、函数单调性的判断，证明和应用〔单调性的应用中参数问题〕6、函数的对称性〔包括奇偶性〕、周期性的应用7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题 知识分类一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法那么f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法那么确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法那么为函数的两个根本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法那么都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？〔1〕f 〔x 〕=2x ，g 〔x 〕=33x ；〔2〕f 〔x 〕=x x ||，g 〔x 〕=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x〔3〕f 〔x 〕=1212++n n x ，g 〔x 〕=〔12-n x 〕2n －1〔n ∈N *〕；〔4〕f 〔x 〕=x1+x ，g 〔x 〕=x x +2；〔5〕f 〔x 〕=x 2－2x －1，g 〔t 〕=t 2－2t －1.二、函数的定义域〔请牢记：但凡说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围〕 1、求以下函数的定义域：(1)ｙ＝－221x ＋１(2)ｙ＝422--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x(5)ｙ＝3142-+-x x (8)ｙ＝3-ax 〔ａ为常数〕2、〔1〕f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域； 〔2〕f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域；3、假设函数)(x f y =的定义域为[ 1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 5、函数682-+-=k x kx y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。
高考专题02+函数问题的解题规律-名师揭秘2019年高考数学(理)命题热点全覆盖(教师版)
专题02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二．知识点【学习目标】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；3．了解简单的分段函数，并能简单应用；4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【知识要点】1．函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.2．映射的概念设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A 到集合B的映射．3．函数的特点①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；③关键是对应法则．4．函数的表示法函数的表示法：图示法、解析法．5．判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．6．分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练（一）定义域陷阱例1. 【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数=在上有最大值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得，综上可得结果,.【解析】在上为减函数，，且在上恒成立，，，又在上有最大值，且在上单调递增，在上单调递减，且，，解得，综上所述，，故选A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.练习1.【湖北2019重点中学联考】若y=f（x）的定义域为（0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．（0，1] B．[0，1）C．（0，1）∪（1，4] D．（0，1）【答案】D【点评】本题考查了抽象函数的定义域与应用问题，是基础题．（二）抽象函数的隐含条件陷阱例1. 【2019福建联考】已知定义在上的函数满足:，若, 则A．B．C．D．【答案】D【解析】f（x+y）=f（x）+f（y）+1，且f（8）=15，令x=y=4，可得f（8）=2f（4）+1=7，解得f（4）=3，再令x=y=2，可得f（4）=2f（2）+1=3，解得f（2）=1．故选：D．【点评】本题考查抽象函数的运用：求函数值，注意运用赋值法，考查运算能力，属于基础题．练习1.设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意，都有，则＝（）A．0 B．2018 C．2 017 D．1【答案】B【解析】令,利用,求出,再利用，令,求的解析式，从而可得结果. 【详解】，令，得，，令，又，，，故选B.【点评】本题主要考查抽象函数的解析式，属于中档题. 解抽象函数的解析式问题，往往利用特值法：（1）；（2）；（3）.（三）定义域和值域为全体实数陷阱例3．【山东省师大附中2019第二次模拟考】函数的值域为，则实数的范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分段函数的值域为R，则函数y=f（x）在R上连续且单调递增，列出关于a的不等式组即可求解a的值.【详解】因为函数的值域为所以解得：故选C【点评】本题考查了分段函数的单调性，其题干描述较为隐蔽，需要通过分析其值域为R得到该函数在R 上是增函数，然后根据分段函数的单调性条件求解出a的范围.练习1.已知函数y＝f（x）的定义域是R，值域为[-1，2]，则值域也为[-1，2]的函数是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据的值域为[-1，2]，即，即可求出，以及的范围，从而找出正确选项．【点睛】本题考查分段函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.练习1.若函数在上有意义，则实数的取值范围是______ ．【答案】.【解析】使用换元令t=2x，将函数转化为一元二次函数y=1+t+at2进行求解．【点睛】本题考查了与指数函数有关的复合函数的最值问题，通过换元，将函数转化为一元二次函数，是解决本题的关键，对应不等式恒成立问题通常是转化为含参问题恒成立，即求函数的最值问题．练习2．已知．（1）求的值域．（2）若对任意和都成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用换元法，将函数转化为关于t的二次函数，根据t的取值范围求得函数的值域。
2019年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.3函数的奇偶性与周期性
2019年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.3函数的奇偶性与周期性一、函数的奇偶性注：1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。
二、奇偶函数的性质1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填“相同”、“相反”）。
2、在公共定义域内，亦即：（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。
注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。
3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0.4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；6、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；7、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
三、周期性1、周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，T 为这个函数的周期。
2、最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期。
2019年高考冲刺各题型解题技巧汇总函数的性质——灵活运用,绕开陷阱.
函数的性质——灵活运用,绕开陷阱名师纠错本 误点1、考虑不周导致错误样题1:函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， B ．(3)+∞， C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D ．(2)-∞，【错因分析】错解1:因为652+-=x x y 的单调递增区间为52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，,故选A.该解法没有掌握复合函数的单调性,直接把内函数的单调区间看作复合函数的单调区间. 错解2:因为u y 21log =为减函数,故只需找652+-=x x u 的单减区间,所以选C.该解法没有考虑到函数的定义域,从而导致函数的单调区间范围扩大.【正确答案】由定义域为(2)-∞，∪(3)+∞，,排除A 、C,因为u y 21log =为减函数,故只需找652+-=x x u 的单减区间,故212log (56)y x x =-+的单调增区间为(2)-∞，,选D【纠错反思】求函数的单调性,首先要求出函数的定义域,函数的单调区间都是定义域的子区间.对于复合函数()()x g f 的单调性,要先找出内函数()x g u =的单调性,若()x g u =与()u f y =的单调性相同（同增同减）,则复合函数()()x g f 单调递增,若()x g u =与()u f y =的单调性相反（一增一减）,则()()x g f 单调递减.样题2:已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 ( )（A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)7【错因分析】若x a log 为减函数,则10<<a ；若()a x a 413+-为减函数,则013<-a 解得 31<a ,结合10<<a ,所以a 的取值范围是1(0,)3.只让分段函数的每一段满足单调递减,没有考虑到函数在整个定义域(,)-∞+∞上单调递减.【正确答案】若x a log 为减,则10<<a ；若()a x a 413+-为减,则013<-a 解得 31<a ,又在(,)-∞+∞上为减函数,故当1=x 时,函数值()≤+⨯-a a 41131log a ,解得71≥a 所以∈a 11[,)73【温馨提示】分段函数是一个函数,而不是多个函数,因此对于分段函数的单调性,必须要在整个函数的定义域内考虑,特别是在函数的分界点处,要满足函数的单调性.分段函数是历年高考的热门话题,常考常新,值得我们在复习时认真对待． 误点2、性质应用错误样题3: 在R 上定义的函数()f x 是偶函数,且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数,则()f x ( )A.在[2,1]--上是增函数,在[3,4]上是增函数B.在[2,1]--上是增函数,在[3,4]上是减函数C.在[2,1]--上是减函数,在[3,4]上是增函数D.在[2,1]--上是减函数,在[3,4]上是减函数【错因分析】根据()()x f x f -=2,可知函数()f x 的周期为2,根据()f x 在区间[1,2]上是减函数,所以在区间[3,4]上也是减函数,又因为()f x 是偶函数,所以根据偶函数在对称区间上的单调性相反,所以在区间[2,1]--上是增函数,故答案选B.该做法也找到了正确答案,却是歪打正着. 由()()x f x f -=2得到的是函数()f x 关于x 1=对称,而不是周期为2.【正确答案】由()(2)f x f x =-可知()f x 图象关于x 1=对称,又因为()f x 为偶函数图象关于0x =对称,可得到()f x 为周期函数且最小正周期为2,结合()f x 在区间[1,2]上是减函数,可得如右()f x 草图.故选B.【思维提升】对于函数的奇偶性、单调性、周期性综合应用的题,有必要记住以下常见的结论:⑴若()()x a f x f -=2,或()()x a f x a f -=+,则()f x 关于a x =对称；⑵若()()x a f x f +=2,或()()a x f a x f -=+或()()x f a x f 1=+或()()x f a x f 1-=+则()f x 的周期为a T 2=；⑶若函数()f x 为偶函数,且关于a x =对称,则函数()f x 的周期为a T 2=；若函数()f x 为奇函数,且关于a x =对称,则函数()f x 的周期为a T 4=.掌握这些常见的结论,对我们解决与函数性质相关的题时,很有帮助.样题4:若()x f 是定义在()1,1-上的偶函数,且在[)1,0上单调递增,若()()0422<---a f a f ,求实数a 的取值范围.【错因分析】因为()x f 是偶函数,且在[)1,0上单增,所以()x f 在(]0,1-上单减.又()()0422<---a f a f 可化为:()()242a f a f -<-,下边分三种情况讨论:⑴当242a a --和同在[)1,0内时；⑵当242a a --和同在(]0,1-内时,⑶当242a a --和一个在区间[)1,0内,另一个在区间(]0,1-内时------上面这种解题方法不算错误,但是计算量大,步骤繁琐,非常容易出错.属于“小题大做”.【正确答案】:因为()x f 是定义在()1,1-上的偶函数,且在[)1,0上单调递增,所以()x f 在(]0,1-上单调递减,所以函数图象开口向上.又()()0422<---a f a f 可化为:()()242a f a f -<-,故根据()()()x f x f x f =-= 可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-<-⇒-<-<<⇒<-<-<<⇒<-<-222425314131121222a a a a a a a a a ⇒53<<a 且2≠a 所以a 的取值范围是()()5,22,3 ∈a【温馨提示】若函数()x f 是偶函数,则有:()()()x f x f x f =-=,反之亦然.这是偶函数性质中一个重要的公式.特别是在解决函数的奇偶性与单调性相结合的题时,思路简洁,计算简单,能够很好的避免利用分区间讨论法带来的繁琐计算,降低了出错率.样题5:定义域为R 的函数()x f 在),8(+∞上为单减,且函数()8+=x f y 为偶函数,则（ ）A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)【错因分析】()8+=x f y 为偶函数,所以()()88--=+x f x f ,所以------【正确答案】:()8+=x f y 为偶函数(8)(8).f x f x ⇒+=-+即()y f x =关于直线8x =对称。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质热点难点突破理
专题02 函数的图象与性质1．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2 B ．y ＝2|| C ．y ＝2－2－ D ．y ＝2＋2－解析：因为y ＝2为增函数，y ＝2－为减函数，所以y ＝2－2－为增函数，又y ＝2－2－为奇函数，所以选C. 答案：C2．函数y ＝lg x ＋1x －2的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,2)∪(2，＋∞)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)解析：由题意知，要使函数有意义，需⎩⎨⎧x －2≠0，x ＋1>0即－1<<2或>2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C. 答案：C3．下列函数中，图象是轴对称图象且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－2＋1C ．y ＝2D ．y ＝log 2||解析：因为函数的图象是轴对称图象，所以排除A ，C ，又y ＝－2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2||在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B. 答案：B4．设函数f ()＝⎩⎨⎧1＋log 22－xx <1，2x －1，x ≥1，f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12 解析：∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3；∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝9.优解 由f (－2)＝3，∴f (－2)＋f (log 212)>3排除A.由于log 212>1，要用f ()＝2－1计算，则f (log 212)为偶数，∴f (－2)＋f (log 212)为奇数，只能选C. 答案：C5．已知函数f ()的定义域为(－1,0)，则函数f (2＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析：由已知得－1<2＋1<0，解得－1<<－12，所以函数f (2＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，故选B.答案：B6．已知f ()是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f (－1)≤f (2)的解集为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，17．函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x－1cos 的图象的大致形状是( )解析：∵f ()＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos ，∴f (－)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1·cos(－)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos ＝－f ()，∴函数f ()为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，e>e 0＝1，21＋e x －1<0，cos>0，∴f ()<0，可排除选项D ，故选B. 答案：B8．已知f ()是R 上的奇函数，且y ＝f (＋1)为偶函数，当－1≤≤0时，f ()＝22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1解析：因为函数f ()为奇函数，所以f (－)＝－f ()，又y ＝f (＋1)为偶函数，所以f (＋1)＝f (－＋1)，则f ()＝f (－＋2)＝－f (－2)＝－f (－＋4)＝f (－4)，所以函数f ()的周期为4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝12，故选A. 答案：A9．现有四个函数：①y ＝·sin ，②y ＝·cos ，③y ＝·|cos|，④y ＝·2的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①解析：函数①y ＝·sin 为偶函数，图象关于y 轴对称，对应的是第一个函数图象，从而排除选项C ，D ；对于函数④y ＝·2，y ′＝2(1＋ln2)，>0时，y ′>0，函数单调递增，所以函数④y ＝·2对应的是第二个函数图象；又>0时，函数③y ＝·|cos|≥0，对应的是第四个函数图象，从而排除选项B ，故选A. 答案：A10．若函数f ()同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀∈R ，都有f (－)＋f ()＝0； (2)∀1，2∈R ，且1≠2，都有f x 1f x 2x 1－x 2<0.①f ()＝sin ；②f ()＝－23；③f ()＝1－；④f ()＝ln(x 2＋1＋)． 以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：由条件(1)，得f ()是奇函数，由条件(2)，得f ()是R 上的单调减函数．对于①，f ()＝sin 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f ()＝－23既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f ()＝1－不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f ()在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B. 答案：B11．下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的为( ) A ．y ＝x B ．y ＝－3 C ．y ＝12log xD ．y ＝＋1x答案 B解析 由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y ＝＋1x在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B.12．已知函数f ()＝a －2xa ＋2x是奇函数，则f (a )的值等于( )A ．－13 B ．3C ．－13或3D.13或313．函数f()＝x＋1||x＋1log a||x(0<a<1)的图象的大致形状是()答案 C解析f()＝x＋1||x＋1log a||x＝⎩⎪⎨⎪⎧－log a x x<－1，log a()－x，－1<x<0，log a x，x>0.故选C.14．已知函数f()＝1－2x1＋2x，实数a，b满足不等式f(2a＋b)＋f(4－3b)>0，则下列不等式恒成立的是( ) A．b－a<2 B．a＋2b>2C．b－a>2 D．a＋2b<2答案 C解析由题意得f(－)＝1－2－x1＋2－x＝2x－12x＋1＝－1－2x2x＋1＝－f()，故函数f()为奇函数．又f()＝－2x－11＋2x＝－2x＋121＋2x＝－1＋21＋2x，故函数f()在R上单调递减．∵f(2a＋b)＋f(4－3b)>0，∴f(2a＋b)>－f(4－3b)＝f(3b－4)，∴2a＋b<3b－4，∴b－a>2.故选C.15．已知f()是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若a＝15(log3)f，b＝f(log35)，c＝f(0.20.5)，则a，b，c的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．c <b <a 答案 C解析 ∵f ()是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴a ＝15(log 3)f ＝f ()－log 53＝f ()log 53，∵12＝log 55<log 53<1,1＝log 33<log 35， 0<0.20.5＝55<12，∴0.20.5<log 53<log 35， ∵f ()在(－∞，0]上是增函数，f ()是定义在R 上的偶函数，∴f ()在[0，＋∞)上为减函数， 则f ()0.20.5>f ()log 53>f ()log 35， 即b <a <c ，故选C.16．若函数f ()＝⎩⎨⎧2x＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．[2,3]B ．[2，＋∞)C ．[1,3]D ．[1，＋∞) 答案 A解析由题意得⎩⎨⎧a 2≥1，－1＋a ＋1≤2＋1，∴a ∈[2,3]，故选A.17．函数y ＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin 的部分图象大致为( )答案 A解析 设f ()＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin ，由1＋ln||≠0，得≠±1e ，则函数f ()的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. ∵f (－)＝1－ln|－x |1＋ln|－x |·sin(－)＝－1－ln|x |1＋ln|x |·sin ＝－f ()，∴函数f ()为奇函数，排除D.又1>1e，且f (1)＝sin 1>0，故可排除B.0<1e 2<1e ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝1－ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1e 21＋ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1e 2·sin 1e 2 ＝121－2·sin 1e 2＝－3·sin 1e2<0，故可排除C.故选A.18．已知log 2＝log 3y ＝log 5<0，则2x ，3y ，5z的大小排序为( )A.2x <3y <5zB.3y <2x <5zC.5z <2x <3yD.5z <3y <2x答案 A解析 ，y ， 为正实数，且log 2＝log 3y ＝log 5<0，令log 2＝log 3y ＝log 5＝(<0)， ∴x 2＝2－1，y 3＝3－1，z5＝5－1， 可得2x ＝21－，3y ＝31－，5z＝51－，又1－>0，∴函数f ()＝1－在(0，＋∞)上单调递增， ∴2x <3y <5z.故选A.19．已知奇函数f ()满足f (＋1)＝f (1－)，若当∈(－1,1)时，f ()＝lg 1＋x1－x ，且f (2 018－a )＝1，则实数a 的值可以是( ) A.911 B.119 C ．－911 D ．－11920．函数f ()＝2－2ln 的单调递减区间是________．解析：函数f ()＝2－2ln 的定义域为(0，＋∞)，令f ′()＝2－2x＝2x ＋1x －1x<0，得0<<1，∴f ()的单调递减区间是(0,1)． 答案：(0,1)21．已知f ()是定义在R 上的函数，且满足f (＋2)＝－1f x ，当2≤≤3时，f ()＝，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________. 解析：∵f (＋2)＝－1f x，∴f (＋4)＝f ()，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤≤3时，f ()＝，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52. 答案：52B 组 能力提高9．(2017·全国Ⅲ)设函数f ()＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f ()＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的的取值范围是______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞解析 由题意知，对不等式分≤0,0<≤12，>12三段讨论．当≤0时，原不等式为＋1＋＋12>1，解得>－14，∴－14<≤0.当0<≤12时，原不等式为2＋＋12>1，显然成立．当>12时，原不等式为2＋122x ->1，显然成立．综上可知，的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.10．已知定义在R 上的函数f ()满足：①函数f ()的图象的对称中心为(1,0)，且对称轴为＝－1；②当∈[－1,1]时，f ()＝⎩⎨⎧1－x ，x ∈0，1]，1－x 2，x ∈[－1，0]，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝________.答案 －32解析 由题意作出f ()的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－32.11．(2018·全国Ⅲ)已知函数f ()＝ln(1＋x 2－)＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.答案 －2解析 ∵f ()＋f (－)＝ln(1＋x 2－)＋1＋ln(1＋x 2＋)＋1＝ln(1＋2－2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2.12．已知函数f ()是奇函数，当<0时，f ()＝－2＋.若不等式f ()－≤2log a (a >0且a ≠1)对∀∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________．13．(2018·河北衡水中学模拟)已知函数f ()＝22 019x ＋1＋sin ，其中f ′()为函数f ()的导数，则f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)等于( )A ．2B ．2 019C ．2 018D ．0答案 A解析 由题意得f ()＋f (－)＝2，∴f (2 018)＋f (－2 018)＝2，由f ()＋f (－)＝2可得f ()－1＋f (－)－1＝0，∴y ＝f ()－1为奇函数，∴y ＝f ()－1的导函数为偶函数，即y ＝f ′()为偶函数，其图象关于y 轴对称，∴f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝0，∴f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.故选A.14．(2018·江西省分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)若函数y ＝f ()，∈M 对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数，都有af ()＝f (＋T )恒成立，此时T 为f ()的类周期，函数y ＝f ()是M 上的a 级类周期函数，若函数y ＝f ()是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数且T ＝2，当∈[0,2)，f ()＝⎩⎨⎧ 12－2x 2，0≤x ≤1，f 2－x 1<x <2， 函数g ()＝－2ln ＋122＋＋m ，若∃1∈[6,8]，∃2∈(0，＋∞)使g (2)－f (1)≤0成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，132 B ．(－∞，12] C ．(－∞，39] D ．[12，＋∞)答案 C解析 根据题意，对于函数f ()，当∈[0,2)时，f ()＝⎩⎨⎧ 12－2x 2，0≤x ≤1，f 2－x 1<x <2，分析可得：当0≤≤1时，f ()＝12－22， 此时f ()的最大值f (0)＝12，最小值f (1)＝－32， 当1<<2时，f ()＝f (2－)，函数f ()的图象关于直线＝1对称，则此时有－32<f ()<12， 又由函数y ＝f ()是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数，且T ＝2，则在∈[6,8)上，f ()＝33·f (－6)，则有－812≤f ()≤272， 则f (8)＝27f (2)＝81f (0)＝812， 则函数f ()在区间[6,8]上的最大值为812， 最小值为－812； 对于函数g ()＝－2ln ＋122＋＋m ，g ′()＝x －1x ＋2x .分析可得：在(0,1)上，g ′()<0，函数g ()为减函数，在(1，＋∞)上，g ′()>0，函数g ()为增函数，则函数g ()在(0，＋∞)上有最小值g (1)＝32＋m ， 若∃1∈[6,8]，∃2∈(0，＋∞)，使g (2)－f (1)≤0成立，必有g ()min ≤f ()ma ，即32＋m ≤812， 得m 的取值范围为(－∞，39]15．(2018·安阳二模)已知定义在R 上的奇函数f ()和偶函数g ()满足12f ()－g ()＝x －1x 2＋1，若g (＋5)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1<g ()＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，则的取值范围是____________________． 答案 {|>－2且≠0且≠1}解析 因为12f ()－g ()＝x －1x 2＋1， 所以12f (－)－g (－)＝－x －1x 2＋1， 即－12f ()－g ()＝－x －1x 2＋1， 因此g ()＝1x 2＋1. 因为g ()＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1＋11x 2＋1＝1， 所以由g (＋5)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1<g ()＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ， 得1x ＋52＋1＋x －121x －12<1， 即1x ＋52＋1<11x －12，解得>－2，结合分母不为零得的取值范围是{|>－2且≠0且≠1}．16．(2018·天津)已知a ∈R ，函数f ()＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意∈[－3，＋∞)，f ()≤||恒成立，则a 的取值范围是_______．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2 解析 如图所示，若对任意∈[－3，＋∞)，要使函数y ＝f ()的图象恒在y ＝||图象的下方，则必有⎩⎨⎧ f 33， ①f 00， ②且在(0，＋∞)内直线y ＝与y ＝－2＋2－2a 相切或相离，所以＝－2＋2－2a 有两个相等实根或无实根，即对于方程2－＋2a ＝0，Δ＝(－1)2－4×2a ≤0，解得a ≥18.由①②得9－6＋a －2≤3且a －2≤0，所以a ≤2.综上，18≤a ≤2.。
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考纲要求:1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性．2.理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值.3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．基础知识回顾:1．函数的单调性(1)单调函数的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．3、奇、偶函数的性质（1）普通性质①奇偶函数的定义域关于原点对称；②奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y 轴对称；③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.④若f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则；⑤若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．（2）在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．【注】函数的问题，一定要注意“定义域优先”的原则。
考察函数的奇偶性同样要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。
4．函数的周期性（1）周期函数的定义：若为非零实数，对于定义域内的任意，总有恒成立，则叫做周期函数，叫做这个函数的一个周期。
（2）周期函数的性质：①若是函数的一个周期，则(也是它的一个周期；②若的周期中，存在一个最小的正数，则称它为的最小正周期；③如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的最小正周期是。
【注】如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的周期是；如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的对称轴是。
应用举例:类型一、利用函数性质解决函数零点问题【例1】【河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试】若定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（）A．6个B．4个C．3个D．2个【答案】B显然函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点，故选B．点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，根据函数零点和方程的关系进行转化是解决本题的关键．判断零点个数一般有三种方法：（1）方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.本题利用的就是方法（3）. 【例2】【福建省厦门市2018届高三年级第一学期期末质检】已知函数若函数存在零点，则实数的取值范围为__________．【答案】或类型二、利用函数性质解决三角函数图象问题【例3】【宁夏石嘴山市第三中学2018届高三下学期第四次模拟考试】把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则A．在上单调递增B．在上单调递减C．图象关于点对称D．图象关于直线对称【答案】A【解析】【分析】先根据配角公式化简，再根据图象变换得，最后根据正弦函数性质确定选项.【详解】因为，所以,因此在上单调递增，图象不关于点对称，也不关于直线对称，选A.【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.【例4】【宁夏平罗中学2018届高三第四次（5月）模拟】已知函数，若将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则下列结论中不正确．．．的是A．B．是图象的一个对称中心C．D．是图象的一条对称轴【答案】C类型三、利用函数性质解决参数范围（或值）问题【例5】【宁夏石嘴山市第三中学2018届高三下学期第四次模拟】已知函数，若，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【例6】【广东省汕头市潮南区2018届高考(5月)冲刺】定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为__________【答案】【解析】【分析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得，由减函数的定义可得，解可得的范围，即可得答案．【详解】根据题意，，则，分析可得，当时，取得最小值2，则有，则，若为减函数，必有，解可得：，即m的取值范围为；故答案为：．【点睛】本题考查函数单调性、函数最值的计算，关键是求出c的值．类型四、利用函数性质解不等式【例7】【江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试】已知，则不等式的解集为________．【答案】，不等式等价为，则，即，得，则，即.故答案为：.【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式判断函数的单调性的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解是解决本题的关键.【例8】【2018年天津市南开中学高三模拟考试】设函数是定义在上的以5为周期的奇函数，若，则的取值范围是__________．【答案】.因此，解之得或，故答案为．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知识，熟练运用函数的性质是关键，属于基础题．类型五、利用函数性质解决函数解析式问题【例9】【上海市崇明区2018届高三4月模拟考试】设是定义在R上以2为周期的偶函数，当时，，则函数在上的解析式是________ 【答案】【例10】【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2018届高三2月联考】若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵函数的图象与函数的图象关于直线对称，∴函数与函数互为反函数，又∵函数的反函数为：即，函数的图象向左平移两个单位可得，故选C．类型六、利用函数性质解决函数值问题【例11】【江西省上饶市2018届高三下学期第三次高考模拟考试】已知函数为偶函数，且函数与的图象关于直线对称，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【例12】【江苏省南通市2018年高考数学模拟试题】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R都有f(x+4)= f(x)+ f(2)，f(1)= 4，则f(3)+ f(10)的值为______．【答案】4【解析】分析：令，可求得，从而可得是以为周期的周期函数，结合，即可求解的值．详解：由题意可知，令，可求得，又函数是定义在上的偶函数，所以，即，所以是以为周期的周期函数，又，所以．点睛：本题考查了抽象函数及其基本性质应用，重点考查赋值法，求得是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．类型七、利用函数性质解决比较大小问题【2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题】已知函数在区间【例11】内单调递增，且，若，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【例12】【海南省琼海市2018届高考模拟】定义在上的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先利用函数的奇偶性求出，，在利用单调性判断函数值的大小【详解】为偶函数，令，得同理，，在上为减函数，，故选【点睛】本题主要考查的是函数的奇偶性与单调性的综合，考查了函数的图象与图象变化，属于基础题。
类型八、函数单调性、奇偶性的判断【例13】【广东省阳春市第一中学2018届高三第九次月考】已知定义在上的偶函数在上单调递减则函数的解析式不可能为( )A．B．C．D．【答案】B起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【例14】【河北省衡水金卷调研卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟考试（五）】下列函数在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】C方法、规律归纳:1、判断证明函数单调性的一般方法：导数、定义、复合、图像。
（1）定义法：用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设，且；②作差；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断的正负符号；⑤根据定义下结论。
（2）复合函数分析法：设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。
如下表：增增增增减减减增减减减增（3）导数证明法设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（减函数）；反之，若在区间内为增函数（减函数），则。
（4）图像法：一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。
2、求函数的单调区间：函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等．【注】1）函数的单调性是局部性质：函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2）单调区间的表示：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．实战演练:1．【河北辛集中学2018届高三8月月考】已知f（x）是定义在实数集R上的偶函数，且在（0，+∞）上递增，则（）A．f（20.7）＜f（﹣log25）＜f（﹣3）B．f（﹣3）＜f（20.7）＜f（﹣log25）C．f（﹣3）＜f（﹣log25）＜f（20.7）D．f（20.7）＜f（﹣3）＜f（﹣log25）【答案】A2．【河北辛集中学2018届高三8月月考】已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数后解不等式可得的单调区间.再利用可判断的图像关于直线对称.【详解】，，当时，；当时，，故在不单调.又，故的图像关于直线对称，故选C.【点睛】（1）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．（2）若，则的图像关于直线对称；若，则的图像关于点对称．3．【四川省双流中学2018届高三第一次模拟考试】已知函数为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则（）A．45B．15C．10D．0【答案】A4．【广东省深圳市2018届高考模拟测试二】下列函数中周期为且为偶函数的是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】对于每一个选项化简再判断得解.【详解】对于选项A,周期为且是偶函数，所以选项A正确；对于选项B,，周期为π且是奇函数，所以选项B错误；对于选项C,y=cosx,周期为2π，所以选项C错误；对于选项D,y=-sinx,周期为2π，所以选项D错误.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是.5．【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十）】设函数，，若实数，满足，则（）A．B．C．D．【答案】B本题选择B选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数零点存在定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十）】已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【点睛】本题主要考查复合函数的应用，二次函数的性质，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．【广东省广州市仲元中学2018届高三七校联合体考前冲刺交流考试】已知都是定义域为的连续函数．已知：满足：①当时，恒成立；②都有．满足：①都有；②当时，．若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用条件求出函数的奇偶性和单调性，以及周期性是解决本题的关键，考查导数的综合应用，综合性较强，难度较大．8．【广东省东莞市2018年全国卷考前冲刺演练】已知函数满足，且时，，则（）A．0 B．1 C．D．【答案】D【解析】9．【广东省（宝安中学、潮阳一中、桂城中学、南海中学、普宁市第二中学、中山中学、仲元中学）2018届高三5月七校高考冲刺交流】设函数的最大值为M,,最小值为，则的值为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】化简，设，根据奇函数的性质，即可求出，代值计算即可【详解】由已知，令，易知为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为，，=，故选【点睛】本题考查了函数解析式的变形及单调性与最值的关系，属于中档题．10．【河南省名校2018届高三压轴第二次考试】定义在上的函数满足，当时，，函数.若对任意，存在，不等式成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A因为定义在上的函数满足，所以函数在的值域为∪.所以函数在的值域为∪.所以函数f(x)在的最小值为-12.∵函数g（x）=x3+3x2+m，∴=3x2+6x，令3x2+6x＞0，所以x＞0或x＜﹣2，令3x2+6x＜0，所以﹣2＜x＜0，∴函数g（x）=x3+3x2+m，在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）单调递增．在（﹣2，0）单调递减，∴∃t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，∴﹣12≥m﹣16，故实数满足m≤4，故答案为：A点睛：（1）本题主要考查了函数的图像和性质，考查了不等式的存在性和任意性问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力、分析推理能力和计算能力. (2)解答本题有三个关键，其一是要能利用复合函数判断函数的单调性，其二是要能够求出f(x)在的值域为∪，其三是要能够根据推理出在的值域为∪.11．【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性考试】已知，关于的方程恰有三个不等实根，且函数的最小值是，则_______．【答案】5。