2015高考数学专题复习：函数零点
例谈高考数学题的函数零点问题
例谈高考数学题的函数零点问题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN例谈高考数学题的函数零点问题梁关化，2015，11，12高考数学题的函数零点问题，早前都是以小题出现为多，但近几年却变为大题，甚至是难题。
例如，今年全国卷（1）、广东和江苏等省的高考数学题都把函数零点问题作为大题、难题来出。
函数零点问题，归纳起来，常有如下几种类型：一、求零点的值或判断零点所在区间；二、讨论是否有零点或零点个数；三、由零点个数求函数解析式中参数取值范围。
解决零点问题，首先要掌握好零点概念的三个等价形式：（1）函数值为零的自变量值；（2）方程f(x)=0的解（也可以把方程f(x)=0变形为g(x)=h(x),那么两函数g(x)和h(x)的图象的交点的横坐标即为方程f(x)=0的解）；（3）函数图象与x 轴的交点的横坐标。
因此，零点与方程知识，与数形结合的数学思想紧密相关。
其次，还需要掌握好零点存在性的判断定理；此外，还需要掌握好利用函数的导数来研究函数的单调性，极值，最值的方法。
求函数解析式中参数取值范围问题，往往还需要分类讨论的数学思想。
下面一起分析几道高考题或高考题的改编题。
例1 （广东2015年高考数学理科题）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+- (1)求()f x 的单调区间； (2)证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点； (3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.解：（1）解略。
（答案：()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞）（2）由（1）得()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，又(0)10(1),(1)0f a a f a a =-<>=-=->，从而有(0)0f f <，0x ∴∃∈使得0()0f x =，∴()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点。
高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解
高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
高考数学专题复习：函数的零点与方程的解
高考数学专题复习：函数的零点与方程的解一、单选题1．设函数()21,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()10f f x +=⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ） A ．2 B ．5 C ．4 D ．52．“0a ≥”是“函数ln ,0()2,0x x x f x a x >⎧=⎨+≤⎩有且只有一个零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()2ln 2f x x x =+-的零点所在的大致区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．设函数()(),1011,011x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，若函数()2y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有两个零点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(),0-∞C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭5．已知函数()e 1x f x x -=-+，则它的零点在所在区间为（ ） A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)6．已知()21,,2,.xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩若集合()(){}0,x x f x f x >=-恰有2个元素，则a 的取值范围是（ ） A ．,0B ．[)0,2C ．[)0,4D ．[)2,47．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩（0a >且1a ≠）．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,11,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()()0,11,4⋃8．己知函数()()()1,1,ln ,1x e x f x g x f x a x x -⎧≤==+⎨>⎩，若()g x 存在两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,0-B ．()1,0-C ．()0,1D ．(]0,19．已知关于x 的方程22xx aa -=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,2B ．()2,4C ．()2,+∞D ．()4,+∞10．己知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（ ） A ．10个B ．9个C ．8个D ．7个11．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x ---是函数() f x 的一对“隐对称点”．若函数22,0 ()2,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（ ） A．[2-B．(,2-∞-C．(,2-∞+D．(0,2+12．已知函数()21,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()()12g x f f x =-的零点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．直线3y =与函数26y x x =-图象的交点个数为________.14．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，12,1()2ln ,01x x f x x x -⎧->⎪=⎨⎪<≤⎩，关于x 的方程()()220f x af x b +-=有且仅有6个不同的实根，则实数a 的范围是________.15．若直线233y m m =+-与函数()||1f x x =+的图像有两个不同交点，则实数m 的取值范围是______．16．若32a =，2log 3b =，则函数2y x abx a =--的所有零点之和等于________.三、解答题17．已知二次函数23()28f x kx kx =+-，（1）若1是()f x 的一个零点，求实数k 的值；（2）若()0f x <对x R ∀∈恒成立，求实数k 的取值范围．18．已知函数()3xf x =，()2g x x a =+-（a ∈R ）.（Ⅰ）若函数()()y f g x =是偶函数，求a ；（Ⅱ）若函数()()y g f x =存在两个零点，求a 的取值范围.19．已知函数()22()x x f x a a -=+⋅∈R ，且f （x ）的图像关于y 轴对称． （1）求证：f （x ）在区间[0,)+∞上是单调递增函数；（2）设函数()()2(2)h x f x f x m =+-，若()h x 在区间[1,)-+∞上有两个零点，求实数m 的取值范围．20．已知函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，满足()()x f x g x a +=，0a >且1a ≠，且()()1112f g -=-．（1）求实数a 的值，及()f x 和()g x 的表达式；（2）若关于x 的方程()()[2]3f x g x λ⋅+=在区间()1,1-内恰有两个不等实数根，求常数λ的取值范围．21．已知函数()()22,0log ,0x mx f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩在()0,+∞上有最小值1．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的方程()()()22210f x k f x k k ⎡⎤-+++=⎣⎦恰好有4个不相等的实数根，求实数k 的取值范围．22．已知函数()2()log 21()xf x kg x =++⋅（k 为常数，k ∈R ）.请在下面四个函数：①21()g x x = ②22()log g x x = ③3()g x x = ④4()2x g x =中选择一个函数作为()g x ，使得()f x 是偶函数.（1）请写出()g x 表达式，并求k 的值； （2）设函数211()log 2()22xh x a a x a R ⎛⎫=⋅-+∈ ⎪⎝⎭，若方程)(()f x h x =只有一个解，求a 的取值范围.参考答案1．C 【分析】解方程()10f f x +=⎡⎤⎣⎦，求出根即可得到结论. 【详解】令()1t f x =+，先解()0f t =，即100t t +=⎧⎨≤⎩或20log 0t t >⎧⎨=⎩，解得：t =-1或t =1.；当t =-1时，有120x x +=-⎧⎨≤⎩或20log 2x x >⎧⎨=-⎩，解得：3x =-或14x =；当t =1时，有100x x +=⎧⎨≤⎩或20log 0x x >⎧⎨=⎩，解得：1x =-或1x =；所以函数()10f f x +=⎡⎤⎣⎦的零点有4个. 故选：C 【点睛】求函数零点类问题分为两大类： (1)零点直接解出来：方程可解；(2)二分法估计：方程不可解，用零点存在定理判断零点存在范围，用二分法求近似值. 2．A 【分析】求出()f x 有且只有一个零点的条件，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】首先()ln (0)f x x x =>已经有一个零点1，因此()f x 只有一个零点，则()2(0)x f x a x =+≤无零点，即2x a =-（0x ≤）无解，0x ≤时，120x -≤-<，所以1a <-或0a ≥， 因此0a ≥是()f x 有且只有一个零点”的充分而不必要条件． 故选：A ．3．B 【分析】因为()f x 为增函数，故代入区间端点逐个计算，左负右正即可. 【详解】因为()2ln 0y x x =>、()20y x x =->为增函数， 所以()()2ln 20f x x x x =+->为增函数，且()1ln112120f +-=-<=，()2ln 2222ln 20f +-=2>=，()3ln3322ln310f =-2+=+>，()4ln 4422ln 420f =-2+=+>，根据零点存在性定理知()2ln 2f x x x =+-的零点在区间()1,2内. 故选：B 4．C 【分析】先求出分段函数在()1,1-上得解析式，进而根据解析式做出函数图象，由于函数()2y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有两个零点等价于函数()f x 的图象与直线2y t =在区间()1,1-内有且仅有两个公共点，数形结合即可求出结果. 【详解】若01x <<，则110x -<-<，所以()()111f x f x =+-，故(),1011,011x x f x x x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩， 其图象如图：函数()2y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有两个零点等价于函数()f x 的图象与直线2y t =在区间()1,1-内有且仅有两个公共点，于是120t -<<，102t -<<. 故选：C. 5．D 【分析】根据零点的存在性定理判断即可得答案. 【详解】解：因为2(2)e 30f -=+>，(1)e 20f -=+>，(0)1120f =+=>，1(1)0f e=>,21(2)10f e =-<, 所以根据零点的存在性定理可知它的零点在所在区间为(1,2) 故选：D 6．B 【分析】分0a <，0a =和0a >三种情况，写出(),()f x f x -，再由()()f x f x =-讨论方程解的情况，从而可求出a 的取值范围 【详解】解：当0a <时， ()21,,2,.xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，而2yx 本身具有偶数的性质，所以集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，当0a =时，()21,02,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则()2x f x -=，由22x x = 得2x =或4x =，恰好有两个解，所以0a =符合，当0a >时，当0x a <≤时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0x a -<<，1()22xx f x -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，由()()f x f x =-，得122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得0x =，不合题意，当x a >时，2()f x x =，0x a a -<-<<，则1()22xx f x -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，由()()f x f x =-，得2122xx x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得2x =或4x =，因为集合()(){}0,x x f x f x >=-恰有2个元素，所以02a <<， 综上，02a ≤<，故选：B7．C【分析】根据原点对称的性质，求出当40x -≤<时函数关于原点对称的函数，条件转化为函数()log a f x x =与|3|,(04)y x x =--+≤≤只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合的方法，再结合对数函数的性质进行求解即可【详解】当40x -≤<时，函数|3|y x =+关于原点对称的函数为|3|y x -=-+，即|3|,(04)y x x =--+≤≤，若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价于函数()log a f x x =与|3|,(04)y x x =--+≤≤只有一个交点，作出两个函数的图象如图：若1a >时，()log a f x x =与函数|3|,(04)y x x =--+≤≤有唯一的交点，满足条件； 当4x =时，|43|1y =--+=-若01a <<时，要使()log a f x x =与函数|3|,(04)y x x =--+≤≤有唯一的交点，则要满足(4)1f <-，即1log 41log a a a -<-=，解得故114a <<； 综上a 的取值范围是()1,11,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭故选：C 8．A 【分析】由题可得()f x 的图像与y a =-的图像有2个交点，数形结合即可求出. 【详解】由题，()g x 存在两个零点，等价于()f x 的图像与y a =-的图像有2个交点，画出()f x 的函数图象如下：由数形结合知01a <-≤，即10a -≤<. 故选：A. 9．D 【分析】先判断0a =时不符合题意，再将问题转化为()21,0f t t t t a=->与直线1y =有3个不同的交点，判断0a <时()21f t t t a=-单调不符合题意，最后画0a >时的图象进行数形结合，利用12a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭解得参数范围即可.【详解】 0a =时，22x x a a -=即20x=无解，显然不符合题意； 0a ≠时，令()20x t t =>，则原方程等价于at a t -=，即211t t a-=，令()21f t t t a =-， 则()21,0f t t t t a=->与直线1y =有3个不同的交点. 二次函数210y t t a=-=的根为a 和0， 若0a <时，显然0t >时，210y t t a =->，且单调递增，即()21f t t t a=-单调，不可能与直线1y =有3个不同的交点若0a >时，作出()f t 的草图如图所示，又221124a at t t a a ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭，则只需满足2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭14a>，得4a >. 故选：D ． 【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的情况)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：分类讨论直接求解方程得到方程的根；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 10．A 【分析】根据函数周期性，结合区间[1,1]-的解析式，函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象，求得交点个数即可. 【详解】函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象如下：因为(9)(1)1lg9,(11)(1)1lg11f f f f ==>==< 数形结合可知，两函数的图象交点有10个. 故选：A. 11．B 【分析】由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程222(0)mx x x x +=-+>的零点问题，再结合基本不等式得出实数m 的取值范围． 【详解】解：由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点 设()g x 的图象与函数22y x x =+，0x <的图象关于原点对称 令0x >，则0x -<，22()()2()2f x x x x x ∴-=-+-=-2()2g x x x ∴=-+故原题义等价于方程222(0)mx x x x +=-+>有零点，解得22m x x=--+又因为2222x x --+≤-=-x =(,2m ∞∴∈--．故选：B ． 12．B 【分析】设()f x t =，即()12f t =，解得12t =-或t =()12f x =-和()f x 数即为答案. 分0x ≤和0x >分别解出方程即可. 【详解】函数()()()12g x f f x =-的零点，即方程()()12f f x =的根.设()f x t =，()12f t =当0t ≤时，()112f t t =+=，解得12t =-，即()12f x =-当0x ≤时，()112f x x =+=-，解得32x =-当0x >时，()21log 2f x x ==-，解得x当0t >时，()21log 2f t t ==，解得t ()f x =当0x ≤时，()1f x x =+10x > (舍)当0x >时，()2log f x x =x = 所以函数()()()12g x f f x =-有3个零点.故选：B 13．4【分析】作出直线3y =与函数26y x x =-图象，然后数形结合分析即可.【详解】做出直线3y =与函数26y x x =-图象，如图：数形结合可知，直线3y =与函数26y x x =-图象的交点个数为4个，故答案为：4.14．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据题意作出()f x 的图象，令()t f x =，则方程为220t at b +-=，若方程()()220f x af x b +-=有且仅有6个不同的实根，则方程220t at b +-=有两个实数根，即可得出答案. 【详解】根据题意作出()f x 的图象，令()t f x =，则方程为220t at b +-=，若方程()()220f x af x b +-=有且仅有6个不同的实根，则方程220t at b +-=有两个实数根，所以其中一个根为0，且另一根在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()2222000102Δ40a b a a b ⎧+⨯-=⎪⎪-<-<⎨⎪⎪=-->⎩，解得102a <<，所以a 的取值范围10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.15．(,4)(1,)-∞-+∞ 【分析】画出()||1f x x =+的图像，由图像可知2331m m +->，从而可求出m 的取值范围 【详解】解：1,0()11,0x x f x x x x +≥⎧=+=⎨-+<⎩，图像如图所示因为直线233y m m =+-与函数()||1f x x =+的图像有两个不同交点， 所以2331m m +->，解得4m <-或1m ， 所以实数m 的取值范围是(,4)(1,)-∞-+∞， 故答案为：(,4)(1,)-∞-+∞ 16．1 【分析】先利用指对数互化得到3log 2a =，从而分析出2y x abx a =--由两个零点，利用根与系数的关系可得答案. 【详解】因为32a =，所以3log 2a =，所以23log og 31l 2ab =⨯=.函数2y x abx a =--即为23log 2y x x =--由两个零点，即为32log 2=0x x --的两根. 由根与系数的关系可得两根之和为1. 故答案为：117．（1）18；（2）(3,0)-.【分析】（1）把1直接代入即可求解；（2）根据()0f x <对x R ∀∈恒成立，列不等式组，求出实数k 的取值范围.【详解】（1）因为1是()f x 的一个零点， 所以3(1)208f k k =+-=，解得：18k =.（2）对于二次函数二次函数23()28f x kx kx =+-，因为()0f x <对x R ∀∈恒成立，只需满足2034208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫∆=-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得：30k -<<，所以实数k 的取值范围是(3,0)-. 18．（Ⅰ）0 ；（Ⅱ）2a <-. 【分析】（Ⅰ）利用偶函数的定义列方程即可求解；（Ⅱ）()()()232xf x a ag f x =+-=+-，若0a ≥时，不符合题意；当0a <时，写成分段函数的形式，判断单调性，得出有两个零点的条件即可求解. 【详解】（Ⅰ）()()23x a y f g x +-==为偶函数，则()()()()23x a f g x f g x -+--==，即2233x a x a -+-+-=，可得x a x a +=-+，所以()()22x a x a +=-+ 可得20ax =对于x ∈R 恒成立，所以0a =，（Ⅱ）()()()232xf x a ag f x =+-=+-，若0a ≥时，()()32xa g f x =+-在R 上为增函数，至多有一个零点，不符合题意；当0a <时，()()()()3332,log 3232,log x xx a x a g f x a a x a ⎧+-≥-⎪=+-=⎨---<-⎪⎩，则()()g f x 在()()3,log a -∞-单调递减，在()()3log ,a -+∞单调递增，所以()()()3mi lo n g 32220a a a a g f x -+-=-+-=-<=，当()3log x a <-时，3x a a --<-，所以20a -->，可得2a <-， 19．（1）证明见解析；（2）(6,11]. 【分析】（1）由于f （x ）的图像关于y 轴对称，所以可得f （x ）为偶函数，再利用偶函数的定义列方程可求出a 的值，然后利用单调性的定义证明即可；（2）由（1）得()22()22222x x x x h x m --=+++-，令22x x t -=+，将函数转化为224y t t m =+--，构造函数2()24,[2,)F t t t m t ∞=+--∈+，由函数()h x 在区间[1,)-+∞上有两个零点，求出t 的范围，从而可求出m 的取值范围 【详解】（1）证明：∵f （x ）的图像关于y 轴对称，∴f （x ）为偶函数，()()0f x f x ∴--=，即()22220x x x x a a --+⋅-+⋅=，整理得()(1)220x x a ---=，上式对任意的x ∈R 均成立，故1－a ＝0， ∴1a =．任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()2211212222x x x x f x f x ---=+--121122122222222x x x x x x x x ++++--=()()12211221222x x x x x x ++--=．12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，12220x x ∴-<，()()1221210,x x f x f x +->∴>， 即证得f （x ）在[0,)+∞上单调增．（2）解：()22()22222x x x xh x m --=+++-，令22x x t -=+．则()2()222422x x x x h x m --=+-++- 224t t m =+--．由（1）可得当[1,)x ∈-+∞时，[2,)t ∈+∞ 引入函数2()24,[2,)F t t t m t ∞=+--∈+．易知F （t ）在[2,)+∞上单调递增，F （t ）最多有一个零点． 要使h （x ）在[1,)-+∞上有两个零点，则52,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以2524,2,2m t t t ⎛⎤=+-∈ ⎥⎝⎦，可得(6,11]m ∈，故实数m 的取值范围为(6,11]．20．(1)2a =，2222(),(),22x x x xf xg x x R ---+==∈；(2)15(,)8+∞.【分析】(1)取x =-1结合已知条件求出a 值，再由奇偶函数定义列式解方程即得；(2)利用(1)的结论，通过换元，令22||2x x t --=，问题转化为方程2321t t λ=--在3(0,)4t ∈时有唯一实根即可作答. 【详解】(1)令x =-1得1(1)(1)f g a --+-=，而函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 则11(1)(1)2a f g -=-+=，解得2a =，此时()()2x f x g x +=，又()()2x f x g x --+-=，即()()2x f x g x --+=，于是得2222(),()22x x x xf xg x ---+==， 所以2a =，2222(),(),22x x x xf xg x x R ---+==∈； (2)由(1)知()()222222[2]3||()322x x x xf xg x λλ---+⋅+=⇔⋅+=，依题意方程222222||()322x x x xλ---+⋅+=在区间()1,1-内恰有两个不等实数根，显然0x ≠，令22||2x xt --=(0||1)x <<，它为偶函数，且在(0,1)内单调递增，则304t <<，222222222()24x x x x t ---+-==，于是得22222212x xt -+=+，原方程化为：223(21)321t t t tλλ++=⇔=--，所以方程()()[2]3f x g x λ⋅+=在区间()1,1-内恰有两个不等实数根，等价于方程2321t t λ=--在3(0,)4t ∈时有唯一实根，因函数23()21h t t t =--在3(0,)4单调递减，则3(0,)4t ∀∈，234315()()32()14348h t h >=⋅--=，从而有158λ>，且λ在15(,)8+∞内每一个值，有唯一3(0,)4t ∈与之对应， 所以常数λ的取值范围是15(,)8+∞. 21．（1）14m =；（2）()0,1. 【分析】（1）先研究0m ≤时，利用单调性判断不符合题意，再根据对勾函数性质得到最小值1，即解得参数；（2）先作出函数()f x 的图象，判断方程的根即()f x k =或()1f x k =+的根，再根据题意，结合直线y k =和1y k =+，进行数形结合得到111k k +>⎧⎨<⎩，即解得结果.【详解】解：（1）当0x >时，()2x m mf x x x x+==+， 若0m ≤，则()f x 在()0,+∞上单调递增，无最小值，所以0m >，故由对勾函数性质可知，当x ()f x取到最小值1， 所以14m =； （2）依题意，()()214,0log ,0x x f x x x x ⎧⎪⎪+>=⎨⎪-<⎪⎩，作出函数()f x 的大致图象如下：方程()()()22210f x k f x k k ⎡⎤-+++=⎣⎦，即()()10f x k f x k ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦， 故()f x k =或()1f x k =+，恰好有4个不相等的实数根.作直线y k =和1y k =+，则两直线与函数有4个交点，结合图象可知111k k +>⎧⎨<⎩，解得01k <<，故实数k 的取值范围为()0,1.22．（1）()g x x =，12k =-；（2）0a >或10a =--【分析】(1)根据偶函数的定义依次分析判断四个选项，得到()g x 的表达式及k 的值； （2）将不等式化简得到()21(1)10222x x a a ⋅-+⋅-=，利用换元法得到方程21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=只有一个解，接着对a 的取值进行分类讨论求解即可；【详解】（1）因为函数()2()log 21()xf x kg x =++⋅（k 为常数，k ∈R ）.若选择①21()g x x =，则()22()log 21x f x k x =++⋅，x ∈R因为()()2222()log 21()log 21()x x f x k x k x x f x --=++⋅-=++⋅-≠，故()f x 不是偶函数； 若选择②22()log g x x =，则()22()log 21log xf x k x =++⋅，(0,)x ∈+∞，故()f x 不是偶函数； 若选择③3()g x x =，则()2()log 21xf x k x =++⋅，x ∈R因为()()()22()log 21()log 211xx f x k x k x --=++⋅-=+-+⋅，当12k =-时，()21()log 21()2xf x x f x -=+-⋅=，故()f x 是偶函数；若选择④4()2xg x =，则()2()log 212x xf x k =++⋅，x ∈R因为()()221()log 212log 21()2x x xxf x k k x f x ---=++⋅=++⋅-≠，故()f x 不是偶函数； 综上：()g x x =，12k =-；（2）若方程)(()f x h x =只有一个解，即()21log 212xx +-=211log 222x a a x ⎛⎫⋅-+ ⎪⎝⎭只有一个解，整理得：()21(1)10222x x a a ⋅-+⋅-=， 令2x t =得21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=，因为1(2)02xa ⨯->，所以a 与122x -同号，当0a >时，1202x->，则122x t =>，所以方程21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=在区间1(,)2+∞上只有一个解，因为方程对应的二次函数21()(1)12m t a t a t =⋅-+⋅-图像是开口向上的，且(0)10m =-<，13()022m =-<，136()02m a a+=>，所以当0a >时方程21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=在区间1(,)2+∞上只有一个解；当0a <时，2102x-<，则1(0,)22x t =∈， 所以方程21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=在区间1(0,)2上只有一个解，因为方程对应的二次函数21()(1)12m t a t a t =⋅-+⋅-图像是开口向下的，且(0)10m =-<，13()022m =-<，则21=14021112022a a a a ⎧⎛⎫∆++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨+⎪⎪<<⎩解得102a a ⎧=-±⎪⎨<-⎪⎩所以当10a =--21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=在区间1(0,)2上只有一个解；综上：当0a >或10a =--)(()f x h x =只有一个实根.【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．。
函数零点问题课件-2025届高三数学一轮复习
h（x）＝x2＋4－4xsin x－4cos x＝x（x－4sin x）＋4（1－cos x）.
当x∈[4，＋∞）时，x－4sin x＞0，4（1－cos x）≥0，
∴h（x）＞0，∴h（x）无零点；
当x∈（0，4）时，h'（x）＝2x－4xcos x＝2x（1－2cos x），
当x∈
π
0,
3
时，h'（x）＜0；当x∈
当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增；
当x∈（e，＋∞）时，g'（x）＜0，此时g（x）单调递减.
1
故g（x）max＝g（e）＝ ，且当x＞e时，g（x）∈
e
1
0,
e
，又g（1）＝0，
【关键】准确判断g（x）的范围
ln 1
＜ ，解得a的取值范围是（1，e）∪（e，＋∞）.
e
2.已知函数h（x）＝x2＋4－4（xsin x＋cos x），试证明h（x）在R上有且仅有三
个零点.
证明：h（x）＝x2＋4－4xsin x－4cos x，
∵h（－x）＝x2＋4－4xsin x－4cos x＝h（x），
∴h（x）为偶函数.
又∵h（0）＝0，∴x＝0为函数h（x）的零点.
下面讨论h（x）在（0，＋∞）上的零点个数.
2
2.已知函数f（x）＝ex－ln x＋2sin α.证明：函数f（x）无零点.
1
x
证明：f'（x）＝e － ，x＞0，
1
x
令g（x）＝e － ，x＞0，
1
x
则g'（x）＝e ＋
2
＞0，
∴f'（x）在（0，＋∞）上单调递增，
高考数学函数零点专题
欢迎下载学习好资料 2.函数的零点专题高考解读函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利求方程的根、用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的x掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数轴的交点的横坐标的等价性；图象与学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．知识梳理 1．函数的零点与方程的根xffxfxx 的零()，我们把使叫做函数())＝0 (1)函数的零点对于函数的实数( 点．函数的零点与方程根的关系(2)xfxgxyfFxxgxf的图象与)＝函数((()＝(＝)－)(的根，)的零点就是方程即函数()xgy )(函数的图象交点的横坐标．＝ (3)零点存在性定理bbfafyfxa，上的图象是连续不断的一条曲线，且有)<0如果函数(＝(([)在区间)，·]cbfcyfxabca这个)使得)在区间(＝，()内有零点，即存在∈(0, 那么，函数，＝)(xf的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条＝也就是方程(0) 件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数2即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函形结合是基本的解题方法，xxgfxgxf的形式，这时())，＝(()，即把方程写成)数的解析式，然后构造两个函数(可以根据图象的变化趋势找到方程中字母方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，. 参数所满足的各种关系高频考点突破函数的零点判断考点一11?x?2x?)ea(?xf(x)?e?2x?有唯一零点，已知函数11课标20173，理】1例、【a=则111?DBCA．1．．．2231x fxx－2的零点所在的区间是＋( 【变式探究】(1)函数)(＝)e211)(,1,(0)(2,3)(1,2) D．A. B.． C222xfxfyxxgxxx＝)(，若函数0)≥(3－＝)(满足：R∈，)(＝已知偶函数(2)．学习好资料欢迎下载xx，，>0log?2??yfxgx)的零点个数为( )－则＝(()1x，，<0－?x?A．1 B．3 C．2 D．4【方法技巧】函数零点的求法fx)＝0(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(ab]上是连续不断的曲线，且，(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[fafb)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性()(才能确定函数有多少)·个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．fxxxfx)的零点所在的区间为( (＝ln ＋) －2【变式探究】设(，则函数)A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)考点二、二次函数的零点2axxafx∈R.)＝＋2＋2例、已知函数，(2xfxfx的解集；1－[1,2]，求不等式 ((1)若不等式)(≥)≤0的解集为2axxfxg的取值上有两个不同的零点，求实数1)＋(2)若函数在区间((1,2))＝(＋范围．【方法技巧】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【变式探究】22xaafxxa小，求实数大，一个零点比1的一个零点比＋(－2)－1)已知1()＝＋(的取值范围．考点三函数零点的应用2xx?x?2)?aeea?(xf(). 21，理】已知函数2017例3、【课标1f(x)的单调性；（1）讨论f(x)a的取值范围.2）若有两个零点，求（xx，≤||，22－??xfgxbfx，其－)＝)【变式探究】已知函数－()＝(2函数(2xx?，>2－2，bxgxybf)( 的取值范围是个零点，则4恰有)(－)(＝若函数.R∈中欢迎下载学习好资料7777)2(,(??)??,)(0,)(, D.A. B. C. 4444【方法规律】通过解方程即可得若方程可解，函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．【变式探究】2nmmnm≤1－－2＋??xmfnxmn(2＝＝⊕设对于实数)，(定义运算“⊕”：2nnmmn?>－xxxfxxxax，则，，且关于恰有三个互不相等的实数根的方程(，)⊕－1)(＝－1)1321xx＋．＋的取值范围是________32考点四、分段函数的模型，0，x?x?1?1的则满足15】设函数、【2017课标3，理例4?)f(x1)?f(x?f(x)??x2，?02，x?x的取值范围是_________.【变式探究】已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千x千件并全部销售完，每千件万元．设该公司一年内共生产该品牌服装件需另投入2.71?2xx100<10.8－≤?30?xRRx的销售收入为(())万元，且＝1000108?x.>10－?2xx3Wx(千件)关于年产量的函数解析式； (1)写出年利润万元()(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)【方法技巧】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型．(2)求函数最值常利用基本(均值)不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．【变式探究】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．写出飞机票的价格关于人数的函数；(1)．学习好资料欢迎下载(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？高考链接1.【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图Ai名工人上午的工作时间和加工的零件数，点所示，其中点的横、纵坐标分别为第i Bii=1，2的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，，3.i QiQQQ中最大的是则，①记，为第_________. 名工人在这一天中加工的零件总数，3112pippp中最大的名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则②记，为第，i312是_________.，若存在高考山东理数】已知函数其中2.【2016m=bbxfx的取值范围是实数有三个不同的根，则，使得关于）的方程（________________..，函数2016高考上海理数】已知3.【（1）当时，解不等式；的方程2的解集中恰好有一个元素，）若关于（求的取值范围；上的最大值与最小值，若对任意，函数在区间（3）设.1的差不超过，求的取值范围4.【都有（）满足，对任意】存在函数72015高考浙江，理B. A.学习好资料欢迎下载D. C.，使函数，若存在实数155.【2015高考湖南，理】已知 . 的取值范围是有两个零点，则，则方2015高考江苏，，6.13【】已知函数程实根的个数为函数2015】已知函数高考天津，理 87.【的4个零点，则恰有，其中，若函数( )取值范围是（A）（B）（C）（D）8.【2015高考浙江，理10】已知函数，则，的最小值是．y（单位：小时）与储存温度x】某食品的保鲜时间（单【2015高考四川，理139.kb为常数）、）满足函数关系（为自然对数的底数，。
高考数学专题复习 函数零点
高考数学专题复习 函数零点函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标． ()x g x f y -=)(的零点（个数）⇔函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标（个数）⇔方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根（个数） ⇔函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标（个数）1.求下列函数的零点1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62-+=x x y 4.1ln -=x y 5.21sin +=x y2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =⎩⎨⎧>-≤-+)0(2ln )0(322x x x x x 的零点个数为4.函数()()⎩⎨⎧>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 （ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 45.函数5()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4]6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 （ ）A. (1,0)-B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 （ ） A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6)8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 （ ） A ．()21，B ．()32，C ．()43，D ．()54，10.若函数2()4f x x x a=--的零点个数为3，则a =______11(09山东文)若函数()()1,0≠>--=a a a x a x f x有两个零点，则实数a 的取值范围是12.函数2()2x f x ax =--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是 （ ）A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)13.设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log ,22b ca abc ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较,,a b c 大小：14.函数()x f 的零点为1x ，函数()224-+=x x g x的零点为2x ，若4121>-x x ，则()x f 可以是 （ ）A.()212-=x x f B.()412-+-=x x x f C.()xx f 101-= D.()()28ln -=x x f15.若直角坐标平面内的两点Q P ,满足条件：①Q P ,都在函数()y f x =的图像上；②Q P ,关于原点对称. 则称点对[]Q P ,是函数()y f x =的一对“友好点对”（点对[]Q P ,与[]P Q ,看作同一对“友好点对”）. 已知函数22log (0)()4(0)x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩，则此函数的“友好点对”有 （ ） A.0对 B.1对 C.2对 D.3对16.已知函数ln ,0()0,0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩,则方程2()()0f x f x -=的不相等的实根个数为_______17.已知0x 是函数()x x f x -+=112的一个零点，若()()+∞∈∈,,,10201x x x x ，比较大小()1x f ()2x f18.若关于x 的方程|1|2x a a -=(0,1)a a >≠有两个不等实根，则a 的取值范围是19.函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,20,log 31321x x x x x f xx，若0x 是()x f 的零点，且00x t <<，则()t f 的值 （ ） A.恒小于0 B.恒大于0 C.等于0 D.不大于020.方程m x x +=-24有两个解，则求m 的取值范围21.已知[1,1]x ∈-，则方程2cos2xx -=所有实数根的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．522.（11山东理科）函数()log (0,1)a f x x xb a a =+->≠且，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1),x n n n N ∈+∈，则n =23.函数()x x x x f ln 2542-+-=的零点个数是24.已知21()()log 3x f x x =-，实数a 、b 、c 满足0)()()(<c f b f a f ,且0a b c <<<，若实数0x 是函数()f x 的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是 （ ）A.0x a <B.0x b >C.0x c <D.0x c >25.函数()()11sin 2-+=x x x f π在区间()4,2-上的各零点之和是26.函数()xx x f lg cos -=的零点个数为 ，函数()xx x f lg cos -=的零点个数为27.函数x x y sin lg -=的零点个数是28.定义在R 上的偶函数(2)f x -，当2x >-时，1()2x f x e +=-若存在k Z ∈，使方程()0f x = 的实数根0(1,)x k k ∈-，则k 的取值集合是 （ ）A ．{}0B ．{}3-C ．{}0,4-D ．{}0,3-29.函数()()()⎩⎨⎧≤+>+-=0............140.2ln 2x x x x x x x f 的零点个数是30.方程a a x-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛53223有负根，求a 的取值范围31.若不等式0log 22≥+-x x a对任意⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0x 恒成立，则实数a 的取值范围是()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[)()()()()()()()()()()().21,32131.32,2330.329.28.3276.426.825.24.2232.22.21.22220.19.21,01817716151413121114104,392876542342,,2,311321⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛<>>>--D D A A C C a b c C a C B B B C e ，，，，，。
【高考数学二轮复习-经典微专题】第12讲 函数的零点问题-解析版
第12讲 函数的零点问题知识与方法1确定函数()f x 零点所在区间的常用方法函数的零点、方程的根、函数图像与x 轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的3种不同表达形式.确定零点、方程根、函数图像与x 轴交点所在区间本质上是同一问题的不同表述形式,所以常用解法有3种.(1)解方程法;(2)利用函数零点的存在性定理;(3)数形结合法. 同样,判断函数零点个数也是这3种方法.2已知函数有零点(方程有根),求参数取值常用的方法(1)直接法.直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法.先将参数分离,转化为求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法.先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.典型例题【例1】已知:,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根,且2αβ<<,求m 的取值范围.(2)若220x ax ++=的两个根都小于1-,求a 的取值范围. 【解析】(1)【解法一】()()()2,220,240αβαβαβαβ<<∴--<∴-++<利用韦达定理1242,mm αβαβ+=-⎧⎨=-⎩代人(1)式得()4221240m m ---+<,解得3m <-.m ∴的取值范围为(),3∞--.【解法2】令()()22142f x x m x m =+-+-,拋物线开口向上.由实根分布2αβ<<,只要()20f <即可,即()()24212420f m m =+-⨯+-<,解得3m <-,即m 的取值范围为(,∞-,()3.-(2)【解法1】设()22f x x ax =++,当两根都小于1-时,函数()f x 的图像与x 轴的交点在一1的左侧,可得)()0,1,3,? .210a a a f ∆≥⎧⎪⎪⎡-<-⇒≤<⎨⎣⎪->⎪⎩即的取值范围为【解法2】设12,x x 是方程的两个实根,有()()()()111212122212120,0,0,0,1,,10,1101011011020x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧⎧∆≥∆≥∆≥∆≥⎧⎪⎪⎪⎪<-+<⇒++>⇒+++>⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪<-+<+++<++<⎩⎩⎩⎩利用韦达定理,解不等式组得3a ≤<,即a的取值范围为)⎡⎣.【例2】(1)已知定义在R 上的奇函数()f x ,满足()()4f x f x -=-,且在区间[]0,2上是增函数,若方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有4个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=(2)设函数()()()20,20,x bx c x f x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩若()()()40,22f f f -=-=-,求关于x 的方程()f x x =的解的个数.【解析】(1)定义在R 上的奇函数,满足()()()()4,4f x f x f x f x -=-∴-=-.∴由()f x 为奇函数得函数图像关于直线2x =对称且()00f =;由()()4f x f x -=-知()()()()8444,f x f x f x f x -=--=--=∴函数是以8为周期的周期函数,又()f x 在区间[0,2上上是增函数，() f x ∴在区间[]2,0-上也是增函数,如图121-所示,则方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有4个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<.由对称性知1234123412,4,1248.x x x x x x x x +=-+=∴+++=-+=-(2)【解法1】由()()()40,22f f f -=-=-,可得164,4,2422,b c c b c b c -+=⎧∴==⎨-+=-⎩.()()()242020x x x f x x ⎧++≤⎪∴=⎨>⎪⎩∴方程()f x x =等价于()0,2,x x f x >⎧⎨==⎩或20,42x x x x ≤⎧⎨++=⎩即2x =或20,2320,x x x x ≤⎧∴=⎨++=⎩或1x =-或2x =-,即()f x x =有3个解. 【解法2】同【解法1】可得()()()24204,2,20x x x b c f x x ⎧++≤⎪==∴=⎨>⎪⎩如图122-所示,方程()f x x =解的个数即函数()y f x =与y x =图像交点个数,由图知两图像有3A B C 、、个交点,故方程有3个解.【例3】设函数()()()2,1,42, 1.xa x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩(1)若1a =,则()f x 的最小值为________.(2)若()f x 恰有2个零点,则实数a 的取值范围是________.【解析】()1当1a =时,()()()21,1412,1,xx f x x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩当1x <时,()11f x -<<,无最小值;当1x ≥时,()()()412f x x x =--=24128.x x -+由二次函数的性质知,32x =时,()f x 的最小值为()1,f x -∴的最小值为 1.- (2)当0a ≤时,20xa -=无解,()()420x a x a --=有两解,分别为a 与2a ,但均小于1,不合题意,故0a ≤时不成立;当0a >时,20xa -=有解()()2log ,420x a x a x a =--=有解x a =或2x a =,要使()f x 恰有2个零点,需3个根中有1个不合题意,只有22log 1,log 11,1,2121a a a a a a ⎧≥<⎧⎪⎪≥<⎨⎨⎪⎪≥≥⎩⎩或 综上,实数a 的取值范围是[)1,12,2∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭.【例4】设函数()222f x ax bx =+,若存在实数()00,x t ∈,使得对任意不为零的实数,a b 均有()0f x a b =+成立,则t 的取值范围是________. 【解析】【解法1】(零点存在性定理)由题意222ax bx a b +=+在区间()0,x t ∈上对于任意的0,0a b ≠≠均有解. 故()()222g x ax bx a b =+-+在()0,x t ∈上对于任意的0,0a b ≠≠均有零点.()()()0,1.g a b g a b =-+=+故()()()2010g g a b =-+≤若0a b +=,则t 一定要大于1; 若1t >,则()()()2010g g a b =-+≤. 故()g x 在区间()0,t 上必有零点. 由零点存在性定理可得 1.t > 【解法2】(一“定”一“动”,数形结合)222ax bx a b +=+在区间()0,t 上对于任意的0,0a b ≠≠有解,即212122b x x a ⎛⎫⎛⎫-=--⎪⎪⎝⎭⎝⎭在区间()0,t 上对于任意0,0a b ≠≠均有解. 即2121y x =-与()2102y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭在 区间()0,t 上有交点,如图123-所示,故1t >强化训练1.已知函数()2223f x ax x =+-,如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点,则实数a 的取值范围为________.【解析】若,则得不合题意,故. (i)若时，在上至少有一个零点.有即解得(ii)当时，在上有零点的条件是 解得 综上,实数的取值范围为.2.设()22f x x ax b =++在区间[]1,2上有两个零点(可重合),则a b +的取值范围是________. 【解析】0a =()()23,0f x x f x =-=[]31,1.2x =∉-0a ≠()()110f f -⋅()f x []1,1-()()2232230,a a --+-()()25210,a a --15.22a ()()110f f -⋅>()f x []1,1-()()()110,2111,2110,f f a a f f ⎧⎛⎫-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-⋅>⎪⎩5.2a >a 1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【解法1】易知,设, 则故即 【解法2】设的两根为,且.由韦达定理可得 将(1)式看作关于的一次函数,又3.已知函数()254,0,22,0,x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()y f x a x =-恰有4个零点,则实数a的取值范围为________.【解析】画出函数的图像如答图所示.函数有4个零点,即函数的图像与函数的图像有4个交点根据图像知需.当时,函数的图像与函数的图像有3个交点,故.当与相切时,在整个定义域内,的图像与的图像有5个交点.此时,由得. 由得,解得或(舍去).则当时,两个函数图像有4个交点,故实数的取值范围是.1124a b f ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()()()12f x x x x x =--121211111.22222f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭121113,,.2222x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦119,,244f ⎛⎫⎡⎤∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]0,2.a b +∈220x ax b ++=12,x x []12,1,2x x ∈()121212212122,111.,222x x a a b x x x x x x x x x b +=-⎧⎛⎫∴+=-++=--⎨⎪=⎝⎭⎩1x []2211321,2,,.22x x x a b --⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎣⎦][21,2,0,2.x a b ⎡⎤∈∴+∈⎣⎦()f x 121-()y f x a x =-1y a x =()f x (0a >2a =()f x 1y a x =2a <()0y a x x =254y x x =++()f x 1y a x =2,54y ax y x x =-⎧⎨=---⎩()2540x a x +-+=Δ0=2(5)160a --=1a =9a =12a <<a ()1,24.若在区间1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上存在两个不同的实数,a b ,使得2a b k a ++=和2b a k b ++=同时成立,求k 的取值范围. 【解析】【解法1】将式子和相减并整理,可得,即,故且.方程在区间上有两个不等实根.令结合图像可得解得即 【解法2】将和相减并整理,可得,即. 故且方程在区间上有两个不等实根.令即直线与抛物线有两个不同的交点，结合图像可得，即 5.(1)若()(0xf x a x a a =-->且1a ≠有2个零点,则实数a 的取值范围是________.2a b k a ++=2b a k b ++=2a b +=2b a =-2220a a k -++=2220b b k -++=∴2220x x k -++=1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222,f x x x k =-++111,22102x f ⎧⎛⎫>= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩对称轴在右边51,4k -<<-5,1.4k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭2a b k a ++=2b a k b ++=2a b +=2b a =-222k a a =-+-22 2.k b b =-+-∴222k x x =-+-1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222,f x x x =-+-y k =()222f x x x =-+-51,4k -<<-5,1.4k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【解析】 (1)函数的零点的个数就是函数与函数的交点的个数.如答图所示,由函数的图像可知时两函数图像有两个交点,时两函数图像有唯一交点,故.(2)函数()2ln f x x x=-的零点所在的区间是(). A.()1,2B.()2,3C.1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()e,3【解析】∴函数在区间内存在零点， 【答案】B.6.若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,则()f x 可以是().A.()41f x x =-B.()()21f x x =-()f x xy a =y x a =+122-1a >01a <<1a>()()()210220,2ln 210,3ln 30,3f f f =-=-<=-<=->()()()2110,120,230,f e f e f f ee ⎛⎫=->=--<∴< ⎪⎝⎭()2ln f x x x=-()2,3C.()e 1x f x =-D.()1ln 2f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】的零点为的零点为, 的零点为的零点为接下来我们估算的零点，的零点又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过只有的零点符合此要求,【答案】A.7.已知函数()42x xmf x +=是R 上的奇函数.(1)求m 的值. (2)设()12x g x a +=-,若函数()f x 与()g x 的图像至少有一个公共点,求实数a 的取值范围.【解析】(1)由函数是上的奇函数可知,解得.(2)函数与的图像至少有一个公共点.则方程至少有一个实根， 即方程至少有一个实根. 令则方程变为令,由于,只需解得实数的取值范围为()41f x x =-()21,(1)4x f x x ==-1x =()e 1x f x =-()10,ln 2x f x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭3.2x =()422xg x x =+-()101,1,2g g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()g x ∴10,.2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()422xg x x =+-0.25,∴()41f x x =-()f x R ()010f m =+=1m =-()f x ()g x 14122x x xa +-=-4210x xa -⋅+=20,xt =>210.t at -+=()21h t t at =-+()010h =>∴2Δ400,2a a ⎧=-⎪⎨>⎪⎩2,a ∴a [)2,∞+。
高考数学总复习---压轴题之函数零点问题(解析版)
整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题．我们称这类问题为“隐零
点”问题．处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函
数方程思想”转化等，从操作步骤看，可遵循如下处理方法：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 f′(x0)＝0，并
结合 f(x)的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多
故 f (x) 在 (0, x0 ) 单调递减，在 ( x0 ,1] 单调递增，
所以当 x = x0 时， f (x) 取得最小值，最小值为 f (x0 ) = e2x0 − a ln x0 ，
由 2x0e2x0
−a
=
0 ，即 e2x0
=
a 2 x0
，两边去对数得 ln
x0
= ln
a 2
− 2x0
2 / 22
零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”，破解
导数压轴问题，例题说法，高效训练.
【典型例题】
类型一 挖掘“隐零点”，求参数的最值或取值范围
例 1.【浙江省杭州第十四中学 2019 届高三 12 月月考】设函数
,曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与直线 y=3x 平行.
（1）求 a；
﹣2
﹣2
（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e ＜f（x0）＜2 ．
【答案】（1）1；（2）见解析.
2
【解析】（1）因为 f（x）=ax ﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则 f（x）≥0 等
价于
1 h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知 h′（x）=a﹣ ．则当 a≤0 时 h′（x）＜0，即 y=h
例谈高考数学题的函数零点问题.docx
例谈高考数学题的函数零点问题梁关化， 2015，11，12高考数学题的函数零点问题，早前都是以小题出现为多，但近几年却变为大题，甚至是难题。
例如，今年全国卷（ 1）、广东和江苏等省的高考数学题都把函数零点问题作为大题、难题来出。
函数零点问题，归纳起来，常有如下几种类型：一、求零点的值或判断零点所在区间；二、讨论是否有零点或零点个数；三、由零点个数求函数解析式中参数取值范围。
解决零点问题，首先要掌握好零点概念的三个等价形式：（ 1）函数值为零的自变量值；（ 2）方程f(x)=0 的解（也可以把方程 f(x)=0 变形为 g(x)=h(x), 那么两函数 g(x) 和 h(x) 的图象的交点的横坐标即为方程 f(x)=0 的解）；（ 3）函数图象与 x 轴的交点的横坐标。
因此，零点与方程知识，与数形结合的数学思想紧密相关。
其次，还需要掌握好零点存在性的判断定理；此外，还需要掌握好利用函数的导数来研究函数的单调性，极值，最值的方法。
求函数解析式中参数取值范围问题，往往还需要分类讨论的数学思想。
下面一起分析几道高考题或高考题的改编题。
例1（广东2015 年高考数学理科题）设 a 1 ，函数 f ( x )(1x 2)e x a(1)求 f ( x )的单调区间；(2)证明 f ( x )在(,) 上仅有一个零点；(3)若曲线 y f ( x )在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m,n）处的切线与直线OP 平行，（ O 是坐标原点），证明：m 3 a21.e解：（ 1）解略。
（答案：f(x)的单调递增区间为(,) ）（2）由（ 1）得f(x)在区间(,) 上单调递增，又f (0) 1 a0(a1), f ( a1)ae a 1a a(e a 11) 0 ，从而有 f (0) f (a1)0 ，x0(0, a1) 使得 f ( x0)0 ，f ( x )在( ,) 上仅有一个零点。
( ,) 单调且在其一个（说明：这里用到零点存在性的判断定理。
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1
2015高考数学专题复习：函数零点
函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图像与x轴交点的横坐标．
xgxfy)(的零点（个数）函数xgxfy)(的图像与x轴的交点横坐标（个数）
方程0xgxf即xgxf)(的实数根（个数）
函数)(xfy与)(xgy图像的交点横坐标（个数）
1.求下列函数的零点
1.232xxy 2.xy2log 3.62xxy 4.1lnxy 5.21sinxy
2.函数22()(2)(32)fxxxx的零点个数为
3.函数xf=)0(2ln)0(322xxxxx的零点个数为
4.函数13.41.44)(2xxxxxxf的图像和函数()lngxx的图像的交点个数是 （ ）
.A1 .B2 .C
3 .D4
5.函数5()3fxxx的零点所在区间为 ( )
A．[0,1] B．[1,2] C．[2,3] D．[3,4]
6.函数1()44xfxex的零点所在区间为 （ ）
A. (1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)
7.函数()2ln(2)3fxxx的零点所在区间为 （ ）
A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6)
8.方程2|2|lgxx的实数根的个数是
9.函数()lg()72fxxgxx与图像交点的横坐标所在区间是 （ ）
A．21， B．32， C．43， D．54，
10.若函数2()4fxxxa的零点个数为3，则a______
2
11(09山东文)若函数1,0aaaxaxfx有两个零点，则实数a的取值范围是
12.函数2()2xfxax的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 （ ）
A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.
(0,2)
13.设,,abc均为正数，且11222112log,log,log,22bcaabc比较,,abc大小：
14.函数xf的零点为1x，函数224xxgx的零点为2x，若4121xx，则xf可以是 （ ）
A.212xxf B.412xxxf C.xxf101 D.28lnxxf
15.若直角坐标平面内的两点QP,满足条件：①QP,都在函数()yfx的图像上；②QP,关于原点对称.
则称点对QP,是函数()yfx的一对“友好点对”（点对QP,与PQ,看作同一对“友好点对”）.
已知函数22log(0)()4(0)xxfxxxx，则此函数的“友好点对”有 （ ）
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
16.已知函数ln,0()0,0xxfxx,则方程2()()0fxfx的不相等的实根个数为_______
17.已知0x是函数xxfx112的一个零点，若,,,10201xxxx，比较大小1xf 2xf
3
18.若关于x的方程|1|2xaa(0,1)aa有两个不等实根，则a的取值范围是
19.函数0,20,log31321xxxxxfxx，若0x是xf的零点，且00xt，则tf的值 （ ）
A.恒小于0 B.恒大于0 C.等于0 D.不大于0
20.方程mxx24有两个解，则求m的取值范围
21.已知[1,1]x，则方程2cos2xx所有实数根的个数为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
22.（11山东理科）函数()log(0,1)afxxxbaa且，当234ab时，函数()fx的零
点*0(,1),xnnnN，则n
23.函数xxxxfln2542的零点个数是
24.已知21()()log3xfxx，实数a、b、c满足0)()()(cfbfaf,且0abc，若实数0x是函
数()fx的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是 （ ）
A.0xa B.0xb C.0xc D.
0
xc
4
25.函数11sin2xxxf在区间4,2上的各零点之和是
26.函数xxxflgcos的零点个数为 ，函数xxxflgcos的零点个数为
27.函数xxysinlg的零点个数是
28.定义在R上的偶函数(2)fx，当2x时，1()2xfxe若存在kZ，使方程()0fx
的实数根0(1,)xkk，则k的取值集合是 （ ）
A．0 B．3 C．0,4 D．0,3
29.
函数0............140.2ln2xxxxxxxf的零点个数是
30.方程aax53223有负根，求a的取值范围
31.若不等式0log22xxa对任意21,0x恒成立，则实数a的取值范围是
.21,32131.32,2330.329.28.3276.426.825.24.2232.22.21.22220.19.21,01817716151413121114104,392876542342,,2,311321DDAACCabcCaCBBBCe，，
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