高中数学-函数零点问题及例题解析

高中数学-函数零点问题及例题解析

一、函数与方程基本知识点

1、函数零点：（变号零点与不变号零点）

（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(

2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =

,通过不断地把函数

()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似

值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧

零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：

（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(

例、函数x

x x f 2

)1ln()(-

+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。

分析：显然函数x

x x f 2

)1ln()(-

+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x

x x f 2

)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B

（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。

函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：

1．对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如： 例.求x x x f 2)(2-=零点的个数。

分析：本题直接求解，无法下手，由函数x x x f 2)(2-=的零点也是方程02)(2=-=x x x f 的根，即方程x x 22=的解，但这个方程不是熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的关系，可构造函数21x y =、x y 22=,在同一坐标系中作出它们的图象，可得出它们有三个交点，所以x x x f 2)(2-=零点的个数有三个。

2.对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与X 轴交点的情况求解。（导数专题再续讲）

（三）求函数的具体零点或求方程的根。对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特征，构造新函数,转化求解。如：

例、求函数36)35()(55++++=x x x x f 的零点。

分析：考察036)35()(55=++++=x x x x f 的特点，直接求解难以入手，可转化为求

)()35()35(55x x x x +-=+++的解，根据式子特点构造函数x x x g +=5)(，显然)(x g 为奇函数，

且在R 上单调递增，由)()35()35(55x x x x +-=+++可化为)()()35(x g x g x g -=-=+，故利用函数)(x g 的性质可得x x -=+35，则21-

=x ，所以函数)(x f 的零点为2

1

-=x

基础练习

1、下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）答案B

2、已知函数)(x f 的图象是连续的，有如下表。函数)(x f 在区间]6,1[上的零点至少有（ ） 答案C

x

1 2 3 4 5 6 )(x f

123.56 21.45 －7.82 11.57 53.76 －126.49

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

3. 设α、β分别是方程2log 40240x x x x +-=+-=和的根，则α＋β＝ 。答案4

4. 已知函数b a b

ax x x f ,()(2

+=为常数），且方程012)(=+-x x f 有两实根3和4 (1)求函数)(x f 的解析式； (2)设1>k ，解关于x 的不等式：x

k

x k x f --+<

2)1()(

解： （1）即方程

0122

=+-+x b

ax x 有两根3和4，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=++=++084160939

b

a b

a 得 ⎩⎨

⎧=-=2

1b a 所以x x x f -=2)(2

（2）即x

k

x k x x --+<-2)1(22整理的0))(1)(2(>---k x x x 21<<<k 时，不等式的解集}21|{k x x x ><<或