函数与方程零点问题考点例题讲解

函数与方程

考纲解读 1.求常见函数的零点；2.判断基本初等函数零点所在区间；3.判断二次函数零点个数及分布；4.根据函数零点与方程根的关系求参数范围；5.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．

[基础梳理]

1．函数的零点 (1)函数零点的定义

对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫作函数y ＝f (x )的零点． (2)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．

2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系

(x 0)，(x 0)

(x 0) 无交点 1．函数f (x )＝lg x ＋x －3的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

答案：B

2．函数f (x )＝e x －

1＋4x －4的零点所在区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)

答案：B

3．函数f (x )＝ln x －2

x 的零点所在的大致范围是( )

A ．(1,2)

B ．(2,3) C.⎝⎛⎭⎫1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞) 答案：B

4．用二分法求f (x )＝2x ＋3x －7的零点的近似解，若第一次零点区间为(1,2)，则第二次的零点区间为________．

答案：(1,1.5)

5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝x 2＋1

x 的零点为__________．

答案：－1

[考点例题]

考点一 判定函数零点区间|方法突破

[例1] (1)函数f (x )＝2x ＋ln 1

x －1的零点所在的大致区间是( )

A ．(1,2)

B ．(2,3)

C ．(3,4)

D ．(1,2)与(2,3)

[解析] f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，当1＜x ＜2时，ln(x －1)＜0，2

x ＞0，所以f (x )＞

0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln 1＝1，f (3)＝2

3－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83.∵8＝

22≈2.828＞e ，∴8＞e 2，即ln 8＞2，即f (3)＜0.又f (4)＝1

2－ln 3＜0，∴f (x )在(2，3)内存在

一个零点．

[答案] B

(2)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋x ，h (x )＝x －1

x

的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b

D ．b ＜a ＜c

[解析] 在同一坐标系下分别画出函数y ＝2x ，y ＝log 3x ，y ＝－1

x

的图象，如图，观察它们与y ＝－x 的交点可知a

[答案] A

判断函数零点所在区间的方法

法 断

对应函数值的正负； 图象法

画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断

容易画出函数的图象

[方法提升]

[跟踪训练]

1．设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)

D ．(2,3)

解析：f (x )＝e x ＋x －4单调递增，仅有一个零点，又f (1)＝e －3＜0，f (2)＝e 2－2＞0， 故函数f (x )的零点位于区间(1,2)．故选C. 答案：C

2．(2018·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1

x 的图象交点的横坐标所在区间为( )

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

解析： 在同一个坐标系中，分别作出y ＝ln(x ＋1)与y ＝1

x 的图象

如图，y ＝1x 过点P (1,1)，当x ＝1时，ln 2＜1，y ＝1

x 过点⎝⎛⎭⎫2，12，当x ＝2时，ln 3＞1.设y ＝ln(x ＋1)与y ＝1

x 的交点为Q (x Q ，y Q )，则1＜x Q

＜2.

答案：B

考点二 函数的零点个数|方法突破

[例2] (1)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋1，x ≤0，

log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点的个数是( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

(2)(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x

－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

(3)函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2－|x | x ≤2(x －2)2 x >2的零点个数为__________．

[解析] (1)(直接法)由f [f (x )]＋1＝0得f [f (x )]＝－1，