高中数学常见题型解法归纳函数的零点个数问题的求解方法

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2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第13讲函数的零点个数问题的求解方法

第13讲函数的零点个数问题的求解方法【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <g ，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <g ，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步.三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组：（1）a 的符号；（2）对称轴2bx a=-的位置；（3）判别式的符号；（4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一方程法使用情景方程可以直接解出来. 解题步骤先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a =+--+区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二图像法使用情景一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.【例2】（2017全国高考新课标I 理科数学）已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.(2) ①若0,a ≤由（1）知()f x 至多有一个零点.②若0a >，由（1）知当ln x a =-时，()f x 取得最小值，1(ln )1ln f a a a-=-+. （i ）当1a =时，(ln )f a -=0，故()f x 只有一个零点. （ii ）当(1,)a ∈+∞时，由于11ln a a-+>0，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点. （iii ）当0,1a ∈（）时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 422(2)(2)2220,f ae a e e ----=+-+>-+>故()f x 在(,ln )a -∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln ,()n n n n n n f n e ae a n e n n aa f x a>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a 的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a ∈（）时，要先判断(,ln )a -∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln )0f a -<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f aea e e ----=+-+>-+>要说明(2)0f ->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae --+.(3) 当0,1a ∈（）时，要判断(ln ,)a -+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax=+，其中a 为实数，常数 2.718e =L .(1) 若1 3x=是函数()f x的一个极值点，求a的值；(2) 当4a=-时，求函数()f x的单调区间；(3) 当a取正实数时，若存在实数m，使得关于x的方程()f x m=有三个实数根，求a的取值范围.方法三方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x=,重新构造方程()()g x h x=,再画函数(),()y g x y h x==的图像分析解答.【例4】函数()lg cosf x x x=-的零点有（）A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个【点评】调性不是很方便，所以先令()lg cos0f x x x=-=,可化为lg cosx x=,再在同一直角坐标系下画出lgy x=和cosy x=的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln,1,02f x x m xg x x m x m=-=-+>．（1）求函数()f x的单调区间；（2）当1m≥时，讨论函数()f x与()g x图象的交点个数．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲：函数零点个数问题的求解方法参考答案422510152025oy=cosxy=lgxyx【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=- 令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x] ] 极小值ZZ极大值]因此()f x 的单调增区间是51(1)2，15(,12+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--，5(1,)++∞；【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ；（2）1．【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x 的定义域为()()(0,,'x m x m f x x+∞=．当0x m <<()'0f x <,函数()f x 单调递减，当x m >时，()'0f x >函数()f x 单调递增，综上，函数()f x 的单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ．（2）令()()()()211ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数，()()()1'x x m F x x--=-,当1m =时，()'0F x ≤，函数()F x 为减函数，F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。

函数的零点问题

函数的零点问题函数的零点问题是数学中的重要概念，也是不少学生学习数学时比较困难的部分。

本文将对函数的零点问题进行深入阐述，包括其定义、求解方法和实际意义等方面的内容，希望对读者加深对这一概念的理解。

一、定义在数学中，函数的零点指的是函数图像与x轴交点的横坐标。

也就是说，对于函数f(x)，它的零点是指f(x)=0的x值。

经常把求解函数零点问题转换为求解方程f(x)=0的根。

二、求解方法求解函数的零点，关键是求解方程f(x)=0的根。

对于一些形式简单的函数，可以通过手工计算求解；而对于形式复杂、无法手工求解的函数，可以借助计算机等工具进行数值求解。

1.手工计算法手工计算法求解函数零点问题，需要掌握函数的性质和一些基本的求解方法。

以下是几种常见的方法：（1）代数法对于一些形如ax+b=0的方程，可以通过一些基本的代数运算来求解。

比如：对于f(x)=2x-3，要求f(x)=0的解，就要解方程2x-3=0，得到x=3/2。

对于f(x)=x^2-4，要求f(x)=0的解，就要解方程x^2-4=0，得到x=±2。

对于f(x)=x^3+2x^2-x-2，设f(x)=(x-a)(x^2+bx+c)，化简得到a=-1，b=1，c=-2，然后再利用求根公式进行求解。

（2）图像法对于一些简单的函数，可以通过画出函数图像来求解零点。

具体方法是，在坐标系中画出函数f(x)的图像，根据图像与x轴的交点所在的位置和数量来求解零点。

例如：对于f(x)=x^2-1，画出函数图像后可以看出函数有两个零点，即x=1和x=-1。

对于f(x)=sinx，画出函数图像后可以看出函数有无数个零点，它们分别在x=nπ（其中n为整数）处。

（3）因式分解法对于一些可以因式分解的函数，可以通过将其因式分解后再求解。

例如：对于f(x)=x^2-4x+3，将其因式分解为(x-1)(x-3)，得到函数的两个零点分别为1和3。

对于f(x)=x^3-3x^2+2x，将其因式分解为x(x-1)(x-2)，得到函数的三个零点分别为0、1和2。

高考复习专题函数零点的求法及零点的个数

函数零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点。

[例1] 求函数2223+--=x x x y 的零点.[解题思路]求函数2223+--=x x x y 的零点就是求方程02223=+--x x x 的根 [解析]令 32220x x x --+=，∴2(2)(2)0x x x ---=∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴11x x x=-==或或即函数2223+--=x x x y 的零点为-1，1，2。

[反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。

题型2：确定函数零点的个数。

[例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数.[解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数[解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增，又有(1)(4)0f f ⋅<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。

方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数即求ln 62y xy x =⎧⎨=-⎩的交点的个数。

画图可知只有一个。

[反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。

[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2x 的系数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.令()248382440a a a a ∆=++=++=,解得372a -±=①当372a --=时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点。

零点个数怎么求

零点个数怎么求①解方程：通过解方程 f(x)=0 得到零点；②数形结合：这是经常用到的分析方法，特别是选填题中得到广泛应用；③零点存在定理：用零点存在定理来确定某区间是否有零点，这是解答题中的重要方法；④求零点个数：求零点个数时，就要判断每个单调区间，同时还要判断个单调区间的零点存在性.而具体解答题的过程中，我们也会遇到函数较复杂，先将复杂问题转化为简单问题，再选择合适的方法来求零点.我们来看一个具体的例子.【例1】（2018全国2卷文数21-2）已知函数f(x)=\frac{1}{3}x^3-a(x^2+x+1)，证明： f(x) 只有一个零点.【分析】 f(x) 是一个含参的三次函数，貌似是一个三次函数求零点个数问题，但是带着参数问题就变复杂了，所以这个时候可以转化一下，分离参数为求： a=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)} 的解个数问题.进一步转化为函数g(x)=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)}-a的零点个数问题.【解析】因为 x^2+x+1>0 恒成立.所以 f(x) 零点个数等价于函数函数g(x)=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)}-a的零点个数问题.先判断 g(x) 单调性，用导数法：g'(x)=\frac{3x^2(x^2+x+1)-x^3(2x+1)}{3(x^2+x+1)^2}=\frac{x^2(x^2+2x+3)}{3(x^2+x+ 1)^2}\geq0 ,当且仅当 x=0 时 g'(x)=0 ,g(x) 单调递增.所以 g(x) 至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点.又因为 f(3a+1)=\frac{1}{3}>0 , f(3a-1)=-6a^2+2a-\frac{1}{3}=-6(a-\frac{1}{6})^2-\frac{1}{6}<0 ,所以 f(x) 恰有一个零点.【小结】分离参数读者们应该还好理解，为什么要选择f(3a+1),f(3a-1) 就是一脸懵了.这属于找点的内容（内点定理），我们后面专门花章节来讲解这个内容.我们还是先理解零点存在定理的应用.本节我们重点讲解求零点个数问题的求法，近年高考也是热点题型，也是我们零点问题将面临的重点问题.【例2】（2019全国2卷理数20-1改编）已知函数f(x)=lnx-\frac{x+1}{x-1} ,求 f(x) 的零点个数.【分析】求零点个数问题，我们要求函数的单调区间，然后判断每一个单调区间的零点存在性.【解析】 f(x) 定义域为 (0,1)\cup(1,+\infty) ，而f(x)=lnx-1-\frac{2}{x-1} ,由和差法： y=lnx 和 y=-\frac{1}{x-1} 在(0,1)\cup(1,+\infty)上都是单调递增了，所以 f(x) 在(0,1)\cup(1,+\infty)单调递增；在 (0,1) 上 f(x) 单调递增，当 \frac{1}{3}<x<1 时，f(x)>f(\frac{1}{3})=\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-1-ln3>\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-3=0 ，当 0<x<\frac{1}{e^2} 时，f(x)<f(\frac{1}{e^2})=\frac{2}{1-\frac{1}{e^2}}-3<\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-3=0 ，由零点存在定理和单调性， f(x) 在 (0,1) 有唯一零点，在 (1,+\infty) 上 f(x) 单调递增，当 1<x<3 时， f(x)<f(3)=ln3-2<0 ,当 x>e^2 时， f(x)>f(e^2)=1-\frac{2}{e^2-1}>1-\frac{2}{3-1}=0 ,所以 f(x) 在 (1,+\infty)有唯一零点.综上， f(x) 在定义域上有两个零点.【例3】（2019全国1卷文数20-1改编）已知函数h(x)=cosx+xsinx-1 ,证明： h(x) 在区间 (0,\pi) 存在唯一零点.【分析】让我确定零点个数，需要结合单调区间和零点存在定理来证明.【解析】给定了定义域区间为 (0,\pi) ,用导数法判断单调性： h'(x)=xcosx ，判正负区间： h'(x) 正负区间同 y=cosx ，易知在(0,\frac{\pi}{2}) 上 h'(x)>0,h(x) 单调递增；在(\frac{\pi}{2},\pi) 上， h'(x)<0,h(x) 单调递减.而 h(0)=0,h(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}-1>0，h(\pi)=-2<0 ,由零点存在定理和单调性，所以在(0,\frac{\pi}{2})上 h(x) 无零点，在 (\frac{\pi}{2},\pi) 上有唯一零点.得证.【例4】（2015全国1卷文书21-1）设函数 f(x)=e^{2x}-alnx .讨论 f(x) 的导函数 f'(x) 零点的个数.【分析】先求出 f'(x) 及定义域，通过判断 f'(x) 单调性和零点存在性来确定零点个数.【解析】 f'(x)=2e^{2x}-\frac{a}{x}(x>0) .①当 a\leq0 时，显然 f'(x)>0 恒成立，无零点.②当 a>0 时，判断 f'(x) 的单调性，用和差法：y=2e^{2x},y=-\frac{a}{x} 都是在 (0,+\infty) 上的单调递增函数，所以 f'(x) 单调递增.当 x>max(1,\frac{a}{2e^2}) 时， f'(x)>2e^2-2e^2=0 ,当 x<min(1,\frac{a}{2e^2}) 时， f'(x)<2e^2-2e^2=0 ,所以此时 f'(x) 有唯一零点，综上，当 a\leq0 ， f'(x) 无零点，当 a>0 时，有唯一零点.【例5】（2015广东理数19-2）设 a>1 ，函数f(x)=(1+x^2)e^x-a .证明 :f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上仅有一个零点.【分析】还是求零点个数问题，用单调性+存在性来求解.【解析】 f(x) 的单调性，用求导法：f'(x)=e^x(x+1)^2\geq0 ，当且仅当 x=-1 时， f'(x)=0 ，所以 f(x) 是定义域上的单调递增函数.当 x>lna 时， f(x)>f(lna)>0 .当 -\sqrt{e-1}<x<-1 时，f(x)<\frac{e}{e}-a<0 ,由零点存在性定理及单调性，得证：:f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上仅有一个零点.【总结】通过上面五题，是否明白求解零点个数问题的基本方法，如果遇到复杂函数，分参转化为新函数的零点个数问题不失为一种思路；具体求解过程，先判断函数的单调性，再确定每个单调区间函数的零点存在性.但是对于开区间上零点的存在，往往很难通过取点来确定函数值的符号，我们也不容易用极限的思想来解释。

函数零点的题型归纳与解题技巧

函数零点的题型归纳与解题技巧函数零点是指函数取值为零的点，即f(x)=0的解。

在高中数学、大学数学以及各类数学竞赛中，函数零点常见的题型有很多种，这里我们将从题型归纳与解题技巧两方面进行探讨。

一、题型归纳1. 求解一元函数零点：例如求解f(x) = x^3-2x^2-x+2=0的零点。

2. 求解二元函数零点：例如求解f(x,y) = x^2+y^2-1=0的零点。

3. 求解多项式方程零点：例如求解f(x) = x^3-x^2+2x-2=0的零点。

4. 求解参数方程零点：例如求解x(t) = t^2-t+2，y(t) =t^3-t^2+2t-2，求解当f(x,y)=0时对应的参数t。

5. 利用零点求解函数的性质：例如已知f(x)的零点及其性质，求解f'(x)或f''(x)的零点。

6. 证明存在或不存在零点：例如证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。

二、解题技巧1. 分类讨论：对于不同的函数类型，采用不同的方法求解零点。

例如线性函数、二次函数、三次函数、对数函数等，都有相应的求解方法。

2. 利用代数方法：通过代数运算，将原方程转化为容易求解的方程。

例如将原方程化为因式分解的形式，利用韦达定理等。

3. 利用几何方法：将方程与几何图形进行关联，求解图形的相交点即为零点。

例如将方程与直线、圆、椭圆、抛物线等几何图形关联起来。

4. 利用数学分析方法：利用微积分知识，如导数、二分法、牛顿法等，求解零点。

例如，求解f'(x)=0的零点，可以找到函数的拐点；二分法则多用于求解逼近零点。

5. 利用数值方法：通过计算机进行数值逼近求解零点。

例如求解非线性方程组零点时，可以采用牛顿法、拟牛顿法等。

6. 利用泰勒展开：对于非常复杂的函数，可以考虑将其在某一点附近进行泰勒展开，将高次函数近似为低次函数（如线性、二次），再求解零点。

7. 利用解析几何方法：通过解析几何知识，求解平面或空间上的几何问题。

微专题函数零点个数有关问题的处理

微专题：函数零点个数有关问题的处理一.知识点：h (x )＝f (x )－g (x )的零点等价于方程f (x )－g (x )＝0的根，等价于函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点的横坐标。

二、处理方法已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.通常情况下：f (x )要可画或知道其单调性走向，g (x )为常数函数或过定点的直线或常见函数.三、新课讲授类型一：右边为常数形【例1】若方程f (x )＝|3x －1|－k 有一零点，则k 的取值范围为________．【思考】有两个零点呢？没有零点呢？【例2】若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是________．【例3】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x ＋1），x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．类型二：右边为直线形【例4】若函数f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，且a ∈R )恰有两个不同的零点，则a 的取值范围为________．【例5】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≤0，1x，x >0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是________．【例6】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是________．类型三：右边为其它曲线形【例7】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x ，x ＞0－x 2－4x ，x ≤0，则此函数图象上关于原点对称的点有对类型四：复合函数形【例8】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e |x －1|，x >0－x 2－2x ＋1，x ≤0，若关于f (x )的方程[f (x )]2－3f (x )＋a ＝0(a ∈R )有8个不等的实数根，则a 的取值范围是_______．【思考1】若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【思考2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x （x ≥0），－e －x ＋1（x <0），则方程|f (x )－1|＝2－c (c 为常数且c ∈(－1，0))的不同的实数根的个数为________．【思考3】若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．【思考4】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －94，x ≤0，x －2，x >0.若方程f (x )＝a 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．【思考5】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【思考6】若函数()(0)f x a a =≠存在零点，则a 的取值范围是_______.【思考7】已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ，当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．。

高考数学-函数零点问题及例题解析

1函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、二分法：二分法：对于在区间对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二的零点所在的区间一分为二,,使区间的两个端点逐步逼近零点使区间的两个端点逐步逼近零点,,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法值的方法叫做二分法; ;二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间在区间[a,b][a,b][a,b]上的图象是连续不断的一上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（在区间（a,b a,b a,b）内有零点，即存在）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。

根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）（或方程在某个区间上是否有根）（或方程在某个区间上是否有根）时，时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如分不必要条件：如例、函数x x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（的零点所在的大致区间是（）（A ）（0，1）；（B ）（1，2）；（C ）（2，e ）；（D ）（3，4）。

高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析

高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

求零点个数的方法

求零点个数的方法
求零点个数的方法有多种，具体方法取决于给定问题的具体情况。

下面列举几种常见的求零点个数的方法：
1. 代数解法：对于一元多项式方程，可以使用代数方法来求解方程的根，从而得到零点的个数。

这包括使用因式分解、配方法、综合除法、求解二次方程等方法。

2. 图像法：对于已知函数的图像，可以通过观察函数图像的上下交错关系来估计或精确计算函数的零点个数。

这种方法适用于一些简单的函数。

3. 数值计算方法：对于复杂函数或无法通过代数方法求解的方程，可以使用数值计算方法来估计函数的零点个数。

常见的数值计算方法包括二分法、牛顿法、割线法、迭代法等。

4. 特殊函数的性质：对于某些特殊函数，可以利用其特殊性质来求解零点个数。

例如，多项式函数的零点个数等于其次数，三角函数的零点个数与周期有关等。

需要根据具体情况选择合适的方法来求解零点个数，有时可能需要结合多种方法来得到准确的结果。

高一数学重点：零点问题的解题方法

谈函数与方程(零点问题)的解题方法——解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．(3)几个等价关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y ＝0(即x轴)有交点．推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数210对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．(2015·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0，1) B．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，∴函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x的零点，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln 2－1＜0，f (2)＝ln 3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1，2)．【答案】B3．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．【解析】求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2．【答案】24．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定理知f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内．【答案】A5．(2014·高考湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}【解析】令x ＜0，则－x ＞0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x ．求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解．当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x ＜0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7．【答案】D确定函数f (x )零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0．若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【解析】因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．【答案】C2．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( )。

高中数学考点与题型归纳：导数与零点问题压轴1：零点个数问题 - 解析

导数与零点第1讲零点个数问题知识梳理判断、证明或讨论函数零点个数的方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．(4)构造函数模型，判断零点个数.构造函数可根据题目不同，直接做差构造函数、分离参数后构造函数、先求导数再构造函数、先换元再构造函数等.题型归纳题型1 已知函数解析式求零点个数【例1】已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数．解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3. (2)由(1)知g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x－4ln x －2，∴g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2，令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下表：X (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g ′(x ) ＋0 －0 ＋g (x )极大值极小值当0<x ≤3时，g (x )≤g (1)＝－4<0，当x >3时，g (e 5)＝e 5－3e5－20－2>25－1－22＝9>0.又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点【跟踪训练1-1】函数3214()2333f x x x x =+++的零点个数为．【分析】先求出导函数()f x '，令()0f x '=求出极值点，进而求出函数的极值，根据单调性和极值画出函数的大致图象，从而得到函数的零点个数．【解答】解：函数3214()2333f x x x x =+++，2()43(1)(3)f x x x x x '∴=++=++，令()0f x '=得：3x =-或1-，∴当(,3)x ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(3,1)x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，∴函数()f x 的极大值为4(3)3f -=，极小值为(1)0f -=，∴函数()f x 的大致图象如图所示：由图象可知，函数()f x 有2个零点，题型2 讨论含参函数零点个数【例2】设函数f (x )＝ln x ＋m x ，m ∈R.讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．[解] 由题设，g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x ＞0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．所以x ＝1是φ(x )的极大值点，也是φ(x )的最大值点．所以φ(x )的最大值为φ(1)＝23.由φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点．【跟踪训练2-1】设f (x )＝x －1x－2ln x .(1)求证：当x ≥1时，f (x )≥0恒成立；(2)讨论关于x 的方程x －1x －f (x )＝x 3－2e x 2＋tx 根的个数．解：(1)证明：f (x )＝x －1x－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．∵f ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2＝(x －1)2x 2≥0，∴f (x )在[1，＋∞)上是单调增函数，∴f (x )≥f (1)＝1－1－2ln 1＝0对于x ∈[1，＋∞)恒成立．故当x ≥1时，f (x )≥0恒成立得证． (2)化简方程得2ln x ＝x 3－2e x 2＋tx .注意到x ＞0，则方程可变为2ln x x ＝x 2－2e x ＋t .令L (x )＝2ln xx ，H (x )＝x 2－2e x ＋t ，则L ′(x )＝2(1－ln x )x 2.当x ∈(0，e)时，L ′(x )＞0，∴L (x )在(0，e)上为增函数；当x ∈(e ，＋∞)时，L ′(x )＜0，∴L (x )在(e ，＋∞)上为减函数． ∴当x ＝e 时，L (x )max ＝L (e)＝2e.函数L (x )＝2ln xx，H (x )＝(x －e)2＋t －e 2在同一坐标系内的大致图象如图所示．由图象可知，①当t －e 2＞2e ，即t ＞e 2＋2e 时，方程无实数根；②当t －e 2＝2e ，即t ＝e 2＋2e 时，方程有一个实数根；③当t －e 2＜2e ，即t ＜e 2＋2e时，方程有两个实数根．【跟踪训练2-2】已知函数f (x )＝ln x ＋1ax －1a (a ∈R 且a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，试判断函数g (x )＝(ln x －1)e x＋x －m 的零点个数．解：(1)f ′(x )＝ax －1ax 2(x ＞0)，当a ＜0时，f ′(x )＞0恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，由f ′(x )＝ax －1ax 2＞0，得x ＞1a ，由f ′(x )＝ax －1ax 2＜0，得0＜x ＜1a ，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减．综上所述，当a ＜0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，函数g (x )＝(ln x －1)e x ＋x －m 的零点个数等价于方程(ln x －1)e x＋x ＝m 的根的个数．令h (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，则h ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x －1e x ＋1.由(1)知当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋1x －1在⎝⎛⎭⎫1e ，1上单调递减，在(1，e)上单调递增， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，f (x )≥f (1)＝0.∴1x＋ln x －1≥0在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒成立． ∴h ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x －1e x ＋1≥0＋1＞0，∴h (x )＝(ln x －1)e x ＋x 在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递增， ∴h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－2e 1e＋1e，h (x )max ＝h (e)＝e. ∴当m ＜－2e 1e＋1e 或 m ＞e 时，函数g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上没有零点；当－2e 1e＋1e ≤m ≤e 时，函数g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有一个零点．。

高考数学函数零点问题3类题型4种方法讲解！你觉得零点问题难吗？

高考数学函数零点问题3类题型4种方法讲解！你觉得零点问题难吗？函数零点问题的4种解题方法一、依据概念化为方程求根对于函数y=f(x)，我们把f(x)=0使的实数x叫做函数y=f(x)的零点，因此，该方法就是将函数的零点问题转化为方程f(x)=0的问题来解答。

二、由数到形实现零点交点的互化函数y=f(x)的零点，即函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标。

因此，求函数的零点问题可转化为函数y=f(x)图像与x轴的交点的横坐标，或将方程f(x)=0整理成f1(x)=f2(x)形式，然后在同一直角坐标系下，画出两函数的图像，交点的横坐标即为函数的零点，交点的个数即为函数的零点个数。

注：在解题中，若遇到函数形式复杂难以作图时，则不妨先整理表达式，一般以所涉及的函数能作其图像为整理要求。

接着在同一坐标系下，规范作图，然后确定交点的位置或个数，特别在部分区间上是否存在交点，要细心对待，有时还需计算相关的函数值（函数值的趋势）来确定是否有交点。

三、依存定理凭号而论如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像时联系不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。

即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0。

通常将此论述称为零点存在性定理。

因此，该解题策略就是将函数零点分布问题转化为判断不等式f(a)f(b)<0是否成立。

四、借助单调确定问题如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像时连续不断的一条具有单调性曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一零点，即存在唯一的c∈(a,b)，使得f(c)=0。

通常将此论述称为零点唯一性定理。

因此，该策略解题需要考虑两个条件：条件一是f(a)f(b)<0是否成立；条件二是否具有单调性。

题型一：已知零点个数求参数范围题型二：求零点所在区间题型三：求零点个数。

高考数学复习考点知识剖析解题方法与技巧专题讲解10---函数零点的个数问题

为 f (1) = −2 ，做出草图。而 y = a 为一条水平线，通过图像可得， y = a 介于极
大值与极小值之间，则有在三个相异交点。可得： a ∈ (−2, 2)
答案：A 小炼有话说：作图时可先作常系数函数图象，对于含有参数的函数，先分析参数
所扮演的角色，然后数形结合，即可求出参数范围。
例 2：设函数 f ( x) = x2 + 2x − 2 ln ( x + 1) ，若关于 x 的方程 f ( x) = x2 + x + a 在[0, 2]
个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所
以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡（作图问题详见：
1.7 函数的图像）
3、在高中阶段主要考察三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理，（2）
二次方程根分布问题，（3）数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中第（3）
个类型常要用到函数零点，方程，与图像交点的转化，请通过例题体会如何利用
方程构造出函数，进而通过图像解决问题的。
三、例题精析：
例 1：直线 y = a 与函数 y = x3 − 3x 的图象有三个相异的交点，则 a 的取值范围为
( )．
A． (−2, 2)
B． [ −2, 2]
C．[2, +∞)
D． (−∞, −2]
内。例如：对于方程 ln x + x = 0 ，无法直接求出根，构造函数 f ( x) = ln x + x ，
由
f
(1)
>
0,
f
1 2
<
0
即可判定其零点必在
1 2

数学函数零点的求法及零点的个数

函数零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点。

[例1]求函数2223+--=x x x y 的零点.[解题思路]求函数2223+--=x x x y 的零点就是求方程02223=+--x x x 的根[解析]令32220x x x --+=，∴2(2)(2)0x x x ---=∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或即函数2223+--=x x x y 的零点为-1，1，2。

[反思归纳]函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。

题型2：确定函数零点的个数。

[例2]求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数.[解题思路]求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数就是求方程lnx＋2x －6=0的解的个数[解析]方法一：易证f(x)=lnx＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增，又有(1)(4)0f f ⋅<，所以函数f(x)=lnx＋2x －6只有一个零点。

方法二：求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数即是求方程lnx＋2x －6=0的解的个数即求ln 62y x y x =⎧⎨=-⎩的交点的个数。

画图可知只有一个。

题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[例3](2007·广东)已知a 是实数,函数()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。

[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2x 的系数，故要对a 进行讨论[解析]若0a =,()23f x x =-,显然在[]1,1-上没有零点,所以0a ≠.令()248382440a a a a ∆=++=++=,解得372a -±=①当372a --=时,()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点。

(完整版)高一：零点问题的解题方法

谈函数与方程 ( 零点问题 ) 的解题方法课题——解题技术篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要观察转变与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义关于函数y＝ f(x) (x∈D )，把使 f(x)＝ 0 成立的实数x 叫做函数y＝ f(x) (x∈ D)的零点．(2)零点存在性定理 (函数零点的判断 )若函数y＝ f(x)在闭区间 [a，b] 上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a) ·f(b)＜ 0，则在区间 (a，b)内，函数 y＝ f(x)最少有一个零点，即相应方程f(x)＝ 0 在区间 (a，b)内最少有一个实数解．也能够说：若是函数y＝f(x)在区间 [a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)＜ 0，那么，函数 y＝ f(x) 在区间 (a， b)内有零点，即存在c∈ (a，b)，使得 f(c) ＝0，这个 c 也就是方程f(x)＝ 0 的根．[提示 ]此定理只能判断出零点存在，不能够确定零点的个数．(3)几个等价关系函数 y＝ f(x)有零点?方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与函数y＝ 0(即 x 轴 )有交点．实行：函数 y＝ f( x)－ g(x)有零点?方程f(x)－g(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴 )有交点．实行的变形：函数 y＝ f(x)－ g(x)有零点 ? 方程 f(x)＝ g(x) 有实数根 ? 函数 y＝ f(x)的图象与 y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝ f(x)与 x 轴的交点吗？可否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝ f(x)与 x 轴的交点，而是y＝ f(x)与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；其实不是任意函数都有零点，只有f(x) ＝0 有根的函数y＝ f(x)才有零点．2．若函数 y＝ f(x) 在区间 (a， b)内有零点，必然有f(a) ·f(b)<0 吗？提示：不用然，以下列图，f(a) ·f(b)>0 ．提示：不用然，可能有多个．(4)二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c (a>0)的图象与零点的关系＝ b2－ 4ac＞ 0＝ 0＜ 0二次函数y＝ ax2＋ bx＋c(a＞ 0)的图象与 x 轴的交点(x1， 0)， (x2， 0)(x1， 0)无交点零点个数210关于今后的考试中仍以观察函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转变成主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1． (2015 ·州十校联考温 )设 f(x)＝ ln x＋ x－ 2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A ．(0， 1)B． (1， 2)C．(2， 3)D． (3， 4)【剖析】法一：∵ f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，∴ f(1)·f(2)＜0，∵ 函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，∴函数 f(x)的零点所在的区间是(1， 2) ．法二：函数 f(x)的零点所在的区间转变成函数g( x)＝ ln x，h(x)＝－ x＋ 2 图象交点的横坐标所在的范围，以下列图，可知 f(x) 的零点所在的区间为(1， 2)．【答案】 B1的图象交点的横坐标所在区间为() 2． (2015 西·安五校联考 )函数 y＝ ln(x＋ 1)与 y＝xA ．(0， 1)B． (1， 2)C．(2， 3)D． (3， 4)1＋∞)上为增函数，且f(1) ＝ ln 2 －1＜ 0， f(2)＝ ln 3 －2＞ 0，∴f(x)的零点所在区间为(1， 2)．【答案】 B3．函数 f(x)＝ 3x－7＋ ln x 的零点位于区间(n，n＋ 1)(n∈ N)内，则 n＝________．【剖析】求函数 f(x)＝ 3x－ 7＋ ln x 的零点，能够大体估计两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于 ln 2 ＜ln e ＝ 1，因此 f(2)＜ 0， f(3) ＝2＋ ln 3 ，由于 ln 3 ＞ 1，因此 f(3)＞ 0，因此函数f(x)的零点位于区间(2， 3)内，故 n＝ 2．【答案】 24．(2015 长·沙模拟 )若 a＜ b＜ c，则函数 f(x)＝ (x－ a)(x－ b)＋ (x－ b)(x－ c)＋ (x－ c)(x－ a)的两个零点分别位于区间 ()A ．(a， b)和 (b， c)内B． (－∞， a)和( a， b)内C．(b， c)和 (c，＋∞ )内D． (－∞， a)和 ( c，＋∞ )内【剖析】本题观察零点的存在性定理．依题意得f(a)＝ (a － b)( a－ c)＞ 0 ， f(b)＝ (b－ c)(b－ a) ＜ 0， f(c)＝ (c－b)( c－a) ＞0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a， b)和 (b， c)内．【答案】 A5． (2014 ·考湖北卷高 )已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当x≥ 0 时， f(x)＝ x2－ 3x，则函数g(x)＝ f(x)－ x＋ 3 的零点的会集为()A ．{1 ，3}B． { － 3，－ 1， 1， 3}C．{2 －7， 1， 3}D． { － 2－7， 1，3}【剖析】令 x＜ 0，则－ x＞0，因此 f(x) ＝－ f(－ x)＝－ [( － x)2－ 3(－ x)] ＝－ x2－ 3x．求函数 g(x)＝ f(x)－ x＋ 3 的零点等价于求方程f(x) ＝－ 3＋ x 的解．当 x≥ 0 时， x2－3x＝－ 3＋x，解得 x1＝ 3，x2＝ 1；当 x＜ 0 时，－x2－3x＝－ 3＋x，解得 x3＝－ 2－7．【答案】 D确定函数f(x)零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x) ＝0 易解时，可先解方程，再看解得的根可否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：第一看函数 y＝ f(x)在区间 [a，b] 上的图象可否连续，再看可否有 f(a) ·f(b) ＜ 0．若有，则函数 y＝ f(x)在区间 (a， b)内必有零点．(3)数形结合法：经过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上可否有交点来判断．61．已知函数f(x)＝x－ log2x，在以下区间中，包含f(x)零点的区间是()【剖析】由于 f(1) ＝6－ log 21＝ 6＞ 0， f(2)＝ 3－ log 22＝ 2＞0， f(4) ＝ 3－ log 24＝－ 1＜ 0，因此函数 f(x)的2 2 零点所在区间为 (2， 4)．【答案】 C2．方程 log 3x ＋ x ＝ 3 的根所在的区间为 ( )A ．(0， 1)B ． (1， 2)C ． (2， 3)D ．(3， 4)【剖析】法一：方程 log 3x ＋ x ＝ 3 的根即是函数 f(x)＝ log 3x ＋ x － 3 的零点，由于 f(2) ＝ log 32＋ 2－ 3＝log 32－ 1<0 ， f(3) ＝ log 33＋ 3－ 3＝ 1>0 且函数 f(x)在 (0，＋ ∞ )上为单调增函数．∴函数 f(x)的零点即方程 log 3x ＋ x ＝ 3 的根所在区间为 (2， 3)．法二：方程 log 3x ＋ x ＝3 的根所在区间即是函数y 1＝ log 3x 与 y 2＝ 3－ x 交点横坐标所在区间，两函数图象以下列图．由图知方程 log 3的根所在区间为 (2， 3)．x ＋ x ＝ 3 【答案】 C3．(2015 ·武汉调研 )设 a 1， a 2，a 3 均为正数， λ1＜ λ2＜λ3，则函数a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 的两个零点 f(x)＝123x － λ x － λ x － λ分别位于区间 ( )A ．(－∞， λ1)和 (λ1， λ2)内B ． (λ1， λ2)和 (λ2， λ3)内C ．(λ，λ) 和 (λ，＋∞ )内D ． (－∞， λ) 和(λ，＋∞ )内23313【剖析】本题观察函数与方程．利用零点存在定理求解．当x ∈ (λ1， λ2)时，函数图象连续，且x → λ，1f(x)→ ＋ ∞ ，x → λ2， f(x)→－ ∞ ，因此函数 f(x)在 (λ1， λ2)上必然存在零点；同应该x ∈ (λ2， λ3)时，函数图象连续，且 x → λ， f(x)→ ＋∞ ， x → λ， f(x)→ － ∞ ，因此函数 f(x)在 (λ， λ)上必然存在零点，应选B ．2323【答案】 B考向二、判断函数零点个数x －2， x>0，g(x)＝ f(x)＋ x 的1．已知函数 f(x)＝满足 f(0) ＝ 1，且 f(0)＋ 2f( －1) ＝0，那么函数－x 2 ＋bx ＋ c ， x ≤ 0零点个数为 ________．【剖析】 ∵f(0) ＝ 1，∴c ＝ 1，又∵f(0) ＋ 2f(－1)＝ 0，∴f(－ 1)＝－ 1－ b ＋ 1＝－ 112，∴b ＝ 2．∴当 x ＞ 0 时，g( x)＝ 2x－ 2＝ 0 有唯一解 x＝1；当 x≤ 0 时， g(x)＝－ x2＋3x＋1，令 g(x)＝ 0 得 x＝－1或 x＝2(舍去 )，22综上可知， g(x)＝ f(x)＋ x 有 2 个零点．【答案】 22． (2013 高·考天津卷 )函数 f(x)＝ 2x|log 0.5x|－ 1 的零点个数为 () A ．1B． 2C．3D． 4x1x．【剖析】由 f(x) ＝2 |log0.5x|－ 1＝ 0，可得 |log0．5x|＝2设 g(x)＝ |log0.5x|， h(x)＝1 xg( x)， h(x)的图象，能够发现两个函数图2 ，在同一坐标系下分别画出函数象必然有 2 个交点，因此函数f(x)有 2 个零点．【答案】 B3． (2015 ·考天津卷高)已知函数2－ |x|， x≤2，函数 g(x)＝ 3－ f(2－ x)，则函数y＝ f(x)－ g(x) f(x) ＝x－ 2 2， x＞ 2，的零点个数为 ()A ．2B． 3C．4D． 5【剖析】分别画出函数 f(x)， g(x)的草图，观察发现有 2个交点．【答案】 A4．若定义在R 上的偶函数f( x)满足 f( x＋2) ＝ f(x)，且当 x∈ [0， 1]时， f(x)＝ x，则函数y＝f(x)－ log 3|x|的零点个数是________．【剖析】由题意知， f(x)是周期为 2 的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝ f(x)及 y＝ log3 |x|的图象，以下：观察图象能够发现它们有 4 个交点，即函数y＝ f(x)－ log3|x|有 4 个零点．5判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令 f(x)＝ 0，若是能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不但要求函数在区间[a ， b] 上是连续不断的曲线，且f(a) ·f(b)＜ 0，还必定结合函数的图象与性质( 如单调性、奇偶性、周期性、对称性 )才能确定函数有多少个零点或零点值所拥有的性质．(3)数形结合法：转变成两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不相同的值，就有几个不相同的零点．1． (2015 ·博期末淄 )函数 f(x)＝ x － ln(x ＋ 1)－ 1 的零点个数是 ________．【剖析】函数 f( x)＝ x －ln( x ＋ 1)－ 1 的零点个数，即为函数 y ＝ ln( x ＋ 1)与 y ＝ x － 1 图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y ＝ ln( x ＋ 1)与 y ＝ x － 1 的图象，如图，由图可知函数 f(x)＝ x － ln(x ＋ 1)－ 1 的零点个数是 2．【答案】 2lg x ， x>0， 2．若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x ＋ 2)＝ f(x)，且 x ∈ [ － 1，1]时，f(x)＝1－ x 2，函数 g( x)＝0， x ＝0，－ 1，x<0，x则方程 f(x)－g(x)＝0 在区间 [ － 5， 5]上的解的个数为 ()A ．5B ． 7C ．8D ． 10【剖析】依题意得，函数f(x)是以 2 为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝ f(x)与函数 y ＝g(x)的图象，结合图象得，当 x ∈ [－ 5， 5]时，它们的图象的公共点共有8 个，即方程 f(x)－ g(x)＝ 0 在区间 [－ 5， 5]考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1． (2014 合·肥检测 )若函数 f(x)＝ ax2－ x－ 1 有且仅有一个零点，则实数 a 的取值为 ()1A ．0B．－41C．0 或－4D． 2【剖析】当 a＝ 0时，函数 f(x)＝－ x－ 1 为一次函数，则－ 1 是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠ 0 时，函数 f(x)＝ ax2－ x－ 1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－ x－ 1＝ 0有两个相11等实根．∴Δ＝1＋ 4a＝0，解得 a＝－4．综上，当 a＝ 0 或 a＝－4时，函数仅有一个零点．【答案】 C2．(2014 ·阳模拟洛)已知方程 |x2－ a|－ x＋ 2＝ 0(a＞ 0)有两个不等的实数根，则实数 a 的取值范围是 ()A ．(0， 4)B． (4，＋∞ )C．(0， 2)D． (2，＋∞ )【剖析】依题意，知方程 |x2－ a|＝ x－ 2 有两个不等的实数根，即函数y＝ |x2－ a|的图象与函数y＝ x－ 2的图象有两个不相同交点．如图，则a＞ 2，即 a＞ 4．【答案】 B3．已知函数21x，若实数 x是方程 f(x)＝0 的解，且101f(x)＝ log x－30<x <x ，则 f(x )的值为 ()A ．恒为负B．等于零C．恒为正D．不小于零1【剖析】在同一坐标系中作出y＝ log2x 和 y＝3x的图象，由图象知f(x1)＜0．【答案】 A4．(2014 高·考江卷 )已知 f(x)是定在 R 上且周期3 的函数，当 x ∈ [0，3) ，f(x)＝x 2－ 2x ＋1．若2函数 y ＝ f(x) －a 在区 [ － 3， 4]上有 10 个零点 (互不相同 )，数 a 的取范是 ________．【剖析】当 x ∈ [0 ，3) ， f(x)＝ x 2－ 2x ＋1 ＝ x － 1 2－ 1 ，由 f(x)是周期 3 的函数，作出 f( x)在 [－2 23， 4]上的象，如．函数 y ＝ f(x)－a 在区 [ － 3， 4]上有互不相同的10 个零点，即函数 y ＝ f(x)，x ∈ [－ 3， 4]与 y ＝ a 的象有 10 个不相同交点，在坐系中作出函数f(x) 在一个周期内的象如，可知当0＜ a ＜1足意．2【答案】0， 125． (2015 湖·北八校考 )已知 x ∈ R ，符号 [x] 表示不超 x 的最大整数，若函数[x]－ a(x ≠ 0)有且f(x)＝ x有 3 个零点， a 的取范是 ( )344 33 4 4 3 A ． 4，5 ∪ 3，2B ． 4，5 ∪3，2 1， 2 ∪ 5， 31，2∪5，3C ． 2 3 42D ． 2 3 4 2[x][x]1【剖析】当 0＜ x ＜ 1 ， f(x)＝ x － a ＝－ a ；当 1≤ x ＜ 2 ， f(x)＝ x －a ＝ x － a ；当 2≤ x ＜ 3 ， f(x)[x]2 [ x] [x][x]＝ x － a ＝ x － a ； ⋯ ． f(x)＝ x － a 的象是把y ＝ x 的象行向平移而获取的，画出y ＝ x 的象，3 44 3如所示，通数形合可知a ∈ 4， 5 ∪ 3， 2 ．【答案】 A已知函数有零点 (方程有根 )求参数取范常用的方法：(1)直接法：直接依照条件成立关于参数的不等式，再通解不等式确定参数范．(2)分别参数法：先将参数分别，化成求函数域加以解决．(3)数形合法：先剖析式形，在同一平面直角坐系中，画出函数的象，尔后数形合求解．2x－1， x≤ 1，1． (2015 莱·芜一模 )已知函数 f(x)＝则函数 f(x)的零点为 ()1＋ log x， x>1，2A ．1， 0B．－ 2，02 1C．2D． 0【剖析】当 x≤ 1 时，由 f(x)＝ 2x－1＝ 0，解得 x＝ 0；当 x＞ 1时，由 f(x)＝1＋ log21 x＝ 0，解得 x＝，2又由于 x＞1，因此此时方程无解．综上，函数f(x) 的零点只有 0．【剖析】 D2x－ 1， x＞ 0，若函数 g(x)＝ f(x)－ m有 3 个零点，则实数m 的取值范围是2．已知函数f( x)＝－x2－2x，x≤0，________．2x－ 1， x＞ 0，【剖析】画出 f(x)＝的图象，如图．－ x2－ 2x， x≤ 0由函数 g(x) ＝ f(x)－ m 有 3 个零点，结合图象得：0＜ m＜ 1，即 m∈ (0，1) ．【答案】 (0，1)3．已知函数 f(x)＝2x－ a， x≤ 0，a 的取值范围是 ________．有三个不相同的零点，则实数x2－ 3ax＋ a， x＞ 0【剖析】要使函数 f(x)有三个不相同的零点，则当x≤ 0 时，方程2x－ a＝ 0，即 2x＝ a 必有一根，此时 0＜ a≤ 1；当 x>0 时，方程 x2－ 3ax＋ a＝ 0 有两个不等实根，即方程x2－ 3ax＋ a＝ 0 有 2 个不等正实根，于＝9a2－ 4a＞ 0，3a＞ 0，44是∴a＞9，故9＜ a≤1．a＞ 0，【答案】49，1必记结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(3)连续不断的函数图象经过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．1． (2015 ·考安徽卷高 )以下函数中，既是偶函数又存在零点的是()A ．y＝ cos x B． y＝ sin xC．y＝ ln x D． y＝ x2＋ 1【剖析】 y＝ cos x 是偶函数，且存在零点；y＝ sin x 是奇函数； y＝ ln x 既不是奇函数又不是偶函数；y＝x2＋1 是偶函数，但不存在零点．【答案】 A2．函数 f(x)＝ 2x－2－ a 的一个零点在区间(1，2) 内，则实数 a 的取值范围是 () xA ．(1， 3)B． (1， 2) C．(0， 3)D． (0， 2)【剖析】由题意知 f(1) ·f(2) ＜ 0，即 a(a－ 3)＜0，∴0＜ a＜ 3．【答案】 C3． (2016 东·城期末 )函数 f(x)＝ e x＋1x－ 2的零点所在的区间是() 2A ．11，1 0，2B．2C．(1， 2)D． (2， 3)【剖析】∵f 177312＝e－4＜ 3－4＜ 0， f(1) ＝ e－2＞ 0，∴零点在区间2， 1 上．【答案】 B4．(2014 昆·明三中、玉溪一中统考 ) 若函数 f(x)＝3ax＋ 1－ 2a在区间 (－1， 1)内存在一个零点，则 a 的取值范围是 ()A ．1，＋∞B． (－∞，－ 1)∪1，＋∞55C．－ 1，1D． (－∞，－ 1) 5【剖析】当 a＝ 0时， f(x)＝ 1 与 x 轴无交点，不合题意，因此a≠ 0；函数 f(x)＝ 3ax＋ 1－ 2a 在区间 (－11， 1)内是单调函数，因此 f( －1)·f(1) ＜ 0，即 (5a－ 1)(a＋ 1)＞0，解得 a＜－ 1 或 a＞5．【答案】 B5．f(x)是 R 上的偶函数， f(x＋ 2)＝ f( x)，当 0≤ x≤1 时， f(x)＝ x2，则函数 y＝ f(x)－ |log5 x|的零点个数为()A ．4B ． 5C． 8 D ．10【剖析】由零点的定义可得f( x)＝ |log5x|，两个函数图象如图，总合有 5 个交点，因此共有 5 个零点．【答案】 B6． (2014 ·封模拟开 )偶函数 f(x)满足 f(x－ 1)＝f(x＋ 1)，且当 x∈ [0， 1]时， f(x)＝－ x＋ 1，则关于x 的方程 f(x)＝ lg(x＋ 1)在 x∈ [0，9] 上解的个数是 ()A ．7B ． 8C．9D． 10【剖析】依题意得 f(x＋ 2)＝f(x)，因此函数f(x)是以 2 为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y＝ f(x)的图象与y＝ lg(x＋ 1)的图象 (以下列图 )，观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0，9] 上的公共点共有9 个，因此，当 x∈ [0，9]时，方程 f(x)＝ lg( x＋ 1)的解的个数是9．【答案】 C7．(2014 ·宁模拟南 ) 已知函数f(x)＝ ln x＋ 3x－ 8 的零点 x0∈ [a，b]，且 b－ a＝ 1， a，b∈ N*，则 a＋ b＝________．【剖析】∵f(2)＝ ln 2 ＋ 6－ 8＝ ln 2 － 2<0 ，f(3)＝ ln 3 ＋ 9－ 8＝ ln 3 ＋ 1>0，且函数f(x) ＝ln x＋3x－8 在(0，＋∞ )上为增函数，∴ x0∈ [2， 3]，即 a＝ 2， b＝ 3．∴a＋ b＝5．【答案】 58．已知函数 y＝ f(x) (x∈R )满足 f(－ x＋ 2)＝f(－ x)，当 x∈[ －1， 1]时， f(x)＝ |x|，则 y＝ f(x)与 y＝log7 x 的交点的个数为 ________．【剖析】由于 f(－ x＋ 2)＝ f(－x)，因此 y＝ f(x)为周期函数，其周期为2．在同素来角坐标系中，画出函数y＝ f(x)和 y＝log 7x 的图象如图，当x＝7 时， f(7) ＝1， log77＝ 1，故 y＝ f( x)与 y＝log7 x 共有 6 个交点．【答案】 69．若函数y＝ f(x)( x∈R) 满足 f(x＋ 2)＝ f(x)且 x∈ [ － 1， 1]时， f(x)＝ 1－ x2；函数 g(x)＝ lg|x|，则函数y＝f(x)与 y＝ g(x)的图象在区间 [ － 5， 5]内的交点个数共有 ________个．【剖析】函数 y＝ f(x)以 2 为周期， y＝g( x)是偶函数，画出图象可知有8 个交点．【答案】 810． (2015 高·考湖南卷 )已知函数 f(x)＝x3， x≤ a，若存在实数 b，使函数 g(x)＝ f(x)－ b 有两个零点，x2， x＞ a.则 a 的取值范围是 ________．【剖析】令φ(x)＝ x3(x≤ a)，h(x)＝ x2(x＞a) ，函数 g(x)＝ f(x)－ b 有两个零点，即函数 y＝ f( x)的图象与直线y＝ b 有两个交点，结合图象 (图略 )可得 a＜ 0 或φ(a)＞ h(a)，即 a＜ 0 或 a3＞ a2，解得 a＜ 0 或 a＞1，故 a∈ (－∞， 0)∪(1 ，＋∞)．【答案】 (－∞， 0)∪ (1，＋∞ )1． (2014 ·考山东卷高 )已知函数f( x)＝ |x－2|＋ 1， g(x)＝ kx．若方程f(x)＝ g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是 ()A ． 0，1B ．1， 1C． (1，2) D ．(2，＋∞ ) 22【剖析】先作出函数f(x)＝|x－ 2|＋ 1 的图象，以下列图，1当直线 g(x) ＝ kx 与直线 AB 平行时斜率为1，当直线 g( x)＝ kx 过 A 点时斜率为2，故 f(x)＝ g(x) 有两个不1相等的实根时， k 的范围为2， 1．【答案】 B2．若函数 f(x)＝a x－ x－ a(a＞ 0 且 a≠ 1) 有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ()A ．(2，＋∞ )B ． 0，1C． (1，＋∞ ) D ．(0， 1) 2【剖析】函数 f(x)＝ a x－x－ a(a＞ 0 且 a≠ 1)有两个零点，就是函数y＝ a x(a＞ 0 且 a≠ 1)与函数 y＝ x＋ a(a ＞ 0 且 a≠ 1)的图象有两个交点，由图 1 知，当 0＜ a＜1 时，两函数的图象只有一个交点，不吻合题意；由图 2 知，当 a＞ 1 时，由于函数y＝ a x(a＞ 1)的图象与y 轴交于点 (0，1)，而直线 y＝ x＋ a 与 y 轴的交点必然在点 (0， 1)的上方，因此两函数的图象必然有两个交点，因此实数 a 的取值范围是a＞ 1．【答案】 C2－ |x|，x≤2，3． (2015 ·考天津卷高 )已知函数f(x)＝函数 g(x)＝ b－ f(2－ x)，其中 b∈ R．若函数 y x－ 2 2， x＞ 2，＝ f(x)－ g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是 ()7777A ．4，＋∞B ．－∞，4C．0，4 D ．4，2【剖析】函数 y＝f(x)－ g(x)恰有 4 个零点，即方程f(x)－ g(x)＝0，即 b＝ f(x)＋ f(2－ x)有 4 个不相同的实数根，即直线 y ＝ b 与函数 y＝ f(x) ＋ f(2 － x) 的图象有 4个不同的交点．又 y ＝ f(x) ＋ f(2 － x) ＝x2＋ x＋ 2， x＜ 0，2， 0≤ x≤ 2，7作出该函数的图象以下列图，由图可得，当4＜ b＜2时，直线 y＝ b 与函数 y＝ f(x)x2－ 5x＋8， x＞ 2，＋f(2－ x)有 4 个交点．【答案】 D4．已知函数1，当 x∈ [0，1]时， f( x)＝ x，若在区间 (－ 1，1]内，函数 g(x)＝ f(x) f(x)满足 f(x)＋ 1＝f x＋1－ mx－m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是 ()A ．0，1B ．1，＋∞C． 0，1 D ． 0，1 2232【剖析】当 x∈ (－1， 0]时， x＋ 1∈ (0， 1]．由于函数f(x)＋ 1＝1，因此 f(x) ＝1－ 1＝1－f x＋ 1 f x＋ 1x＋ 1x－x， x∈ － 1， 0]，.即 f(x)＝x＋ 1函数 g(x)＝ f(x)－ mx－m 在区间 (－ 1，1]内有两个零点等价1＝－x＋ 1x， x∈ 0，1].于方程 f(x)＝ m(x＋ 1)在区间 (－ 1， 1]内有两个根，令y＝m(x＋ 1)，在同一坐标系中画出函数y＝ f(x)和 y＝1m(x＋ 1)的部分图象 (图略 )，可知当 m∈0，2时，函数 g(x)＝ f(x)－ mx－ m 有两个零点．|x2＋ 5x＋ 4|，x≤ 0，5．(2014 ·高考天津卷 ) 已知函数f(x)＝若函数 y＝ f(x)－ a|x|恰有 4 个零点，则实数2|x－2|， x＞ 0.a 的取值范围为________．【剖析】画出函数 f(x)的图象以下列图．函数 y＝ f(x)－ a|x|有 4 个零点，即函数y1＝ a|x|的图象与函数f(x)的图象有 4 个交点 (依照图象知需a＞0)．当 a＝2 时，函数 f(x)的图象与函数 y ＝ a|x|的图象有 3 个交点．故 a＜ 2．1当 y12＋ 5x＋ 4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与 y15 个交点，＝ a|x|(x≤ 0)与 y＝ |x＝ a|x|的图象有y＝－ ax，得 x2＋ (5－ a)x＋4＝ 0．此时，由y＝－ x2－ 5x－ 4由＝ 0 得(5－ a)2－16＝ 0，解得 a＝ 1，或 a＝9( 舍去 )，则当 1＜ a＜ 2 时，两个函数图象有 4 个交点．故实数 a 的取值范围是1＜ a＜ 2．【答案】 (1， 2)考向四、二分法(1)定义：关于在区间 [a， b] 上连续不断且f( a) ·f(b)＜ 0 的函数 y＝ f(x)，经过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点渐渐逼近零点，进而获取零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤以下：①确定区间 [a， b] ，考据 f(a) ·f(b)<0 ，给定精确度ε；②求区间(a， b)的中点 c；(ⅰ )若 f(c)＝ 0，则 c 就是函数的零点；(ⅱ )若 f(a) ·f(c)＜ 0，则令 b＝c(此时零点x0∈ (a， c))；(ⅲ )若 f(c) ·f(b)＜ 0，则令 a＝c(此时零点x0∈ (c， b))．④判断可否达到精确度ε：即若 |a－ b|<ε，则获取零点近似值a(或 b)；否则重复②③④．1． (教材习题改编 )以下函数图象与x 轴均有交点，其中不能够用二分法求图中函数零点的是()A B C D【剖析】由图象可知，选项 C 所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能够用二分法求解．【剖析】 C2． (教材习题改编 )用二分法求函数y＝ f(x)在区间 (2， 4)上的近似解，考据f(2) f(4)·＜ 0，给定精确度ε＝ 0.01，取区间 (2， 4)的中点 x12＋4＝3，计算得 f(2) ·f(x1)＜ 0，则此时零点所在的区间为 ()＝2xA ．(2， 4)B． (3， 4)C．(2， 3)D． (2． 5， 3)【剖析】∵f(2) ·f(4) ＜ 0， f(2) ·f(3) ＜ 0，∴f(3) ·f(4)＞ 0，∴零点 x0所在的区间为 (2， 3)．【剖析】 C3．用二分法求方程 x2＝ 2的正实根的近似解(精确度0.001)时，若是我们采用初始区间[1.4 ，1.5] ，则要达到精确度要求最少需要计算的次数是________．1.5－ 1.4【剖析】设最少需要计算n 次，由题意知2n＜0．001，即2n＞100，由26＝64，27＝128知n＝7．【剖析】 7。

“三招九型”，轻松破解函数零点问题

“三招九型”，轻松破解函数零点问题“三招九型”轻松破解函数零点问题<第一招：数形结合>题型一：求函数零点及零点所在区间【典例分析】【方法技巧总结】题型二：求函数零点或方程根的个数【典例分析】【方法技巧总结】1.核心：函数的零点方程的根函数图象与轴交点的横坐标两函数交点的横坐标2.流程：利用函数图象交点的个数：①画出函数的图象，函数的图象与x轴在给定区间上交点的个数就是函数的零点个数；②将函数拆成两个图象易得所求的零点个数即为函数和的图象在给定区间上的交点个数.3.注意：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所给函数是周期函数，则只需求在一个周期内零点的个数.题型三：根据零点个数求参数范围（不分参型）【典例分析】【方法技巧总结】1.技巧：分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值。

核心思想还是数形结合，需结合带参讨论。

题型四：比较零点的大小关系【典例分析】【方法技巧总结】1.技巧：观察所属函数，并画出函数图象，根据图象交点横坐标的大小进而判断所求数的大小关系。

题型五：求函数零点的和【典例分析】1. 零点之和需要掌握的方法：（1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；（2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；<第二招：分离参数>题型六：根据零点个数求参数范围（分参型）【典例分析】【方法技巧总结】1. 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.题型七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围【典例分析】【方法技巧总结】1.技巧：解决此题的关键是作出函数的图象，将问题转化为函数的零点转为方程的根进而转化为函数与函数图象交点的个数，再根据利用二次函数的对称性及对数的运算性质及不等式的性质即可求解.<第三招：转化化归>题型八：嵌套函数的零点个数【典例分析】【方法技巧总结】题型九：根据嵌套函数零点个数求参数【典例分析】1.技巧：通过分解为内外函数，配合数形结合的思想求解参数范围，遇见难的函数可以配合求导完善图象。

函数零点问题的题型归类及解题策略

函数零点问题的题型归类及解题策略一、函数零点问题的题型归类在数学中，函数零点问题是一个常见的题型，通常是要求求出一个函数的零点或根。

根据不同的函数形式和解法，可以将这些题型分为以下几类：1. 多项式函数的零点问题：多项式函数是指由一系列单项式相加或相减而成的函数，例如f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5就是一个三次多项式函数。

对于多项式函数而言，求解它的零点通常使用因式分解、配方法、牛顿迭代法等方法。

2. 三角函数的零点问题：三角函数包括正弦、余弦、正切等等，例如f(x) = sin(x) - x就是一个三角函数。

对于三角函数而言，求解它的零点通常使用周期性、奇偶性等特征来进行简化。

3. 指数和对数函数的零点问题：指数和对数函数包括指数、自然对数等等，例如f(x) = e^x - x就是一个指数和对数函数。

对于指数和对数函数而言，求解它们的零点通常需要使用到特殊技巧如换底公式、取对数等方法。

4. 分段定义的复合函数的零点问题：分段定义的复合函数是指一个函数在不同的区间内采用不同的定义方式，例如f(x) = {x^2 + 1, x < 0; x - 1, x >= 0}就是一个分段定义的复合函数。

对于这类函数，求解它们的零点通常需要将其分成不同的部分进行讨论。

二、解题策略针对以上不同类型的函数零点问题，我们可以采用以下几种解题策略：1. 因式分解法因式分解法是一种常见的求多项式函数零点的方法。

对于一个多项式函数f(x)，我们可以先将其进行因式分解，然后再求出每个因子的零点。

例如f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x可以写成f(x) = x(x-1)(x-2)，然后再求出每个因子的零点即可得到f(x)在实数范围内所有的零点。

2. 配方法配方法也是一种常见的求多项式函数零点的方法。

对于一个二次或三次多项式函数，我们可以通过配方将其转化为完全平方或完全立方形式，然后再根据完全平方或完全立方公式来求解它们的零点。

求零点个数的四种方法

求零点个数的四种方法求零点个数是数学中一个常见的问题，它与方程的解有关。

在这篇文章中，我将介绍四种方法来求解方程的零点个数。

一、坐标轴交点法坐标轴交点法是一种直观简单的方法，适用于一元一次方程和一元二次方程。

它的基本思想是将方程表示的函数在坐标轴上画出来，然后观察函数与坐标轴的交点个数。

以一元一次方程为例，形如y = ax + b的方程，其中a和b是常数。

当a不等于0时，这个方程代表一条斜率为a的直线。

如果b等于0，那么这条直线将与x轴有一个交点，即有一个零点。

如果b不等于0，那么这条直线将与x轴有且只有一个交点，即有一个零点。

当a等于0时，这个方程代表一条平行于x轴的直线，没有与x轴的交点，即没有零点。

对于一元二次方程，形如y = ax^2 + bx + c的方程，其中a、b 和c是常数。

我们可以根据判别式Δ = b^2 - 4ac来判断方程的零点个数。

当Δ大于0时，方程有两个不相等的实根，即有两个零点。

当Δ等于0时，方程有两个相等的实根，即有一个零点。

当Δ小于0时，方程没有实根，即没有零点。

二、因式分解法因式分解法是一种常用的求解多项式方程零点的方法。

它的基本思想是将多项式方程表示成若干个因式的乘积，然后利用零因子的性质，得到方程的解。

例如，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用因式分解法将它表示成(a1x + b1)(a2x + b2) = 0的形式。

然后根据零因子的性质，得到方程的解为x = -b1/a1和x = -b2/a2。

因此，这个方程有两个零点。

三、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种求解方程近似解的方法，它通过不断逼近方程的根来求解方程的零点个数。

具体而言，对于方程f(x) = 0，我们可以通过迭代公式x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n))来逐步逼近方程的根。

其中，x(n)表示第n次迭代得到的近似解，f'(x(n))表示方程f(x)的导数在x(n)处的值。

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高中数学常见题型解法归纳函数的零点个数问题的求解方法【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步.三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组：（1）a 的符号；（2）对称轴2bx a=-的位置；（3）判别式的符号；（4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一方程法使用情景方程可以直接解出来. 解题步骤先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二图像法使用情景一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.【例2】（2017全国高考新课标I 理科数学）已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.(2) ①若0,a ≤由（1）知()f x 至多有一个零点.②若0a >，由（1）知当ln x a =-时，()f x 取得最小值，1(ln )1ln f a a a-=-+. （i ）当1a =时，(ln )f a -=0，故()f x 只有一个零点. （ii ）当(1,)a ∈+∞时，由于11ln a a-+>0，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点. （iii ）当0,1a ∈（）时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 422(2)(2)2220,f ae a e e ----=+-+>-+>故()f x 在(,ln )a -∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln ,()n n n n n n f n e ae a n e n n aa f x a>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a 的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a ∈（）时，要先判断(,ln )a -∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln )0f a -<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f aea e e ----=+-+>-+>要说明(2)0f ->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae --+.(3) 当0,1a ∈（）时，要判断(ln ,)a -+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax=+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若1 3x=是函数()f x的一个极值点，求a的值；(2) 当4a=-时，求函数()f x的单调区间；(3) 当a取正实数时，若存在实数m，使得关于x的方程()f x m=有三个实数根，求a的取值范围.方法三方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x=,重新构造方程()()g x h x=,再画函数(),()y g x y h x==的图像分析解答.【例4】函数()lg cosf x x x=-的零点有（）A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个【点评】调性不是很方便，所以先令()lg cos0f x x x=-=,可化为lg cosx x=,再在同一直角坐标系下画出lgy x=和cosy x=的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln,1,02f x x m xg x x m x m=-=-+>．（1）求函数()f x的单调区间；（2）当1m≥时，讨论函数()f x与()g x图象的交点个数．422510152025oy=cosxy=lgxyx参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1,)22-，15(,1)22+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--，5(1,)++∞；【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ；（2）1．【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x 的定义域为()()(0,,'x m x m f x x+∞=．当0x m <<()'0f x <,函数()f x 单调递减，当x m >时，()'0f x >函数()f x 单调递增，综上，函数()f x 的单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ．（2）令()()()()211ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数，()()()1'x x m F x x--=-,当1m =时，()'0F x ≤，函数()F x 为减函数，F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。