函数零点的个数问题
函数的零点个数问题-含答案
【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步. 三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a 的符号； （2）对称轴2bx a=-的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二 图像法使用情景一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.学科@网【例2】（2017全国高考新课标I理科数学）已知函数2()(2)x xf x ae a e x=+--.（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求a的取值范围.(2) ①若0,a≤由（1）知()f x至多有一个零点.②若0a>，由（1）知当lnx a=-时，()f x取得最小值，1(ln)1lnf a aa-=-+.（i）当1a=时，(ln)f a-=0，故()f x只有一个零点.（ii）当(1,)a∈+∞时，由于11ln aa-+>0，即(ln)0f a->，故()f x没有零点.（iii）当0,1a∈（）时，11ln0aa-+<，即(ln)0f a-<.422(2)(2)2220,f ae a e e----=+-+>-+>故()f x在(,ln)a-∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln,()n n n nn n f n e ae a n e n naa f xa>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a∈（）时，要先判断(,ln)a-∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln)0f a-<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f ae a e e----=+-+>-+>要说明(2)0f->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae--+.(3) 当0,1a∈（）时，要判断(ln,)a-+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； (2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3) 当a 取正实数时，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.方法三 方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x =,重新构造方程()()g x h x =,再画函数(),()y g x y h x ==的图像分析解答.【例4】函数()lg cos f x x x =-的零点有 （ ） A ．4 个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个【点评】（1）本题主要考察零点的个数，但是方程f(x)lg cos 0x x =-=也不好解，直接研究函数的单调性不是很方便，所以先令()lg cos 0f x x x =-=,可化为lg cos x x =,再在同一直角坐标系下画出lg y x =和cos y x =的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln ,1,02f x x m xg x x m x m =-=-+>． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲：函数零点个数问题的求解方法参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1)2，15(,12+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--，5(1)+∞；【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是(),m+∞, 单调递减区间是()0,m；（2）1．学科@网【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x的定义域为()()()()0,,'x m x mf xx+-+∞=．当0x m<<时，()'0f x<,函数()f x单调递减，当x m>时，()'0f x>函数()f x单调递增，综上，函数()f x的单调递增区间是(),m+∞, 单调递减区间是()0,m．（2）令()()()()211ln,02F x f x g x x m x m x x=-=-++->,问题等价于求函数()F x的零点个数，()()()1'x x mF xx--=-,当1m=时，()'0F x≤，函数()F x为减函数，F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。
函数零点的题型总结
函数零点的题型总结例题及解析考点一函数零点存在性定理的应用【例1】已知函数f(x)=(12)x-13x,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是( )(A)(0,13) (B)(13,12)(C)(12,23) (D)(23,1)解析:f(0)=1>0,f(13)=(12)13-(13)13>0,F(12)=(12)12-(12)13<0,f(13)f(12)<0,所以函数f(x)在区间(13,12)内必有零点,选B.【跟踪训练1】已知函数f(x)=2x-log3x,在下列区间中包含f(x)零点的是( )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:由题意,函数f(x)=2x-log3x为单调递减函数,且f(2)= 22-log32=1-log32>0,f(3)= 23-log33=-13<0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)=2x-log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C.【教师备用巩固训练1】设函数f(x)=ln (x+1)+a(x2-x),若f(x)在区间(0,+∞)上无零点,则实数a的取值范围是( )(A)[0,1] (B)[-1,0](C)[0,2] (D)[-1,1]解析:f(1)=ln 2>0,当a=-1时,f(2)=ln 3-2<0,所以f(x)在(1,2)上至少有一个零点,舍去B,D;当a=2时,f(12)=ln 32-12<0,所以f(x)在(12,1)上至少有一个零点,舍去C.因此选A.考点二函数零点的个数考查角度1:由函数解析式确定零点个数【例2】 (1)函数f(x)=xcos(x2-2x-3)在区间[-1,4]上的零点个数为( )(A)5 (B)4 (C)3 (D)2(2)已知f(x)=2xx +x-2x,则y=f(x)的零点个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:(1)由题意可知x=0或cos(x2-2x-3)=0,又x∈[-1,4],所以x2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,5],当cos(x2-2x-3)=0时,x2-2x-3=kπ+π2,k ∈Z,在相应的范围内,k只有-1,0,1三个值可取,所以总共有4个零点,故选B.解析:(2)令2xx +x-2x=0,化简得2|x|=2-x2,画出y=2|x|,y=2-x2的图象,由图可知,图象有两个交点,即函数 f(x)有两个零点.故选C.考查角度2:根据函数零点个数确定参数范围 【例3】 (1)已知函数f(x)= 24,1,ln 1,1,x x a x x x ⎧-+⎪⎨+≥⎪⎩＜若方程f(x)=2有两个解,则实数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,2) (B)(-∞,2] (C)(-∞,5) (D)(-∞,5] (2)已知函数f(x)= 3,2,1e ,20x xa x x a x x ⎧--≤-⎪⎪+⎨⎪--⎪⎩＜＜恰有3个零点,则实数a 的取值范围为( )(A)(-1e ,-13) (B)(-1e ,-21e) (C)[-23,-21e ) (D)[-23,-13)解析:(1)可知x ≥1时,f(x)=2必有一解,x=e,所以只需x<1时f(x)=2有一解即可,即x 2-4x+a=2有解,设g(x)=x 2-4x+a-2,由于该函数的对称轴为直线x=2,故只需g(1)=-3+a-2<0,即a<5,故实数a 的取值范围是(-∞,5).选C. 解析:(2)-1x x +-3a=-111x x +-+-3a=1x x +-1-3a,在(-∞,-2]上单调递减.若a≥0,则e x -a x在(-2,0)上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故a<0.故需f(x)当x ≤-2时,-1-3a>0,a<-13,且121-+-1-3a ≤0,a ≥-23,使得第一段有一个零点,故a ∈[-23,-13).对于第二段,e x -a x=e xx a x -,故需g(x)=xe x -a 在区间(-2,0)有两个零点,g ′(x)=(x+1)e x ,故g(x)在(-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增,所以(2)0,(1)0,(0)0,g g g -⎧⎪-⎨⎪⎩＞＜＞解得-22e >a>-1e.综上所述,a ∈(-1e ,-13).故选A.【题组通关】1.若函数f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为( C ) (A)(0,4) (B)(0,+∞)(C)(3,4) (D)(3,+∞)解析:如图,若f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a ∈(3,4),故选C.2.已知偶函数f(x)= 4log,04,(8),48,x x f x x ⎧≤⎪⎨-⎪⎩＜＜＜且f(x-8)=f(x),则函数F(x)=f(x)-12x在区间[-2 018,2 018]的零点个数为( A )(A)2 020 (B)2 016 (C)1 010 (D)1 008解析:依题意,当4<x<8时,f(x)=f(8-x)对称轴为直线x=4,由f(x-8)=f(x)可知,函数f(x)的周期T=8. 令F(x)=0,可得f(x)=12x,求函数F(x)=f(x)-12x的零点个数,即求偶函数f(x)与函数y=12x图象交点个数,当0<x<8时,函数f(x)与函数y=12x图象有4个交点,2 018=252×8+2由f(2)=|log 42|=12>212=14知, 当0<x<2时函数f(x)与函数y=12x图象有2个交点.故函数F(x)的零点个数为(252×4+2)×2=2 020, 故选A.3.已知函数f(x)= 31,1,,1,x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同零点,则k 的取值范围是 . 解析:作出f(x)=31,1,,1x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的函数图象如图所示.方程f(x)=k 有两个不同零点,即y=k 和f(x)= 31,1,1x x x x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的图象有两个交点,由图可得k 的取值范围是(0,1). 答案:(0,1)【教师备用 巩固训练2】 已知函数f(x)=32233,2,4(56),2,x x x x x x ⎧-+⎪⎨--+≥⎪⎩＜则函数f(f(x))的零点个数为( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析:画出函数的图象,如图所示,令f(x)=t,因为f(f(x))=0则f(t)=0,由图象可知,f(t)=0有四个解,分别为t 1=2,t 2=3,-1<t 3<0,1<t 4<2, 由图象可知,当t 1=2时,f(x)=2有两个根,即函数f(f(x))有2个零点; 由图象可知,当t 2=3时,f(x)=3有一个根,即函数f(f(x))有1个零点;由图象可知,当-1<t 3<0时,f(x)=t 有三个根,即函数f(f(x))有3个零点;由图象可知,当1<t 4<2时,f(x)=t 有两个根,即函数f(f(x))有2个零点;综上所述,函数f(f(x))有8个零点. 考点三 函数零点的性质考查角度1:求零点的代数式的取值或取值范围 【例4】 (1)已知函数f(x)=122log ,022,0,x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点x 1,x 2,x 3,x 4,且满足:x 1<x 2<x 3<x 4,则43x x -2213232x x x x +的取值范围是( )(A)(2,+∞) (B)(174,25716] (C)[2,174) (D)[2,+∞) (2)已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数,且满足f(12+x)=f(32-x),当x ∈[-1,0]时,f(x)=-x.若函数F(x)=f(x)+412x x +-,则在区间[-9,10]上的所有零点之和为 . 解析:(1)f(x)=122log ,0,22,0x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞=122log ,0,(11,0x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞）， 由二次函数的对称性可得x 1+x 2=-2,由12log x 3=-12log x 4可得x 3x 4=1,函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点,等价于y=f(x)的图象与y=b 的图象有四个不同的交点,画出y=f(x)的图象与y=b 的图象,由图可得1<b ≤2,所以1<12log x 3≤2⇒x 3∈[14,12),所以43x x -2123()2x x x +=43x x +23x =231x+23x , 令t=23x ∈[116,14), 所以1t +t ∈(174,25716],故选B. 解析:(2)因为满足f(12+x)=f(32-x), 所以f(x)=f(2-x), 又因函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(2+x),即f(x)=f(2+x),所以T=2,令F(x)=0,f(x)=421x x +-,即求f(x)与y=421x x +-交点横坐标之和.y=421x x +-=12+9221x -, 作出图象如图所示.由图象可知有10个交点,并且关于(12,12)中心对称, 所以其和为102=5. 答案:(1)B (2)5考查角度2:隐性零点的性质 【例5】已知函数f(x)= ln(1),0,11,0,2x x x x +⎧⎪⎨+≤⎪⎩＞若m<n,且f(m)=f(n),则n-m 的取值范围为( )(A)[3-2ln 2,2) (B)[3-2ln 2,2] (C)[e-1,2) (D)[e-1,2]解析:作出函数f(x)的图象,如图所示,若m<n,且f(m)=f(n),则当ln(x+1)=1时,得x+1=e,即x=e-1, 则满足0<n ≤e-1, -2<m ≤0,则ln(n+1)=12m+1,即m=2ln(n+1)-2,则n-m=n+2-2ln(n+1), 设h(n)=n+2-2ln(n+1),0<n ≤e-1,则h ′(n)=1-21n +=11n n -+, 当h ′(n)>0,解得1<n ≤e-1,当h ′(n)<0,解得0<n<1,当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2-2ln(1+1)=3-2ln 2,当n=0时,h(0)=2-2ln 1=2;当n=e-1时,h(e-1)=e-1+2-2ln(e-1+1)=e-1<2,所以3-2ln 2≤h(n)<2,即n-m的取值范围是[3-2ln 2,2),故选A.【题组通关】1.已知a>1,方程12e x+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则21x+22x+2x1x2的取值范围为( A ) (A)(1,+∞) (B)(0,+∞)(C)(12,+∞) (D)(12,1)解析:方程12e x+x-a=0的根,即y=12e x与y=a-x图象交点的横坐标,方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x与y=a-x图象交点的横坐标, 而y=12e x与y=ln 2x的图象关于直线y=x对称,如图所示.所以x1+x2=a,所以21x +22x +2x 1x 2=(x 1+x 2)2=a 2,又a>1,所以21x +22x +2x 1x 2>1,故选A2.已知函数f(x)= 42log ,04,1025,4,x x x x x ⎧≤⎪⎨-+⎪⎩＜＞若a,b,c,d 是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd 的取值范围是( A ) (A)(24,25) (B)(18,24) (C)(21,24) (D)(18,25)解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.考点四 函数零点的应用【例6】 (1)已知α,β分别满足α·e α=e 2,β(ln β-2)=e 4,则αβ的值为( )(A)e (B)e 2 (C)e 3 (D)e 4 (2)已知f(x)=9x-t ·3x,g(x)=2121x x -+,若存在实数a,b 同时满足g(a)+g(b)=0和f(a)+f(b)=0,则实数t 的取值范围是 . 解析:(1)因为α·e α=e 2,所以e α=2e α, 因为β(ln β-2)=e 4,所以ln β-2=4e β,所以ln β-ln e 2=4e β,所以ln 2e β=4e β=22e e β. 所以α,2e β分别是方程ex=2e x ,ln x=2e x的根,因为点(α,2e α)与点(2e β,4e β)关于直线y=x 对称, 所以α=4e β,所以αβ=e 4.故选D.解析:(2)因为g(-x)=2121x x ---+=1212xx-+=-2121x x -+=-g(x),所以函数g(x)为奇函数, 又g(a)+g(b)=0,所以a=-b. 所以f(a)+f(b)=f(a)+f(-a)=0有解, 即9a -t ·3a +9-a -t ·3-a =0有解, 即t=9933a a aa--++有解.令m=3a+3-a(m ≥2),则9933a aa a--++=22m m-=m-2m ,因为ϕ(m)=m-2m 在[2,+∞)上单调递增,所以ϕ(m)≥ϕ(2)=1.所以t ≥1.故实数t 的取值范围是[1,+∞). 答案:(1)D 答案:(2)[1,+∞)【跟踪训练2】函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D 内是单调函数;②存在[a,b]⊆D 使得f(x)在[a,b]上的值域为[2a ,2b ],则称函数f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=log m (m x +2t)(其中m>0,且m ≠1)是“成功函数”,则实数t 的取值范围为( ) (A)(0,+∞) (B)(-∞,18] (C)[18,14) (D)(0,18] 解析:无论m>1还是0<m<1,f(x)=log m (m x +2t)都是R 上的单调增函数,故应有(),2(),2a f a b f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则问题可转化为求f(x)=2x ,即f(x)=log m (m x +2t)=2x,即m x+2t=12x m在R上有两个不相等的实数根的问题,令λ=12x m (λ>0),则m x+2t=12x m可化为2t=λ-λ2=-(λ-12)2+14,结合图形可得t∈(0,18].故选D.。
高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法
高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步.三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a 的符号； （2）对称轴2bx a=-的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二 图像法使用情景 一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.【例2】（2017全国高考新课标I 理科数学）已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.(2) ①若0,a ≤由（1）知()f x 至多有一个零点.②若0a >，由（1）知当ln x a =-时，()f x 取得最小值，1(ln )1ln f a a a-=-+. （i ）当1a =时，(ln )f a -=0，故()f x 只有一个零点. （ii ）当(1,)a ∈+∞时，由于11ln a a-+>0，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点. （iii ）当0,1a ∈（）时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 422(2)(2)2220,f ae a e e ----=+-+>-+>故()f x 在(,ln )a -∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln ,()n n n n n n f n e ae a n e n n aa f x a>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a 的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a ∈（）时，要先判断(,ln )a -∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln )0f a -<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f aea e e ----=+-+>-+>要说明(2)0f ->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae --+.(3) 当0,1a ∈（）时，要判断(ln ,)a -+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax=+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若1 3x=是函数()f x的一个极值点，求a的值；(2) 当4a=-时，求函数()f x的单调区间；(3) 当a取正实数时，若存在实数m，使得关于x的方程()f x m=有三个实数根，求a的取值范围.方法三方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x=,重新构造方程()()g x h x=,再画函数(),()y g x y h x==的图像分析解答.【例4】函数()lg cosf x x x=-的零点有（）A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个【点评】调性不是很方便，所以先令()lg cos0f x x x=-=,可化为lg cosx x=,再在同一直角坐标系下画出lgy x=和cosy x=的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln,1,02f x x m xg x x m x m=-=-+>．（1）求函数()f x的单调区间；（2）当1m≥时，讨论函数()f x与()g x图象的交点个数．422510152025oy=cosxy=lgxyx参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1,)22-，15(,1)22+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--，5(1,)++∞； 【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ；（2）1．【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x 的定义域为()()(0,,'x m x m f x x+∞=．当0x m <<()'0f x <,函数()f x 单调递减，当x m >时，()'0f x >函数()f x 单调递增，综上，函数()f x 的单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ．（2）令()()()()211ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数，()()()1'x x m F x x--=-,当1m =时，()'0F x ≤，函数()F x 为减函数，F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。
零点个数怎么求
零点个数怎么求①解方程：通过解方程 f(x)=0 得到零点；②数形结合：这是经常用到的分析方法，特别是选填题中得到广泛应用；③零点存在定理：用零点存在定理来确定某区间是否有零点，这是解答题中的重要方法；④求零点个数：求零点个数时，就要判断每个单调区间，同时还要判断个单调区间的零点存在性.而具体解答题的过程中，我们也会遇到函数较复杂，先将复杂问题转化为简单问题，再选择合适的方法来求零点.我们来看一个具体的例子.【例1】（2018全国2卷文数21-2）已知函数f(x)=\frac{1}{3}x^3-a(x^2+x+1)，证明： f(x) 只有一个零点.【分析】 f(x) 是一个含参的三次函数，貌似是一个三次函数求零点个数问题，但是带着参数问题就变复杂了，所以这个时候可以转化一下，分离参数为求： a=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)} 的解个数问题.进一步转化为函数g(x)=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)}-a的零点个数问题.【解析】因为 x^2+x+1>0 恒成立.所以 f(x) 零点个数等价于函数函数g(x)=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)}-a的零点个数问题.先判断 g(x) 单调性，用导数法：g'(x)=\frac{3x^2(x^2+x+1)-x^3(2x+1)}{3(x^2+x+1)^2}=\frac{x^2(x^2+2x+3)}{3(x^2+x+ 1)^2}\geq0 ,当且仅当 x=0 时 g'(x)=0 ,g(x) 单调递增.所以 g(x) 至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点.又因为 f(3a+1)=\frac{1}{3}>0 , f(3a-1)=-6a^2+2a-\frac{1}{3}=-6(a-\frac{1}{6})^2-\frac{1}{6}<0 ,所以 f(x) 恰有一个零点.【小结】分离参数读者们应该还好理解，为什么要选择f(3a+1),f(3a-1) 就是一脸懵了.这属于找点的内容（内点定理），我们后面专门花章节来讲解这个内容.我们还是先理解零点存在定理的应用.本节我们重点讲解求零点个数问题的求法，近年高考也是热点题型，也是我们零点问题将面临的重点问题.【例2】（2019全国2卷理数20-1改编）已知函数f(x)=lnx-\frac{x+1}{x-1} ,求 f(x) 的零点个数.【分析】求零点个数问题，我们要求函数的单调区间，然后判断每一个单调区间的零点存在性.【解析】 f(x) 定义域为 (0,1)\cup(1,+\infty) ，而f(x)=lnx-1-\frac{2}{x-1} ,由和差法： y=lnx 和 y=-\frac{1}{x-1} 在(0,1)\cup(1,+\infty)上都是单调递增了，所以 f(x) 在(0,1)\cup(1,+\infty)单调递增；在 (0,1) 上 f(x) 单调递增，当 \frac{1}{3}<x<1 时，f(x)>f(\frac{1}{3})=\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-1-ln3>\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-3=0 ，当 0<x<\frac{1}{e^2} 时，f(x)<f(\frac{1}{e^2})=\frac{2}{1-\frac{1}{e^2}}-3<\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-3=0 ，由零点存在定理和单调性， f(x) 在 (0,1) 有唯一零点，在 (1,+\infty) 上 f(x) 单调递增，当 1<x<3 时， f(x)<f(3)=ln3-2<0 ,当 x>e^2 时， f(x)>f(e^2)=1-\frac{2}{e^2-1}>1-\frac{2}{3-1}=0 ,所以 f(x) 在 (1,+\infty)有唯一零点.综上， f(x) 在定义域上有两个零点.【例3】（2019全国1卷文数20-1改编）已知函数h(x)=cosx+xsinx-1 ,证明： h(x) 在区间 (0,\pi) 存在唯一零点.【分析】让我确定零点个数，需要结合单调区间和零点存在定理来证明.【解析】给定了定义域区间为 (0,\pi) ,用导数法判断单调性： h'(x)=xcosx ，判正负区间： h'(x) 正负区间同 y=cosx ，易知在(0,\frac{\pi}{2}) 上 h'(x)>0,h(x) 单调递增；在(\frac{\pi}{2},\pi) 上， h'(x)<0,h(x) 单调递减.而 h(0)=0,h(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}-1>0，h(\pi)=-2<0 ,由零点存在定理和单调性，所以在(0,\frac{\pi}{2})上 h(x) 无零点，在 (\frac{\pi}{2},\pi) 上有唯一零点.得证.【例4】（2015全国1卷文书21-1）设函数 f(x)=e^{2x}-alnx .讨论 f(x) 的导函数 f'(x) 零点的个数.【分析】先求出 f'(x) 及定义域，通过判断 f'(x) 单调性和零点存在性来确定零点个数.【解析】 f'(x)=2e^{2x}-\frac{a}{x}(x>0) .①当 a\leq0 时，显然 f'(x)>0 恒成立，无零点.②当 a>0 时，判断 f'(x) 的单调性，用和差法：y=2e^{2x},y=-\frac{a}{x} 都是在 (0,+\infty) 上的单调递增函数，所以 f'(x) 单调递增.当 x>max(1,\frac{a}{2e^2}) 时， f'(x)>2e^2-2e^2=0 ,当 x<min(1,\frac{a}{2e^2}) 时， f'(x)<2e^2-2e^2=0 ,所以此时 f'(x) 有唯一零点，综上，当 a\leq0 ， f'(x) 无零点，当 a>0 时，有唯一零点.【例5】（2015广东理数19-2）设 a>1 ，函数f(x)=(1+x^2)e^x-a .证明 :f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上仅有一个零点.【分析】还是求零点个数问题，用单调性+存在性来求解.【解析】 f(x) 的单调性，用求导法：f'(x)=e^x(x+1)^2\geq0 ，当且仅当 x=-1 时， f'(x)=0 ，所以 f(x) 是定义域上的单调递增函数.当 x>lna 时， f(x)>f(lna)>0 .当 -\sqrt{e-1}<x<-1 时，f(x)<\frac{e}{e}-a<0 ,由零点存在性定理及单调性，得证：:f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上仅有一个零点.【总结】通过上面五题，是否明白求解零点个数问题的基本方法，如果遇到复杂函数，分参转化为新函数的零点个数问题不失为一种思路；具体求解过程，先判断函数的单调性，再确定每个单调区间函数的零点存在性.但是对于开区间上零点的存在，往往很难通过取点来确定函数值的符号，我们也不容易用极限的思想来解释。
导数与函数的零点
导数与函数的零点考点一判断零点的个数【例1】已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R.(1)证明ln x≤x－1；(2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数.【训练1】已知函数f(x)＝13x3－a(x2＋x＋1).(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点.考点二根据零点个数求参数的值(范围)【例2】函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值.(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.【训练2】已知函数f(x)＝1x2＋a ln x(a∈R).(1)求f(x)的单调递减区间；(2)已知函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围.考点三函数零点的综合问题【例3】设函数f(x)＝e2x－a ln x. (1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋a ln 2 a.【训练3】已知函数f(x)＝2sin x－x cos x－x，f′(x)为f(x)的导数.(1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点；(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围.强化训练一、选择题1.函数f(x)＝ln x－x的零点个数是( )A.3B.2C.1D.02.已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：x －1023 4f(x)12020f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示.当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 的零点的个数为( ) A.1 B.2C.3D.43.若方程8x ＝x 2＋6ln x ＋m 仅有一个解，则实数m 的取值范围为( ) A.(－∞，7) B.(12－6ln 3，＋∞)C.(15－6ln 3，＋∞)D.(－∞，7)∪(15－6ln 3，＋∞)二、填空题 4.若函数f (x )＝ax －ae x＋1(a <0)没有零点，则实数a 的取值范围为________.5.已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax －a 存在极值点x 0，且f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0，则x 1＋2x 0＝________.三、解答题6.已知x ＝1是函数f (x )＝13ax 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋5的一个极值点.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，求实数m 的取值范围.7.已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R)，若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围.8.已知函数f (x )＝e x ＋(a －e)x －ax 2. (1)当a ＝0时，求函数f (x )的极值；(2)若函数f (x )在区间(0，1)内存在零点，求实数a 的取值范围.9.设函数f (x )＝ln x －a (x －1)e x ，其中a ∈R. (1)若a ≤0，讨论f (x )的单调性； (2)若0<a <1e ，10.(多填题)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________；若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________.答 案 导数与函数的零点考点一判断零点的个数【例1】已知函数f (x )＝ln x －x 2＋ax ，a ∈R. (1)证明ln x ≤x －1；(2)若a ≥1，讨论函数f (x )的零点个数.(1)证明 令g (x )＝ln x －x ＋1(x >0)，则g (1)＝0， g ′(x )＝1x －1＝1－x x，可得x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增； x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减. ∴当x ＝1时，函数g (x )取得极大值也是最大值， ∴g (x )≤g (1)＝0，即ln x ≤x －1.(2)解 f ′(x )＝1x －2x ＋a ＝－2x 2＋ax ＋1x，x >0.令－2x 20＋ax 0＋1＝0，解得x 0＝a ＋a 2＋84(负值舍去)，在(0，x 0)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 在(x 0，＋∞)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减. ∴f (x )max ＝f (x 0).当a ＝1时，x 0＝1，f (x )max ＝f (1)＝0，此时函数f (x )只有一个零点x ＝1. 当a >1时，f (1)＝a －1>0，f ⎝⎛⎭⎫12a ＝ln 12a －14a 2＋12<12a －1－14a 2＋12 ＝－⎝⎛⎭⎫12a －122－14<0，f (2a )＝ln 2a －2a 2<2a －1－2a 2＝－2⎝⎛⎭⎫a －122－12<0. ∴函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12a ，1和区间(1，2a )上各有一个零点. 综上可得：当a ＝1时，函数f (x )只有一个零点x ＝1； 当a >1时，函数f (x )有两个零点.规律方法1.利用导数求函数的零点常用方法：(1)构造函数g (x )(其中g ′(x )易求，且g ′(x )＝0可解)，利用导数研究g (x )的性质，结合g (x )的图象，判断函数零点的个数.(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点. 2.根据参数确定函数零点的个数，解题的基本思想是“数形结合”，即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，作出函数的大致图象，然后通过函数图象得出其与x 轴交点的个数，或者两个相关函数图象交点的个数，基本步骤是“先数后形”. 【训练1】已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1).(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间； (2)证明：f (x )只有一个零点.(1)解 当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3.令f ′(x )＝0，解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减. (2)证明 由于x 2＋x ＋1>0，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2（x 2＋2x ＋3）（x 2＋x ＋1）2≥0，仅当x ＝0时g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.又f(3a－1)＝－6a2＋2a－13＝－6⎝⎛⎭⎫a－162－16<0，f(3a＋1)＝13>0，故f(x)有一个零点.综上，f(x)只有一个零点.考点二根据零点个数求参数的值(范围)【例2】函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值.(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.解(1)函数f(x)＝ax＋x ln x的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝a＋ln x＋1，因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，f(x)＝－x＋x ln x，f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m＋1图象有两个不同的交点.由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，当0<x<e时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；当x>e时，f(x)>0.当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.由图象可知，－1<m＋1<0，即－2<m<－1.所以m的取值范围是(－2，－1).规律方法 1.函数零点个数可转化为图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.【训练2】已知函数f(x)＝1x2＋a ln x(a∈R).(1)求f(x)的单调递减区间；(2)已知函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围.解(1)由题意可得，f′(x)＝－2x3＋ax＝ax2－2x3(x>0)，当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当a >0时，f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a ⎝⎛⎭⎫x －2a x 3，由f ′(x )≤0，解得0<x ≤2a， ∴此时函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，2a a . 综上可得：a ≤0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)， a >0时，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，2a a . (2)由(1)可得若函数f (x )有两个不同的零点，则必须满足a >0， 且f ⎝⎛⎭⎫2a ＝a 2＋a 2ln 2a<0， 化为ln 2a <－1，解得a >2e.所以实数a 的取值范围是(2e ，＋∞). 考点三 函数零点的综合问题 【例3】 设函数f (x )＝e 2x －a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －ax (x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点；当a >0时，因为y ＝e 2x 单调递增，y ＝－ax 单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增.又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4，且b <12ln 2时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点.(2)证明 由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0， 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0). 由于2e2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a. 故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.规律方法 1.在(1)中，当a >0时，f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，从而f ′(x )在(0，＋∞)上至多有一个零点，问题的关键是找到b ，使f ′(b )<0.2.由(1)知，函数f ′(x )存在唯一零点x 0，则f (x 0)为函数的最小值，从而把问题转化为证明f (x 0)≥2a ＋a ln 2a.【训练3】已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ，f ′(x )为f (x )的导数. (1)证明：f ′(x )在区间(0，π)存在唯一零点； (2)若x ∈[0，π]时，f (x )≥ax ，求a 的取值范围.(1)证明 设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x ＋x sin x －1，g ′(x )＝x cos x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，g ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，g ′(x )<0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减. 又g (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫π2>0，g (π)＝－2， 故g (x )在(0，π)存在唯一零点. 所以f ′(x )在区间(0，π)存在唯一零点. (2)解 由题设知f (π)≥a π，f (π)＝0，可得a ≤0. 由(1)知，f ′(x )在(0，π)只有一个零点，设为x 0， 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )>0；当x ∈(x 0，π)时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，π)上单调递减. 又f (0)＝0，f (π)＝0，所以当x ∈[0，π]时，f (x )≥0. 又当a ≤0，x ∈[0，π]时，ax ≤0，故f (x )≥ax . 因此，a 的取值范围是(－∞，0].强化训练一、选择题1.(2020·重庆一中训练)函数f (x )＝ln x －x 的零点个数是( ) A.3B.2C.1D.0解析 f ′(x )＝1x －12x ＝2－x 2x ，定义域(0，＋∞).当0<x <4时，f ′(x )>0；当x >4时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(0，4)上递增，在(4，＋∞)上递减， 则f (x )max ＝f (4)＝ln 4－2＝ln4e 2<0. ∴f (x )<0恒成立，故f (x )没有零点. 答案 D2.已知函数f (x )的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：x －1023 4f(x)12020f(x)的导函数y＝f′(x)( )A.1B.2C.3D.4解析根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图象如图所示.由于f(0)＝f(3)＝2，1<a<2，所以y＝f(x)－a的零点个数为4.答案 D3.若方程8x＝x2＋6ln x＋m仅有一个解，则实数m的取值范围为()A.(－∞，7)B.(12－6ln 3，＋∞)C.(15－6ln 3，＋∞)D.(－∞，7)∪(15－6ln 3，＋∞)解析方程8x＝x2＋6ln x＋m仅有一个解等价于函数m(x)＝x2－8x＋6ln x＋m(x>0)的图象与x 轴有且只有一个交点.又m′(x)＝2x－8＋6x＝2（x－1）（x－3）x.当x∈(0，1)时，m′(x)>0，m(x)是增函数；当x∈(1，3)时，m′(x)<0，m(x)是减函数；当x∈(3，＋∞)时，m′(x)>0，m(x)是增函数，∴m(x)极大值＝m(1)＝m－7，m(x)极小值＝m(3)＝m＋6ln 3－15.∵当x趋近于0时，m(x)趋近于负无穷，当x趋近于正无穷时，m(x)趋近于正无穷，∴要使m(x)的图象与x轴有一个交点，必须有m(x)极大值＝m－7<0或m(x)极小值＝m＋6ln 3－15>0，故m<7或m>15－6ln 3.答案 D二、填空题4.若函数f(x)＝ax－ae x＋1(a<0)没有零点，则实数a的取值范围为________.解析f′(x)＝a e x－（ax－a）e xe2x＝－a（x－2）e x(a<0).当x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，∴当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝ae2＋1.若使函数f(x)没有零点，当且仅当f(2)＝ae2＋1>0，解之得a >－e 2，因此－e 2<a <0. 答案 (－e 2，0)5.(2020·湖南长郡中学检测)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax －a 存在极值点x 0，且f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0，则x 1＋2x 0＝________.解析 由f (x )＝x 3－x 2＋ax －a ，得f ′(x )＝3x 2－2x ＋a . ∵x 0为f (x )的极值点，知3x 20－2x 0＋a ＝0.① 因为f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0，所以x 31－x 21＋ax 1－a ＝x 30－x 20＋ax 0－a ， 化为x 21＋x 1x 0＋x 20－(x 1＋x 0)＋a ＝0，把a ＝－3x 20＋2x 0代入上述方程可得x 21＋x 1x 0＋x 20－(x 1＋x 0)－3x 20＋2x 0＝0， 化为x 21＋x 1x 0－2x 20＋x 0－x 1＝0，即(x 1－x 0)(x 1＋2x 0－1)＝0， ∵x 1－x 0≠0，∴x 1＋2x 0＝1. 答案 1 三、解答题6.已知x ＝1是函数f (x )＝13ax 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋5的一个极值点.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，求实数m 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1，由f ′(1)＝0，得a ＝1， ∴f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5.(2)曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，则g (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝13x 3－32x 2＋5－m 有三个零点.由g ′(x )＝x 2－3x ＝0，得x ＝0或x ＝3.由g ′(x )>0，得x <0或x >3；由g ′(x )<0，得0<x <3.∴函数g (x )在(－∞，0)和(3，＋∞)上为增函数，在(0，3)上为减函数. 要使g (x )有三个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （3）<0，解得12<m <5.故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，5. 7.已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R)，若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围. 解 g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x －2x ＝－2（x ＋1）（x －1）x. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，所以当g ′(x )＝0时，x ＝1.当1e≤x <1时，g ′(x )>0；当1<x ≤e 时，g ′(x )<0. 故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1.又g ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2， g (e)－g ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则g (e)<g ⎝⎛⎭⎫1e ， 所以g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最小值是g (e).g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝m －1>0，g ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e 2， 所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，2＋1e 2. 8.已知函数f (x )＝e x ＋(a －e)x －ax 2.(1)当a ＝0时，求函数f (x )的极值；(2)若函数f (x )在区间(0，1)内存在零点，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝0时，f (x )＝e x －e x ，则f ′(x )＝e x －e ，f ′(1)＝0，当x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，且极小值为f (1)＝0，无极大值.(2)由题意得f ′(x )＝e x －2ax ＋a －e ，设g (x )＝e x －2ax ＋a －e ，则g ′(x )＝e x －2a .若a ＝0，则f (x )的最大值f (1)＝0，故由(1)得f (x )在区间(0，1)内没有零点.若a <0，则g ′(x )＝e x －2a >0，故函数g (x )在区间(0，1)内单调递增.又g (0)＝1＋a －e<0，g (1)＝－a >0，所以存在x 0∈(0，1)，使g (x 0)＝0.故当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(x 0，1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.因为f (0)＝1，f (1)＝0，所以当a <0时，f (x )在区间(0，1)内存在零点.若a >0，由(1)得当x ∈(0，1)时，e x >e x .则f (x )＝e x ＋(a －e)x －ax 2>e x ＋(a －e)x －ax 2＝a (x －x 2)>0，此时函数f (x )在区间(0，1)内没有零点.综上，实数a 的取值范围为(－∞，0).9.(2019·天津卷)设函数f (x )＝ln x －a (x －1)e x ，其中a ∈R.(1)若a ≤0，讨论f (x )的单调性；(2)若0<a <1e， ①证明f (x )恰有两个零点；②设x 0为f (x )的极值点，x 1为f (x )的零点，且x 1>x 0，证明3x 0－x 1>2.(1)解由已知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x －[a e x ＋a (x －1)e x ]＝1－ax 2e x x. 因此当a ≤0时，1－ax 2e x >0，从而f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)内单调递增.(2)证明①由(1)知，f ′(x )＝1－ax 2e x x. 令g (x )＝1－ax 2e x ，由0<a <1e，知g (x )在(0，＋∞)内单调递减. 又g (1)＝1－a e>0，且g ⎝⎛⎭⎫ln 1a ＝1－a ⎝⎛⎭⎫ln 1a 2·1a＝1－⎝⎛⎭⎫ln 1a 2<0， 故g (x )＝0在(0，＋∞)内有唯一解，从而f ′(x )＝0在(0，＋∞)内有唯一解，不妨设为x 0，则1<x 0<ln 1a. 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＝g （x ）x >g （x 0）x＝0， 所以f (x )在(0，x 0)内单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＝g （x ）x <g （x 0）x＝0， 所以f (x )在(x 0，＋∞)内单调递减，因此x 0是f (x )的唯一极值点.令h (x )＝ln x －x ＋1，则当x >1时，h ′(x )＝1x－1<0， 故h (x )在(1，＋∞)内单调递减，从而当x >1时，h (x )<h (1)＝0，所以ln x <x －1，从而f ⎝⎛⎭⎫ln 1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫ln 1a －a ⎝⎛⎭⎫ln 1a －1eln 1a＝ln ⎝⎛⎭⎫ln 1a －ln 1a＋1＝h ⎝⎛⎭⎫ln 1a <0.又因为f (x 0)>f (1)＝0，所以f (x )在(x 0，＋∞)内有唯一零点.又f (x )在(0，x 0)内有唯一零点1，从而，f (x )在(0，＋∞)内恰有两个零点.②由题意，⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x 0）＝0，f （x 1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 20e x 0＝1，ln x 1＝a （x 1－1）e x 1， 从而ln x 1＝x 1－1x 20e x 1－x 0，即e x 1－x 0＝x 20ln x 1x 1－1. 因为当x >1时，ln x <x －1，又x 1>x 0>1，故e x 1－x 0<x 20（x 1－1）x 1－1＝x 20，两边取对数， 得ln e x 1－x 0<ln x 20，于是x 1－x 0<2ln x 0<2(x 0－1)，整理得3x 0－x 1>2.10.(多填题)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________；若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________.解析 当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x <2， 其图象如图(1).由图知f (x )<0的解集为(1，4).若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ恰有2个零点有两种情况： ①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出y ＝x －4与y ＝x 2－4x ＋3的图象，如图(2)，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞).答案 (1，4) (1，3]∪(4，＋∞)。
讨论函数零点或方程根的个数问题-高考数学专练
讨论函数零点或方程根的个数问题-高考数学专练【方法总结】判断、证明或讨论函数零点个数的方法利用零点存在性定理求解函数热点问题的前提条件为函数图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0．①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f (a )·f (b )<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a )·f (b )<0．【例题选讲】[例1]已知f (x )＝e －x (ax 2＋x ＋1)．当a >0时，试讨论方程f (x )＝1的解的个数．[破题思路]讨论方程f (x )＝1的解的个数，想到f (x )－1的零点个数，给出f (x )的解析式，用f (x )＝1构造函数，转化为零点问题求解(或分离参数，结合图象求解)．[规范解答]法一：分类讨论法方程f (x )＝1的解的个数即为函数h (x )＝e x －ax 2－x －1(a >0)的零点个数．而h ′(x )＝e x －2ax －1，设H (x )＝e x －2ax －1，则H ′(x )＝e x －2a ．令H ′(x )>0，解得x >ln 2a ；令H ′(x )<0，解得x <ln 2a ，所以h ′(x )在(－∞，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增．所以h ′(x )min ＝h ′(ln 2a )＝2a －2a ln 2a －1．设m ＝2a ，g (m )＝m －m ln m －1(m >0)，则g ′(m )＝1－(1＋ln m )＝－ln m ，令g ′(m )<0，得m >1；令g ′(m )>0，得0<m <1，所以g (m )在(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以g (m )max ＝g (1)＝0，即h ′(x )min ≤0(当m ＝1即a ＝12时取等号)．①当a ＝12时，h ′(x )min ＝0，则h ′(x )≥0恒成立．所以h (x )在R 上单调递增，故此时h (x )只有一个零点．②当a >12时，ln 2a >0，h ′(x )min ＝h ′(ln 2a )<0，又h ′(x )在(－∞，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝0，则存在x 1>0使得h ′(x 1)＝0，这时h (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增．所以h (x 1)<h (0)＝0，又h (0)＝0，所以此时h (x )有两个零点．③当0<a <12时，ln 2a <0，h ′(x )min ＝h ′(ln 2a )<0，又h ′(x )在(－∞，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝0，则存在x 2<0使得h ′(x 2)＝0．这时h (x )在(－∞，x 2)上单调递增，在(x 2，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以h (x 2)>h (0)＝0，h (0)＝0，所以此时f (x )有两个零点．综上，当a ＝12时，方程f (x )＝1只有一个解；当a ≠12且a >0时，方程f (x )＝1有两个解．法二：分离参数法方程f (x )＝1的解的个数即方程e x －ax 2－x －1＝0(a >0)的解的个数，方程可化为ax 2＝e x －x －1．当x ＝0时，方程为0＝e 0－0－1，显然成立，所以x ＝0为方程的解．当x ≠0时，分离参数可得a ＝e x －x －1x2(x ≠0)．设函数p (x )＝e x －x －1x 2(x ≠0)，则p ′(x )＝(e x －x －1)′·x 2－(x 2)′·(e x －x －1)(x 2)2＝e x (x －2)＋x ＋2x 3．记q (x )＝e x (x －2)＋x ＋2，则q ′(x )＝e x (x －1)＋1．记t (x )＝q ′(x )＝e x (x －1)＋1，则t ′(x )＝x e x ．显然当x <0时，t ′(x )<0，函数t (x )单调递减；当x >0时，t ′(x )>0，函数t (x )单调递增．所以t (x )>t (0)＝e 0(0－1)＋1＝0，即q ′(x )>0，所以函数q (x )单调递增．而q (0)＝e 0(0－2)＋0＋2＝0，所以当x <0时，q (x )<0，即p ′(x )>0，函数p (x )单调递增；当x >0时，q (x )>0，即p ′(x )>0，函数p (x )单调递增．而当x →0时，p (x →0＝e x －12xx →0＝(e x －1)′(2x )′x →0＝e x 2x →0＝12(洛必达法则)，当x →－∞时，p (x －∞＝e x －12xx →－∞＝0，故函数p (x )的图象如图所示．作出直线y ＝a ．显然，当a ＝12时，直线y ＝a 与函数p (x )的图象无交点，即方程e x －ax 2－x －1＝0只有一个解x ＝0；当a ≠12且a >0时，直线y ＝a 与函数p (x )的图象有一个交点(x 0，a )，即方程e x －ax 2－x －1＝0有两个解x ＝0或x ＝x 0．综上，当a ＝12时，方程f (x )＝1只有一个解；当a ≠12且a >0时，方程f (x )＝1有两个解．[注]部分题型利用分离法处理时，会出现“0”型的代数式，这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题有效的方法就是洛必达法则．法则1若函数f (x )和g (x )满足下列条件：(1)li m x →a f (x )＝0及li m x →a g (x )＝0；(2)在点a 的去心邻域内，f (x )与g (x )可导且g ′(x )≠0；(3)li m x →af ′(x )g ′(x )＝l ．那么li m x →a f (x )g (x )＝li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l ．法则2若函数f (x )和g (x )满足下列条件：(1)li m x →a f (x )＝∞及li m x →a g (x )＝∞；(2)在点a 的去心邻域内，f (x )与g (x )可导且g ′(x )≠0；(3)li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l ．那么li m x →af (x )g (x )＝li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l ．[题后悟通]对于已知参数的取值范围，讨论零点个数的情况，借助导数解决的办法有两个．(1)分离参数：得到参数与超越函数式相等的式子，借助导数分析函数的单调区间和极值，结合图形，由参数函数与超越函数的交点个数，易得交点个数的分类情况；(2)构造新函数：求导，用单调性判定函数的取值情况，再根据零点存在定理证明零点的存在性．[例2]设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0．(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[规范解答](1)函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx．由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)．f ′(x )与f (x )在区间(0，＋∞)上随x 的变化情况如下表：x (0，k )k (k ，＋∞)f ′(x )－0＋f (x )↘k (1－ln k )2↗所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)．f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2，无极大值．(2)由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2．因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e ，当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点；当k >e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[例3]已知函数f (x )＝a ln x ＋bx(a ，b ∈R ，a ≠0)的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为－a .(1)求f (x )的单调区间；(2)讨论方程f (x )＝1根的个数．[规范解答](1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －b －a ln xx 2，由f ′(1)＝a －b ＝－a ，得b ＝2a ，所以f (x )＝a (ln x ＋2)x ，f ′(x )＝－a (ln x ＋1)x2.当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <1e ；由f ′(x )<0，得x >1e .当a <0时，由f ′(x )>0，得x >1e ；由f ′(x )<0，得0<x <1e.综上，当a >0时，f (x )a <0时，f (x )的单调递增(2)f (x )＝1，即方程a ln x ＋2a x ＝1，即方程1a ＝ln x ＋2x ，构造函数h (x )＝ln x ＋2x，则h ′(x )＝－1＋ln x x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝1e ，h ′(x )>0，h ′(x )<0，即h (x )h (x )max ＝ e.h (x )单调递减且h (x )＝ln x ＋2x >0，当x 无限增大时，h (x )无限接近0；h (x )单调递增且当x 无限接近0时，ln x ＋2负无限大，故h (x )负无限大．故当0<1a <e ，即a >1e 时，方程f (x )＝1有两个不等实根，当a ＝1e 时，方程f (x )＝1只有一个实根，当a <0时，方程f (x )＝1只有一个实根．综上可知，当a >1e 时，方程f (x )＝1有两个实根；当a <0或a ＝1e 时，方程f (x )＝1有一个实根；当0<a <1e 时，方程f (x )＝1无实根．[例4]已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx 与f (x )的反函数的图象相切，求实数k 的值；(2)若m <0，讨论函数g (x )＝f (x )＋mx 2零点的个数．[规范解答](1)f (x )的反函数为y ＝ln x ，x >0，则y ′＝1x．设切点为(x 0，ln x 0)，则切线斜率为k ＝1x 0＝ln x 0x 0，故x 0＝e ，k ＝1e.(2)函数g (x )＝f (x )＋mx 2的零点的个数即是方程f (x )＋mx 2＝0的实根的个数(当x ＝0时，方程无解)，等价于函数h (x )＝e xx 2(x ≠0)与函数y ＝－m 图象交点的个数．h ′(x )＝e x (x －2)x 3.当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )>0，h (x )在(－∞，0)上单调递增；当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0，h (x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)上单调递增．∴h (x )的大致图象如图：∴h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (2)＝e 24.∴当－m m －e 24，h (x )＝e xx 2与函数y ＝－m 图象交点的个数为1；当－m ＝e 24，即m ＝－e 24时，函数h (x )＝e xx2与函数y ＝－m 图象交点的个数为2；当－m m ∈－∞，－e 24时，函数h (x )＝e xx 2与函数y ＝－m 图象交点的个数为3.综上所述，当m ∞g (x )有三个零点；当m ＝－e 24时，函数g (x )有两个零点；当m ∈－e 24，0时，函数g (x )有一个零点．[例5]已知函数f (x )＝－x 3＋ax －14，g (x )＝e x －e(e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线与曲线y ＝g (x )在(0，g (0))处的切线互相垂直，求实数a 的值；(2)设函数h (x )x )，f (x )≥g (x )，(x )，f (x )<g (x )，试讨论函数h (x )零点的个数．[规范解答](1)f ′(x )＝－3x 2＋a ，g ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝a ，g ′(0)＝1，由题意，知a ＝－1．(2)易知函数g (x )＝e x －e 在R 上单调递增，仅在x ＝1处有一个零点，且x <1时，g (x )<0，又f ′(x )＝－3x 2＋a ，①当a ≤0时，f ′(x )≤0，f (x )在R f (－1)＝34－a >0，即f (x )在x ≤0时必有一个零点，此时y ＝h (x )有两个零点；②当a >0时，令f ′(x )＝－3x 2＋a ＝0，得两根为x 1＝－a3<0，x 2＝a3>0，则－a3是函数f (x )的一个极小值点，a3是函数f (x )的一个极大值点，而＋－14＝－2a 3a 3－14<0．现在讨论极大值的情况：＋aa 3－14＝2a 3a 3－14，当，即a <34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上恒小于零，此时y ＝h (x )有两个零点；当0，即a ＝34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有一个零点x 0＝a 3＝12，此时y ＝h (x )有三个零点；当，即a >34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个零点，一个零点小于a3，一个零点大于a 3，若f (1)＝a －54<0，即a <54时，y ＝h (x )有四个零点；若f (1)＝a －54＝0，即a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；若f (1)＝a －54>0，即a >54时，y ＝h (x )有两个零点．综上所述：当a <34或a >54时，y ＝h (x )有两个零点；当a ＝34或a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；当34<a <54时，y ＝h (x )有四个零点．[例6]已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋2)x ＋2ln x (a ∈R )．(1)若a ＝0，求证：f (x )<0；(2)讨论函数f (x )零点的个数．[破题思路](1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2ln x (x >0)，f ′(x )＝－2＋2x ＝2(1－x )x，设g (x )＝1－x ，根据g (x )的正负可画出f (x )的图象如图(1)所示．(2)f ′(x )＝(x －1)(ax －2)x (x >0)，令g (x )＝(x －1)(ax －2)，当a ＝0时，由(1)知f (x )没有零点；当a >0时，画g (x )的正负图象时，需分2a ＝1，2a >1，2a <1三种情形进行讨论，再根据极值、端点走势可画出f (x )的图象，如图(2)(3)(4)所示；当a <0时，同理可得图(5)．综上，易得f (x )的零点个数．[规范解答](1)当a ＝0时，f ′(x )＝－2＋2x ＝2(1－x )x，由f ′(x )＝0得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减．所以f (x )≤f (x )max ＝f (1)＝－2，即f (x )<0.(2)由题意知f ′(x )＝ax －(a ＋2)＋2x ＝ax 2－(a ＋2)x ＋2x ＝(x －1)(ax －2)x (x >0)，当a ＝0时，由第(1)问可得函数f (x )没有零点．当a >0时，①当2a ＝1，即a ＝2时，f ′(x )≥0恒成立，仅当x ＝1时取等号，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－12a －2＝－12×2－2<0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上有一个零点．②当2a >1，即0<a <2时，若0<x <1或x >2a ，则f ′(x )>0，f (x )在(0,1)若1<x <2a ，则f ′(x )<0，f (x )又f (1)＝12a －(a ＋2)＋2ln 1＝－12a －2<0，则f (1)<0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )③当0<2a <1，即a >2时，若0<x <2a x >1，则f ′(x )>0，f (x )(1，＋∞)上单调递增；若2a<x <1，则f ′(x )<0，f (x )因为a >2，所以＝－2a －2＋2ln 2a <－2a －2＋2ln 1<0，又x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )仅有一个零点在区间(1，＋∞)上．当2a<0，即a <0时，若0<x <1，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增；若x >1，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减．当x →0时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→－∞，又f (1)＝12a －(a ＋2)＋2ln 1＝－12a －2＝－a －42.当f (1)＝－a －42>0，即a <－4时，函数f (x )有两个零点；当f (1)＝－a －42＝0，即a ＝－4时，函数f (x )有一个零点；当f (1)＝－a －42<0，即－4<a <0时，函数f (x )没有零点．综上，当a <－4时，函数f (x )有两个零点；当a ＝－4时，函数f (x )有一个零点；当－4<a ≤0时，函数f (x )没有零点；当a >0时，函数f (x )有一个零点．[题后悟通]解决本题运用了分类、分层的思想方法，表面看起来非常繁杂．但若能用好“双图法”处理问题，可回避不等式f ′(x )>0与f ′(x )<0的求解，特别是含有参数的不等式求解，而从f ′(x )抽象出与其正负有关的函数g (x )，画图更方便，观察图形即可直观快速地得到f (x )的单调性，大大提高解题的效率．[对点训练]1．(2018·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1)．(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )只有一个零点．1．解析(1)当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3．令f ′(x )＝0解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减．(2)由于x 2＋x ＋1>0，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2（x 2＋2x ＋3）（x 2＋x ＋1）2≥0，仅当x ＝0时g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增．故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点．又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－－16<0，f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点．综上，f (x )只有一个零点．2．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝x ＋x ，其中e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…．(1)证明：函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f (x )＝g (x )的根的个数，并说明理由．2．解析(1)由题意可得h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －1－x －x ，所以h (1)＝e －3＜0，h (2)＝e 2－3－2＞0，所以h (1)h (2)＜0，所以函数h (x )在区间(1，2)上有零点．(2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －1－x －x ．由g (x )＝x ＋x 知x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，则x ＝0为h (x )的一个零点．又h (x )在(1，2)内有零点，因此h (x )在[0，＋∞)上至少有两个零点．h ′(x )＝e x －12x －12－1，记φ(x )＝e x －12x －12－1，则φ′(x )＝e x ＋14x －32．当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )＞0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x )在(0，＋∞)内只有一个零点，则h (x )在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f (x )＝g (x )的根的个数为2．3．设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R ．(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．3．解析(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，则f ′(x )＝x －e x2，∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2．(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－133＋x (x >0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x >0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)．当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点，∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23．又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知，①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．4．已知函数f (x )＝ln x ＋1ax －1a，a ∈R 且a ≠0.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ∈1e ，e时，试判断函数g (x )＝(ln x －1)e x ＋x －m 的零点个数．4．解析(1)f ′(x )＝ax －1ax 2(x >0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，由f ′(x )>0，得x >1a ；由f ′(x )<0，得0<x <1a ，∴函数f (x )综上所述，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，函数f (x )(2)∵当x ∈1e ，e时，函数g (x )＝(ln x －1)e x ＋x －m 的零点，即当x ∈1e ，e时，方程(ln x －1)e x ＋x ＝m 的根．令h (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，则h ′(x )ln x －x＋1.由(1)知当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋1x －1(1，e)上单调递增，∴当x ∈1e ，e 时，f (x )≥f (1)＝0．∴1x＋ln x －1≥0在x ∈1e ，e 上恒成立．∴h ′(x )ln x －x ＋1≥0＋1>0，∴h (x )＝(ln x －1)e x ＋x 在x ∈1e ，e上单调递增．∴h (x )min ＝2e 1e ＋1e，h (x )max ＝e.∴当m <－2e 1e＋1e或m >e 时，函数g (x )在1e ，e 上没有零点；当－2e 1e＋1e≤m ≤e 时，函数g (x )在1e ，e 上有且只有一个零点．5．设函数f (x )＝e x －2a －ln(x ＋a )，a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)若a >0，且函数f (x )在区间[0，＋∞)内单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若0<a <23，试判断函数f (x )的零点个数．5．解析(1)∵函数f (x )在[0，＋∞)内单调递增，∴f ′(x )＝e x －1x ＋a≥0在[0，＋∞)内恒成立．即a ≥e －x －x 在[0，＋∞)内恒成立．记g (x )＝e －x －x ，则g ′(x )＝－e －x －1<0恒成立，∴g (x )在区间[0，＋∞)内单调递减，∴g (x )≤g (0)＝1，∴a ≥1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)∵0<a <23，f ′(x )＝e x －1x ＋a (x >－a )，记h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋1(x ＋a )2>0，知f ′(x )在区间(－a ，＋∞)内单调递增．又∵f ′(0)＝1－1a <0，f ′(1)＝e －1a ＋1>0，∴f ′(x )在区间(－a ，＋∞)内存在唯一的零点x 0，即f ′(x 0)＝0e x－1x 0＋a ＝0，于是0e x＝1x 0＋a，x 0＝－ln (x 0＋a )．当－a <x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴f (x )min ＝f (x 0)＝0e x －2a －ln (x 0＋a )＝1x 0＋a －2a ＋x 0＝x 0＋a ＋1x 0＋a－3a ≥2－3a ，当且仅当x 0＋a ＝1时，取等号．由0<a <23，得2－3a >0，∴f (x )min ＝f (x 0)>0，即函数f (x )没有零点．6．已知函数f (x )＝ln x －12ax 2(a ∈R )．(1)若f (x )在点(2，f (2))处的切线与直线2x ＋y ＋2＝0垂直，求实数a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)讨论函数f (x )在区间[1，e 2]上零点的个数．6．解析(1)f (x )＝ln x －12ax 2的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax ＝1－ax 2x ，则f ′(2)＝1－4a2．因为直线2x ＋y ＋2＝0的斜率为－2，所以(－2)×1－4a2＝－1，解得a ＝0．(2)f ′(x )＝1－ax 2x ，x ∈(0，＋∞)，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0′(x )>0，>0得0<x <aa ；由f ′(x )<0得x >aa ，所以f (x )综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，f (x )(3)由(2)可知，(ⅰ)当a <0时，f (x )在[1，e 2]上单调递增，而f (1)＝－12a >0，故f (x )在[1，e 2]上没有零点．(ⅱ)当a ＝0时，f (x )在[1，e 2]上单调递增，而f (1)＝－12a ＝0，故f (x )在[1，e 2]上有一个零点．(ⅲ)当a >0时，①若aa ≤1，即a ≥1时，f (x )在[1，e 2]上单调递减．因为f (1)＝－12a <0，所以f (x )在[1，e 2]上没有零点．②若1<aa ≤e 2，即1e 4≤a <1时，f (x )在1，a a 上单调递增，在a a ，e 2上单调递减，而f (1)＝－12a <0，f ＝－12ln a －12，f (e 2)＝2－12a e 4，若f＝－12ln a－12<0，即a>1e时，f(x)在[1，e2]上没有零点；若f＝－12ln a－12＝0，即a＝1e时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；若f＝－12ln a－12>0，即a<1e时，由f(e2)＝2－12a e4>0，得a<4e4，此时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；由f(e2)＝2－12a e4≤0，得a≥4e4，此时，f(x)在[1，e2]上有两个零点；③若aa≥e2，即0<a≤1e4时，f(x)在[1，e2]上单调递增，因为f(1)＝－12a<0，f(e2)＝2－12a e4>0，所以f(x)在[1，e2]上有一个零点．综上所述：当a<0或a>1e时，f(x)在[1，e2]上没有零点；当0≤a<4e4或a＝1e时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；当4e4≤a<1e时，f(x)在[1，e2]上有两个零点．。
高中数学：关于函数零点的几种常见题型
⾼中数学：关于函数零点的⼏种常见题型
（许兴华⽂摘）
[题型⼀]函数零点个数的求解
【题后⼩结】在解决函数与⽅程问题中的函数的零点问题时，要学会掌握转化与化归思想的运⽤.如本题直接根据已知函数求函数的零点个数难度很⼤，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题的第⼀反应就是转化已知函数为熟悉的函数，再利⽤数形结合求解.
[题型⼆]由函数零点的情况求参数范围
【题后⼩结】利⽤函数零点的情况求参数值或取值范围的⽅法
(1)利⽤零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从⽽构建不等式求解.
[题型三]⽤导数及函数的图像研究零点问题
【题后⼩结】好好思考之后，这第三种题型的“题后⼩结”由同学们⾃⼰来完成？可以做到吧？。
函数零点的题型总结
【题组通关】
1.已知a>1,方程 ex+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则 + +2x1x2的取值范围为( A )
(A)(1,+∞)(B)(0,+∞)
(C)( ,+∞)(D)( ,1)
解析:方程 ex+x-a=0的根,即y= ex与y=a-x图象交点的横坐标,
方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x与y=a-x图象交点的横坐标,
(A)(24,25)(B)(18,24)
(C)(21,24)(D)(18,25)
解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.
考点四 函数零点的应用
【例6】 (1)已知α,β分别满足α·eα=e2,β(ln β-2)=e4,则αβ的值为( )
所以函数f(x)在区间( , )内必有零点,选B.
利用方程根的存在性定理判断函数零点所在区间的步骤:①先移项使方程右边为零,再令方程左边为函数 f(x);②求区间(a,b)两端点的函数值f(a),f(b);③若函数在该区间上连续且f(a)·f(b)<0,则方程在该区间内必有根.
函数的单调性与零点个数
函数的单调性与零点个数函数是数学中的一种重要概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的依赖关系。
在数学分析中，函数的单调性和零点个数是研究函数性质的重要内容之一。
本文将探讨函数的单调性与零点个数之间的关系，并从数学的角度解释它们的含义。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在其定义域上的变化趋势。
根据变化趋势的不同，函数可以分为递增和递减两种情况。
1.1 递增函数当函数的自变量增大时，函数的值也随之增大，则称函数为递增函数。
换句话说，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意两个数a和b，当a<b时有f(a)<f(b)，则函数f(x)为递增函数。
1.2 递减函数当函数的自变量增大时，函数的值反而减小，则称函数为递减函数。
换句话说，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意两个数a和b，当a<b时有f(a)>f(b)，则函数f(x)为递减函数。
函数的单调性可以通过函数的导数来进行判断。
当函数的导数大于零时，函数递增；当函数的导数小于零时，函数递减。
二、函数的零点个数函数的零点是指函数在定义域内使得函数值为零的自变量值。
零点也叫做方程的根，是方程与坐标轴的交点。
2.1 零点个数与单调性的关系根据函数的单调性，可以得出一个重要的结论：一个递增函数和一个递减函数的零点个数不超过一个。
这是因为递增函数在某个区间上只有一个零点，而递减函数也只有一个零点。
因此，递增函数和递减函数的零点分别对应着一个函数值为正和一个函数值为负。
2.2 导数与零点个数的关系利用函数的导数可以进一步研究函数的零点个数。
根据数学分析的知识，如果函数在某个区间上的导数始终保持正号或者负号，那么函数在该区间上只有一个零点。
如果在某个区间内，函数的导数从正变为负，或者从负变为正，那么函数在该区间上的零点个数不止一个。
同时，在定义域上的零点的个数等于函数的导数的零点个数加1。
三、函数单调性与零点个数的例子为了更好地理解函数的单调性和零点个数之间的关系，我们以一个具体的函数作为例子进行讨论。
数学思想在解答函数零点个数问题中的应用
考点透视函数零点的个数问题比较常见，常见的命题形式有两种：（1）求函数零点的个数；（2）已知函数零点的个数，求参数的取值范围.下面结合实例，谈一谈如何巧妙运用数学思想解答函数零点的个数问题.一、利用方程思想函数f (x )的零点即为函数f (x )=0时x 的取值.因此，在解答函数零点的个数问题时，可利用方程思想，令函数f (x )=0，将问题转化为求函数f (x )所对应的方程f (x )=0的解的个数.解该方程，便可确定函数的零点的个数.例1.求函数f (x )=ìíîïïx 2-2,-π<x ≤0,cos(3x +π6),0<x <π.零点的个数.解：当-π<x ≤0时，解方程x 2-2=0，得x =-2；当0<x <π时，解方程cos(3x +π3)=0,得3x +π6=π2+k π，即x =π9+k π3(k ∈Z)，当k =0,1,2时，x =π9，4π9，7π9，满足题意，所以函数f (x )有4个零点.该函数为分段函数，需分-π<x ≤0和0<x <π两种情况讨论f (x )=0的解的个数.运用方程思想求解函数零点的个数问题的思路较为简单，解方程即可求得问题的答案.二、利用数形结合思想函数的图象是解答函数问题的重要工具.由于函数f (x )的零点即为函数f (x )与x 轴交点的横坐标，所以可利用数形结合思想，根据函数的解析式画出函数的图象，通过研究函数的图象与x 轴交点的个数，来求得函数零点的个数.例2.求函数f (x )=ln x +2x -4零点的个数.解：由题意可知函数的定义域是{x |x >0}，令f (x )=ln x +2x -4=0，可得ln x =4-2x ，设g (x )=ln x ,h (x )=4-2x ,分别画出两个函数的图象，如图1所示，由图可知两个函数的图象交于第一象限，而g (x )=ln x 在第一象限单调递增，h (x )=4-2x 在第一象限单调递减，所以两个函数的图象只有1个交点，所以函数f (x )=ln x +2x -4只有1个零点.该函数由两个简单初等函数g (x )、h (x )构成，于是令f (x )=0，将方程变为g (x )=h (x )的形式，构造出两个新函数，然后在同一坐标系中分别画出g (x )和h (x )的图象，利用数形结合思想来解题.通过观察两个函数的图象，即可明确其交点的个数.两个函数的图象有几个交点，方程g (x )=h (x )就有几个解，函数f (x )=0就有几个解，函数f (x )就有几个零点.例3.已知函数f (x )=ax -2ln x (a ∈R)有2个零点，求a 的取值范围.解：令f (x )=0，可得ax -2ln x =0，即a =2ln x x(x >0).设g (x )=2ln x x(x >0),y =a，对g (x )求导可得g ′(x )=2(1-ln x )x 2,则当0<x <e 时，1-ln x >0，g ′(x )>0；当x >e 时，1-ln x <0，g ′(x )<0，所以g (x )在（0,e ）上单调递增，在（e ,+∞）上单调递减，故g (x )在x =e 处取得最大值g (e )=2e.画出函数g (x )=2ln xx的图象，如图2所示，要使直线y =a 与g (x )图象有2个交点，则需使直线y =a 必须在x 轴和直线y =2e 之间，因此，0<a <2e.解答本题的关键在于将f (x )=0进行适当的变形，通过分离参数，构造出两个函数，利用数形结合思想来研究两个函数图象的交点.在画函数的图象时，可利用导数法来判断函数的单调性，求函数的最值，以便确定函数图象的变化情况.总之，解答函数零点的个数问题，可以从方程和图象两个方面入手，利用方程思想和数形结合思想来解答.一般地，若易于求得方程f (x )=0的解，则可利用方程思想，通过解方程来解题；若不易求得方程f (x )=0的解，则需利用数形结合思想，借助函数图象来讨论函数零点的个数.（作者单位：陕西省神木职业技术教育中心）邱香云图2图139Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
专题判断函数零点个数的方法(讲学稿)
二轮复习小专题：判断函数零点个数的方法一方法总结：判断函数零点个数常见方法：（1） 直接法：届方程f(x)=0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；（2） 图像法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x 轴的交点个数，即为函数f(x)的零点个数；（3） 将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而()0()()0()(),f x h x g x h x g x =⇔-=⇔=则函数的零点个数即为y=h(x)与y=g(x)的图象的交点个数；（4） 二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式∆来判断。
二考题回顾：（2015江苏高考）已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。
三例题精析：例1：关于x 的方程210x mx --=在区间(0,1)上有唯一实根，则实数m 的范围【变式】若函数2()(1)2(1)1f x m x m x =-++-的图象与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值集合是例题2：已知函数32111(),(),323k f x x x g x kx +=-=-若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围例题3：已知函数22log (1),()2,0,x x o f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是 。
【变式】已知函数21,0,()(1),0x x f x f x x -⎧+≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且仅有两个不相等的实数根，则a 的取值范围例题4：已知函数254,0()22,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()y f x a x =-恰有四个零点，则实数a 的取值范围例题5：若关于x 的方程x x a a -=有三个不同的实数根，则a 的取值范围为。
高考常考题- 函数的零点问题(含解析)
函数的零点问题一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为 例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，)则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．例3、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞例5、（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-例6、【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞例7、【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0例8、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数2(4),53()(2),3x x f x f x x ⎧+-≤<-=⎨-≥-⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有9个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1111,,4664⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1111,,3553⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,64⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭例9、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数()()2,22,2,x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为A ．23- B ．12-C ．34-D ．1-二、达标训练1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ） A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,22、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知,a b ∈R ，函数(),0(),0x x a e ax x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A ．1,0a b >>B ．1,0a b ><C ．1,0a b <>D ．1,0a b <<4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a=-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ） A ．12BC ．2e D5、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．6、【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．7、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数()222,01,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为__________.一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
你会用导数判断函数的零点个数吗
你会用导数判断函数的零点个数吗对于一些用传统方法难以判断的函数的零点个数问题，导数是一个非常有效的工具.下面举例说明，供参考.例1 若,3>a 试判断函数1)(23+-=ax x x f 在区间[]2,0上零点的个数. 解析：令,1)(23+-=ax x x f 则).23(23)(2a x x ax x x f -=-='因为,3>a 20≤≤x , 所以,0)23()(≤-='a x x x f 函数)(x f 在[]2,0上单减. 又因为,049148)2(,01)0(<-=+-=>=a a f f 因此在[]2,0上函数)(x f 的图象与x 轴只有唯一交点,即函数)(x f 123+-=ax x 在区间[]2,0上只有一个零点. 点评：这里先用导数知识确定函数)(x f 在所给区间上的单调性,再考虑区间端点的函数值的符号, 利用函数图象与x 轴交点的个数确定函数零点的个数.例2试判断方程022=-+x x在R 内有多少个实数根?解析：令)(x f 22-+=x x ,则,012ln 2)(>+='x x f )(x f 在R 内单调递增. 又,1)0(-=f ,1)1(=f 因此)(x f 在)1,1(-内有一个零点, 再由)(x f 在R 内单调递增可知, )(x f 在R 内只有一个零点, 即方程022=-+x x 在R 内只有一个实数根. 点评：这里先构造函数)(x f ,再用导数知识确定函数)(x f 的单调性,最后选择合适的区间, 通过对端点的函数值符号的考察, 确定函数零点的个数,进而得到方程022=-+x x 在R 内的实数根的个数.例3试判断函数x x x x f cos sin )(-=()π,0∈x 在上的零点个数.解析：因为,0)(,01)0(>=>=ππf f 所以无法判断函数)(x f ()π,0在上的零点个数.用导数知识确定)(x f 的单调性.当π<<x 0时,,0sin sin cos cos )(>=+-='x x x x x x x f 所以)(x f ()π,0在上单增,于是),()()0(πf x f f <<即,)(1π<<x f )(x f 的值域为()π,1因此函数()π,0)(∈x x f 在上没有零点.点评：本题是超越复合型函数,先利用导数知识确定函数)(x f 的单调性,再根据单调性求其值域,由此确定零点的个数.。
专题02 函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题(学生版) -25年高考数学压轴大题必杀技系列导数
专题2 函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题是近年高考的热点及难点,特别是隐零点及零点赋值经常成为导数压轴的法宝.(一) 确定函数零点个数1.研究函数零点的技巧用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数．2. 判断函数零点个数的常用方法(1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x 轴交点的个数问题．(2)分离出参数,转化为a ＝g (x ),根据导数的知识求出函数g(x )在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是直线y ＝a 与函数y ＝g (x )图象交点的个数问题．只需要用a 与函数g (x )的极值和最值进行比较即可．3. 处理函数y =f (x )与y =g (x )图像的交点问题的常用方法(1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况;(2)将函数交点问题转化为方程f (x )=g (x )根的个数问题,也通过构造函数y =f (x )-g (x ),把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.4.找点时若函数有多项有时可以通过恒等变形或放缩进行并项，有时有界函数可以放缩成常数，构造函数时合理分离参数，避开分母为0的情况.【例1】（2024届河南省湘豫名校联考高三下学期考前保温卷数）已知函数()()20,ex ax f x a a =¹ÎR ．(1)求()f x 的极大值；(2)若1a =，求()()cos g x f x x =-在区间π,2024π2éù-êúëû上的零点个数．【解析】（1）由题易得，函数()2ex ax f x =的定义域为R ，又()()()22222e e 2e e e x xx xxax x ax ax ax ax f x ---===¢，所以，当0a >时，()(),f x f x ¢随x 的变化情况如下表：x(),0¥-0()0,22()2,¥+()f x ¢-0+0-()f x ]极小值Z极大值]由上表可知，()f x 的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()(),0,2,¥¥-+．所以()f x 的极大值为()()2420e af a =>．当a<0时，()(),f x f x ¢随x 的变化情况如下表：x(),0¥-0()0,22()2,¥+()f x ¢+0-0+()f x Z 极大值]极小值Z由上表可知，()f x 的单调递增区间为()(),0,2,¥¥-+，单调递减区间为()0,2．所以()f x 的极大值为()()000f a =<．综上所述，当0a >时，()f x 的极大值为24ea；当a<0时，()f x 的极大值为0．（2）方法一：当1a =时，()2e x xf x =，所以函数()()2cos cos e x xg x f x x x =-=-．由()0g x =，得2cos e xx x =．所以要求()g x 在区间π,2024π2éù-êúëû上的零点的个数，只需求()y f x =的图象与()cos h x x =的图象在区间π,2024π2éù-êúëû上的交点个数即可．由（1）知，当1a =时，()y f x =在()(),0,2,¥¥-+上单调递减，在()0,2上单调递增，所以()y f x =在区间π,02éù-êúëû上单调递减．又()cos h x x =在区间π,02éù-êúëû上单调递增，且()()()()()1e 1cos 11,001cos00f h f h -=>>-=-=<==，所以()2e x xf x =与()cos h x x =的图象在区间π,02éù-êúëû上只有一个交点，所以()g x 在区间π,02éù-êúëû上有且只有1个零点．因为当10a x =>，时，()20ex x f x =>，()f x 在区间()02，上单调递增，在区间()2,¥+上单调递减，所以()2e x xf x =在区间()0,¥+上有极大值()2421e f =<，即当1,0a x =>时，恒有()01f x <<．又当0x >时，()cos h x x =的值域为[]1,1-，且其最小正周期为2πT =，现考查在其一个周期(]0,2π上的情况，()2ex x f x =在区间(]0,2上单调递增，()cos h x x =在区间(]0,2上单调递减，且()()0001f h =<=，()()202cos2f h >>=，所以()cos h x x =与()2ex x f x =的图象在区间(]0,2上只有一个交点，即()g x 在区间(]0,2上有且只有1个零点．因为在区间3π2,2æùçúèû上，()()0,cos 0f x h x x >=£，所以()2e x xf x =与()cos h x x =的图象在区间3π2,2æùçúèû上无交点，即()g x 在区间3π2,2æùçúèû上无零点．在区间3π,2π2æùçúèû上，()2ex x f x =单调递减，()cos h x x =单调递增，且()()3π3π002π1cos2π2π22f h f h æöæö>><<==ç÷ç÷èøèø，，所以()cos h x x =与()2ex x f x =的图象在区间3π,2π2æùçúèû上只有一个交点，即()g x 在区间3π,2π2æùçúèû上有且只有1个零点．所以()g x 在一个周期(]0,2π上有且只有2个零点．同理可知，在区间(]()*2π,2π2πk k k +ÎN 上，()01f x <<且()2e xx f x =单调递减，()cos h x x =在区间(]2π,2ππk k +上单调递减，在区间(]2ππ,2π2πk k ++上单调递增，且()()()02π1cos 2π2πf k k h k <<==，()()()2ππ01cos 2ππ2ππf k k h k +>>-=+=+()()()02ππ1cos 2ππ2ππf k k h k <+<=+=+，所以()cos h x x =与()2ex x f x =的图象在区间(]2π,2ππk k +和2ππ,2π2π]k k ++（上各有一个交点，即()g x 在(]2π,2024π上的每一个区间(]()*2π,2π2πk k k +ÎN 上都有且只有2个零点．所以()g x 在0,2024π]（上共有2024π220242π´=个零点．综上可知，()g x 在区间π,2024π2éù-êúëû上共有202412025+=个零点．方法二：当1a =时，()2e x xf x =，所以函数()()2cos cos ex x g x f x x x =-=-．当π,02éùÎ-êúëûx 时，()22sin 0e x x x g x x -=¢+£，所以()g x 在区间π,02éù-êúëû上单调递减．又()π0,002g g æö-><ç÷èø，所以存在唯一零点0π,02x éùÎ-êúëû，使得()00g x =．所以()g x 在区间π,02éù-êúëû上有且仅有一个零点．当π3π2π,2π,22x k k k æùÎ++ÎçúèûN 时，20cos 0ex x x ><,，所以()0g x >．所以()g x 在π3π2π,2π,22k k k æù++ÎçúèûN 上无零点．当π0,2x æùÎçèû时，()22sin 0exx x g x x -=¢+>，所以()g x 在区间π0,2æöç÷èø上单调递增．又()π00,g 02g æö<>ç÷èø，所以存在唯一零点．当*π2π,2π,2x k k k æùÎ+ÎçúèûN 时，()22sin exx x g x x ¢-=+，设()22sin e x x x x x j -=+，则()242cos 0exx x x x j -=+¢+>所以()g x ¢在*π2π,2π,2k k k æù+ÎçúèûN 上单调递增．又()π2π0,2π+02g k g k æö¢<>ç÷èø¢，所以存在*1π2π,2π,2x k k k æùÎ+ÎçúèûN ，使得()10g x ¢=．即当()12π,x k x Î时，()()10,g x g x <¢单调递减；当1π,2π2x x k æùÎ+çúèû时，()()10,g x g x >¢单调递增．又()π2π0,2π02g k g k æö<+>ç÷èø，所以()g x 在区间*π2π,2π,2k k k æù+ÎçúèûN 上有且仅有一个零点所以()g x 在区间π2π,2π,2k k k æù+ÎçúèûN 上有且仅有一个零点．当3π2π,2π2π,2x k k k æùÎ++ÎçúèûN 时，()22sin exx x g x x ¢-=+，设()22sin e x x x x x j -=+，则()242cos 0e xx x x x j -=+¢+>所以()g x ¢在3π2π,2π2π,2k k k æù++ÎçúèûN 上单调递增．又()3π2π0,2π2π02g k g k æö+<+<ç÷¢¢èø，所以()g x 在区间3π2π,2π2π,2k k k æù++ÎçúèûN 上单调递减：又()3π2π0,2π2π02g k g k æö+>+<ç÷èø，所以存在唯一23π2π,2π2π2x k k æöÎ++ç÷èø，使得()20g x =．所以()g x 在区间3π2π,2π2π,2k k k æù++ÎçúèûN 上有且仅有一个零点．所以()g x 在区间(]2π,2π2π,k k k +ÎN 上有两个零点．所以()g x 在(]0,2024π上共有2024π220242π´=个零点．综上所述，()g x 在区间π,2024π2éù-êúëû上共有202412025+=个零点．(二) 根据函数零点个数确定参数取值范围根据函数零点个数确定参数范围的两种方法1.直接法：根据零点个数求参数范围,通常先确定函数的单调性,根据单调性写出极值及相关端点值的范围,然后根据极值及端点值的正负建立不等式或不等式组求参数取值范围；2.分离参数法：首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围,分离参数法适用条件：(1)参数能够分类出来；(2)分离以后构造的新函数,性质比较容易确定.【例2】（2024届天津市民族中学高三下学期5月模拟）已知函数()()ln 2f x x =+(1)求曲线()y f x =在=1x -处的切线方程；(2)求证：e 1x x ³+；(3)函数()()()2h x f x a x =-+有且只有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）因为()12f x x ¢=+，所以曲线()y f x =在=1x -处的切线斜率为()11112f -==-+¢，又()()1ln 120f -=-+=，所以切线方程为1y x =+.（2）记()e 1x g x x =--，则()e 1xg x ¢=-，当0x <时，()0g x ¢<，函数()g x 在(),0¥-上单调递减；当0x >时，()0g x ¢>，函数()g x 在()0,¥+上单调递增.所以当0x =时，()g x 取得最小值()00e 10g =-=，所以()e 10xg x x =--³，即e 1x x ³+.（3）()()()()()2ln 22,2h x f x a x x a x x =-+=+-+>-，由题知，()()ln 220x a x +-+=有且只有两个不相等实数根，即()ln 22x a x +=+有且只有两个不相等实数根，令()()ln 2,22x m x x x +=>-+，则()()()21ln 22x m x x -+=+¢，当2e 2x -<<-时，()0m x ¢>，()m x 在()2,e 2--上单调递增；当e 2x >-时，()0m x ¢<，()m x 在()e 2,¥-+上单调递减.当x 趋近于2-时，()m x 趋近于-¥，当x 趋近于+¥时，()m x 趋近于0，又()1e 2ef -=，所以可得()m x 的图象如图：由图可知，当10ea <<时，函数()m x 的图象与直线y a =有两个交点，所以，a 的取值范围为10,e æöç÷èø.(三)零点存在性赋值理论及应用1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)； 求含参函数的极值或最值； 证明一类超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a ) 的符号,探求赋值点 m (假定 m < a )使得 f (m ) 与 f (a ) 异号,则在 (m ,a ) 上存在零点．2.赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值； 确保赋值点 x 0 落在规定区间内；确保运算可行三个优先：（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极值求赋值点；（3）优先简单运算.3.有时赋值点无法确定,可以先对解析式进行放缩,再根据不等式的解确定赋值点（见例2解法）,放缩法的难度在于“度”的掌握,难度比较大.【例3】（2024届山东省烟台招远市高考三模）已知函数()()e x f x x a a =+ÎR .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当3a =时，若方程()()()1f x x xm f x x f x -+=+-有三个不等的实根，求实数m 的取值范围.【解析】（1）求导知()1e xf x a =¢+.当0a ³时，由()1e 10xf x a ¢=+³>可知，()f x 在(),¥¥-+上单调递增；当a<0时，对()ln x a <--有()()ln 1e 1e0a xf x a a --=+>+×=¢，对()ln x a >--有()()ln 1e 1e 0a x f x a a --=+<+×=¢，所以()f x 在()(,ln a ¥ù---û上单调递增，在())ln ,a ¥é--+ë上单调递减.综上，当0a ³时，()f x 在(),¥¥-+上单调递增；当a<0时，()f x 在()(,ln a ¥ù---û上单调递增，在())ln ,a ¥é--+ë上单调递减.（2）当3a =时，()3e xf x x =+，故原方程可化为3e 13e 3e xx xx m x +=++.而()23e 13e 3e 3e 3e 3e 3e x x x x x x xx x x x x x x +-=-=+++，所以原方程又等价于()23e 3e xx x m x =+.由于2x 和()3e3e xxx +不能同时为零，故原方程又等价于()23e 3e x x xm x =×+.即()()2e 3e 90x x x m x m --×-×-=.设()e xg x x -=×，则()()1e xg x x -=-×¢，从而对1x <有()0g x ¢>，对1x >有()0g x ¢<.故()g x 在(],1-¥上递增，在[)1,+¥上递减，这就得到()()1g x g £，且不等号两边相等当且仅当1x =.然后考虑关于x 的方程()g x t =：①若0t £，由于当1x >时有()e 0xg x x t -=×>³，而()g x 在(],1-¥上递增，故方程()g x t =至多有一个解；而()110eg t =>³，()0e e t g t t t t --=×£×=，所以方程()g x t =恰有一个解；②若10e t <<，由于()g x 在(],1-¥上递增，在[)1,+¥上递减，故方程()g x t =至多有两个解；而由()()122222e2e e 2e 2e 12e 22x x x x xxx x g x x g g -------æö=×=×××=××£××=×ç÷èø有1222ln 1ln 222ln 2e2e t t g t t -×-æö£×<×=ç÷èø，再结合()00g t =<，()11e g t =>，()22ln 2ln 2e ln e 1t>>=，即知方程()g x t =恰有两个解，且这两个解分别属于()0,1和21,2ln t æöç÷èø；③若1t e=，则()11e t g ==.由于()()1g x g £，且不等号两边相等当且仅当1x =，故方程()g x t =恰有一解1x =.④若1e t >，则()()11eg x g t £=<，故方程()g x t =无解.由刚刚讨论的()g x t =的解的数量情况可知，方程()()2e 3e 90x x x m x m --×-×-=存在三个不同的实根，当且仅当关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根12,t t ，且110,e t æöÎç÷èø，21,e t ¥æùÎ-çúèû.一方面，若关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根12,t t ，且110,e t æöÎç÷èø，21,e t ¥æùÎ-çúèû，则首先有()20Δ93694m m m m <=+=+，且1212119e e m t t t -=£<.故()(),40,m ¥¥Î--È+， 219e m >-，所以0m >.而方程2390t mt m--=，两解符号相反，故只能1t =，2t =23e m >这就得到203e m ->³，所以22243e m m m æö->+ç÷èø，解得219e 3e m <+.故我们得到2109e 3em <<+；另一方面，当2109e 3e m <<+时，关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根1t =，2t 22116e 13319e 3e 9e 3e 2et +×+×++===，2t 综上，实数m 的取值范围是210,9e 3e æöç÷+èø.(四)隐零点问题1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.2.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为0x ,再利用导函数的单调性确定0x 所在区间,最后根据()00f x ¢=,研究()0f x ,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若)(x f 中含有参数a ,关系式0)('0=x f 是关于a x ,0的关系式,确定0x 的合适范围,往往和a 的范围有关.【例4】（2024届四川省成都市实验外国语学校教育集团高三下学期联考）已知函数()e xf x =，()ln g x x =.(1)若函数()()111x h x ag x x +=---，a ÎR ，讨论函数()h x 的单调性；(2)证明：()()()()1212224x f x f x g x -->-.（参考数据：45e 2.23»，12e 1.65»）【解析】（1）由题意()()1ln 1,11x h x a x x x +=-->-，所以()()22,11ax a h x x x -+¢=>-，当0a =时，()0h x ¢>，所以()h x 在()1,+¥上为增函数；当0a ¹时，令()0h x ¢=得21x a=-，所以若0a >时，211a-<，所以()0h x ¢>，所以()h x 在()1,+¥上为增函数，若0<a 时，211a ->，且211x a<<-时，()0h x ¢>，21x a >-时，()0h x ¢<，所以()h x 在21,1a æö-ç÷èø上为增函数，在21,a æö-+¥ç÷èø上为减函数，综上：当0a ³时，()h x 在()1,+¥上为增函数，当0<a 时，()h x 在21,1a æö-ç÷èø上为增函数，在21,a æö-+¥ç÷èø上为减函数；（2）()()()()1212224x f x f x g x -->-等价于()2121e e 2ln 204x x x x ---+>，设()()2121e e 2ln 24x x F x x x =---+，则()()()222e 2e 12e e 2e e x x x x x x x x x x F x x x x x-+--¢=--==，因为0x >，所以e 10x x +>，设()e 2x x x j =-，则()()10e xx x j ¢=+>，则()x j 在()0,¥+上单调递增，而()4544e 20,1e 2055j j æö=-<=->ç÷èø，所以存在04,15x æöÎç÷èø，使()00x j =，即00e 2xx =，所以00ln ln 2x x +=，即00ln ln 2x x =-，当00x x <<时，()0F x ¢<，则()F x 在()00,x 上单调递减，当0x x >时，()0F x ¢>，则()F x 在()0,x +¥上单调递增，所以()()00200min 121e e 2ln 24x x F x x x =---+()000220001421212ln 22222ln 224x x x x x x =---++=-+-+，设()21422ln 22,15m t t t t æö=-+-+<<ç÷èø，则()3220m t t ¢=+>，则()m t 在4,15æöç÷èø上单调递增，42581632ln 222ln 20516580m æö=-+-+=->ç÷èø，则()min 0F x >，则不等式()2121e e 2ln 204x x x x ---+>恒成立，即不等式()()()()1212224x f x f x g x -->-成立.【例1】（2024届山西省晋中市平遥县高考冲刺调研）已知函数()πln sin sin 10f x x x =++.(1)求函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值；(2)判断函数()f x 的零点个数，并证明.【解析】（1）因为()πln sin sin 10f x x x =++，所以1()cos f x x x ¢=+，令()1()cos g x f x x x ==+¢，()21sin g x x x-¢=-，当[]1,e Îx 时，()21sin 0g x x x =--<¢，所以()g x 在[]1,e 上单调递减，且()11cos10g =+>，()112π11e cos e<cos 0e e 3e 2g =++=-<，所以由零点存在定理可知，在区间[1,e]存在唯一的a ，使()()0g f a a =¢=又当()1,x a Î时，()()0g x f x =¢>；当(),e x a Î时，()()0g x f x =¢<；所以()f x 在()1,x a Î上单调递增，在(),e x a Î上单调递减，又因为()ππ1ln1sin1sinsin1sin 1010f =++=+，()()ππe ln e sin e sin1sin e sin 11010f f =++=++>，所以函数()f x 在区间[1,e]上的最小值为()π1sin1sin10f =+.（2）函数()f x 在()0,¥+上有且仅有一个零点，证明如下：函数()πln sin sin 10f x x x =++，()0,x ¥Î+，则1()cos f x x x¢=+，若01x <£，1()cos 0f x x x+¢=>，所以()f x 在区间(]0,1上单调递增，又()π1sin1sin010f =+>，11πππ1sin sin 1sin sin 0e e 1066f æö=-++<-++=ç÷èø，结合零点存在定理可知，()f x 在区间(]0,1有且仅有一个零点，若1πx <£，则ln 0,sin 0x x >³，πsin010>，则()0f x >，若πx >，因为ln ln π1sin x x >>³-，所以()0f x >，综上，函数()f x 在()0,¥+有且仅有一个零点.【例2】（2024届江西省九江市高三三模）已知函数()e e (ax axf x a -=+ÎR ，且0)a ¹.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若方程()1f x x x -=+有三个不同的实数解，求a 的取值范围.【解析】（1）解法一：()()e eax axf x a -=-¢令()()e e ax axg x a -=-，则()()2e e0ax axg x a -+¢=>()g x \在R 上单调递增.又()00,g =\当0x <时，()0g x <，即()0f x ¢<；当0x >时，()0g x >，即()0f x ¢>()f x \在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增.解法二：()()()()e 1e 1e e e ax ax ax ax axa f x a -+-=-=¢①当0a >时，由()0f x ¢<得0x <，由()0f x ¢>得0x >()f x \在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增②当0a <时，同理可得()f x 在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增.综上，当0a ¹时，()f x 在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增.（2）解法一：由()1f x x x -=+，得1e e ax ax x x --+=+，易得0x >令()e e x xh x -=+，则()()ln h ax h x =又()e e x xh x -=+Q 为偶函数，()()ln h ax h x \=由（1）知()h x 在()0,¥+上单调递增，ln ax x \=，即ln xa x=有三个不同的实数解.令()()2ln 1ln ,x x m x m x x x -=¢=，由()0m x ¢>，得0e;x <<由()0m x ¢<，得e x >，()m x \在(]0,e 上单调递增，在()e,¥+上单调递减，且()()110,e em m ==()y m x \=在(]0,1上单调递减，在(]1,e 上单调递增，在()e,¥+上单调递减当0x →时，()m x ¥→+；当x →+¥时，()0m x →，故10ea <<解得10e a -<<或10e a <<，故a 的取值范围是11,00,e e æöæö-Èç÷ç÷èøèø解法二：由()1f x x x -=+得1e e ax ax x x --+=+，易得0x >令()1h x x x -=+，则()h x 在()0,1上单调递减，在()1,¥+上单调递增.由()()e axh h x =，得e ax x =或1e ax x -=两边同时取以e 为底的对数，得ln ax x =或ln ax x =-，ln ax x \=，即ln xa x=有三个不同的实数解下同解法一.【例3】（2024届重庆市第一中学校高三下学期模拟预测）已知函数31()(ln 1)(0)f x a x a x =++>．(1)求证：1ln 0x x +>；(2)若12,x x 是()f x 的两个相异零点，求证：211x x -<【解析】（1）令()1ln ,(0,)g x x x x =+Î+¥，则()1ln g x x ¢=+．令()0g x ¢>，得1ex >；令()0g x ¢<，得10e x <<．所以()g x 在10,e æöç÷èø上单调递减，在1,e ¥æö+ç÷èø上单调递增．所以min 11()10e e g x g æö==->ç÷èø，所以1ln 0x x +>．（2）易知函数()f x 的定义域是(0,)+¥．由()(ln f x a x =+，可得()a f x x ¢=．令()0f x ¢>得x >()0f x ¢<得0<所以()0f x ¢>在æççè上单调递减，在¥ö+÷÷ø上单调递增，所以min 3()ln 333a a f x f a æö==++ç÷èø．①当3ln 3033a aa æö++³ç÷èø，即403e a <£时，()f x 至多有1个零点，故不满足题意．②当3ln 3033a a a æö++<ç÷èø，即43e a >1<<．因为()f x 在¥ö+÷÷ø上单调递增，且(1)10f a =+>．所以(1)0f f ×<，所以()f x 在¥ö+÷÷ø上有且只有1个零点，不妨记为1x 11x <<．由（1）知ln 1x x>-，所以33221(1)0f a a a a a æö=+>+=>ç÷ç÷èø．因为()f x 在æççè0f f <×<，所以()f x 在æççè上有且只有1个零点，记为2x 2x <<211x x <<<<2110x x -<-<．同理，若记12,x x öÎÎ÷÷ø则有2101x x <-<综上所述，211x x -<．【例4】（2022高考全国卷乙理）已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++（1）当1a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+¥各恰有一个零点,求a 取值范围．的【解析】（1）当1a =时,()ln(1),(0)0e xxf x x f =++=,所以切点为(0,0),11(),(0)21ex xf x f x -¢¢=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =.（2）()ln(1)e x ax f x x =++,()2e 11(1)()1e (1)ex x xa x a x f x x x +--¢=+=++,设()2()e 1xg x a x=+-1°若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x Î-=+->,即()0f x ¢>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意,2°若10a -……,当,()0x Î+¥时,()e 20xg x ax ¢=->所以()g x 在(0,)+¥上单调递增,所以()(0)10g x g a >=+…,即()0f x ¢>所以()f x 在(0,)+¥上单调递增,()(0)0f x f >=,故()f x 在(0,)+¥上没有零点,不合题意.3°若1a <-,(1)当,()0x Î+¥,则()e 20x g x ax ¢=->,所以()g x 在(0,)+¥上单调递增,(0)10,(1)e 0g a g =+<=>,所以存在(0,1)m Î,使得()0g m =,即()0¢=f m .当(0,),()0,()x m f x f x ¢Î<单调递减,当(,),()0,()x m f x f x ¢Î+¥>单调递增,所以当(0,),()(0)0x m f x f Î<=,当,()x f x →+¥→+¥,所以()f x 在(,)m +¥上有唯一零点,又()f x 在(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+¥上有唯一零点,(2)当()2(1,0),()e 1xx g x a xÎ-=+-,()e2xg x ax ¢=-,设()()h x g x ¢=,则()e 20x h x a ¢=->,所以()g x ¢在(1,0)-上单调递增,1(1)20,(0)10eg a g ¢¢-=+<=>,所以存(1,0)n Î-,使得()0g n ¢=当(1,),()0,()x n g x g x ¢Î-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x ¢Î>单调递增,()(0)10g x g a <=+<,在又1(1)0eg -=>,所以存在(1,)t n Î-,使得()0g t =,即()0f t ¢=当(1,),()x t f x Î-单调递增,当(,0),()x t f x Î单调递减有1,()x f x →-→-¥而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x Î>,所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点,即()f x 在(1,0)-上有唯一零点,所以1a <-,符合题意,综上得()f x 在区间(1,0),(0,)-+¥各恰有一个零点,a 的取值范围为(,1)-¥-.【例5】（2024届辽宁省凤城市高三下学期考试）已知函数()1e ln xf x x x x -=--.(1)求函数()f x 的最小值；(2)求证：()()1e e e 1ln 2xf x x x +>---éùëû.【解析】（1）因为函数()1e ln x f x x x x -=--，所以()()()11111e 11e x x f x x x x x --æö=+--=+-çè¢÷ø，记()11e,0x h x x x -=->，()121e 0x h x x-¢=+>，所以()h x 在()0,¥+上单调递增，且()10h =，所以当01x <<时，()0h x <，即()0f x ¢<，所以()f x 在()0,1单调递减；当1x >时，()0h x >，即()0f x ¢>，所以()f x 在()1,¥+单调递增，且()10f ¢=，所以()()min 10f x f ==.（2）要证()()1e e e 1ln 2xf x x x éù+>---ëû，只需证明：()11e ln 02xx x --+>对于0x >恒成立，令()()11e ln 2xg x x x =--+，则()()1e 0xg x x x x¢=->，当0x >时，令1()()e xm x g x x x=¢=-，则21()(1)e 0xm x x x =+¢+>，()m x 在(0,)+¥上单调递增，即()1e xg x x x=¢-在(0,)+¥上为增函数，又因为222333223227e e033238g éùæöæöêú=-=-<ç÷ç÷êøøëû¢úèè，()1e 10g =¢->，所以存在02,13x æöÎç÷èø使得()00g x ¢=，由()0200000e 11e 0x x x g x x x x ¢-=-==，得020e 1xx =即0201x e x =即0201x e x =即002ln x x -=，所以当()00,x x Î时，()1e 0xg x x x=¢-<，()g x 单调递减，当()0,x x ¥Î+时，()1e 0xg x x x=¢->，()g x 单调递增，所以()()()0320000000022min0122111e ln 2222x x x x x x g x g x x x x x -++-==--+=++=，令()3222213x x x x x j æö=++-<<ç÷èø，则()22153223033x x x x j æö=++=++>ç÷èø¢，所以()x j 在2,13æöç÷èø上单调递增，所以()0220327x j j æö>=>ç÷èø，所以()()()002002x g x g x x j ³=>，所以()11e ln 02xx x --+>，即()()1e e e 1ln 2xf x x x éù+>---ëû.1.（2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷）已知函数()()e 1,ln ,xf x xg x x mx m =-=-ÎR .(1)求()f x 的最小值；(2)设函数()()()h x f x g x =-，讨论()hx 零点的个数.2．（2024届河南省信阳市高三下学期三模）已知函数()()()ln 1.f x ax x a =--ÎR (1)若()0f x ³恒成立，求a 的值；(2)若()f x 有两个不同的零点12,x x ，且21e 1x x ->-，求a 的取值范围.3．（2024届江西省吉安市六校协作体高三下学期5月联考）已知函数()()1e x f x ax a a -=--ÎR .(1)当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若函数()f x 有2个零点，求a 的取值范围.4．（2024届广东省茂名市高州市高三第一次模拟）设函数()e sin x f x a x =+，[)0,x Î+¥.(1)当1a =-时，()1f x bx ³+在[)0,¥+上恒成立，求实数b 的取值范围；(2)若()0,a f x >在[)0,¥+上存在零点，求实数a 的取值范围.5．（2024届河北省张家口市高三下学期第三次模）已知函数()ln 54f x x x =+-．(1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)证明：3()25f x x>--．6．（2024届上海市格致中学高三下学期三模）已知()e 1xf x ax =--，a ÎR ，e 是自然对数的底数.(1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若关于x 的方程()10f x +=有两个不等实根，求a 的取值范围；(3)当0a >时，若满足()()()1212f x f x x x =<，求证：122ln x x a +<.7．（2024届河南师范大学附属中学高三下学期最后一卷）函数()e 4sin 2x f x x l l =-+-的图象在0x =处的切线为3,y ax a a =--ÎR .(1)求l 的值；(2)求()f x 在(0,)+¥上零点的个数.8．（2024年天津高考数学真题）设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ³在()0,x Î+¥时恒成立，求a 的值；(3)若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．9．（2024届河北省高三学生全过程纵向评价六）已知函数()ex axf x =，()sin cosg x x x =+.(1)当1a =时，求()f x 的极值；(2)当()0,πx Î时，()()f x g x £恒成立，求a 的取值范围.10．（2024届四川省绵阳南山中学2高三下学期高考仿真练）已知函数()()1ln R f x a x x a x=-+Î.(1)讨论()f x 的零点个数；(2)若关于x 的不等式()22ef x x £-在()0,¥+上恒成立，求a 的取值范围.11．（2024届四川省成都石室中学高三下学期高考适应性考试）设()21)e sin 3x f x a x =-+-（(1)当a =()f x 的零点个数.(2)函数2()()sin 22h x f x x x ax =--++，若对任意0x ³，恒有()0h x >，求实数a 的取值范围12．（2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测）已知函数()2sin f x ax x =-.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当0x >时，()cos f x ax x ³恒成立，求实数a 的取值范围.13．（2024届广东省揭阳市高三上学期开学考试）已知函数()()212ln 1R 2f x x mx m =-+Î.(1)当1m =时，证明：()1f x <；(2)若关于x 的不等式()()2f x m x <-恒成立，求整数m 的最小值.14．（2023届黑龙江省哈尔滨市高三月考）设函数(1)若，，求曲线在点处的切线方程；(2)若，不等式对任意恒成立，求整数k 的最大值．15．（2023届江苏省连云港市高三学情检测）已知函数.(1)判断函数零点的个数，并证明；(2)证明：.322()33f x x ax b x =-+1a =0b =()y f x =()()1,1f 0a b <<1ln 1x k f f x x +æöæö>ç÷ç÷-èøèø()1,x Î+¥21()e xf x x=-()f x 2e ln 2cos 0x x x x x --->。
函数零点个数问题-12道-学生版
的实数根，则 a 的取值范围是 (
( ) A． 1+ 3,3
)
( ) ( ) B． −∞,1− 3 ∪ 1+ 3,3
( ) C． −∞,1− 3
( ) ( ) D． −1,1− 3 ∪ 1+ 3,+∞
6．（2018·全国高一专题练习）若函数 y = f ( x) 的图象上存在两个点 A, B 关于原点对称，则对称点 ( A, B) 为
m
∈ (0,1)
，若函数
f
(x)
=
log2 x − m, 0 < x ≤ f (4 − x), 2 < x < 4
2
有
4
个不同的
零点
x1,
x2
,
x3 ,
x4
，且
x1<
x2 <
x3 <
x4
，则
x32
+ x1
x42 − + x2
25
的取值范围是（
）
A． 2
5
−
8,
−
7 2
B．[2 5 − 8,0)
x1 − x2 的取值范围是（ ）
A．
3 2
,
&(1, +? )
D．
1,
3 2
试卷第 3 页，总 4 页
10．（2017·广东深圳市·深圳中学高三月考（理））已知
f
(x)
=
e
x
1
ex
+ ax2 , x + ax2 , x
>0
,若函数
<0
f
( x) 有四个零点,则实数 a
≤e x<
数学 函数零点的求法及零点的个数
函数零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点。
[例1]求函数2223+--=x x x y 的零点.[解题思路]求函数2223+--=x x x y 的零点就是求方程02223=+--x x x 的根[解析]令32220x x x --+=，∴2(2)(2)0x x x ---=∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或即函数2223+--=x x x y 的零点为-1，1，2。
[反思归纳]函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。
题型2：确定函数零点的个数。
[例2]求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数.[解题思路]求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数就是求方程lnx＋2x －6=0的解的个数[解析]方法一：易证f(x)=lnx＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增，又有(1)(4)0f f ⋅<，所以函数f(x)=lnx＋2x －6只有一个零点。
方法二：求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数即是求方程lnx＋2x －6=0的解的个数即求ln 62y x y x =⎧⎨=-⎩的交点的个数。
画图可知只有一个。
[反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[例3](2007·广东)已知a 是实数,函数()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。
[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2x 的系数，故要对a 进行讨论[解析]若0a =,()23f x x =-,显然在[]1,1-上没有零点,所以0a ≠.令()248382440a a a a ∆=++=++=,解得372a -±=①当372a --=时,()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点。
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2x 2 x
2
2m
2x 2 x 2m2 8
0，利用换元设
t 2x 2x （ t 2 ），则问题转化为只需让方程 t2 2mt 2m2 8 0 存在大于等于 2 的解
即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设 g t t2 2mt 2m2 8 0 。
（1）若方程有一个解，则有相切（切点 x m 大于等于 2）或相交（其中交点在 x 2 两侧），
3：已知函数
f
x
kx ln x,
2, x x
0
0k
R
，若函数
y
f x k 有三个零点，则实数 k
的取值范围是（
）
A. k 2
B. 1 k 0
C. 2 k 1
D. k 2
思路：函数 y f x k 有三个零点，等价于方程 f x k 有三个不同实数根，进而等
价于 f x 与 y k 图像有三个不同交点，作出 f x 的图像，则 k 的正负会导致 f x 图
A．
ln 3 3
,
1 e
B.
ln 3 9
,
1 3e
C．
ln 3 9
,
1 2e
D．
ln 3 9
,
ln 3 3
思路：
f x
f 3x
f x
f
x 3
，当
x
3,
9
时，
f
x
f
x 3
ln
x 3
，所以
- 4 - / 18
ln x,1 x 3
f
x
ln
x ,3 3
x
，而 g x
9
f
区间 a,b 内至少有函数 f x 的一个零点，即至少有一点 x0 a,b ，使得 f x0 0 。 （1） f x 在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提
（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设 f x 连续）
① 若 f a f b 0 ，则 f x 的零点不一定只有一个，可以有多个
（2）本题所求 k 在图像中扮演两个角色，一方面决定 f x 左侧图像直线的倾斜角，另一方
面决定水平线的位置与 x 轴的关系，所以在作图时要兼顾这两方面，进行数形结合。
例 4：已知函数 f x 满足 f x f 3x ，当 x 1,3, f x ln x ，若在区间1,9 内，
函数 g x f x ax 有三个不同零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
做出草图。而 y a 为一条水平线，通过图像可得， y a 介于极大值与极小值之间，则有在
三个相异交点。可得： a 2,2
答案：A 小炼有话说：作图时可先作常系数函数图象，对于含有参数的函数，先分析参数所扮演的角 色，然后数形结合，即可求出参数范围。
例 2：设函数 f x x2 2x 2ln x 1 ，若关于 x 的方程 f x x2 x a 在0, 2上恰
② 若 f a f b 0 ，那么 f x 在a,b 不一定有零点
③ 若 f x 在a,b 有零点，则 f a f b 不一定必须异号
3、若 f x 在a,b 上是单调函数且连续，则 f a f b 0 f x 在 a,b 的零点唯一
4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系
设 函 数 为 y f x ， 则 f x 的 零 点 即 为 满 足 方 程 f x 0 的 根 ， 若
2
的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可 （2）周期性函数作图时，若函数图像不连续，则要注意每个周期的边界值是属于哪一段周期， 在图像中要准确标出，便于数形结合。
（3）巧妙利用 f x 的奇偶性，可以简化解题步骤。例如本题中求交点个数时，只需分析正
半轴的情况，而负半轴可用对称性解决
的零点个数即为 f x 1 根的个数，即 f x 与 y 1 的
4
4
交点个数，观察图像在 x 0 时，有 5 个交点，根据对称性可得 x 0 时，也有 5 个交点。共
计 10 个交点
答案：D
小炼有话说：
- 5 - / 18
（1） f x 1 f x 2 类似函数的周期性，但有一个倍数关系。依然可以考虑利用周期性
断根的个数
（3）两函数的交点：
工具：数形结合
作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变
为图形特征，是数形结合的体现。通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）
或者确定参数的取值范围。
缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进
x 1 x 1
令 g' x 0 解得： x 1 g x 在 0,1 单调递 减 ， 在 1 , 单2 调 递 增 ， g 1 1 2 g l n 2g , ，0由图像可0得，,水平线 2y a 位于2 g 1,2g 2l 之 n 3 间时，恰好与 gn 3
则 优 先 进 行 参 变 分 离 。 所 以 在 本 题 中 将 方 程 转 变 为 a x 2ln x 1 ， 构 造 函 数 g x x2 l n x 1 并进行数形结合。
- 3 - / 18
（2）在作出函数草图时要注意边界值是否能够取到，数形结合时也要注意 a 能否取到边界值。
例
行参变分离，其目的在于若含 x 的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，
所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作
图时速度与精度的平衡（作图问题详见：1.7 函数的图像）
3、在高中阶段主要考察三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理，（2）二次方程根
x2
）
A． 4
B．6
C．8
D．10
思路：由 f x 为偶函数可得：只需作出正半轴的图像，再利用对称性作另一半图像即可，当
x 0, 2 时，可以利用 y 2x 利用图像变换作出图像，
x 2 时， f x 1 f x 2 ，即自变量差 2 个单位，函
2
数值折半，进而可作出 2, 4，4,6 ，……的图像， g x
缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关
（2）方程的根：
工具：方程的等价变形
作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可
对方程进行变形，构造出便于分析的函数
缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判
即
m
0 2
或
g
2
0
，解得：
m
2
2 或1
3 m 1
3
（2）若方程有两解，则
g
0
2
0
，解得：
2 m
2 1
m2 3,m
2 1
3 1
3m2
2，
m 2
m 2
综上所述：1 3 m 2 2
答案：A
小炼有话说：本题借用“局部奇函数”概念，实质为方程的根的问题，在化简时将 2x 2x 视
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有两个相异实根，则实数 a 的取值范围是_________
思路：方程等价于： x2 2x 2ln x 1 x2 x a a x 2ln x 1 ，即函数 y a 与 g x x 2ln x 1 的图像恰有两个交点，分析 g x 的单调性并作出草图：g' x 1 2 x 1
x
ax
有三个不同零点 y f x 与 y ax 有三
个不同交点，如图所示，可得直线 y ax 应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln 3 a 1
9
3e
答案：B 小炼有话说：本题有以下两个亮点。
（1）如何利用
f
x
f
x 3
，已知
x 1,3,
f
x 的解析式求 x 3,9,
f
x
的解析式。
lnx x
0，无法直接求出根，构造函数
f
x ln x x ，由
f
1 0,
f
1 2
0
即可判定
- 1 - / 18
其零点必在
1 2
,1
中
2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用
（1）函数的零点：
工具：零点存在性定理
作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
为整体，进而将原方程进行转化，转化为关于 2x 2x 的二次方程，将问题转化为二次方程根
分布问题，进行求解。
例 7 ： 已 知 函 数 y f x 的 图 像 为 R 上 的 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 ， 当 x 0 时 ，
f ' x f x 0 ，则关于 x 的函数 g x f x 1 的零点的个数为（
分布问题，（3）数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中第（3）个类型常要用到函数
零点，方程，与图像交点的转化，请通过例题体会如何利用方程构造出函数，进而通过图像
解决问题的。
三、例题精析：
例 1：直线 y a 与函数 y x3 3x 的图象有三个相异的交点，则 a 的取值范围为 ( )．
A． 2,2
）
x
x
A．0
B．1
C．2
D．0 或 2
思路： f ' x f x 0 xf ' x f x 0 xf x' 0 ，结合 g x 的零点个数即
x
x
x
为 方 程 f x 1 0 ， 结 合 条 件 中 的 不 等 式 ， 可 将 方 程 化 为 xf x 1 0 ， 可 设
例 6：对于函数 f x ，若在定义域内存．在．实数 x，满足 f x f x ，称 f x 为“局部