函数零点的个数的几种判断方法
利用函数图象确定零点个数
２０２４年２月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀利用函数图象确定零点个数◉江苏省南通市海门第一中学㊀曹㊀兵㊀㊀在高中必修课程体系中,判断函数零点的个数属于必学内容之一,函数零点个数的判断比较抽象,需要深入理解,与方程有关的根和函数的零点个数的内容主要包括两个理论以及由这两个理论推广出的一个理论．理论１:函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝０有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．理论２:如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)＜０,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在cɪ(a,b),使得f(c)＝０,这个c也就是方程f(x)＝０的解．理论３:函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点⇔方程g(x)－f(x)＝０有解,即g(x)－f(x)＝０有实数根⇔函数g(x)－f(x)＝F(x)有零点．上面的分析以及相应的三个结论,如果从纯粹的数学知识的角度来看,属于高中数学知识体系当中的重要内容．学生掌握这些内容,一方面可以完善自己的认知体系,另一方面可以形成较强的问题分析与解决能力．但笔者以为仅有这样的认识是不够的,因为利用函数图象确定零点的个数,更是在一定程度上体现了数学学科的内在特点,同时也体现出了数学思想方法的应用[１]．其中,最典型的思想就是数形结合思想．根据笔者的调查研究发现,尽管几乎所有学生在数学知识学习与运用的过程当中都能体会数形结合思想,但很多时候学生的这种体会并没有上升为数学意识,这也就导致很多学生在学习新的数学知识或在解题的时候,难以有意识地将数形结合作为思维突破的切入口．说得直白一点,就是学生的体验没有上升为理性认识,这显然无助于数学核心素养的发展．因此,基于上面的分析,接下来结合实例来分析㊁研究函数零点的相关问题,融合数形结合思想和函数思想,培养学生数形结合的思维方式,体会数形结合方法的典型性和优点．例１㊀已知方程(１２)x＝l n x,则此方程的实根的个数为．方法１:这道题求的是方程根的个数,根据理论１可知,方程根的个数即是函数零点的个数,因此可以通过构造函数来求根的个数．先将方程左边移到方程右边,即l n x－(１２)x＝０,再令f(x)＝l n x－(１２)x,通过观察发现,代入１和e,那么就有f(１)＝－１２＜０, f(e)＝１－１２e＞０．符合有零点的条件,即在(１,e)内f(x)有零点．再根据在(０,＋ɕ)内f(x)是增函数,因此可得函数f(x)在(０,＋ɕ)内有且只有一个零点．故方程(１２)x＝l n x有且只有一个实根．方法２:这道题还可以结合函数的图象来求解．假设h(x)＝(１２)x,且g(x)＝l n x．在同一个直角坐标图１系中作出函数h(x)＝(１２)x和g(x)＝l n x的图象,如图１所示．观察图象可以发现,这两个函数图象有且只有一个交点,由此可以得到,方程(１２)x＝l n x有且只有一个实数根．评析:利用方法１求解的时候,不仅需要求出f(１)＜０和f(e)＞０,还要知道函数f(x)＝l n x－(１２)x 在定义域内是单调的(不同函数单调情况也不相同),把这两个条件结合起来才能说明方程有且只有一个实数根．例２㊀方程l o g２x＝－(x－１)２＋２实数根的个数为．图２这道题也可以采用图象法．设g(x)＝－(x－１)２＋２,f(x)＝l o g２x在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象,如图２所示．根据图象分析可以得到,两个函数图象有且只有一个交点,因此方程l o g２x＝－(x－１)２＋２有且只有一个实５５学习指导２０２４年２月上半月㊀㊀㊀数根．评析:求方程实根的个数通常有两条途径．(１)转化为两个函数图象交点的个数,结合函数图象求解;(２)转化为一个函数零点的个数,结合零点存在定理求解．相较于利用零点存在定理,明显结合函数图象的方法更简单明了．例３㊀求方程l g (x －１)＋l g (３－x )＝l g (a －x )(a 是常数)的实数根个数．方法１:首先求出x 的范围,分析原方程可以知道x 的限制条件是x －１＞０,３－x ＞０,a －x ＞０,ìîíïïïï即１＜x ＜３,x ＜a ．{那么,将原方程等价变换,可以得到l g [(x －１)(３－x )]＝l g(a －x ),即a －x ＝(x －１)(３－x )．图３令f (x )＝(x －１)(３－x )(其中１＜x ＜３),g (x )＝a －x (x ＜a ),在同一直角坐标系中作出这两个函数图象,如图３所示．由方程(x －１)(３－x )＝a －x的Δ＝０,求出a ＝１３４,此时方程l g (x －１)＋l g (３－x )＝l g(a －x )有一个实数根．结合图象可以发现,方程没有实数根时,a ɤ１或者a ＞１３４;方程有一个实根时,１＜a ɤ３或a ＝１３４;当方程有两个实根时,３＜a ＜１３４．方法２:根据题意分析可知,原方程等价于(３－x )(x －１)＝a －x ,x －１＞０,３－x ＞０,ìîíïïïï即－３＋５x －x ２＝a ,１＜x ＜３．{在同一个直角坐标系中,作出函数h (x )＝－３＋５x －x ２(１＜x ＜３),g (x )＝a 的图象,如图４所示．图４根据图象,可以观察函数y ＝h (x )和y ＝g (x )图象交点的个数情况(略)．评析:结合函数图象求解与函数零点个数相关的问题,不仅可以省去较为复杂的运算,而且通过图象可以快速得出正确的答案．掌握确定函数零点个数的方法对于学生来说十分重要,结合图象确定零点个数是目前最常用㊁最简便的方法之一,它要求学生有良好的计算能力和基本的作图能力,对学生的逻辑思维有一定的要求,要求学生能全面分析问题,还要注意限制条件,作图要尽量准确．学好零点个数求解,可以有效提升数学素养[２]．对上述教学过程进行概括与反思,笔者以为在高中数学教学中,最直接的抓手当然是数学知识的建构与运用,这是由当前的考核评价机制决定的,教师的教学必须努力服务于学生思维能力的发展与解题能力的提升．与此同时,教师也必须关注学生数学学科核心素养的发展和学生对数学思想方法的领悟．无论是核心素养的发展还是数学思想方法的领悟,其实都不影响学生解题能力的提升,同时还能够为学生的可持续发展奠定基础．比如上面所强调的数形结合,是数学学科特征的直接体现,更是高中数学教学最不能忽视的思想方法之一．对于数形结合,不仅要让学生有实际的体验,还要让学生有真切的收获．这种收获对于学生来说应当是显性的,只有当学生明确认识到数形结合能够反映数学学科的特征时,才能够有意识地在数学知识学习与运用的过程当中自动激活数形结合思想,从而让数形结合真正成为学生数学解题的利器[３]．在这篇文章当中,函数图象与零点个数的研究是一个突破口,只是一条明线,数形结合思想是背后的暗线,是学生领悟的重点,这才是笔者想重点强调的．参考文献:[１]李志中．直击高考真题,掌握函数零点[J ]．中学数学,２０１９(２３):６７Ｇ６８．[２]孔欣怡．例谈高考对零点问题的考查[J ]．中学数学,２０１７(１):５８Ｇ６１．[３]潘良铭．浅析复合函数零点的个数问题[J ]．中学数学,２０２０(２１):５１Ｇ５２．Z ６５。
函数零点的个数问题
2x 2 x
2
2m
2x 2 x 2m2 8
0，利用换元设
t 2x 2x （ t 2 ），则问题转化为只需让方程 t2 2mt 2m2 8 0 存在大于等于 2 的解
即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设 g t t2 2mt 2m2 8 0 。
（1）若方程有一个解，则有相切（切点 x m 大于等于 2）或相交（其中交点在 x 2 两侧），
3：已知函数
f
x
kx ln x,
2, x x
0
0k
R
，若函数
y
f x k 有三个零点，则实数 k
的取值范围是（
）
A. k 2
B. 1 k 0
C. 2 k 1
D. k 2
思路：函数 y f x k 有三个零点，等价于方程 f x k 有三个不同实数根，进而等
价于 f x 与 y k 图像有三个不同交点，作出 f x 的图像，则 k 的正负会导致 f x 图
A．
ln 3 3
,
1 e
B.
ln 3 9
,
1 3e
C．
ln 3 9
,
1 2e
D．
ln 3 9
,
ln 3 3
思路：
f x
f 3x
f x
f
x 3
，当
x
3,
9
时，
f
x
f
x 3
ln
x 3
，所以
- 4 - / 18
ln x,1 x 3
f
x
ln
x ,3 3
x
，而 g x
9
f
区间 a,b 内至少有函数 f x 的一个零点，即至少有一点 x0 a,b ，使得 f x0 0 。 （1） f x 在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提
零点个数怎么求
零点个数怎么求①解方程：通过解方程 f(x)=0 得到零点；②数形结合：这是经常用到的分析方法，特别是选填题中得到广泛应用；③零点存在定理：用零点存在定理来确定某区间是否有零点，这是解答题中的重要方法；④求零点个数：求零点个数时，就要判断每个单调区间，同时还要判断个单调区间的零点存在性.而具体解答题的过程中，我们也会遇到函数较复杂，先将复杂问题转化为简单问题，再选择合适的方法来求零点.我们来看一个具体的例子.【例1】（2018全国2卷文数21-2）已知函数f(x)=\frac{1}{3}x^3-a(x^2+x+1)，证明： f(x) 只有一个零点.【分析】 f(x) 是一个含参的三次函数，貌似是一个三次函数求零点个数问题，但是带着参数问题就变复杂了，所以这个时候可以转化一下，分离参数为求： a=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)} 的解个数问题.进一步转化为函数g(x)=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)}-a的零点个数问题.【解析】因为 x^2+x+1>0 恒成立.所以 f(x) 零点个数等价于函数函数g(x)=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)}-a的零点个数问题.先判断 g(x) 单调性，用导数法：g'(x)=\frac{3x^2(x^2+x+1)-x^3(2x+1)}{3(x^2+x+1)^2}=\frac{x^2(x^2+2x+3)}{3(x^2+x+ 1)^2}\geq0 ,当且仅当 x=0 时 g'(x)=0 ,g(x) 单调递增.所以 g(x) 至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点.又因为 f(3a+1)=\frac{1}{3}>0 , f(3a-1)=-6a^2+2a-\frac{1}{3}=-6(a-\frac{1}{6})^2-\frac{1}{6}<0 ,所以 f(x) 恰有一个零点.【小结】分离参数读者们应该还好理解，为什么要选择f(3a+1),f(3a-1) 就是一脸懵了.这属于找点的内容（内点定理），我们后面专门花章节来讲解这个内容.我们还是先理解零点存在定理的应用.本节我们重点讲解求零点个数问题的求法，近年高考也是热点题型，也是我们零点问题将面临的重点问题.【例2】（2019全国2卷理数20-1改编）已知函数f(x)=lnx-\frac{x+1}{x-1} ,求 f(x) 的零点个数.【分析】求零点个数问题，我们要求函数的单调区间，然后判断每一个单调区间的零点存在性.【解析】 f(x) 定义域为 (0,1)\cup(1,+\infty) ，而f(x)=lnx-1-\frac{2}{x-1} ,由和差法： y=lnx 和 y=-\frac{1}{x-1} 在(0,1)\cup(1,+\infty)上都是单调递增了，所以 f(x) 在(0,1)\cup(1,+\infty)单调递增；在 (0,1) 上 f(x) 单调递增，当 \frac{1}{3}<x<1 时，f(x)>f(\frac{1}{3})=\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-1-ln3>\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-3=0 ，当 0<x<\frac{1}{e^2} 时，f(x)<f(\frac{1}{e^2})=\frac{2}{1-\frac{1}{e^2}}-3<\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-3=0 ，由零点存在定理和单调性， f(x) 在 (0,1) 有唯一零点，在 (1,+\infty) 上 f(x) 单调递增，当 1<x<3 时， f(x)<f(3)=ln3-2<0 ,当 x>e^2 时， f(x)>f(e^2)=1-\frac{2}{e^2-1}>1-\frac{2}{3-1}=0 ,所以 f(x) 在 (1,+\infty)有唯一零点.综上， f(x) 在定义域上有两个零点.【例3】（2019全国1卷文数20-1改编）已知函数h(x)=cosx+xsinx-1 ,证明： h(x) 在区间 (0,\pi) 存在唯一零点.【分析】让我确定零点个数，需要结合单调区间和零点存在定理来证明.【解析】给定了定义域区间为 (0,\pi) ,用导数法判断单调性： h'(x)=xcosx ，判正负区间： h'(x) 正负区间同 y=cosx ，易知在(0,\frac{\pi}{2}) 上 h'(x)>0,h(x) 单调递增；在(\frac{\pi}{2},\pi) 上， h'(x)<0,h(x) 单调递减.而 h(0)=0,h(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}-1>0，h(\pi)=-2<0 ,由零点存在定理和单调性，所以在(0,\frac{\pi}{2})上 h(x) 无零点，在 (\frac{\pi}{2},\pi) 上有唯一零点.得证.【例4】（2015全国1卷文书21-1）设函数 f(x)=e^{2x}-alnx .讨论 f(x) 的导函数 f'(x) 零点的个数.【分析】先求出 f'(x) 及定义域，通过判断 f'(x) 单调性和零点存在性来确定零点个数.【解析】 f'(x)=2e^{2x}-\frac{a}{x}(x>0) .①当 a\leq0 时，显然 f'(x)>0 恒成立，无零点.②当 a>0 时，判断 f'(x) 的单调性，用和差法：y=2e^{2x},y=-\frac{a}{x} 都是在 (0,+\infty) 上的单调递增函数，所以 f'(x) 单调递增.当 x>max(1,\frac{a}{2e^2}) 时， f'(x)>2e^2-2e^2=0 ,当 x<min(1,\frac{a}{2e^2}) 时， f'(x)<2e^2-2e^2=0 ,所以此时 f'(x) 有唯一零点，综上，当 a\leq0 ， f'(x) 无零点，当 a>0 时，有唯一零点.【例5】（2015广东理数19-2）设 a>1 ，函数f(x)=(1+x^2)e^x-a .证明 :f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上仅有一个零点.【分析】还是求零点个数问题，用单调性+存在性来求解.【解析】 f(x) 的单调性，用求导法：f'(x)=e^x(x+1)^2\geq0 ，当且仅当 x=-1 时， f'(x)=0 ，所以 f(x) 是定义域上的单调递增函数.当 x>lna 时， f(x)>f(lna)>0 .当 -\sqrt{e-1}<x<-1 时，f(x)<\frac{e}{e}-a<0 ,由零点存在性定理及单调性，得证：:f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上仅有一个零点.【总结】通过上面五题，是否明白求解零点个数问题的基本方法，如果遇到复杂函数，分参转化为新函数的零点个数问题不失为一种思路；具体求解过程，先判断函数的单调性，再确定每个单调区间函数的零点存在性.但是对于开区间上零点的存在，往往很难通过取点来确定函数值的符号，我们也不容易用极限的思想来解释。
函数零点存在定理
函数零点存在定理一、函数零点的概念对于函数）（xfy=,我们把使xf=）（的实数x叫做函数）（xfy=的零点。
从几何角度来看，函数的零点就是函数图像与x轴交点的横坐标。
换句话说，函数的零点就是方程f(x)=0的实数解。
二、函数零点的性质函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根。
因此，求解函数的零点等价于求解对应的方程。
三、函数零点存在定理如果函数）（xfy=在区间[a,b]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且有0bfaf）＜（）（∙,那么，函数）（xfy=在区间（a,b）内有零点推论（函数零点的唯一性）如果函数）（xfy=在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，在区间[a,b]上具有单调性，且bfaf）＜（）（∙，那么函数）（xfy=在区间[a,b]上有唯一零点四、定理的证明思路为了证明这个定理，我们可以采用反证法结合连续函数的性质进行证明。
这里简要说明证明思路：假设：假设在开区间(a,b)内不存在零点，即对于所有x∈(a,b)，都有f(x)≠0。
分类讨论：若f(x)在(a,b)内恒大于0或恒小于0，则与f(a)f(b)<0矛盾。
若f(x)在(a,b)内既有大于0的部分也有小于0的部分，则根据连续函数的介值性，存在某个点c∈(a,b)使得f(c)=0，与假设矛盾。
结论：因此，假设不成立，原命题得证。
五、零点个数的判断1、零点个数的定义对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x的个数即为该函数的零点个数。
从图象上看，函数的零点个数就是y=f(x)的图象与x轴交点的个数。
2、零点个数判断的主要方法（1）代数法解方程：最直接的方法是解方程f(x)=0。
如果方程可以求解，那么其解的个数即为函数的零点个数。
这种方法适用于能够直接求解的方程，如一元二次方程、一元一次方程等。
因式分解：对于多项式函数，可以通过因式分解将函数化为几个因式的乘积形式，然后令每个因式等于零，解得的解即为函数的零点。
判断函数零点个数的方法
通过分离函数f（x）对应方程f（x）=0中的变量x和参数a，方程变形成g（x）=h（a），将函数f（x）的零点个数问题转化为函数y= g（x）与y=h（a）的图像的交点个数问题.
例3设函数f（x）=ln x-ax，g（x）=ex -ax，其中a为实数.若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.
例4若函数y= f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y= f（x）的极值点.已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.设h（x）= f [ f（x）]-c，其中c∈[-2，2]，求函数y= h（x）的零点个数.
解由已知得a=0，b= -3.令t = f（x），方程f [ f（x）]=c可转化为f（t）=c.
当c=2时，由f（t）=c可知t3=2，t4=-1.当t=t3时，直线y=2与y= f（x）的图像有2个交点；当t=t4时，直线y=-1与y= f（x）的图像有3个交点，故此时方程f [ f（x）]= c共有5个不同的解.
当-2
综上所述，当|c|=2时，函数y= h（x）有5个零点；当|c|
三、利用零点存在定理和函数单调性判断函数零点个数
当x∈[■，π]时，令g（x）= f ′（x）=sin x+xcos x.由g（■）=1>0，g（π）=-π
由g ′（x）=2cos x-xsin x，可知当x∈（■，π）时，g ′（x）
当x∈（■，m）时，g（x）> g（m）=0，即f ′（x）>0，从而f（x）在（■，m）上单调递增.当x∈[■，m]时，f（x）≥ f（■）=■>0，故f（x）在[■，m]内无零点.
2020届高中数学：函数零点个数的判断
2020届高中数学 第 1 页 共 1 页 2020届高中数学：函数零点个数的判断
1. (2015·湖北)f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________． 解：f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin2x －x 2，则函数的零点即为函数y ＝sin2x 与函数y ＝x 2图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点．
故填2.
【点拨】函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，应注意：①满足条件的零点可能不惟一；②不满足条件时，也可能有零点，因此一般要再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．
2. (2016·南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．18
解：在坐标平面内画出y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象如图，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10.
故选B .。
三次函数零点个数的判别
三次函数零点个数的判别
三次函数零点个数的判别是数学中一个重要的概念，它是指三次函数的零点的个数。
三次函数是指一个函数的形式为f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其中a,b,c,d为常数，x为变量。
三次函数零点的个数可以通过判别式来判断，判别式为：D=b^2-3ac。
如果D>0，则三次函数有一个零点；如果D=0，则三次函数有三个相同的零点；如果D<0，则三次函数有三个不同的零点。
三次函数零点的个数的判别可以用来解决很多数学问题，比如求解三次函数的极值问题，求解三次函数的拐点问题等。
此外，三次函数零点的个数的判别还可以用来分析函数的性质，比如判断函数是否是增函数、减函数或者是抛物线等。
总之，三次函数零点的个数的判别是一个重要的概念，它可以用来解决很多数学问题，也可以用来分析函数的性质。
高中数学讲义微专题10 函数零点的个数问题
微专题10 函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
函数零点问题的几种常见求解方法
Ａ． ４个
【 例１ 】 函数 ’ （ ） Ｘ Ｃ Ｏ Ｓ ． Ｚ ＂ 在区间［ ０ ， ４ ］ 上零 点 的
） ．
Ｂ ． ３个
Ｃ ． ２个 Ｄ １个
分析 ： 求方程 Ｘ Ｃ Ｏ Ｓ ｏ Ｔ 。 一０ 在 区间［ ０ ， ４ ］ 上解的个 数 ， ｚ 一０ 为一个解 ； ∈（ ０ ， ４ ］ 时， ∈（ Ｏ ， ｌ ６ ］ ， 由Ｃ Ｏ Ｓ ， Ｚ 一０得
方法二 ： 利 用 零 点存 在 性 定 理 法． 如 果 函 数 Ｙ＝
【 例 ５ 】 函数 厂 （ ｚ ） 一ｚ 。 一８ ｘ ＋６ １ ｎ ｘ 十ｍ 有三 个零 点， 求 实数 的取值 范围． 分析 ： 函数有三个零点等价于 图象 与 ３ ７ 轴有三 个不
同 的交 点 ．
（ ） 一２ ｘ－ －８ ＋一 ６
故 由零点存在性定理 ， 函数有零点．
结合二分法， ｇ （ 一÷ ） ＜０ ，
ｇ （ ＿ 。 黄 ） ＞ｏ，
３ ４ 中学 教学参考
ｍ Ｉ
年 １月 总第 期 ２ ０ １ ３ １ ４ ６
中学 教 学 参考
解题 方 法ｓ技 巧 ……
函 数 零 点 问题 的 几 种 常 见 求 解 方 法
湖 北十堰 市第 一 中￣（ ４ ４ ２ ０ ０ ０ ） 卢
函数零点是函数与导数部分 的重要知识 ， 它涉及 函 数 的图像 与性 质等 基本 知识 ， 渗 透着转化 与化 归 、 数形 结合 、 分类讨论 、 函数与方程等重要 思想 ， 体 现对学 生综 合能力 的考查． 下面对常见的几种 函数零点解 决办法作
解得 ７ ＜ｍ ＜１ ５ —６ １ ｎ ３ ．
专题判断函数零点个数的方法(讲学稿)
二轮复习小专题：判断函数零点个数的方法一方法总结：判断函数零点个数常见方法：（1） 直接法：届方程f(x)=0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；（2） 图像法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x 轴的交点个数，即为函数f(x)的零点个数；（3） 将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而()0()()0()(),f x h x g x h x g x =⇔-=⇔=则函数的零点个数即为y=h(x)与y=g(x)的图象的交点个数；（4） 二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式∆来判断。
二考题回顾：（2015江苏高考）已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。
三例题精析：例1：关于x 的方程210x mx --=在区间(0,1)上有唯一实根，则实数m 的范围【变式】若函数2()(1)2(1)1f x m x m x =-++-的图象与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值集合是例题2：已知函数32111(),(),323k f x x x g x kx +=-=-若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围例题3：已知函数22log (1),()2,0,x x o f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是 。
【变式】已知函数21,0,()(1),0x x f x f x x -⎧+≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且仅有两个不相等的实数根，则a 的取值范围例题4：已知函数254,0()22,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()y f x a x =-恰有四个零点，则实数a 的取值范围例题5：若关于x 的方程x x a a -=有三个不同的实数根，则a 的取值范围为。
函数与方程之函数零点的个数问题
函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
判断函数零点个数的方法
判断函数零点个数的方法
判断函数零点个数的方法有三种：
(1)方程法：
令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：
利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：
转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
1。
函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题(学生版)-高中数学
函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题是近年高考的热点及难点,特别是隐零点及零点赋值经常成为导数压轴的法宝.(一)确定函数零点个数1.研究函数零点的技巧用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数．2.判断函数零点个数的常用方法(1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题．(2)分离出参数,转化为a=g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是直线y=a与函数y=g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．3. 处理函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题的常用方法(1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况;(2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,也通过构造函数y=f(x)-g(x),把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.4.找点时若函数有多项有时可以通过恒等变形或放缩进行并项，有时有界函数可以放缩成常数，构造函数时合理分离参数，避开分母为0的情况.1(2024届河南省湘豫名校联考高三下学期考前保温卷数)已知函数f x =ax2e xa≠0,a∈R．(1)求f x 的极大值；(2)若a=1，求g x =f x -cos x在区间-π2,2024π上的零点个数．(二)根据函数零点个数确定参数取值范围根据函数零点个数确定参数范围的两种方法1.直接法：根据零点个数求参数范围,通常先确定函数的单调性,根据单调性写出极值及相关端点值的范围,然后根据极值及端点值的正负建立不等式或不等式组求参数取值范围；2.分离参数法：首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围,分离参数法适用条件：(1)参数能够分类出来；(2)分离以后构造的新函数,性质比较容易确定.2(2024届天津市民族中学高三下学期5月模拟)已知函数f x =ln x+2(1)求曲线y=f x 在x=-1处的切线方程；(2)求证：e x≥x+1；(3)函数h x =f x -a x+2有且只有两个零点，求a的取值范围．(三)零点存在性赋值理论及应用1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)；求含参函数的极值或最值；证明一类超越不等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知f(a)的符号,探求赋值点m(假定m<a)使得f(m)与f(a)异号,则在(m,a)上存在零点．2.赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值；确保赋值点x0落在规定区间内；确保运算可行三个优先：(1)优先常数赋值点；(2)优先借助已有极值求赋值点；(3)优先简单运算.3.有时赋值点无法确定,可以先对解析式进行放缩,再根据不等式的解确定赋值点(见例2解法),放缩法的难度在于“度”的掌握,难度比较大.3(2024届山东省烟台招远市高考三模)已知函数f x =x+ae x a∈R.(1)讨论函数f x 的单调性；(2)当a=3时，若方程xf x -x +f x -xf x=m+1有三个不等的实根，求实数m的取值范围.(四)隐零点问题1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.2.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为x 0,再利用导函数的单调性确定x 0所在区间,最后根据fx 0 =0,研究f x 0 ,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若f (x )中含有参数a ,关系式f '(x 0)=0是关于x 0,a 的关系式,确定x 0的合适范围,往往和a 的范围有关.4(2024届四川省成都市实验外国语学校教育集团高三下学期联考)已知函数f x =e x ，g x =ln x .(1)若函数h x =ag x -1 -x +1x -1，a ∈R ，讨论函数h x 的单调性；(2)证明：142x -1 f 2x -f x >2g x -2.(参考数据：e 45≈2.23，e 12≈1.65)1(2024届山西省晋中市平遥县高考冲刺调研)已知函数f x =ln x+sin x+sin π10.(1)求函数f x 在区间1,e上的最小值；(2)判断函数f x 的零点个数，并证明.2(2024届江西省九江市高三三模)已知函数f x =e ax+e-ax(a∈R，且a≠0).(1)讨论f x 的单调性；(2)若方程f x =x+x-1有三个不同的实数解，求a的取值范围.3(2024届重庆市第一中学校高三下学期模拟预测)已知函数f(x)=a(ln x+1)+1x3(a>0)．(1)求证：1+x ln x>0；(2)若x1,x2是f(x)的两个相异零点，求证：x2-x1<1-1 a．4(2022高考全国卷乙理)已知函数f x =ln1+x+axe-x (1)当a=1时,求曲线y=f x 在点0,f0处的切线方程；(2)若f x在区间-1,0,0,+∞各恰有一个零点,求a取值范围．5(2024届辽宁省凤城市高三下学期考试)已知函数f x =xe x -1-ln x -x .(1)求函数f x 的最小值；(2)求证：e f x +x >e x -e -1 ln x -12.6(2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷)已知函数f x =xe x-1,g x =ln x-mx,m∈R.(1)求f x 的最小值；(2)设函数h x =f x -g x ，讨论h x 零点的个数.7(2024届河南省信阳市高三下学期三模)已知函数f x =ax-ln1-x.a∈R(1)若f x ≥0恒成立，求a的值；(2)若f x 有两个不同的零点x1,x2，且x2-x1>e-1，求a的取值范围.8(2024届江西省吉安市六校协作体高三下学期5月联考)已知函数f x =e x-1-ax-a a∈R.(1)当a=2时，求曲线y=f x 在x=1处的切线方程；(2)若函数f x 有2个零点，求a的取值范围.9(2024届广东省茂名市高州市高三第一次模拟)设函数f x =e x+a sin x，x∈0,+∞.(1)当a=-1时，f x ≥bx+1在0,+∞上恒成立，求实数b的取值范围；(2)若a>0,f x 在0,+∞上存在零点，求实数a的取值范围.10(2024届河北省张家口市高三下学期第三次模)已知函数f(x)=ln x+5x-4．(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；-2．(2)证明：f(x)>-35x11(2024届上海市格致中学高三下学期三模)已知f x =e x-ax-1，a∈R，e是自然对数的底数.(1)当a=1时，求函数y=f x 的极值；(2)若关于x的方程f x +1=0有两个不等实根，求a的取值范围；(3)当a>0时，若满足f x1，求证：x1+x2<2ln a.=f x2x1<x212(2024届河南师范大学附属中学高三下学期最后一卷)函数f (x )=e λx -4sin x +λ-2的图象在x =0处的切线为y =ax -a -3,a ∈R .(1)求λ的值；(2)求f (x )在(0,+∞)上零点的个数.13(2024年天津高考数学真题)设函数f x =x ln x ．(1)求f x 图象上点1,f 1 处的切线方程；(2)若f x ≥a x -x 在x ∈0,+∞ 时恒成立，求a 的值；(3)若x 1,x 2∈0,1 ，证明f x 1 -f x 2 ≤x 1-x 2 12．14(2024届河北省高三学生全过程纵向评价六)已知函数f x =axe x，g x =sin x+cos x.(1)当a=1时，求f x 的极值；(2)当x∈0,π时，f x ≤g x 恒成立，求a的取值范围.15(2024届四川省绵阳南山中学2高三下学期高考仿真练)已知函数f x =a ln x-1x+x a∈R.(1)讨论f x 的零点个数；(2)若关于x的不等式f x ≤2x-2e在0,+∞上恒成立，求a的取值范围.16(2024届四川省成都石室中学高三下学期高考适应性考试)设f x =(a2-1)e x+sin x-3(1)当a=2，求函数f(x)的零点个数.(2)函数h(x)=f(x)-sin x-x2+2ax+2，若对任意x≥0，恒有h(x)>0，求实数a的取值范围17(2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测)已知函数f x =2ax-sin x.(1)当a=1时，求曲线y=f x 在点0,f0处的切线方程；(2)当x>0时，f x ≥ax cos x恒成立，求实数a的取值范围.18(2024届广东省揭阳市高三上学期开学考试)已知函数f x =2ln x-12mx2+1m∈R.(1)当m=1时，证明：f x <1；(2)若关于x的不等式f x <m-2x恒成立，求整数m的最小值.19(2023届黑龙江省哈尔滨市高三月考)设函数f x =x3-3ax2+3b2x(1)若a=1，b=0，求曲线y=f x 在点处的切线方程；(2)若，不等式对任意恒成立，求整数k的最大值．20(2023届江苏省连云港市高三学情检测)已知函数.(1)判断函数f x 零点的个数，并证明；(2)证明：.。
高中数学讲义：函数零点的个数问题
函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =Î，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =Î的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b Î，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <Þ在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f æö><ç÷èø即可判定其零点必在1,12æöç÷èø中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
人教版高数必修一第8讲：函数的零点与二分法(学生版)
函数的零点与二分法__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a) f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a) f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a) f （ ）＜0，则令1b x =；若f( ) f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。
函数零点的个数问题
函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
函数零点个数的判断策略
高中数学教与学○学习指导○函数零点个数的判断策略孟庆东(江苏省淮阴中学，223002)从近几年的高考来看，有关函数零点个数问题的高考试题层出不穷，对解决此类问题的能力考查力度也逐步加大．以下结合实例探讨判断函数零点个数的策略．一、利用解方程判断函数零点个数例1 ( 2010 年福建高考题) 函数函数y = F( x) 的图象不易画时，可将F( x) 分解成两个相对简单的函数，即F( x) = f( x) －g( x)，利用f( x) 与g( x) 图象交点的个数来判断F( x) 的零点个数．例2 ( 2012 年湖南高考题) 设定义在Ｒ上的函数f( x) 是最小正周期为2π 的偶函数，f( x) =x2+2x－3，x≤0，f '(x)是f(x)的导函数．当x∈［0，π］时，0＜－2+l n x，x＞0的零点个数为( )( A) 0 ( B) 1 ( C) 2 ( D) 3解当x≤0时，令x2+2x－3=0，解得x=－3;当x＞0时，令－2+l n x=0，解得x=e2．所以f(x)有两个零点，故选C．二、利用函数图象判断函数零点个数22 2 22f ( x ) ＜ 1; 当 x ∈ ( 0，π) ，且 x ≠ π时，( x － π )f '( x ) ＞ 0，则函数 y = f ( x ) － s i n x 在［－ 2π，2π］上的零点个数为( ) ( A) 2( B) 4( C) 5 ( D) 8解当 x ∈ ( 0，π) 且 x ≠ π时，1.直接利用函数图象与 x 轴的交点个数 π π根据函数零点的定义，可画出函数 y =x－)f '(x)＞0，从而f(x)在(0，)上单f( x) 的图象，它与x 轴的交点个数就是函数的零点个数，此方法要求函数的图象容易作出．如上述例1可直接画出图象，如图1．由图1可知此函数有两个零点．yx2+2x-3-2+ln xO x2e xx2x 调递减，在( π ，π)上单调递增． 又 x ∈ ［0，π］ 时，0 ＜ f ( x ) ＜ 1，在 Ｒ 上的函数 f ( x ) 是最小正周期为 2π 的偶函数． 在同一坐标系中作出y = f ( x ) 和 g ( x ) = s i n x 简图，如图 2． 由图 2知 y = f ( x ) － s i n x 在［－ 2π，2π］上的零点个数为 4 个． 故选 B ．图 12.一分为二转化为两个函数图象交点的个数函数F( x) = f( x) － g( x) 的零点，即方程f( x) = g( x)数y = g( x) 的图象交点的横坐标．当图 23.分离参数转化为两个函数图象的交点个数第 2 期 高中数学教与学对于解决含参数的函数零点个数问题时， 从正面合理地对参数的取值进行分类讨论是常用的策略，但有时学生会因为找不到分类的标 准或讨论不够全面而失分． 通过分离原函数对应方程 f( x) = 0 中的变量x 和参数a 后变形成g( x) = h( a) ，将原函数的零点个数问题化归为函数y = g( x) 图象和直线y = h( a) 的交点个数问题，可避免复杂的讨论．例 3 ( 2013 年江苏高考题) 设函数 f( x) = l n x － ax ，g ( x ) = e x － ax ，其中 a 为实数．( 1) 若 f( x) 在( 1，+ ∞ ) 上是单调减函 数，且 g( x) 在( 1，+ ∞ ) 上有最小值，求 a 的取值范围;( 2) 若g( x) 在( － 1，+ ∞ ) 上是单调增函数，试求 f( x) 的零点个数，并证明你的结论．解 ( 1) 略 ．( 2) ∵ g( x) 在( － 1，+ ∞ ) 上是单调增函数，∴ g '( x ) = e x － a ≥ 0，即 a ≤ e x对 x ∈ ( － 1，+ ∞ ) 恒成立，∴ a ≤ 1 ． 由f ( x ) = 0 得 a = l n x ，∴ 函数 f ( x ) 的零点个数就是直线 y= a 与函数 h( x) = ln x图象交点的个数． ∵ h '( x ) =1 － l n x，∴ 令h '( x ) = 0 得x = e ．当 x ∈ ( 0，e ) 时 h '( x ) ＞ 0，∴ 在 h ( x ) 在( 0， e) 上单调递增; 当 x ∈ ( e ，+ ∞ ) 时 h'( x) ＜ 0，∴ 在h ( x ) 在( e ，+ ∞ ) 上单调递减． ∴ h ( x ) 1y 2f (x )=x 3-3x -2O 2 x-2eex由图3知:当a≤0或a=1时，f(x)的零点个数为1;当0＜a＜1时，f(x)的零点个数为2．4.整体换元转化为两个函数图象交点的个数当复合函数y = f( g( x) ) 不易具体化或简化来分析它的零点个数时，常常通过整体换元转化为方程f( t) = 0 与t =g( x)的根的个数，再进一步转化为函数y =f( t)的零点个数以及直线y =t 与y =g( x) 图象交点的个数．例4 ( 2012 年江苏高考题) 若函数y =f( x)在x = x处取得极大值或极小值，则称x为函数y= f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1 是函数f( x) = x3 + ax2 + bx 的两个极值点．( 1) 求a 和b 的值;( 2) 设函数g( x) 的导函数g'( x) = f( x)+2，求g(x)的极值点;( 3) 设h( x) = f( f( x) ) －c，其中c ∈［－2，2］，求函数y=h(x)的零点个数．解(1)a=0，b=3(过程略)．( 2) g( x) 的极值点是－2( 过程略) ．( 3) 令t = f( x)，将方程f( f( x) ) = c 等价转化为f( t)=c，t = f(x)．的最大值为h(e)=e．又当x∈(0，1)时h( x) ＜0; 当x ∈ ( 1，+ ∞ ) 时h( x) ＞0; 当x→0时h(x)→－∞;当x→+∞时h(x)→0．故可作出h(x)=l n x的简图，如图3．图4由导数知识很容易画出f( x) = x3 －3x 的图象，如图4，且f(－2)= f(1)=－2，f(－1)= f(2)=2．Ⓒ当c = －2 时，由f( x) 的图象知f( t) =x c 有两个解t1= 1、t2= －2( 即直线y = c 与y= f( t) 的图象有两个交点) ．再看t = f( x) ，当t 取t1= 1 时直线y = 1 与y = f( x) 的图象有•7•高中数学教与学2014 年3 个交点; 当t 取t2= －2 时直线y = －2 与y = f( x)的图象有2 个交点，故此时方程f( f( x) )= c 共有5 个不同的解．Ⓒ当c = 2 时，由f( x) 的图象知f( t) = c2( 2) 函数 f ( x ) 在( 0，π) 内有且只有两个零点． 证明如下: 由 ( 1) 知 f( x) = xsin x －3，从 而 f( 0)有两个解 t 3 = 2、t 4= － 1( 即直线y = c 与y == －3＜0，f (π)=π－3＞0．又f(x)在f( t) 的图象有两个交点) ，再看t = f( x) ，当t2 2 2取t3 = 2 时直线y = 2 与y = f( x) 的图象有22(0，π]上的图象是连续不断的，故f(x)在个交点; 当t 取t4= －1 时直线y = －1 与y = f( x)的图象有3 个交点，故此时方程f( f( x) ) = c 共有5 个不同的解．Ⓒ当－2 ＜c ＜2 时．由f( x)的图象知f( t)=c有3个不同的解t5，t6，t7，满足| ti|＜2，i=5，6，7．再看t = f(x)，当t 分别取t5，t6， t7时，y= t5，y= t6，y= t7这三条平行于x轴的直线与y =f( x)的图象各有3 个交点，故此时方程f( f( x) ) = c 共有9 个不同的解．综上: 当| c | = 2 时，函数y = h( x) 有5 个222 2 22[0， π ] 上 至 少 有 一 个 零 点． 又 当 x ∈(0，π ]时，f '( x ) = s i n x + xc o s x ＞ 0，f ( x ) 在 (0，π ]上单调递增，故 f ( x ) 在(0，π ]上只有一个零点． 当 x ∈ [π ，π]时，令 g ( x ) = f '( x ) = s i n x + xc o s x ． 由 g ( π )= 1 ＞ 0，g ( π) = － π 零点; 当| c | ＜ 2 时，函数y = h( x) 有9 个零点．三、利用零点存在定理和函数单调性判断函数零点个数零点存在定理 如果函数y = f( x) 在区间［a ，b ］上的图象是连续不断的一条曲线，且满足 f ( a ) ·f ( b ) ＜ 0，那么，函数 y = f ( x ) 在区间( a ，b ) 内有零点． 用零点存在定理可判断函数零点是否存在． 如果需要进一步判断零点是否唯一，可以借助函数的单调性． 一般地，图象连续不断的函数f ( x ) 在区间( a ，b ) 上单调，且 f ( a ) ·f ( b )2222 2 2 ＜ 0，且 g ( x ) 在[ π ，π]上的图象是连续不断的，故存在 m ∈ ( π ，π)，使得 g ( m ) = 0． 由 g'( x) = 2cos x － xsin x ， 知 x ∈( π ，π)时 g '( x ) ＜ 0，g ( x ) 在( π ，π)上单调 递减．当 x ∈ ( π ，m ]时，g ( x ) ＞ g ( m ) = 0，即 f '( x ) ＞ 0，从而 f ( x ) 在( π ，m )上单调递增，＜ 0，则函数 f ( x ) 在区间( a ，b ) 上有唯一零 πππ －3点．例5 ( 2012 年福建高考题) 已知函数当x∈[，m]时，f(x)≥f()=2 2 故f(x)在[π，m]上无零点．2＞0，f(x)=ax s i n x－3(a∈Ｒ)，且在[0，π]上22的最大值为π－3．22当x∈(m，π)时，g(x)＜g(m)=0，即f '(x)＜0，从而f(x)在(m，π)上单调递减．又因为f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在［m，( 1) 求函数f( x) 的解析式;(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．解( 1) f( x) = xsin x －3( 过程略) ;2π］上的图象是连续不断的，故f(x)在(m，π)上只有一个零点．综上，函数f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．•8•。
有关函数零点判定的几种常用方法-论文
所以 cos < n1, n2 > =
- 1 =2# 5
1100.
由图 5可知, 二面角 C - AE - B 为锐角, 所
以二面角 C - AE - B 的大小为 arccos 10. 10
点评: 向量法求二面角关键是找两个平面 的法向量, 并注意根据题目情况确定二面角的 平面角是锐角还是钝角.
贵州省金沙县第一中学 ( 551800)
时,
f(x ) = -
2
2x + 3x -
1=
0]
2
2x -
3x + 1 =
0即 ( 2x - 1) # ( x - 1) = 0, 所以 x = 1 或 1 I 2
[ 0, 1] 即函数 f (x ) 在 [ 0, 1] 上有 2个零点, 不
符合题意.
综上所述, 所求实数 a 的取值范围为:
a > - 2或 a = - 9. 4
三、零点存在判定法则
零点存在判定法则: 如果函数 y = f ( x) 在
区间 [ a, b] 上的图像是连续不断的一条曲线,
并且有 f ( a ) # f ( b) < 0, 那么函数 y = f (x ) 在
一、解方程求根法 对于函数 y = f ( x), 使 f (x ) = 0的实数 x叫 函数 y = f (x ) 的零点. 即函数 y = f ( x) 的零点 就是方程 f ( x) = 0的实数根. 要注意零点并不 是点, 而是一个实数. 方程 f (x ) = 0有实数根 Z 函数 y = f (x ) 与 x轴有交点 Z 函数 y = f (x ) 有零点. 例 1 求下列函数的零点. ( 1)f ( x) = x - 3; ( 2)f ( x) = x2 - 5x + 4; ( 3)f ( x) = x3 - 2x2 + x ( 4)f ( x) = 2|x | - 2 分析: 根 据函 数 零 点的 定 义 可知, 函 数 f (x ) 的零点就是方程 f ( x) = 0的根, 因此判断 一个函数是否有零点, 有几个零点, 就是判断方 程 f (x ) = 0是否有实数根, 有几个实数根的问 题. 解: ( 1) 令 f ( x) = 0, 即 x = 3, 故所求函数 的零点为 3. ( 2) 令 f( x ) = x2 - 5x + 4 = 0] ( x - 1) # (x - 4) = 0即 x = 1或 4 . 所以, 所求函数的零点为 1或 4. ( 3) 令 f ( x) = x3 - 2x2 + x = 0] x (x - 1) 2 = 0即 x = 0或 1. 所以函数的零点为 0或 1. ( 4) 令 f (x ) = 2|x | - 2 = 0] 2|x | = 2] x = ? 1. 所求函数的零点为 - 1或 1. 评注: 求函数 f ( x) 的零点, 就是求该函数 对应的方程 f( x) = 0的实数根. 一般可以借助 求根公式或因式分解等办法求出方程的根, 从 而得到函数的零点. 另外对于函数 f ( x) = x2 2x + 1, 在求函数的零点时, 令 f ( x) = 0, 即 ( x -
专题01 “四招”判断函数零点个数-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)
专题一 “四招”判断函数零点个数函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题，例题说法，高效训练.【典型例题】第一招 应用函数性质，判定函数零点个数 例1.已知偶函数()()4log ,04{8,48x x f x f x x <≤=-<<，且()()8f x f x -=，则函数()()12xF x f x =-在区间[]2018,2018-的零点个数为（ ）A. 2020B. 2016C. 1010D. 1008 【答案】A 【解析】当08x <<时，函数()f x 与函数12xy =图象有4个交点201825282=⨯+由()4211122242f log ==>=知，当02x <<时函数()f x 与函数12xy =图象有2个交点故函数()F x 的零点个数为()2524222020⨯+⨯= 故选A .第二招 数形结合，判定函数零点个数例2.【2018届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x +=+，且[]0,1x ∈时， ()4xf x =； (]1,2x ∈时， ()()1f f x x=. 令()()[]24,6,2g x f x x x =--∈-，则函数()g x 的零点个数为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10 【答案】B∵函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ）+1，即自变量x 每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位， 分别画出函数y=f （x ）在x ∈[﹣6，2]，y=12x+2的图象，∴y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=12x+2有8个交点，故函数g（x）的零点个数为8个．故选：B．第三招应用零点存在性定理，判定函数零点个数例3.【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）讨论在上的零点个数.【答案】（1）见解析；（2）见解析∴当时，在上单调递增.当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）设，则由（1）知①当时，即，当时，，在单调递减，∴当，即，时，在上恒成立，∴当时，在内无零点.当，即，时，，根据零点存在性定理知，此时，在内有零点，∵在内单调递减，∴此时，在有一个零点.②当时，即，当时，，在单调递增，，.∴当，即时，，根据零点存在性定理，此时，在内有零点. ∵在内单调递增，∴此时，在有一个零点.当时，，∴此时，在无零点.③当时，即，当时，；当时，；则在单调递减，在单调递增.∴在上恒成立，∴此时，在内无零点.∴综上所述：当时，在内有1个零点；当时，在有一个零点；当时，在无零点.第四招构造函数，判定函数零点个数例4．【山东省菏泽市2019届高三上学期期末】已知函数f（x）＝lnx+﹣1，a∈R.（1）当a＞0时，若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为，求a的值；（2）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数.【答案】（1）；（2）详见解析.f’（x）min＝f（a）＝lna，令，得.当a≥3时，f’（x）＜0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为减函数，∴，令得a＝4﹣3ln3＜2（舍去）.综上知.（2）∵函数，令g（x）＝0，得.设，，当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，+∞）时，φ’（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减，所以x＝1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是（x）的最大值点，φ（x）的最大值为.又φ（0）＝0，结合φ（x）的图象可知：①当时，函数g（x）无零点；②当时，函数g （x ）有且仅有一个零点；③当时，函数g （x ）有两个零点；④a≤0时，函数g （x ）有且只有一个零点； 综上所述，当时，函数g （x ）无零点；当或a ≤0时，函数g （x ）有且仅有一个零点；当时，函数g （x ）有两个零点.【规律与方法】函数零点个数的求解与判断：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．(4)构造函数模型，判断零点个数.构造函数可根据题目不同，直接做差构造函数、分离参数后构造函数、先求导数再构造函数、先换元再构造函数等.【提升训练】1．【浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019届高三上期中】已知定义在R 上的奇函数，满足当时，则关于x 的方程满足A ．对任意，恰有一解B ．对任意，恰有两个不同解C ．存在，有三个不同解D ．存在，无解【答案】A 【解析】 当时，，，时，；时，，在上递减，在上递增，，在上递增，又x 大于0趋近于0时，也大于0趋近于0；x 趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，又为R上的奇函数，其图象关于原点对称，结合图象知，对任意的a，方程都恰有一解．故选：A．2．【吉林省延边州2019届高三2月复检测】已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是( )A．函数在上为单调递增函数B．是函数的极小值点C．函数至多有两个零点D．时，不等式恒成立【答案】D若，则有2个零点，若，则函数有1个零点，若，则函数没有零点，故正确；由在递减，则在递减，由，得时，，故，故，故错误,故选D．3.已知函数()y f x =的图像为R 上的一条连续不断的曲线，当0x ≠时，()()'0f x f x x+>，则关于x 的函数()()1g x f x x=+的零点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 【答案】A4．【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】已知函数.（Ⅰ）若的图像在点处的切线与直线平行，求的值；（Ⅱ）若，讨论的零点个数. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1个【解析】 （Ⅰ）函数， 导数为，， 图象在点处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，解得； （Ⅱ）若，可得，由，可得（舍去），即的零点个数为； 若，由，即为，可得，，设，， 当时，，递减；当时，，递增，可得处取得极大值，且为最大值，的图象如图：由，即，可得和的图象只有一个交点，即时，的零点个数为，综上可得在的零点个数为.5．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次（3月)双基测试】已知函数f（x）=lnx+ax2-x（x＞0，a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求证：当a≤0时，曲线y=f（x）上任意一点处的切线与该曲线只有一个公共点．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）f′（x）=+2ax-1=（x＞0），设g（x）=2ax2-x+1（x＞0），（1）当0＜a＜时，g（x）在（0，），（，+∞）上大于零，在（，）上小于零，所以f（x）在（0，），（，+∞）上递增，在（，）上递减，（2）当a≥时，g（x）≥0（当且仅当a=，x=2时g（x）=0），所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，（3）当a=0时，g（x）在（0，1）上大于零，在（1，+∞）上小于零，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，（4）当a＜0时，g（x）在（0，）上大于零，在（，+∞）上小于零，所以f（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减；（Ⅱ）曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的曲线方程为：y=（+2at-1）（x-t）+lnt+at2-t，曲线方程和y=f（x）联立可得：lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1=0，设h（x）=lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1（x＞0），h′（x）=，当a≤0时，在（0，t）h′（x）＞0，在（t，+∞）h′（x）＜0，故h（x）在（0，t）递增，在（t，+∞）递减，又h（t）=0，故h（x）只有唯一的零点t，即切线与该曲线只有1个公共点（t，f（t））．6．【四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟】已知函数，. （Ⅰ）当，函数图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？（Ⅱ）讨论函数的零点个数.【答案】(Ⅰ)存在；(Ⅱ)详见解析.【解析】（Ⅰ），，，则函数在单调递减，上单调递增，上单调递减，因为，，，，，所以存在切线斜率，使得，，，，所以函数图象上是存在3条互相平行的切线.（Ⅱ），当，有；，在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；当，有，；，在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；当，有，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，，，，所以函数一个零点在区间内，一个零点在区间内，一个零点在内.所以函数有三个不同零点.综上所述：当函数一个零点；当函数三个零点.7．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知，，其中，为自然对数的底数．若函数的切线l经过点，求l的方程；Ⅱ若函数在为递减函数，试判断函数零点的个数，并证明你的结论．【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析Ⅱ判断：函数的零点个数是0，下面证明恒成立，，故，若在递减，则，因此，要证明对恒成立，只需证明对恒成立，考虑等价于，记，，先看，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，，再看，.令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，.，且两个函数的极值点不在同一个x处，故对恒成立，综上，对恒成立，故函数函数零点是0个．8.【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（一)】已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）证明：当且时，只有一个零点.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）．当时，由得，由得，在单调递减，在单调递增．当时，由得，由得或，在单调递减，在和单调递增．令，，当时，，故在单调递增，所以，在单调递增，所以，因此．因为在单调递增，所以在有唯一零点．所以只有一个零点.综上，当且时，只有一个零点．9．【云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数．求的单调区间和极值；当时，证明：对任意的，函数有且只有一个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：函数的定义域为，，当时，，在定义域上单调递增，无极值；当时，由，得，当时，，得的单调递增区间是；当时，，得的单调递减区间是，故的极大值为，无极小值．由，得，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减，所以，于是，则在上单调递减．设，则，由，得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以，即当时，，所以当时，，对任意的，有当时，，有；当时，有，又在上单调递减，所以存在唯一的，有；当时，，有，当时，有，又在上单调递减，所以存在唯一的，有，综上所述，对任意的，方程有且只有一个正实数根，即函数有且只有一个零点．10．【2019届高三第一次全国大联考】已知函数（其中）．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数的极值点；（3）讨论函数零点的个数．【答案】（1）在上单调递增；在上单调递减；（2）函数无极大值点，有2个极小值点，分别为和；（3）详见解析.（2）先考虑时的情况，当时，则；所以当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增．又因为函数的图象关于直线对称，所以在和上单调递减，在和上单调递增．所以函数无极大值点，有2个极小值点，分别为和．令，则．由，解得；由，解得，所以在上递增，在上递减，所以，当时，注意到，知此时在上单调递减，在上单调递增，且，这表明的图象与轴相切，所以此时函数在上只有1个零点，且为；当或时，，又当或时，，所以此时函数在上有2个零点，一个零点是，另一个零点在区间或内．又由函数的图象关于直线对称，综上可得，当或时，函数有2个零点；当或时，函数有4个零点．11．【2019年四川省达州市高考一诊】已知，函数，．求证：；讨论函数零点的个数．【答案】（1）见解析；（2）见解析解：，，，，，方程有两个不相等的实根，分别为，，且，，当时，，递减，当时，，递增，，，，即，．设，则，是减函数，当，即时，，函数只有一个零点，当，即时，，函数没有零点，当，即时，，且，由知，，若，则有，，函数有且只有一个大于的零点，又，即函数在区间有且只有一个零点，综上，当时，函数有两个零点；当时，函数只有一个零点，当时，函数没有零点．12．【北京延庆区2019届高三一模】已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）当时，求函数在上区间零点的个数.【答案】（1）（2）在区间上单调递增，在区间上单调递减（3）见解析【解析】（1）当时，，，,，切点，所以切线方程是.（2），令，、及的变化情况如下增减所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减.（3）由（2）可知的最大值为,（1）当时，在区间单调递增，在区间上单调递减.由，故在区间上只有一个零点 .（2）当时，，，,且 .因为，所以，在区间上无零点.综上，当时，在区间上只有一个零点，当时，在区间上无零点.13．【广东省江门市2019届高考模拟（第一次模拟)】设函数，是自然对数的底数，是常数．（1）若，求的单调递增区间；（2）讨论曲线与公共点的个数．【答案】（1）的单调递增区间为（或）；（2）或时，两曲线无公共点；或时，两曲线有一个公共点；时，两曲线有两个公共点 .（I）时，有一个零点 .(II)时，由解得，．当时，；当时，，在取最小值 ,①时，，有一个零点.②时，，无零点 .③时，，由知，在有一个零点，即在有一个零点；由指数函数与幂函数单调性比较知，当且充分大时，，所以在有一个零点，即在有一个零点．从而有两个零点 .（III）时，，单调递减，，，所以在有一个零点，从而在定义域内有一个零点 .（IIII）时，无零点 .14．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考】设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附：，，）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由，得，令，所以，所以当时，，恒成立，即恒成立，所以单调递增；即，所以单调递减；当时，，即，所以单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.（2）当时，，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有极大值，且，当时，函数有极小值，且.又因为，，所以直线与函数的图象在区间上有且仅有3个交点，所以当时，方程有且仅有3个不同的实数根.。
函数零点的判断及其运用三注意
函数零点的判断及其运用三注意一知识篇1注意函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数()y f x =（x D ∈）我们称方程()0f x =的实数根x 也叫做函数的零点，=g 的根或根的个数就是求函数()()y f x g x =-的零点2注意函数的图像与方程的根的关系：一般地，函数()y f x =（x D ∈）x ()0f x ==g 的根，就是求函数y ＝f 与y =g 的图像的交点或交点个数，或求方程()()y f x g x =-的图像与x 轴交点的横坐标3注意判断一个函数是否有零点的方法：如果函数()y f x =在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间（a,b ）上至少有一个零点，即至少存在一个数(,)c a b ∈使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的一个根对于我们学习的简单函数，可以借助()y f x =图像判断解的个数，或者把()f x 写成()()g x h x -，然后借助()y g x =、()y h x =的图像的交点去判断函数()f x 的零点情况二运用篇1判断函数零点注意构造新函数[例1]已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）解：设构造函数F （x ）＝()f x －121[()()]2f x f x +，则方程 ()f x ＝121[()()]2f x f x +①与方程F （x ）＝0②等价 ∵F（x 1）＝1()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x - F （x 2）＝2()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x -+ ∴F（x 1）·F（x 2）＝－2121[()()]4f x f x -，又12()()f x f x ≠ ∴F（x 1）·F（x 2）＜0故方程②必有一根在区间（x 1，x 2）＝F （x ）在x 轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x 轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）点评：本题由于方程是()f x ＝121[()()]2f x f x +，其中因为有()f x 表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明()f x 的图像与x 轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证1()f x 2()f x ＜0，（x ）＝()f x －121[()()]2f x f x +的图像与x 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在2判断函数零点要注意函数图象的连续性[例2]试确定方程322420x x x --+=最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数分析：构造函数()f x ＝32242x x x --+，我们可以从函数式中发现其自变量没有任何限制,也就是说其函数图象是连续的判断一个函数在一个区间是否有零点,首先要保证图像是连续不断的曲线在得到这一保证后就可以计算()f x 的自变量x 取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布解：令()f x ＝32242x x x --+∵(3)f -＝－54－9＋12＋2＝－49＜0；(2)f -＝－16－4＋8＋2＝－10＜0；(1)f -＝－2－1＋4＋2＝3＞0；(0)f ＝0－0－0＋2＝2＞0； (1)f ＝2－1－4＋2＝－1＜0；(2)f ＝16－4－8＋2＝6＞0 根据(2)f -·(1)f -＜0，(0)f ·(1)f ＜0，(1)f ·(2)f ＜0 可知()f x 的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n 次方程最多有n 个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解如:32242x x x --+()()()22121221222-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=x x x x x ()()22212-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x 所以32242x x x --+＝0有三个根：123函数零点的运用要注意数形结合思想的渗透[例3]已知函数0)1(),1(2)(2=<<++=f b c c bx x x f ，且方程01)(=+x f 有实根1求证：-3<c≤-1,b≥02若m 是方程01)(=+x f 的一个实根，判断)4(-m f 的正负并加以证明分析：（1）题中条件涉及不等关系的有1<<b c 和方程01)(=+x f 有实根及一个等式0)1(=f ，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断)4(-m f 的符号，因而只要研究出4-m 值的范围即可定出)4(-m f 符号1证明：由0)1(=f ，得12bc=0,解得21+-=c b ，又1<<b c ， 1c c >+->21,解得313-<<-c 又由于方程01)(=+x f 有实根，即0122=+++c bx x 有实根， 故0)1(442≥+-=∆c b 即0)1(4)1(2≥+-+c c 解得3≥c 或1-≤c ∴13≤<-c ，由21+-=c b ，得b ≥0 （2）c bx x x f ++=2)(2=)1)(()1(2--=++-x c x c x c x ∵01)(<-=m f ，∴c<m<1（如图）∴c—4<m —4<—3<c∴)4(-m f 的符号为正点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题。
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函数零点的个数的几种判断方法
作者：陈锋
来源：《中学课程辅导·教师教育（中）》2018年第01期
【摘要】“函数零点”一节的教学，其重点是：一，函数零点的存在性定理，及定理的理解。
二，函数零点的个数的判断。
本人在“函数零点”一节的教学中，对于判断函数零点的个数问题，如函数y=f（x），我们把使方程f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。
在判断一次或二次函数的零点，我们可直接利用公式求解；对于三次或四次或其它的一些函数，要判断函数零点的个数，学生就很难判断，本人在教学中总结了函数零点的个数的几种判定方法，而且学生很容易接受，下面举例说明。
【关键词】函数零点判断方法
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）01-126-01。