求函数零点的几种方法
考点1零点的求法及零点的个数
考点 1零点的求法及零点的个数题型 1：求函数的零点。
[例1]求函数 y x32x2x 2的零点.[ 解题思路 ] 求函数yx 32x 2x 2的零点就是求方程 x 32x 2x 2 0的根[解析]令 x32x2x 2 0，∴ x2 ( x 2) ( x 2) 0∴ (x 2)( x 1)( x 1) 0 ，∴x1或x 1或 x 2即函数yx32x 2x2的零点为 -1 ，1，2。
[ 反思归纳 ]函数的零点不是点，而是函数函数y f ( x) 的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。
题型 2：确定函数零点的个数。
[例2]求函数 f(x)=lnx＋2x － 6 的零点个数 .[ 解题思路 ] 求函数 f(x)=lnx＋ 2x －6 的零点个数就是求方程 lnx ＋ 2x －6=0 的解的个数[ 解析 ] 方法一：易证 f(x)= lnx＋ 2x －6 在定义域(0,)上连续单调递增，又有 f (1) f (4)0，所以函数 f(x)= lnx ＋ 2x－6 只有一个零点。
方法二：求函数 f(x)=lnx ＋2x－ 6 的零点个数即是求方程lnx ＋2x－ 6=0 的解的个数y ln x即求y62x 的交点的个数。
画图可知只有一个。
[ 反思归纳 ]求函数y f ( x)的零点是高考的热点，有两种常用方法：①（代数法）求方程f ( x)0的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f ( x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
题型 3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[ 例3] (2007 ·广东 ) 已知 a 是实数 , 函数f x2ax22x 3a, 如果函数y f x在区间1,1上有零点，求 a 的取值范围。
[ 解题思路 ] 要求参数 a 的取值范围，就要从函数y f x 在区间1,1 上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到 a 作为x2的系数，故要对 a 进行讨论[ 解析]若a 0, f ( x)2x 3 ,显然在1,1上没有零点 ,所以a 0.48a 3a8a 224a4, 解得a37令2 a37y f x1,12时,上;①当恰有一个零点在②当f1 f 1a1a50 ，即1 a 5 时，yf x在1,1 上也恰有一个零点。
如何求函数零点的大致区间
如何求函数零点的大致区间
要求函数零点的大致区间，可以利用函数的性质和一些数值计算方法来确定。
以下是一些常用的方法：
1. 利用函数的图像来确定零点的大致区间。
首先，画出函数的图像，观察函数在横轴上的交点。
根据交点的位置，可以估计出零点的大致区间。
例如，如果函数在某个区间内的图像上方有一个交点，而在该区间内的图像下方没有交点，则该区间内很可能存在一个零点。
2. 利用函数的符号变化来确定零点的大致区间。
首先，找出函数的可能零点的候选区间。
然后，计算函数在这些候选区间的值，并观察函数值的符号变化。
如果函数在某个区间内的函数值从正数变为负数，或者从负数变为正数，则该区间很可能包含一个零点。
3. 利用二分法来确定零点的大致区间。
二分法是一种数值计算方法，通过不断将函数的区间进行划分，并计算函数在每个区间中点的值，然后根据函数值的符号确定下一步的区间，直到找到零点的大致区间为止。
4. 利用牛顿迭代法来确定零点的大致区间。
牛顿迭代法是一种数值计算方法，通过不断迭代逼近函数的零点。
根据函数的零点的近似值，通过牛顿迭代公式计算下一个近似值，并根据迭代过程中的函数值的符号确定零点的大致区间。
这些方法不一定能够准确得到零点的位置，但可以给出一个较为可靠的零点的大致区间。
matlab找零点函数
matlab找零点函数在MATLAB中，要寻找函数的零点，可以使用几种不同的方法，包括二分法、牛顿法、割线法和方程迭代法等。
下面将介绍这些方法的原理和MATLAB中的实现。
1. 二分法（Bisection Method）：对于一个已知的连续函数 f(x)，如果在区间 [a, b] 内 f(a) 和 f(b) 异号，则函数在该区间内至少存在一个零点。
二分法的基本思想是不断将区间二分，直到找到零点的近似解。
可以使用MATLAB内置函数 fzero 来实现二分法。
例如，对于函数 f(x)= x^2 - 4，在区间 [1, 3] 内寻找零点的代码如下：```matlabx = fzero(f, [1, 3]);disp(x);```2. 牛顿法（Newton's Method）：牛顿法基于函数的泰勒级数近似，通过迭代逼近函数的零点。
其基本思想是在当前估计值 x0 处，通过函数f(x) 的导数 f'(x) 来计算下一个估计值 x1、可以使用MATLAB内置函数fzero 来实现牛顿法。
例如，对于函数 f(x) = x^2 - 4，在初始估计值x0 = 2 处寻找零点的代码如下：```matlabx0=2;x = fzero(f, x0);disp(x);```3. 割线法（Secant Method）：割线法是在牛顿法的基础上做了改进，使用两个初始估计值 x0 和 x1 来逼近函数的零点。
割线法的迭代公式为x(n+1) = x(n) - f(x(n)) * (x(n) - x(n-1)) / (f(x(n)) - f(x(n-1)))。
同样，可以使用MATLAB内置函数 fzero 来实现割线法。
例如，对于函数 f(x) = x^2 - 4，在初始估计值 x0 = 1 和 x1 = 2 处寻找零点的代码如下：```matlabx0=1;x1=2;x = fzero(f, [x0, x1]);disp(x);```4. 方程迭代法（Fixed-Point Iteration Method）：方程迭代法是将原方程 f(x) = 0 转化为等价的迭代方程 x = g(x)，通过不断迭代g(x) 来逼近函数的零点。
零点定理文档
零点定理简介在数值计算和数学分析领域中，零点定理是指寻找函数的零点的一类方法。
也就是说，它们帮助我们找到函数在某个区间内的根或解。
零点定理在实际应用中起着重要的作用，例如在优化算法、非线性方程求解和图像处理等领域。
一、二分法二分法是最常见的零点定理之一。
它的思想非常简单，通过不断缩小区间来逼近根的位置。
具体步骤如下：1.选择一个初始区间[a, b]，其中函数f(a)和f(b)的符号必须不同。
2.计算区间的中点c，即(a + b) / 2。
3.计算函数在中点处的值f(c)。
4.如果f(c)等于 0，那么c就是零点。
如果不等于 0，继续下一步。
5.如果f(a)与f(c)的符号相同，说明根在区间[c,b]中，将a的值更新为c，然后返回第 2 步。
6.如果f(b)与f(c)的符号相同，说明根在区间[a,c]中，将b的值更新为c，然后返回第 2 步。
该方法不断迭代，直到找到满足精度或迭代次数的根。
二分法的优点是收敛速度较快且易于实现，但它对初始区间的选择比较敏感。
二、牛顿法牛顿法是另一种常用的零点定理。
它是一种迭代方法，通过使用函数的导数来逼近根的位置。
以下是牛顿法的步骤：1.选择一个初始点x0。
2.计算函数在x0处的导数f'(x0)。
3.计算曲线和 x 轴的交点，即求解方程f(x0) +f'(x0) * (x - x0) = 0，其中x是未知的根。
4.通过求解上述方程，得到x1。
将其作为下一次迭代的初始点。
5.重复步骤 2-4，直到满足预设的精度条件或达到最大迭代次数。
牛顿法的收敛速度较快，尤其是初始点选择得当时。
然而，对于某些函数和情况，牛顿法可能会出现发散的问题。
三、割线法割线法是一种类似于牛顿法的迭代方法。
与牛顿法使用函数的导数来逼近根不同，割线法使用两个初始点之间的割线来逼近根。
具体步骤如下：1.选择两个初始点x0和x1。
2.计算函数在x0和x1处的值f(x0)和f(x1)。
3.计算通过两点(x0, f(x0))和(x1, f(x1))的割线的方程。
函数的单调性与零点的求解
函数的单调性与零点的求解函数的单调性和零点的求解在数学中是非常重要的概念和技巧。
单调性描述了一个函数在某个区间内的增减趋势，而求解函数的零点则是求出函数取零的x值。
本文将对函数的单调性和零点的求解进行详细的讨论。
一、函数的单调性函数的单调性指的是函数在定义域内增减的趋势。
一个函数可以是递增的，也可以是递减的，还可以是常数函数或者不单调的函数。
下面是一些常用的判断函数单调性的方法：1. 导数法：对于连续可导的函数，通过求导可以得到函数的导函数，即函数的变化率。
如果导函数在某个区间内恒正，那么函数在该区间内是递增的；如果导函数在某个区间内恒负，则函数在该区间内是递减的。
2. 增减表法：对于不连续的函数或者无法求导的函数，可以通过增减表来判断函数的单调性。
增减表是一个表格，将函数的定义域分成若干个区间，然后确定每个区间上函数的增减性。
在每个区间内选择一个x值，代入函数中求得函数值，然后观察函数值的增减情况，从而确定函数的单调性。
二、函数零点的求解函数的零点指的是函数取零的x值，即满足函数f(x) = 0的x值。
求解函数的零点在许多数学问题中都是非常重要的：1. 列方程法：对于一元函数，可以通过列方程来求解函数的零点。
将函数等于零的方程列出，然后通过解方程的方法来求得函数的零点。
例如，对于函数f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以将f(x) = 0化为方程x^2 -4x + 3 = 0，然后通过因式分解、配方法或者求根公式等方法解方程，得到函数的零点为x = 1和x = 3。
2. 图像法：对于一元函数，可以通过观察函数的图像来估计函数的零点。
将函数的图像绘制在坐标系中，然后通过观察图像与x轴的交点来估计函数的零点。
这种方法在函数比较简单、对称性较明显的情况下比较有效。
3. 数值解法：对于一些复杂的函数，或者求解精度要求较高的情况，可以使用数值解法来求解函数的零点。
常用的数值解法包括二分法、牛顿迭代法、割线法等。
函数零点区间的求法
函数零点区间的求法
函数零点求法是一种数学技术，其主要作用是通过分析函数的行为来确定它在特定区间内的零点（即根）。
由于函数零点可以揭示函数的性质，它一直是最基本的求解解析函数的方式之一。
如果一个函数在某个区间内只有一个零点，那么可以根据函数表达式的性质使用某种方法找出这个点。
有三种基本方式可以用来求取函数零点：分段函数、图形法以及特征分析法。
首先，最简单的是分段函数，它可以通过迭代一个函数的一个极限，找出一段区间内可能存在零点的函数临界值来确定其零点。
其次，采用图形法时，可以画出函数的曲线图，通过观察其曲线的性质来确定
它的零点。
最后，特征分析法的基本思想是用求导法对函数求导，因此可以由零点的性质确定函数的零点。
此外，当求解函数零点区间时，可以采取多种不同的策略，比如使用函数迭代、采用仿射变换等方法。
这些方法可以精确地求出函数零点区间，并预测函数的行为。
总之，函数零点求法是一种探索函数的特性的重要方法，它可以用来准确地
确定函数在特定区间内的零点，从而更好地分析函数的行为。
所以，这种算法广泛应用于数学、物理和工程等领域，它的重要性和威力不容小觑。
高中数学必修一函数零点知识点总结
高中数学必修一函数零点知识点总结函数零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，也就是函数使得y=0的x值。
函数零点是函数的重要特征之一，对于数学问题的解决有着重要的意义。
本文将会对于高中数学必修一中的函数零点知识点进行总结和归纳，目的是帮助大家更好的理解和掌握这一知识点。
一、函数零点的基本概念在高中数学必修一中，我们首先需要了解函数和零点的基本概念。
1.函数函数是一种映射关系，通常用f(x)表示。
f(x)代表的是自变量x 经过一个映射后得到的因变量y。
2.零点零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，即函数使得y=0的x 值。
二、函数零点的求解方法了解了基本的概念后，下一步就是了解函数零点的求解方法。
通常用以下几种方法进行求解：1.图像法用函数的图像上的交点来确定零点的大致位置。
这是一种较为直观的方法，但是可能存在误差。
2.代数法代数法是计算函数表达式的零点。
对于一次函数，可以通过解一元一次方程的方法求解零点；对于高次函数，可以使用因式分解再使用一元高次方程求解零点。
3.牛顿迭代法牛顿迭代法是利用导数求得函数的切线，再求得切线与x轴的交点，作为函数零点的估算值，通过反复迭代不断无限接近真实的零点。
三、函数零点的意义函数零点的意义不仅仅是代表交点的横坐标，而且它还有许多重要的实际意义。
1.解方程函数零点可以帮助我们解出方程，对于很多实际问题，都可以通过建立函数模型，然后求出函数的零点来解决问题。
2.最优解函数的零点常常代表着一些最优解。
例如，在一段时间内销售收入为0的时间点可能是关键节点，需要重点关注。
3.寻找某些性质在研究函数性质的过程中，函数的零点也具有重要的作用。
比如，函数在零点处是否有极大值或者极小值等。
四、函数零点的应用函数零点在实际应用中也有着广泛的应用。
1.物理学应用物理学中的许多问题都可以通过建立函数模型求解。
例如，简谐运动的周期、波浪的速度等等，都需要求解函数的零点。
2.经济学应用函数零点可以帮助我们优化经济模型，例如，一些变量的收益和成本之间的平衡点可以通过函数零点来寻找。
求函数零点的方法二分法
,
b0]
的中点，那么此中点对应的横坐标为
x0=(1+2)/2=1.
1 1 (3)如果f(a1)f(x1) >0 ，那么零点位于区间[x1 , b1]中，令a2=x1,b2=b1.
xa 点时不变号，这样的零点叫做不变号零点 (ba) (ab).
2 2 变号零点：x1 , x2
0
0
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)如果f(a1)f(x1) >0 ，那么零点位于区间[x1 , b1]中，令 a2=x1,b2=b1.
……
继续实施上述步骤，直到区间[an,bn] ，函数的零点总位 于区间[an,bn] 上，当an 和 bn 按照给定的精确度所取的近 似值相同时，这个相同的近似值就是函数 y=f(x)的近似零点， 计算中止.这时函数y=f(x) 的近似零点满足给定的精确度.
例题分析
求函数f (x) = x3+x2-2x-2 的一个正实数零点〔精确到0.1〕
解： 由于f (1)=-2<0,f (2)=6>0可以确定区间[1,2]作为 计算的初始区间. 用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值
定区间
a0=1, b0=2
f (1)=-2， f (2)=6
0
0
0
f (x2)=-0. 计 算 f(x)与 f(a)， 并 判 断 ：
f (1)=-2， f (2)=6
0
0
(1)如果 f (x0)=0 用二分法逐步计算，列表如下：
4375] 的左右端点保
，那么
x0就是f (x)
的零点，计算中止
留两位有效数字所取的近似值都是1.
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函数零点
一、知识点回顾
1函数零点的定义：对于函数 y 二f(x),我们把使f(x) =0的实数x 叫做函数y 二f (x)的零点。
注意：(1)零点不是点；
(2)方程根与函数零点的关系：方程f(x) =0有实数根=函数y = f(x)的图象与x 轴有交点=函 数八f (x)有零点.
2、 零点存在性定理：如果函数y = f(x)在闭区间［a, b ］上的图象是连续曲线，并且有f(a) f (b) ：：： 0,那 么，函数y = f (x)在区间(a, b)内至少有一个零点.
3、 一个重要结论：若函数 y = f (x)在其定义域内的某个区间上是单调的，则 f (x)在这个区间上至多有
一个零点。
4、 等价关系：函数F(x) = f (x) -g(x)有零点二 方程F(x) = f (x)-g(x) =0有实根=方程组
V " = f (x) ............. 一，,
,,
有实数根二 函数比=f (x)与y 2 = g(x)的图像有交点。
y =g(x)
二、 求函数y 二f (x)零点的方法 1解方程f(x) 0的根；
2、 利用零点存在性定理和函数单调性:
3、 转化成两个函数图像的交点问题。
三、 典例分析
例2若函数f(x) =2x 2 -x • a 有两个零点，且一个在(—
2, 0)内，另一个在(1, 3)内，求a 的取值
范围.
变式
2
1、 已知关于x 的方程3x —5x+a=0的两根x , x 2满足治丘(—2,0) , x 2丘(1,3)，求实数a 的取值范围.
2、 已知函数 f (x) =(x-a)(x-b) • 2(a ：：：b)，若〉，-1 )是方程 f(x)=0的两个根，则实数
a, b,〉，：之间的大小关系是(
)
A 一 ::: a ::: b ：：： -
B. a ：： ： :: - :: b C . a ：： ： :: b ：： ： D. ： :: a ：： - ::: b
例1二次函数y =ax 2 • bx • c 的部分对应值如下表:
则不等式ax 2 bx c 0的解集是
3.函数f (x) =ax • 2a • 1, a = 0，若在- x 乞1上，f (x)存在一个零点，则实数 a 的取值范围是
2
x
例3 函数y =石和y=|log 2x 的图象的交点有
(A ) 1 个
(B )2 个
(C ) 3 个
变式：
1、若方程x = x b 有两个不相等的实数根，求 b 的取值范围.
2、已知函数 l 2x _1 x 0
f(x)
若函数g(x)=f(x)_m 有3个零点，则实数 m m 的取值范围是
卜x -2x,x w 0.
练习
1.已知函数 f (x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于
2.函数f(x) =x 2 -1,g(x^a|x -1| •若关于x 的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解，求 a 的取值范围;
3.方程lgx+x=3的解所在区间为(
1 4. f (x) = lg x
零点所在区间是( ).
x
A. (0,1]
B. (1,10]
C. (10,100]
D. (100,：：)
5.若 a b c ,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)，(x-b)(x-c)，(x-c)(x-a)两个零点分别位于区间
(A ) (a,b)和(b,c)内
(B )(Y ；a)和(a,b)内(C ) (b,c)和(c,=)内
(D )(Y ，,a)和(c,：：)内
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(D ) 4 个
A . (0 , 1)
B (1 , 2)
C . (2 , 3) D
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