解决函数零点问题的几种方法

下载时间：2010年8月6日
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极小值厂（ｎ）＜ｏ．一ｌｉｒａ。厂（ｚ）＝０，方程厂（ｚ）＝０无实 根
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极小值ｆ（ａ）＞Ｏ，方程ｆ（ｘ）＝０无根
＝０，所以在区间（０，＋００）内有唯一的一个实根。
（２）当ａ＝０时，方程变为１船＝０，另知有根且
唯一。
（３）当ｎ＞ｏ时，函数，（ｚ）有驻点ｚ。２７乏唯
一且当ｚ＜ＸＯ时，厂（ｚ）＜０，当Ｘ＞ｚｏ时，厂（ｚ）＞
ｏ，可知：厂（ｘＯ）＝丢（１＋ｉｎ２口）是极小值也是最小
值。
２
当口２五１时，方程厂（ｚ）＝０有唯一根，Ｘｏ
３、创设矛盾情境，促使学生主动思维、灵活思 维。如何活跃学生已有的认知图式，迅速提取有针 对性的知识，迁移至适当的问题情境，这与认知结构
中同化、顺应的能力和主动学习的心向有关。创设 矛盾情境，能使学生灵活思考问题，积极调整认知结 构中的有关成分，做好迁移的知识准备和心理准备， 从中把握迁移的方向。
４、指导学生灵活运用解题方法。解题方法的迁 移与知识、技能一样，具有两重性。不加分析，不理 解其本质，按部就班，往往成为消极定势。但解题教 学中如注意从方法的本质入手，培养学生的思维策 略，对于同类问题，即能举一反三，触类旁通，达到灵 活、简捷快速、准确的解题要求。
１、通过变式训练，抓住问题的共同要素。对疑 难问题进行变式练习，从多个角度考察问题，有助于 掌握其本质属性，从而灵活地运用知识。
２、注意引入“过度性”材料，使已解决的问题与 新问题之间建立良好的衔接关系，从而顺利地实现 “以旧引新”的迁移过程。充当新旧知识联系的“中 介”，心理学上又称“认知桥梁”或“先行组织者”，一 般呈现于正式所要解决的问题之前，使迁移的思路 和方向更为明确。这些“过度性”材料，通常概括程 度较高，具有较多可迁移至解决新问题的共同要素， 因而能降低学习难度。
2006,5(2)
以高等数学中闭区间上连续函数的介值定理为基础,通过考察椅子四个脚连线呈长方形和等腰梯形两种情况来对模型进行假设、构成,并构造辅助的 连续函数来对模型求解,用数学语言解释放在不平的地面上的椅子的平稳问题.
7.期刊论文 张素梅.ZHANG Su-mei 赋范线性空间中的两个定理 -河北省科学院学报2007,24(3)
二、利用介值定理（零点定理）求解 定理：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，且 ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜Ｏ，则在（口，ｂ）内至少存在一点拿，使厂 （拿）＝０，这个车就是满足上述的方程ｆ（ｚ）＝０的 根。 例１ 设ａ＞０，ｂ＞０，证明３７＝ａｓｉｎａ：＋ｂ至少 有一个正根且它不超过口＋ｂ。 证：令ｆ（ｘ）＝ｚ—ａｓｉｎａ：一ｂ，选定区间［０，口－ｔ－ ｂ］ 计算ｆ（Ｏ）＝一ｂ＜０，ｆ（ｎ＋ｂ）＝ａ＋ｂ—ａｓｉｎ （ｎ＋ｂ）一ｂ＝ａ［１一ｓｉｎ（ａ＋ｂ）］≥Ｏ 讨论：若ｆ（ａ＋ｂ）＝０，那么方程ｚ＝ａｓｉｎ ａ＋ｂ 的根为ａ＋ｂ，问题得证。 若ｆ（ａ ｑ－ｂ）＞０，则ｆ（Ｏ）·ｆ（ａ＋ｂ）＜０，又厂 （ｚ）在［０，口＋ｂ］上连续，由介值定理得：存在一点ｃ ∈（０，ａ十ｂ），使ｆ（ｃ）＝０，即ｃ是方程ｆ（２７）＝０的 根，且ｃ＞０，ｃ＜ａ＋ｂ，证毕。 二、利用罗尔定理求解 若函数ｆ（２７）满足：
本文给出了闲区间上连续函数的性质定理--零点定理,介值定理,微分中值定理--罗尔定理,拉格朗日中值定理的推论及其证明,将函数在闭区间上连 续的条件改为在开区间内连续且极限存在(或为∞)的条件,从而拓宽了定理的应用范围.
6.期刊论文 汤汉举.王国立 基于连续函数零点存在定理的椅子平稳问题分析 -漯河职业技术学院学报(综合版)
可导并且满足ｆ（Ｏ）＝０，ｌｉｒａ ｆ（ｘ）＝０，则存在拿∈ （０，＋∞），使厂（｝）＝０。
解：如果ｆ（ｚ）＝０，那么在（０，＋∞）上处处有 厂（ｚ）＝０，因此不妨设ｆ（ｘ）在（０，＋∞）不恒等于 零。于是存在ｚｌ＞０，使得ｆ（ｘ１）≠０，又不妨设厂 （ｚ１）＞０。
由于ｌｉｒａ ｆ（ｘ）＝０，所以存在正数Ｎ，使得当ｚ
成都航空职业技术学院学报
Ｊｏｕｎ“ｏｆ ａ１∞鲥ｕ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃ
Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ＆Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ
２００４年１２月第４期（总第６１期） Ｖ０１．２０ Ｎｏ．４（Ｓ数零 点 的几种方法 问易 题林
（成都农业科技职业学院 四川Ｉ 温江 ６１１１３０）
当ａ＞０时。 口 ＞ 时 两条曲线无交点
，●ｆ、●【 口 ＜ １一幻●一如１一知 时 两条曲线有两个交点 综上所述，灵活运用微积分学的基本理论与方 法，可以从不同的层面较顺利地解决有关零点（实 根）的存在性问题。 参考文献： ［１］同济大学．高等数学第四版．大连理工大
学出版社．２００１年１１月 ［２］盛祥耀．高等数学．高等教育出版社
摘要：本文阐述利用高等数学中的介值定理、罗尔定理、费马原理、函数极值的理论与方法， 解决有关零点（实根）的存在性问题。
关键词：零点介值定理 罗尔定理 费马原理函数极值
中图分类号：０１７４．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７１—４０２４（２００４）０４—４０—０３
引言：如果存在３６＝手使厂（拿）＝０成立，则称ｅ 是函数ｆ（ｘ）的零（值）点或者称亭是方程ｆ（３７）＝０ 的实根，无论在理论还是在应用上，函数零点（实根） 的存在性都是一个重要课题。高等数学中微积分学 的理论与方法，为解决这个问题提供了更丰富的手 段。
结合实数空间中闭区间上连续函数的性质,得出了赋范线性空间中连续泛函的"零点存在定理"和"介值定理".
引证文献(1条)
1.高新慧.李杰 连续函数零点问题[期刊论文]-漯河职业技术学院学报 2008(5)
本文链接：/Periodical_cdhkzyjsxyxb200404011.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：897aa73f-8c27-432c-adbd-9dca00ace146
4.期刊论文 孟赵玲.李秀淳 用微积分理论解决函数零点问题的几种方法 -北京印刷学院学报2003,11(1)
介值定理是解决函数零点(或方程的根)存在性问题的基本方法,但在难以认定函数是否满足介值定理的条件时,可以考虑利用积分中值定理、罗尔中 值定理或费马定理来解决这一问题.
5.期刊论文 闭区间上连续函数的性质定理及微分中值定理的推论 -河北工业大学成人教育学院学报2005,20(3)
参考文献 １、龙琪，综合与创新，《化学教育｝２０００年第１ｌ 期 ２、王顺明，探索性实验教学的尝试和体会《化学 教育｝２００２年第１０期 ３、贺湘善，顺俊明主编《化学教师基本功讲座》 北京师范学院出版社
（责任编辑何文）
（上接第４１页）
上
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当口＞去时，此时最小值ｆ（ＸＯ）＞ｏ，所以：ｈ－程 ／ｐ
ｆ（ｘ）＝０无实根。
当口＜去Ｚｅ时，此时最小值ｆ（ｘｏ）。＜ｏ，又ｚｉ删强＋。厂
·４４·
（ｘ）＝＋∞，ｌｉｒａ ｆ（ｚ）＝＋００，所以方程ｆ（ｘ）＝０ Ｔ一十∞
有两个实根。 结论： 当口≤０时，两条曲线有唯一交点。
口 ＩＩ 时 两条曲线有唯一交点
参考文献(2条) 1.同济大学 高等数学 2001 2.盛祥耀 高等数学 2003
相似文献(7条)
1.期刊论文 梁瑞光.郭强.LIANG Rui-guang.GUO Qiang 介值定理在中学数学中的应用 -长治学院学报2005,22(2)
文章主要讨论介值定理在中学数学中的应用.在中学数学中介值定理主要应用在下列三类问题:(1)方程根的分布;(2)解不等式;(3)反函数的存在性与 定义.
解：考察函数ｆ（ｚ）＝２。一２７２；２—１，计算得到
１
ｆ（一１）＜ｏ，厂（寺）＞ｏ，ｆ（２）＜ｏ，ｆ（５）＞ｏ。
１
１
所以ｆ（２７）在区间［一１，告］，［告，２］，（２，５）各
至少有一个零点，于是方程２２＝１＋ｚ２至少有三个 实根。
又考察函数／，（ｚ）＝（１ｎ２）２·２ｔ２，这个函数至 （一∞，＋ｏｏ）单调增加，且当ｚ—，一∞时，／，（ｚ）一 一２，当ｚ一十ｃｏ时，厂（ｚ）一十。ｏ，所以厂（ｚ）在 （一∞，＋∞）有唯一的零点，所以由罗尔定理可以推 出／（ｚ）＝（１ｎ２）·２。一２ｘ在（一∞，＋∞）至多有 两个零点，同样的分析又可推出ｆ（ｘ）＝２。一ｚ２—１ 在（一ｏｏ，＋ｏｏ）至少有三个零点。
综合上述分析，方程２。＝１＋ｚ２在（一ｏｏ，＋ ｏｏ）恰好有三个根。
三、利用费马原理求解 若函数ｆ（２７）在点ｚｏ处，且在ｚｏ的某邻域内 恒有ｆ（ｚ）≤ｆ（２７０）（ｆ（ｚ）≥ｆ（２７０）），则必有厂
万方数据
解决函数零点问题的几种方法
（ｘＯ）＝０。 例３设ｆ（ｘ）在［０，＋∞］上连续，在（０，＋００）
１
１
（ｚ）＝２ａｘ一三＝三（２ｎｚ２—１）
（１）当口＜０时，厂（ｚ）＜０≥，（ｚ）递减，又 ｌｉｍ．＋ｆ（ｘ）＝＋∞，ｌｉｍ＋ｆ（ｘ）＝（下转第４４页）
万方数据
·４１·
浅议化学知识与技能的积极迁移
一旦出现问题，进退两难，直接阻碍知识的有效迁 移。上述现象提示我们，教学中必须重视提高学生 解决问题的指向性和灵活性水平。实践表明，有策 略的问题解决和习题练习是实现这一目标的有效途 径。具体而言，应把握以下几个方面：
．２００３年７ （责任编辑张勇）
万方数据