《规律探究》2016年中考集训

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2016届中考数学复习专题1+探索规律问题

专题一探索规律问题
这类问题是根据给出的具有某种规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过观察、分析，探究所蕴含的本质规律和共同特征，或者发展变化的趋势，据此探索出一般性的结论.考查学生的归纳、概括、类比能力.
解决这类问题的一般方法是：“从特殊情形入手——探索发现规律——猜想结论——验证.”
x 12（a1 1）.
∵x为整数点，∴a1=1，
∴M1（1，1）.
M2（a2，a2）是抛物线y2=（x-a2）2+a2=x2-2a2x+a22+a2顶点，
抛物线y=x2与y2相交于A2，
x2
x2
2a 2x
a
2 2
a 2，
2a 2x
a
2 2
a 2，
x
1（ 2
a2
1）.
x 为整数点， a 2 3，
（2015·贵州安顺）如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中的基础图形个数为 ______（用含n的式子表示）.
【解答】观察图形可知，第1个图案共有基础图形3×1+1=4个；第2个图案共有基础图形3×2+1=7个；第3个图案共有基础图形3×3+1=10个； … 则第n个图案共有基础图形3×n+1=3n+1个. 【答案】3n+1
∴A 1M
2. 3
同理：△A1MD2∽△A2D2D3，
∴
A1M A2D2
A1D2 A2D3
.2
设A2C2=x，则 3
2.
x2 x
解得x=3.
同由 ∴ 【理此答A 9可规案C 9求律】可3 A 238 得873 C . 3 A即 nC正9 2 ， n方A 形234 nnC A1294 C. 9C2 14 07 D， 10的A 5 边C 5 长是8 8 1 23， 8 7 . ， 27

2016中招数学规律试题

2016中招数学探索规律试题1.2016•聊城）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是（21008，0）．1题图3题图2. ．在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②，②﹣①得，3S﹣S=39﹣1，即2S=39﹣1，随意S=．得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值？如能求出，其正确答案是_____________________.3.（2016•德州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x 轴的垂线交l2于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为__________________.4.(2016.重庆) 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A．64 B．77 C．80 D．855. (2016.重庆)观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）A ．43B ．45C ．51D ．536. （2016•临夏州）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x 1，第二个三角形数记为x 2，…第n 个三角形数记为x n ，则x n +x n+1=______________.7. (2016·广东)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点B 顺时针旋转到△A 1BO 1的位置，使点A 的对应点A 1落在直线y=x 上，再将△A 1BO 1绕点A 1顺时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y=x 上，依次进行下去…，若点A 的坐标是（0，1），点B 的坐标是（，1），则点A 8的横坐标是_____________.7题图9题图8. （2016•安顺）观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是___________________（用含n 的式子表示）9. (2016.河南)如图，已知菱形OABC 的顶点是O （0，0），B （2，2），若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转450，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为（） A.（1，-1） B.（-1，-1） C.0） D.（0，10. （2016•大庆）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n 个图形中共有三角形的个数为_________11. （2016•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x 轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n OC n B n的对角线交点的坐标为_______________11题图12题图12如图，直线l：y=－4x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为..13. （2016•常德）平面直角坐标系中有两点M（a，b），N（c，d），规定（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），则称点Q（a+c，b+d）为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A（2，5），B （﹣1，3），若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是____________________14. （2016•岳阳）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为_____________15. （2016•滨州）观察下列式子：1×3+1=22；7×9+1=82；25×27+1=262；79×81+1=802；…可猜想第2016个式子为_______________________________答案1解：∵正方形OA1B1C1边长为1，∴OB1=，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，∴OB2=2，∴B2点坐标为（0，2），同理可知OB3=2，∴B3点坐标为（﹣2，2），同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8），B7（8，﹣8），B8（16，0）B9（16，16），B10（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2016÷8=252∴B2016的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，∴B2016的坐标为（21008，0）．故答案为：（21008，0）．2.【解答】解：设S=1+m+m2+m3+m4+…+m2016（m≠0且m≠1）①，将①×m得：mS=m+m2+m3+m4+…+m2017②，由②﹣①得：mS﹣S=m2017﹣1，即S=，∴1+m+m2+m3+m4+…+m2016=（m≠0且m≠1）．故答案为：（m≠0且m≠1）．3.【解答】解：观察，发现规律：A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…，∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）．∵2017=1008×2+1，∴A2017的坐标为（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）=（21008，21009）．故答案为：（21008，21009）．4【解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第一个图形为：+12=4，第二个图形为：+22=6，第三个图形为：+32=10，第四个图形为：+42=15，…，所以第n个图形为：+n2，当n=7时，+72=85，故选D．5.【解答】解：设图形n中星星的颗数是a n（n为自然是），观察，发现规律：a1=2，a2=6=a1+3+1，a3=11=a2+4+1，a4=17=a3+5+1，…，∴a n=2+．令n=8，则a8=2+=51．故选C．6.【解答】解：∵x1=1，x2═3=1+2，x3=6=1+2+3，x4═10=1+2+3+4，x5═15=1+2+3+4+5，…∴x n=1+2+3+…+n=，x n+1=，则x n+x n+1=+=（n+1）2，故答案为：（n+1）2．7.【解答】解：由题意点A2的横坐标（+1），点A4的横坐标3（+1），点A6的横坐标（+1），点A8的横坐标6（+1）．故答案为6+6．．8【解答】解：第一个图中钢管数为1+2=3；第二个图中钢管数为2+3+4=9；第三个图中钢管数为3+4+5+6=18；第四个图中钢管数为4+5+6+7+8=30，依此类推，第n个图中钢管数为n+（n+1）+（n+2）+…+2n=+=n2+n，故答案为：n2+n．9.【解析】：本题考查了中点坐标的求法及旋转的知识，每秒旋转450，8秒旋转一周，60秒÷8=7周余4秒，正好又转1800，由第一象限转到第三象限，前后是中心对称，点D坐标是（1，1），所求坐标是（-1，-1），故选B。

中考数学专题训练01：规律探索题(含答案)

专题训练(一)[规律探索题]1.如图1-1所示,下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去,第n 个图形中有120朵玫瑰花,则n的值为()图1-1A.28B.29C.30D.312.观察下列等式:71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,…,那么计算71+72+73+…+72020的结果的个位数字是()A.9B.7C.6D.03.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m的值为 ()图1-2A.180B.182C.184D.1864.下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按此规律排列下去,第⑨个图形中菱形的个数为()图1-3A.73B.81C.91D.1095.请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),(1-x)(1+x+x2+x3),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是()A.1-x n+1B.1+x n+1C.1-x nD.1+x n6.图1-4中的图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成的,其中第①个图形有1颗棋子,第②个图形一共有6颗棋子,第③个图形一共有16颗棋子,…,则第⑥个图形中棋子的颗数为()图1-4A.51B.70C.76D.817.如图1-5,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,依此下去,第n个正方形的面积为()图1-5A.(√2)n-1B.2n-1C .(√2)nD .2n8.按一定规律排列的一列数依次为:23,1,87,119,1411,1713,…,按此规律,这列数中的第100个数是 .9.已知a 1=-32,a 2=55,a 3=-710,a 4=917,a 5=-1126,…,则a 8= .10.如图1-6,自左至右,第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成;第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成;第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成;…;按照此规律,第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为个.图1-611.观察下面的单项式:a ,-2a 2,4a 3,-8a 4,…,根据你发现的规律,第8个式子是 .12.观察下列各式:√1+13=2√13,√2+14=3√14,√3+15=4√15,…,请你将所发现的规律用含自然数n (n ≥1)的代数式表达出来: .13.图1-7是将正三角形按一定规律排列的,则第五个图形中正三角形的个数是 .图1-714.观察下列等式:42-12=3×5;52-22=3×7;62-32=3×9;72-42=3×11;…,则第n (n 是正整数)个等式为 .15.如图1-8,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标为A (-1,1),B (0,-2),C (1,0).点P (0,2)绕点A 旋转180°得到点P 1,点P 1绕点B 旋转180°得到点P 2,点P 2绕点C 旋转180°得到点P 3,点P 3绕点A 旋转180°得到点P 4,…,按此作法进行下去,则点P 2017的坐标为 .图1-816.如图1-9,直线l为y=√3x,过点A1(1,0)作A1B1⊥x轴,与直线l交于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴于点A2;再作A2B2⊥x轴,交直线l于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交x轴于点A3,…,按此作法进行下去,则点A n的坐标为.图1-917.正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…,按如图1-10所示的方式放置.点A1,A2,A3…和点C1,C2,C3,…分别在直线y=x+1和x轴上,则点B n的坐标是.(n为正整数)图1-10参考答案1.C[解析] 第1个图形有(4×1)朵,第2个图形有(4×2)朵,第3个图形有(4×3)朵, …,第n个图形有4n朵,所以由4n=120得n=30.2.D3.C[解析] 观察各正方形中的4个数可知,1+14=3×5,3+32=5×7,5+58=7×9,故11+m=(11+2)×(11+4),解得m=184.4.C[解析] 整个图形可以看作是由两部分组成,各自的变化规律我们可以用一个表格来呈现:第①个第②个第③个第④个…第个上半1=124=229=3216=42…n2部分下半2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 …n+1部分由此推断出这组图形中菱形个数的变化规律为:n2+n+1.当n=9时,有n2+n+1=92+9+1=91,∴第⑨个图形中菱形的个数为91.5.A[解析] 利用多项式乘多项式法则计算,归纳总结得到一般性规律,即可得到结果.观察可知,第一个式子的结果是:1-x2,第二个式子的结果是:1-x3,第三个式子的结果是:1-x4,…,第n个式子的结果是:1-x n+1.6.C[解析] 通过观察图形得到第①个图形中棋子的颗数为1=1+5×0;第②个图形中棋子的颗数为1+5×1=6;第③个图形中棋子的颗数为1+5+10=1+5×3=16;…所以第个图形中棋子的颗数为1+5n (n -1)2,然后把n=6代入计算即可.7.B 8.299201 [解析] 分别寻找分子、分母蕴含的规律,第n 个数可以表示为3n -12n+1,当n=100时,第100个数是299201.9.1765 [解析] 由前5项可得a n =(-1)n ·2n+1n 2+1,当n=8时,a 8=(-1)8·2×8+182+1=1765.10.(9n+3) [解析] 由图形及数字规律可知,第n 个图中正方形的个数为5n+1,等边三角形的个数为4n+2,所以其和为5n+1+4n+2=9n+3.11.-128a 8 [解析] 根据单项式可知n 为双数时a 的前面要加上负号,而a 的系数为2n-1,a 的指数为n.第8个式子为-27a 8=-128a 8.12.√n +1n+2=(n+1)√1n+2 [解析] 观察所给出的二次根式,确定变化规律:左边被开方数由两项组成,第一项为序号,第二项为序号加2的倒数;右边也为两部分,根号外为序号加1,根号内为序号加2的倒数的算术平方根,即√n +1n+2=(n+1)√1n+2.13.485 [解析] 由图可以看出:第一个图形中有5个正三角形,第二个图形中有5×3+2=17(个)正三角形,第三个图形中有17×3+2=53(个)正三角形,由此得出第四个图形中有53×3+2=161(个)正三角形,第五个图形中有161×3+2=485(个)正三角形.14.(n+3)2-n 2=3×(2n+3) [解析] 确定规律,写出一般式.∵42-12=3×5;52-22=3×7;62-32=3×9;72-42=3×11;∴第n 个式子为:(n+3)2-n 2=3×(2n+3).15.(-2,0) [解析] 根据旋转可得:P 1(-2,0),P 2(2,-4),P 3(0,4),P 4(-2,-2),P 5(2,-2),P 6(0,2),故6次旋转为一个循环,2017÷6=336……1,故P 2017(-2,0).16.(2n-1,0) [解析] 由点A 1坐标为(1,0),过点A 1作x 轴的垂线交直线y=√3x 于点B 1,可知B 1点的坐标为(1,√3).以原点O为圆心,OB1长为半径画弧与x轴交于点A2,所以OA2=OB1,所以OA2=√12+(√3)2=2,因此点A2的坐标为(2,0),同理,可求得B2的坐标为(2,2√3),点A3的坐标为(4,0),B3(4,4√3)……所以点A n的坐标为(2n-1,0).17.(2n-1,2n-1)[解析] 当x=0时,y=x+1=1,∴点A1的坐标为(0,1).∵四边形A1B1C1O为正方形,∴点B1的坐标为(1,1).当x=1时,y=x+1=2,∴点A2的坐标为(1,2).∵四边形A2B2C2C1为正方形,∴点B2的坐标为(3,2).同理,可得点A3的坐标为(3,4),点B3的坐标为(7,4),…,点A n的坐标为(2n-1-1,2n-1),点B n的坐标为(2n-1,2n-1).故答案为(2n-1,2n-1).。

2016中考数学规律探究问题专题复习学案

2016中考数学规律探究问题专题复习学案规律探究问题【题型特征】规律探究性问题的特点是问题的结论不是直接给出,而是通过对问题的观察、分析、归纳、概括、演算、判断等一系列的探究活动,才能得到问题的结论.这类问题,因其独特的规律性和探究性,对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.在近几年全国各地的中考试题中,不仅频频出现规律探究题,而且“花样百出”.常见的类型有:(1)数式规律型;(2)图形变化规律型;(3)坐标变化规律型;(4)数形结合规律型等.【解题策略】解决规律探究性问题常常利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律(符合一定的经验与事实的数学结论),然后验证或应用这一规律解题即可.解答时对分析问题、解决问题能力具有很高的要求.(1)数式规律型:数式规律涉及数的变化规律和式的变化规律,式变化规律往往包含数的变化规律.数的变化规律问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题,主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式为主要内容;式的变化规律通常给定一些代数式,等式或者不等式,猜想其中蕴含的规律,一般解法是先写出代数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中的不同数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系),找出各部分的特征,写出符合条件的格式.(2)图形变化规律型:图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律.主要是观察图形变化过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律.这需要有敏锐的观察能力和计算能力.(3)坐标变化规律型:此类题型主要考查了点的坐标规律,培养学生观察和归纳能力,从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本类问题的关键.(4)数形结合规律型:这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力,解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”,还要有很强的“图形”意识.类型一数式规律型【技法梳理】对于数式规律型问题,关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律,然后再利用这个变化规律回到问题中去解决问题.举一反三(2015山东菏泽)下面是一个某种规律排列的数阵:1 第1行2 第2行2 3 2 第3行4 3 2 第4行……根据数阵的规律,第n(n是整数,且n≥3)行从左到右数第n-2个数是(用含n的代数式表示).2. (2015山东临沂)请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+xn)的结果是( ).A. 1-xn+1B. 1+xn+1C. 1-xnD. 1+xn【小结】此类问题考查的知识点是单项式的知识.找代数式的变化规律,一般是由特殊到一般,得出一般规律.比如典例观察单项式的规律,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键.类型二图形变化规律型典例2 (2015四川内江)如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是.【解析】根据图象规律得出每6个数为一周期,用2015先减2再除以6,根据余数来决定第2015个图形.因为(2015-2)÷6=335……2,故第2015个图形与第2个图象相同,故答案是正方形.【全解】正方形【技法梳理】本题是一道找图形循环排列规律的题目.这类题首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,解题时对观察能力和归纳总结能力有一定要求.举一反三(2015湖北天门)将相同的矩形卡片,按如图方式摆放在一个直角上,每个矩形卡片长为2,宽为1,依此类推,摆放2015个时,实线部分长为.(1)(2)(3)(第3题)4. (2015珠海)如图,在等腰Rt△OAA1中,∠OAA1=90°,OA=1,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2,以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3,…,则OA4的长度为.(第4题)5. (2015湖北十堰)根据如图中箭头的指向规律,从2013到2015再到2015,箭头的方向是以下图示中的( ). (第5题)【小结】 (1)图形循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案,一般难度不大;(2)图形的变化规律计算问题,关键是根据题目中给出的图形,通过观察思考,归纳总结出规律,再利用规律解决问题,难度一般偏大,属于难题.类型三坐标变化规律型典例3 (2015广东梅州)如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n 次碰到矩形的边时的点为Pn,则点P3的坐标是;点P2 014的坐标是.【解析】如图,经过6次反弹后动点回到出发点(0,3), 当点P第3次碰到矩形的边时,点P的坐标为(8,3), ∵2015÷6=335……4,∴当点P第2015次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹.点P的坐标为(5,0).故答案为(8,3),(5,0).【全解】 (8,3) (5,0)【技法梳理】根据反射角与入射角的定义作出图形,可知每6次反弹为一个循环组依次循环,用2015除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.举一反三(2015湖北荆门)如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去,则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是( ).(第6题)(2015山东潍坊)如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2015次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( ).(第7题)A. (-2012,2)B. (-2012,-2)(-2013,-2)D. (-2013,2)【小结】此类题型主要考查点的坐标变化规律,解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.类型四数形结合规律型典例4 (2015山东泰安)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B,O分别落在点B1,C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…….若点 ,B(0,4),则点B2015的横坐标为.故答案为10070.【全解】10070【技法梳理】首先利用勾股定理得出AB的长,进而得出三角形的周长,进而求出B2,B4的横坐标,进而得出变化规律,即可得出答案.举一反三(2015四川内江)如图,已知A1,A2,A3,…,An,An+1是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1,分别过点A1,A2,A3,…,An,An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1,B2,B3,…,Bn,Bn+1,连接A1B2,B1A2,B2A3,…,AnBn+1,BnAn+1,依次相交于点P1,P2,P3,…,Pn.△A1B1P1,△A2B2P2,△AnBnPn的面积依次记为S1,S2,S3,…,Sn,则Sn为( ).(第8题)(2015山东威海)如图,在平面直角坐标系xOy 中,Rt△OA1C1,Rt△OA2C2,Rt△OA3C3,Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上,∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°.若点A1的坐标为(3,0),OA1=OC2,OA2=OC3,OA3=OC4…,则依此规律,点A2015的纵坐标为( ).(第9题)【小结】此类题主要考查坐标的变化规律.解决此类问题的关键是利用数形结合的思想发现运动的规律.综合其用勾股定理等知识点解出相应的问题.类型一(2015山东烟台)将一组数, ,3,2 , ,…,3 ,按下面的方式进行排列:2 , ;2 ,3 , ;……若2 的位置记为(1,4),2 的位置记为(2,3),则这组数中最大的有理数的位置记为( ).A. (5,2)B. (5,3)(6,2)D. (6,5)2. (2015湖北咸宁)观察分析下列数据:0,- , ,-3,2 ,- ,3 ,…,根据数据排列的规律得到第16个数据应是.(结果需化简)(2015贵州铜仁)一列数:0,-1,3,-6,10,-15,21,…,按此规律第n个数为(2015甘肃白银)观察下列各式:2+23=32+23+33=62+23+33+43=102,……猜想13+23+33+…+103=.类型二(2015湖北武汉)观察下列一组图形中点的个数,其中第1个图中共有4个点,第2个图中共有10个点,第3个图中共有19个点…按此规律第5个图中共有点的个数是( ).(第5题)A. 31BD(2015湖南娄底)如图是一组有规律的图案,第1个图案由4个▲组成,第2个图案由7个▲组成,第3个图案由10个▲组成,第4个图案由13个▲组成,…,则第n(n 为正整数)个图案由个▲组成.(第6题)7. (2015广东深圳)如图,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第5个图形中所有正三角形的个数有.…(第7题)类型三(2015湖南邵阳)如图,A点的初始位置位于数轴上的原点,现对A点做如下移动:第1次从原点向右移动1个单位长度至B点,第2次从B点向左移动3个单位长度至C点,第3次从C点向右移动6个单位长度至D点,第4次从D点向左移动9个单位长度至E点,…,依此类推,这样至少移动次后该点到原点的距离不小于41. (第8题)9. (2015甘肃天水)如图,一段抛物线y=-x(x-1)(0≤x≤1)记为m1,它与x轴交点为O,A1,顶点为P1;将m1绕点A1旋转180°得m2,交x轴于点A2,顶点为P2;将m2绕点A2旋转180°得m3,交x轴于点A3,顶点为P3,…,如此进行下去,直至得m10,顶点为P10,则P10的坐标为( ). (第9题)类型四10. (2015四川遂宁)已知:如图,在△ABC中,点A1,B1,C1分别是BC,AC,AB的中点,A2,B2,C2分别是B1C1,A1C1,A1B1的中点,依此类推….若△ABC的周长为1,则△AnBnCn的周长为.(第10题)(2015江苏淮安)如图,顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点,得到四边形A1B1C1D1,然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点,得到四边形A2B2C2D2,再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点,得到四边形A3B3C3D3,…,按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为.12. (2015广东佛山)(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)](2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少? 参考答案【真题精讲】2. A 解析:(1-x)(1+x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1+x+x2-x-x2-x3=1 -x3,…,依此类推(1-x)(1+x+x2+…+xn)=1-xn+方法一:由图形可得出:摆放一个矩形实线长为3,摆放2个矩形实线长为5,摆放3个矩形实线长为8, 摆放4个矩形实线长为10,摆放5个矩形实线长为即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加2, 第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加3,∵摆放2015个时,相等于在第1个的基础上加1007个2,1006个3,∴摆放2015个时,实线部分长为3+10072+10063=50故答案为50方法二:第①个图实线部分长第②个图实线部分长 3+2,第③个图实线部分长 3+2+3,第④个图实线部分长 3+2+3+2,第⑤个图实线部分长 3+2+3+2+3,第⑥个图实线部分长 3+2+3+2+3+2,……从上述规律可以看到,对于第n个图形,当n为奇数时,第n个图形实线部分长度为4. 8 解析:∵△OAA1为等腰直角三角形,OA∴AA1=OA=1,OA1= OA∵△OA1A2为等腰直角三角形, ∴A1A2=OA1= ,OA2= OA1=2.∵△OA2A3为等腰直角三角形,∴A2A3=OA2=2,OA3= OA2=2 .∵△OA3A4为等腰直角三角形,∴A3A4=OA3=2 ,OA4= OA故答案为D 解析:由图可知,每4个数为一个循环组依次循环,2013÷4=503……1,∴2013是第504个循环组的第2个数.∴从2013到2015再到2015,箭头的方向是 .故选D.7. A 解析:∵正方形ABCD,点A(1,3),B(1,1),C(3,1),∴M的坐标变为(2,2).∴根据题意得,第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2-1,-2),即(1,-2),第2次变换后的点M的对应点的坐标为(2-2,2),即(0,2),第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2-3,-2),即(-1,-2),第2015次变换后的点M的对应点的坐标为(2-2015,2),即(-2012,2).故答案为AD 解析:本题根据一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出图形面积变化规律是解题关键.根据图象上点的坐标性质得出点B1,B2,B3,…,Bn,Bn+1各点坐标,进而利用相似三角形的判定与性质得出S1,S2,S3,…,Sn,进而得出答案D 解析:∵∠A2OC2=30°,OA1=OC2=3,【课后精练】 2. -2 解析:本题的规律为:从1开始,连续n个数的立方和=(1+2+3+…+n)2B 6. 3n+ 解析:本题考查图形的变化规律.由图可以看出:第一个图形中5个正三角形,第二个图形中53+2=17个正三角形,第三个图形中173+2=53个正三角形,由此得出第四个图形中533+2=161个正三角形,第五个图形中1613+2=485个正三角形28 9. (9.5,-0.25)12. (1)已知:在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点, 证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,(第12题)∵E是AC的中点,∴A在△ADE和△CFE中,∴△ADE≌△CFE(SAS).∴AD=CF(全等三角形对应边相等),∠A=∠ECF(全等三角形对应角相等).∴AD∥CF.∵点D是AB的中点,∴AD=BD.∴BD=CF且BD∥CF.∴四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).∴DF∥BC且DF=BC(平行四边形的对边平行且相等)。

中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)

中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（26题）一、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案其中第①个图案用了9根木棍第①个图案用了14根木棍第①个图案用了19根木棍第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．542．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案其中第①个图案中有2个圆圈第①个图案中有5个圆圈第①个图案中有8个圆圈第①个图案中有11个圆圈 … 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（）A ．14B ．20C ．23D ．263．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：23452345,a a a a a 第n 个单项式是（）A nB 11n n a --C n naD 1n na -4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去所作正方形的顶点均在格点上其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,05．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，，若12a =，则2023a 的值是（） A ．12-B ．13C ．3-D ．26．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行竖排为列）按数表中的规律分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004C ．2022D ．20238．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（）A ．199B ．200C ．201D ．2029．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展被数学界誉为“数学王子” 据传他在计算1234100+++++时用到了一种方法将首尾两个数相加进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a =以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-二填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是第23个智慧优数是．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳氢元素组成的有机化合物在生产生活中可作为燃料润滑剂等原料也可用于动植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷乙烷丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示如十一烷十二烷……）等甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示按照此规律十二烷的化学式为．12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯分别对应着编号为1-100的100个开关灯分为“亮”和“不亮”两种状态每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为（用含n 的式子表示）．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片第2个图案中有6个白色圆片第3个图案中有8个白色圆片第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2）有5个三角形记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3）有9个三角形记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍得到22A OB △ …．依次类推得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为点2023A 的坐标为．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =．19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形ABOC 是正方形点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现完成填空：第①行数的第10个数为取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是．25．（2023·四川广安·统考中考真题）在平面直角坐标系中点1234A A A A 、、、在x 轴的正半轴上点123B B B 、、在直线()0y x =≥上若点1A 的坐标为()2,0 且112223334A B A A B A A B A △、△、△均为等边三角形．则点2023B 的纵坐标为．26．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是．参考答案一单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案其中第①个图案用了9根木棍第①个图案用了14根木棍第①个图案用了19根木棍第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍第①个图案用了45214+⨯=根木棍第①个图案用了45319+⨯=根木棍第①个图案用了45424+⨯=根木棍 ……第①个图案用的木棍根数是45844+⨯=根故选：B ．【点睛】此题考查了图形类规律的探究正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案其中第①个图案中有2个圆圈第①个图案中有5个圆圈第①个图案中有8个圆圈第①个图案中有11个圆圈… 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律即可求解.=⨯-【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈2311=⨯-第①个图案中有5个圆圈5321=⨯-第①个图案中有8个圆圈8331=⨯-第①个图案中有11个圆圈11341…⨯-=所以第①个图案中圆圈的个数为37120故选：B.n-是解题的【点睛】本题考查了图形类规律探究根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31关键.3．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a第n个单项式是（）B1n-C n D1n-A【答案】C字母为a指数为1开始的自然数据此即可求解．【分析】根据单项式的规律可得【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a第n n故选：C．【点睛】本题考查了单项式规律题找到单项式的变化规律是解题的关键．4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去所作正方形的顶点均在格点上其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,0【答案】A【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环从而可得出点坐标的规律()323n A n n --，．【详解】解：①()121A -， ()412A -， ()703A ， ()1014A ，①()323n A n n --，①1003342=⨯-，则34n =①()1003134A ，故选：A ．【点睛】本题考查了点的规律变化解答本题的关键是仔细观察图象得到点的变化规律． 5．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，，若12a =，则2023a 的值是（） A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =- 413a = 52a =…… 由此可得规律求解．【详解】解：①12a =①212312a +==-- 3131132a -==-+ 411121312a -==+51132113a +==- ……. 由此可得规律为按2 3- 12- 13四个数字一循环①20234505.....3÷= ①2023312a a ==- 故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律解题的关键是得到数字的一般规律．6．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π【答案】A【分析】曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的半径每次比前一段弧半径12+ 得到1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+ 得出半径再计算弧长即可．【详解】解：由图可知曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的半径每次比前一段弧半径12+∴112AD AA ==111BA BB == 1132CB CC == 112DC DD ==12122AD AA ==+2221BA BB ==+ 22322CB CC ==+ 2222DC DD ==+ ⋯⋯1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+故20232023A B 的半径为()202320231420231140452BA BB ==⨯⨯-+=∴20232023A B 的弧长90404540451802ππ=⨯=．故选A【点睛】此题主要考查了弧长的计算弧长的计算公式：180n rl π= 找到每段弧的半径变化规律是解题关键． 7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行竖排为列）按数表中的规律分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004 C ．2022 D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现分数的分子是几，则必在第几列只有第一列的分数分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现分数的分子是几，则必在第几列只有第一列的分数分母与其所在行数一致故202023在第20列即20b = 向前递推到第1列时分数为201912023192042-=+ 故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =． ①2042202022.a b -=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．8．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ 122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ …2100200(100)1100101f ⨯==+ 1212100()11001011100f ⨯==+1(100)()2100f f += 11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+ 201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算熟练掌握运算法则找到数字变化规律是解本题的关键． 9．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展被数学界誉为“数学王子” 据传他在计算1234100+++++时用到了一种方法将首尾两个数相加进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n --- 再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点即1(0,0)A 这时10a = 第2圈有8个点即2A 到()91,1A 第3圈有16个点即10A 到()252,2A 依次类推第n 圈 ()211,1n A n n ---由规律可知：2023A 是在第23圈上且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+= 故A 选项不正确 2024A 是在第23圈上且()202421,22A 即2024212243a =+= 故B 选项正确第n 圈 ()211,1n A n n --- 所以2122n a n -=- 故C D 选项不正确故选B ．【点睛】本题考查图形与规律利用所给的图形找到规律是解题的关键．二填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是第23个智慧优数是．【答案】 15 45【分析】根据新定义列举出前几个智慧优数找到规律进而即可求解．【详解】解：依题意当3m = 1n =，则第1个一个智慧优数为22318-= 当4m = 2n =，则第2个智慧优数为224214-= 当4m = 1n =，则第3个智慧优数为224115-= 当5m = 3n =，则第5个智慧优数为225316-= 当5m = 2n =，则第6个智慧优数为225221-= 当5m = 1n =，则第7个智慧优数为225324-= ……6m =时有4个智慧优数同理7m =时有5个 8m =时有6个12345621+++++=第22个智慧优数当9m =时 7n = 第22个智慧优数为2297814932-=-= 第23个智慧优数为9,6m n ==时 2296813645-=-= 故答案为：15 45．【点睛】本题考查了新定义平方差公式的应用找到规律是解题的关键．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳氢元素组成的有机化合物在生产生活中可作为燃料润滑剂等原料也可用于动植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷乙烷丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示如十一烷十二烷……）等甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示按照此规律十二烷的化学式为．【答案】1226C H【分析】根据碳原子的个数氢原子的个数找到规律即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H ……碳原子的个数为序数氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个十二烷的化学式为1226C H 故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题找到规律是解题的关键． 12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数等式的右边为这个数乘以这个数减1 即可求解．【详解】解：①21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …①第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律找到规律是解题的关键．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯分别对应着编号为1-100的100个开关灯分为“亮”和“不亮”两种状态每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．【答案】10【分析】灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮” 确定1-100中各个数因数的个数完全平方数的因数为奇数个从而求解．【详解】所有灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮”因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数 1-100中完全平方数为1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 有10个数故有10盏灯被按奇数次为“亮”的状态故答案为：10．【点睛】本题考查因数分解完全平方数理解因数的意义完全平方数的概念是解题的关键． 14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为（用含n 的式子表示）．【答案】66n +/66n +【分析】当1n =时有()2114+=个三角形当2n =时有()2216+=个三角形当3n =时有()2318+=个三角形第n 个图案有()2122n n +=+个三角形每个三角形用三根计算即可．【详解】解：当1n =时有()2114+=个三角形当2n =时有()2216+=个三角形当3n =时有()2318+=个三角形第n 个图案有()2122n n +=+个三角形每个三角形用三根故第n 个图案需要火柴棍的根数为66n +．故答案为：66n +．【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片第2个图案中有6个白色圆片第3个图案中有8个白色圆片第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯ ⋯ 可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯⋯①第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2）有5个三角形记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3）有9个三角形记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=- 进而即可求解．【详解】解：依题意 ()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-， ①123n a a a a ++++=()21432122n n n n n n +-==-=- 故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律找到规律是解题的关键．17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍得到22A OB △ …．依次类推得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为点2023A 的坐标为．【答案】 20232 ()202220222,2【分析】根据旋转角度为60︒ 可知每旋转6次后点A 又回到x 轴的正半轴上故点2023A 在第四象限且202320232OA = 即可求解．【详解】解：①AOB 为等边三角形点A 的坐标为()1,0 ①1OA =①每次旋转角度为60︒ ①6次旋转360︒第一次旋转后 1A 在第四象限 12OA =第二次旋转后 2A 在第三象限 222OA =第三次旋转后 3A 在x 轴负半轴 332OA =第四次旋转后 4A 在第二象限 442OA =第五次旋转后 5A 在第一象限 552OA =第六次旋转后 6A 在x 轴正半轴 662OA =……如此循环每旋转6次点A 的对应点又回到x 轴正半轴①202363371÷=点2023A 在第四象限且202320232OA =如图，过点2023A 作2023A H x ⊥轴于H在2023Rt OHA 中 202360HOA ∠=︒①202320232022202320231cos 2cos60222OH OA HOA =⋅∠=⨯︒=⨯=202320222023202320233sin 232A H OA HOA =⋅∠= ①点2023A 的坐标为()202220222,32．故答案为：20232 ()202220222,32．【点睛】本题考查图形的旋转解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子抽象出相应的数字规律进行作答即可．【详解】解：①21312⨯+= 22413⨯+=23514⨯+=……①()()2211n n n ++=+①()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律． 19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．【答案】2023253【分析】求出1234,,,P P P P …的纵坐标从而可计算出1234,,,S S S S …的高进而求出1234,,,S S S S … 从而得出123n S S S S +++⋯+的值．【详解】当1x =时 1P 的纵坐标为8 当2x =时 2P 的纵坐标为4 当3x =时 3P 的纵坐标为83当4x =时 4P 的纵坐标为2当5x =时 5P 的纵坐标为85…则11(84)84S =⨯-=- 2881(4)433S =⨯-=-3881(2)233S =⨯-=-481(2)2558S =⨯-=- (881)n S n n =-+ 1238888888844228335111n n S S S S n n n n +++⋯+=-+-+-+-++-=-=+++ ①12320238202320242532023S S S S ⨯+++⋯+==．故答案为：2023253．【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用解题的关键是求出881n S n n =-+． 20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++ 第n 个数对的第二个位：()211n ++ 即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3 7 13 21 31 … 即：121⨯+ 231⨯+ 341⨯+ 451⨯+ 561⨯+ … 则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++ 每个数对的第二个数分别为5 10 17 26 37 … 即：221+ 231+ 241+ 251+ 261+… 则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++①第n 个数对为：()221,22n n n n ++++ 故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律找出数字之间的排列规律利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形ABOC 是正方形点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是．【答案】()2023,1-【分析】将四分之一圆弧对应的A 点坐标看作顺时针旋转90︒ 再根据A 1A 2A 3A 4A 的坐标找到规律即可．【详解】①A 点坐标为()1,1 且1A 为A 点绕B 点顺时针旋转90︒所得 ①1A 点坐标为()2,0又①2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转90︒所得 ①2A 点坐标为()0.2-又①3A 为2A 点绕C 点顺时针旋转90︒所得 ①3A 点坐标为()3,1-又①4A 为3A 点绕A 点顺时针旋转90︒所得 ①4A 点坐标为()1,5由此可得出规律：n A 为绕B O C A 四点作为圆心依次循环顺时针旋转90︒ 且半径为1 2 3 n每次增加1． ①202355053÷=故2023A 为以点C 为圆心半径为2022的2022A 顺时针旋转90︒所得故2023A 点坐标为()2023,1-．故答案为：()2023,1-．【点睛】本题考查了点坐标规律探索通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是．【答案】20221⎛ ⎝⎭【分析】分别求出点点1B 的横坐标是1 点2B 的横坐标是1 点3B 2413⎛+= ⎝⎭找到规律得到答案见即可．【详解】解：当0y = 0= 解得1x = ①点()11,0A ,①111A B C O 是正方形 ①11111OA A B OC === ①点()11,1B ①点1B 的横坐标是1当1y =时 1 解得1x =+①点21A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭①2221A B C C 是正方形①2212211A B C C A C ===①点212B ⎛ ⎝⎭即点2B 的横坐标是1当2y =时 2= 解得)223x =①点34,23A ⎝⎭①3332A B C C 是正方形①33233243A B C C A C ===①点3B 2413⎛= ⎝⎭……以此类推，则点2023B 的横坐标是202231⎛ ⎝⎭故答案为：202231⎛ ⎝⎭【点睛】此题是点的坐标规律题考查了二次函数的图象和性质正方形的性质等知识数形结合是是解题的关键．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现完成填空：第①行数的第10个数为取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】 1024 202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n - 第二行数的规律为(2)1n n -++ 代入数据即可. 【详解】第一行数的规律为(2)n - ①第①行数的第10个数为10(2)1024-= 第二行数的规律为(2)1n n -++①第①行数的第2023个数为2023(2)- 第①行数的第2023个数为2023(2)2024-+ ①202422024-+故答案为：1024 202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化找其中的规律是今年考试中常见的题型. 24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是．。

重庆2016中考数学专题提升(1)规律探索题

中考数学专题提升（1）——规律探索题类型一：探索图形排列规律1. （2015崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有( )第1题图A. 160B. 161C. 162D. 1632. （2015绵阳）将一些相同的“O”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“O”的个数，若第n个“龟图”中有245个“O”，则n=( )第2题图A. 14B. 15C. 16D. 173. （2013重庆A卷）下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为 2 cm2，第（2）个图形的面积为8 cm2,第（3）个图形的面积为18 cm2，…，则第（10）个图形的面积为( )第3题图A. 196 cm2B. 200 cm2C. 216 cm2D. 256 cm24. 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，如果铺成一个如图②的图案，其中完整的圆共有5个，如果铺设成如图③的图案，其中完整的圆共有13个，如果铺成如图④的图案，其中完整的圆共有25个，以此规律下去，第10个图中，完整的圆共有( )第4题图A. 100个B. 101个C. 181个D. 221个5. 如图，某同学在沙滩上用石子摆小房子，观察图形的变化规律，写出第⑨个小房子用的石子总数为( )第5题图A. 155B. 147C. 145D. 1466. 下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第①个图形中面积为1的正方形有9个，第②个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律，则第⑦个图形中面积为1的正方形的个数为( )第6题图A. 22B. 30C. 39D. 507. （2015重庆B卷）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律，图⑩中黑色正方形的个数是( )第7题图A. 32B. 29C. 28D. 268. （2014重庆B卷）下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )第8题图A. 22B. 24C. 26D. 289. 用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第13个图案需要的黑色五角星的个数是( )第9题图A. 20B. 21C. 22D. 2310. 如图，下列是由边长为2的等边三角形按照一定规律排列而成，第一个图形的周长为6，第二个图形的周长为8，将若干个等边三角形按照这样的规律来摆放，则第8个图形的周长为( )第10题图A. 18B. 19C. 20D. 2111. 观察下列一组图形，其中图①中共有6个小黑点，图②中共有16个小黑点，图③中共有31个小黑点，…，按此规律，图⑤中小黑点的个数是( )第11题图A. 46B. 51C. 61D. 7612. （2015内江）如图是由火柴棒搭成的几何图案,则第n个图案中有根火柴棒(用含n的代数式表示).第12题图13. (2015昆明)用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“H”,依此规律,摆出第9个“H”需用火柴棒根.第13题图14. (2015深圳)观察下列图形,它们是按照一定规律排列的,依照此规律,第五个图有个太阳.第14题图15. (2015三明)观察下列图形的构成规律,依照此规律,第10个图形中共有个“●”.第15题图16. （2015山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成.第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…,依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）.第16题图17. (2015莆田)谢尔宾斯基地毯,最早是由波兰数学家谢尔宾斯基这样制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形,挖去中间的一个小正三角形;对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去,就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯(如图).若图①中的阴影三角形面积为1,则图⑤中的所有阴影三角形的面积之和是.第17题图18. (2015随州)观察下列图形规律：当n= 时,图形中“●”的个数和“△”的个数相等.第18题图19、（重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，其中第②个图形中一共有9个小圆圈，其中第③个图形中一共有12个小圆圈，．．．，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）图4① ② ③ A. 21 B. 24 C. 27 D. 3020．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n 个图案中有根小棒．21．（桂林）如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行有23个点，……，按此规律，第n 行有个点．22. （梧州）如图,是由等圆组成的一组图,第①个图由1个圆组成,第②个图由5个圆组成,第③个图由12个圆组成…按此规律排列下去，则第⑥个图由个圆组成.①② ③ ④23、（2015湖南娄底，）下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为_______________. 第一行 1第二行 2 3 第三行 4 5 6 第四行 7 8 9 10 …… 24．（淮安）将连续正整数按如下规律排列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行1 2 3 4 第2行8 7 6 5 第3行9 10 11 12 第4行16 15 14 13 第5行17 18 19 20 ……… 若正整数565位于第a 行，第b 列，则b a ＝。

中考数学《规律探索》专题复习试题含解析

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

中考《规律探索》题训练含答案

规律探索一.选择题1.（2015湖南邵阳第10题3分）如图.在矩形ABCD中.已知AB=4.BC=3.矩形在直线上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置.再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置.….以此类推.这样连续旋转2015次后.顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）考点：旋转的性质；弧长的计算．.专题：规律型．分析：首先求得每一次转动的路线的长.发现每4次循环.找到规律然后计算即可．解答：解：转动一次A的路线长是：.转动第二次的路线长是：.转动第三次的路线长是：.转动第四次的路线长是：0.转动五次A的路线长是：.以此类推.每四次循环.故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π=6π.2015÷4=503余3顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选：D．点评：本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用.发现规律是解决问题的关键．2.（2015湖北荆州第10题3分）把所有正奇数从小到大排列.并按如下规律分组：（1）.（3.5.7）.（9.11.13.15.17）.（19.21.23.25.27.29.31）.….现有等式A m=（i.j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数）.如A7=（2.3）.则A2015=（）A．（31.50）B．（32.47）C．（33.46）D．（34.42）考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算出2015是第1008个数.然后判断第1008个数在第几组.再判断是这一组的第几个数即可．解答：解：2015是第=1008个数.设2015在第n组.则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008.即≥1008.解得：n≥.当n=31时.1+3+5+7+…+61=961；当n=32时.1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组.第1024个数为：2×1024﹣1=2047.第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923.则2015是（+1）=47个数．故A2015=（32.47）．故选B．点评：此题考查数字的变化规律.找出数字之间的运算规律.利用规律解决问题．3.（2015湖北鄂州第10题3分）在平面直角坐标系中.正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如图所示的方式放置.其中点B1在y轴上.点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上.已知正方形A1B1C1D1 的边长为1.∠B1C1O=60°.B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A． B． C． D．【答案】D.考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形．4. （2015•山东威海.第12 题3分）如图.正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2.正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切.正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切.…按这样的规律进行下去.A10B10C10D10E10F10的边长为（）A．B．C．D．考点：正多边形和圆．.专题：规律型．分析：连结OE1.OD1.OD2.如图.根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°.则△E1OD1为等边三角形.再根据切线的性质得OD2⊥E1D1.于是可得OD2=E1D1=×2.利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2.同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2.依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2.然后化简即可．解答：解：连结OE1.OD1.OD2.如图.∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形.∴∠E1OD1=60°.∴△E1OD1为等边三角形.∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切.∴OD2⊥E1D1.∴OD2=E1D1=×2.∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2.同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2.则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．故选D．点评：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份.依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．5．（2015•山东日照 .第11题3分）观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A．36 B．45 C．55 D．66考点：完全平方公式．.专题：规律型．分析：归纳总结得到展开式中第三项系数即可．解答：解：解：（a+b）2=a22+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1.8.28.56.70.56.28.8.1；第9个式子系数分别为：1.9.36.84.126.126.84.36.9.1；第10个式子系数分别为：1.10.45.120.210.252.210.120.45.10.1.则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．点：此题考查了完全平方公式.熟练掌握公式是解本题的关键6 , （2015•山东临沂,第11题3分）观察下列关于x 的单项式.探究其规律：x .3x 2.5x 3.7x 4.9x 5.11x 6.…. 按照上述规律.第2015个单项式是（） (A ) 2015x 2015. (B ) 4029x 2014. (C ) 4029x 2015. (D ) 4031x 2015.【答案】C 【解析】试题分析：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数.即系数为（2n －1）.而后面因式x 的指数是连续自然数.因此关于x 的单项式是.所以第2015个单项式的系数为2×2015－1=4029.因此这个单项式为.故选C考点：探索规律7．(2015·河南.第8题3分)如图所示.在平面直角坐标系中.半径均为1个单位长度的半圆O 1.O 2.O 3.… 组成一条平滑的曲线.点P 从原点O 出发.沿这条曲线向右运动.速度为每秒2个单位长度.则第2015秒时.点P 的坐标是（）A .（2014,0）B .（2015.－1）C . （2015,1）D . （2016,0）B 【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.∵半圆的半径r =1.∴半圆长度=π. ∴第2015秒点P 运动的路径长为：2π×2015. ∵2π×2015÷π=1007…1.∴点P 位于第1008个半圆的中点上.且这个半圆在x 轴的下方. ∴此时点P 的横坐标为：1008×2－1=2015.纵坐标为－1.∴点P (2015.－1) .第8题图”中的“○”的个数.若第n个“龟图”中有245个“○”.则n=（）A．14 B．15 C．16 D．17考点：规律型：图形的变化类．.分析：分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．解答：解：第一个图形有：5个○.第二个图形有：2×1+5=7个○.第三个图形有：3×2+5=11个○.第四个图形有：4×3+5=17个○.由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○.则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245解得：n1=16.n2=﹣15（舍去）．故选：C．点评：此题主要考查了图形的规律以及数字规律.通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键.注意公式必须符合所有的图形．8. （2015•四川省宜宾市.第7题.3分）如图.以点O为圆心的20个同心圆.它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、……、20.阴影部分是由第l个圆和第2个圆.第3个圆和第4个圆.…….第l9个圆和第20个圆形成的所有圆环.则阴影部分的面积为（B）A.231πB.210πC.190πD.171π9. （2015•浙江宁波.第10题4分）如图.将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠.使点A 落在BC 边上的A 1处.称为第1次操作.折痕DE 到BC 的距离记为1h ；还原纸片后.再将△ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠.使点A 落在DE 边上的A 2处.称为第2次操作.折痕D 1E 1到BC 的距离记为2h ；按上述方法不断操作下去.经过第2015次操作后得到的折痕D 2014E 2014到BC 的距离记为2015h .若1h =1.则2015h 的值为【】A .201521 B .201421 C . 2015211-D . 2014212-【答案】D .【考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理.【分析】根据题意和折叠对称的性质.DE 是△ABC 的中位线.D 1E 1是△A D 1E 1的中位线.D 2E 2是△A 2D 2E 1的中位线.… ∴21111122h =+=-. 32211111222h =++=-.42331111112222h =+++=-.…20152201420141111112222h =+++⋅⋅⋅+=-. 故选B二.填空题1．（2015•甘肃武威,第18题3分）古希腊数学家把数1.3.6.10.15.21.…叫做三角形数.其中1是第一个三角形数.3是第2个三角形数.6是第3个三角形数.…依此类推.那么第9个三角形数是 45 .2016是第 63 个三角形数．4. （2015•四川省内江市.第16题.5分）如图是由火柴棒搭成的几何图案.则第n个图案中有2n（n+1）根火柴棒．（用含n的代数式表示）考点：规律型：图形的变化类．.专题：压轴题．分析：本题可分别写出n=1.2.3.….所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．解答：解：依题意得：n=1.根数为：4=2×1×（1+1）；n=2.根数为：12=2×2×（2+1）；n=3.根数为：24=2×3×（3+1）；n =n 时.根数为：2n （n +1）．点评：本题是一道找规律的题目.这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化.是按照什么规律变化的．5．(2015·深圳.第15题分)观察下列图形.它们是按一定规律排列的.依照此规律.第56个图形有个太阳。

中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习含答案

中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习类型一数式规律1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为14尺，…，第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺． 12n2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________．第2题图41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，∴第8行最后一个数为8×92＝36＝6，则第9行从左至右第5个数是36＋5＝41.3. 观察下列关于自然数的式子：第一个式子：4×12－12 ① 第二个式子：4×22－32 ② 第三个式子：4×32－52 ③ …根据上述规律，则第2019个式子的值是______．8075 【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075. 4. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1n (n 为正整数)顺次排成一列：1，12，12，13，13，13，…，1n ，1n ，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝12，…，S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________．63364 【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个12的和为1，3个13的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第2019个数为64个164的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3×164＝63364. 类型二图形规律5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3，…，已知A (1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．观察每次变换前后的三角形的变化，按照变换规律，则点A n 的坐标是________．第5题图(2n，3)【解析】∵A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，…，∴纵坐标不变，为3，横坐标都和2有关，为2n，即点An的坐标是(2n，3)．6. 如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，点P的坐标为________．第6题图(6058，1)【解析】∵铁片OABC为正方形，A(3，0)，P(1，2)，∴正方形铁片OABC 的边长为3，如解图第一个循环周期内的点P1，P2，P3，P4的坐标分别为(5，2)，(8，1)，(10，1)，(13，2)，每增加一个循环，对应的点的横坐标就增加12.而2019÷4＝504……3，即504个循环周期后点P2016的横坐标为504×12＋1＝6049，纵坐标为2，所以点P2019的横坐标为6049＋9＝6058，纵坐标为1.故P2019(6058，1)．第6题解图7. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2019秒时，点P 的坐标是________．第7题图(2019，－1) 【解析】∵圆的半径都为1，∴半圆的周长＝π，以时间为点P 的下标．观察发现规律：P 0(0，0)，P 1(1，1)，P 2(2，0)，P 3(3，－1)，P 4(4，0)，P 5(5，1)，…，∴P 4n (4n ，0)，P 4n ＋1(4n ＋1，1)，P 4n ＋2(4n ＋2，0)，P 4n ＋3(4n ＋3，－1)．∵2019÷4＝504……3，∴第2019秒时，点P 的坐标为(2019，－1)．8. 如图，已知菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为________．第8题图(－1，－1) 【解析】∵菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，∴BO 与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O 逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D 的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．9. 如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是________．第9题图3n－13【解析】由题可知，∠MON＝60°，设B n到ON的距离为h n，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，∴A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×32＝3，又∵OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×32＝33，同理可得：OB3＝18，则h3＝18×32＝93，…，依此可得OB n＝2×3n－1，则h n＝2×3n －1×32＝3n －1 3.∴B n 到ON 的距离h n ＝ 3n －1 3.10. 如图，正方形AOBO 2的顶点A 的坐标为A (0，2)，O 1为正方形AOBO 2的中心；以正方形AOBO 2的对角线AB 为边，在AB 的右侧作正方形ABO 3A 1，O 2为正方形ABO 3A 1的中心；再以正方形ABO 3A 1的对角线A 1B 为边，在A 1B 的右侧作正方形A 1BB 1O 4，O 3为正方形A 1BB 1O 4的中心；再以正方形A 1BB 1O 4的对角线A 1B 1为边，在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1O 5A 2，O 4为正方形A 1B 1O 5A 2的中心；…；按照此规律继续下去，则点O 2018的坐标为________．第10题图(21010－2，21009) 【解析】由A (0，2)和A 1(2，4)可知直线AA 1的解析式为y ＝x ＋2，由图可知点A 1，A 2，…，A n 的纵坐标分别为22，23，…，2n ＋1，将y ＝2n ＋1代入y ＝x ＋2，得2n ＋1＝x ＋2，∴x ＝2n ＋1－2，∴点A n 的坐标为(2n ＋1－2，2n ＋1)，由图可知O 2n 横坐标与A n 的横坐标相同，O 2n 纵坐标是A n 的纵坐标的12，∴O 2n 的坐标为(2n ＋1－2，2n)，∴当n ＝1009时，O 2018的坐标为(21010－2，21009)．真题反馈：1. 观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．2. 如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为( )A．671 B．672 C．673 D．6743. 观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( )A．43 B．45 C．51 D．534. 请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是( ).A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n5. 如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2019次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为().A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2)6. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．7. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．8. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B6的坐标是．9. 如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是.10. 如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n 次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是;点P2 019的坐标是.11.观察下列关于自然数的等式：32-4×12=5 ①52-4×22=9 ②72-4×32=13 ③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．12.(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)(2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?(1)(2) (3)。

中考数学模拟试题汇编专题36 规律探索-人教版初中九年级全册数学试题

规律探索1. （2016·某某北辰区·一摸）如图，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形. 若拼成的图形中有n个三角形，则需要火柴棍的根数是（）.（A ）2n+（B）3n+（C）21n-第1题（D）21n+答案：D2. (2016·某某巴蜀·一模）如图，每个图形都由同样大小的矩形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积为6cm2，第②个图形的面积为18cm2，第③个图形的面积为36cm2，…，那么第⑥个图形的面积为（）A．84cm2B．90cm2C．126cm2D．168cm2【分析】观察图形，小正方形方形的个数是相应序数乘以下一个数，每一个小正方形的面积是3，然后求解即可．【解答】解：第（1）个图形有2个小长方形，面积为1×2×3=6cm2，第（2）个图形有2×3=6个小正方形，面积为2×3×3=18cm2，第（3）个图形有3×4=12个小正方形，面积为3×4×3=36cm2，…，第（6）个图形有10×11=110个小正方形，面积为6×7×3=126cm2．故选C．3. (2016·某某巴南·一模）下列是用火柴棒拼成的一组图形，第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第②个图形中有18根火柴棒，…依此类推，则第6个图形中火柴棒根数是（）A．60 B．61 C．62 D．63【分析】由图可知：第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第②个图形中有18根火柴棒，…依此类推第n个有1+2+3+…+n个三角形，共有3×（1+2+3+…+n）=n （n+1）根火柴；由此代入求得答案即可．【解答】解：∵第①有1个三角形，共有3×1根火柴；第②个有1+2个三角形，共有3×（1+2）根火柴；第③个有1+2+3个三角形，共有3×（1+2+3）根火柴；…∴第n个有1+2+3+…+n个三角形，共有3×（1+2+3+…+n）=n（n+1）根火柴；∴第5个图形中火柴棒根数是3×（1+2+3+4+5+6）=63．故选：D．4. (2016·某某·二模)如图，在一单位长度为1的方格纸上，依如图所示的规律，设定点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、…、A n，连接点O、A1、A2组成三角形，记为△1，连接O、A2、A3组成三角形，记为△2…，连接O、A n、A n＋1，组成三角形，记为△n（n为正整数），请你推断，当n为10时，△n的面积＝（）平方单位．A．45 B．55 C．66 D．100答案：B1.（2016·河大附中·一模）如图，一段抛物线：y=x(x-2)(0≤x≤2)，记为C 1，它与x 轴交于点O ，A ，；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；…，如此进行下去，直至得C 2016．若P(4031，a)在第2016段抛物线C 2016上，则a=.第1题答案：12.（2016·某某某某·一模）如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次运动到点(2，0)，第3次运动到点(3，-1)，……，按照这样的运动规律，点P 第2017次运动到点．答案：（2017，1)3. （2016·某某某某·二模）如图，等边三角形△OAB 1的一边OA 在x 轴上，且OA=1，当第2题Oxy(4,0)(8,0)(12,0)(2,0)(6,0)(10,0)(11,-1)(7,-1)(3,-1)(9,1)(5,1)(1,1)△OAB1沿直线l滚动，使一边与直线l重合得到△B1A1B2，△B2A2B3，......则点A2016的坐标是答案：(1009,10083)4. （2016齐河三模）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0）…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为_____（用n表示）答案：（2n,1）5. (2016·某某省某某市罗平县·二模)这样铺地板：第一块铺2块，如图1，第二次把第一次的完全围起来，如图2；第三次把第二次的完全围起来，如图3；…依次方法，铺第5次时需用34块木块才能把第四次所铺的完全围起来．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】观察图形发现：若要将前一个图形包起来，上下各需要添一层，左右各需添一层，结合图1两块木块可以得出图n需要木块数为[1+（n﹣1）×2]×[2+（n﹣1）×2]，求出图4图5所需木块数，二者相减即可得出结论．【解答】解：若要将前一个图形包起来，上下各需要添一层，左右各需添一层，即图1木块个数为1×2，图2木块个数为（1+2）×（2+2），图3木块个数为（1+2×2）×（2+2×2），…，图n木块个数为[1+（n﹣1）×2]×[2+（n﹣1）×2]．由上面规律可知：图4需要木块个数为（1+3×2）×（2+3×2）=56（块），图5需要木块个数为（1+4×2）×（2+4×2）=90（块），故铺第5次时需用90﹣56=34块木块才能把第四次所铺的完全围起来．故答案为：34块．【点评】本题考查了图形的变化，解题的关键是：找出“图n需要木块数为[1+（n﹣1）×2]×[2+（n﹣1）×2]”这一规律．本题属于中档题，解决该类题型需要仔细观察图形，得出图形的变化规律，再结合规律找出结论．6. (2016·某某省·一模)观察下列等式：解答下面的问题：21+22+23+24+25+26+…+22015的末位数字是 4 ．【考点】尾数特征．【分析】根据2n，2n+1，2n+2，2n+3的个位数依次是2，4，8，6，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：由2n，2n+1，2n+2，2n+3的个位数依次是2，4，8，6，得指数每4的倍数一循环，2015÷4=503…3，即（2+4+8+6）×503+（2+4+8）=503×20+14=10074．故答案为：4．【点评】本题考查了尾数特征，利用2n，2n+1，2n+2，2n+3的个位数依次是2，4，8，6得出指数每4的倍数一循环是解题关键．7. (2016·某某省·二模)观察下列等式：，，，…则=．（直接填结果，用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥1）【考点】规律型：数字的变化类．【分析】由题意可知： =1﹣，进一步整理得出答案即可．【解答】解：∵，，，…∴=1﹣=．故答案为：．【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出一般运算方法解决问题．8. （2016·某某某某·联考）如果记y==f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）==；f（）表示当x=时y的值，即f（）==，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）=．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．【考点】分式的加减法．【专题】压轴题；规律型．【分析】由f（1）f（）可得：f（2）==；从而f（1）+f（2）+f（）=+1=2﹣．所以f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）=（n为正整数）．【解答】解：∵f（1）==；f（）==，得f（2）==；∴f（1）+f（2）+f（）=+1=2﹣．故f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）=．（n为正整数）【点评】解答此题关键是根据题中所给的式子找出规律，再解答．9. （2016·某某某某·联考）如图是圆心角为30°，半径分别是1、3、5、7、…的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3、…，则S n=．（结果保留π）【考点】扇形面积的计算．【专题】规律型．【分析】由图可知S1=，S2=×3，S3=×5，S4=×7，…S n=×（2n﹣1），从而得出S n的值．【解答】解：由题意可得出通项公式：S n=×（2n﹣1），即S n=×（2n﹣1），故答案为．【点评】本题考查了扇形面积的计算，是一道规律性的题目，难度较大．1.（2016·某某某某·一模）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明．【操作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由．【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？其中m的取值X围是什么？（直接写出结论，不必证明）m．第1题【考点】相似形综合题．【分析】（操作1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE，∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，从而证明结论；（操作2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；（总结操作）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值X围，根据交点的位置的限制进行分析．【解答】（操作1）EP=EQ，证明：连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得：BE=CE，∠PBE=∠C=45°，∵∠BEC=∠FED=90°∴∠BEP=∠CEQ，在△BEP和△CEQ中，∴△BEP≌△CEQ（ASA），∴EP=EQ；如图2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2，理由是：作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，∴∠EMP=∠ENC，∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，∴∠MEP=∠NEF，∴△MEP∽△NEQ，∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；如图3，过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，∴∠EPB+∠EQB=180°，又∵∠EPB+∠MPE=180°，∴∠MPE=∠EQN，∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，∴=，Rt△AME∽Rt△ENC，∴=m=，∴=1：m=，EP与EQ满足的数量关系式1：m，即EQ=mEP，∴0＜m≤2+，（因为当m＞2+时，EF和BC变成不相交）．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理的能力，证明过程类似．2. （2016·某某某某·联考）在由m×n（m×n＞1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，（1）当m、n互质（m、n除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表：m n m+n f1 2 3 21 3 4 32 3 5 42 5 73 4 7猜想：当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是f=m+n﹣1 （不需要证明）；（2）当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．【考点】作图—应用与设计作图；规律型：图形的变化类．【分析】（1）通过观察即可得出当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式，（2）当m、n不互质时，画出图即可验证猜想的关系式不成立．【解答】解：（1）表格中分别填6，6m n m+n f1 2 3 21 3 4 32 3 5 42 5 7 63 4 7 6f与m、n的关系式是：f=m+n﹣1．故答案为：f=m+n﹣1．（2）m、n不互质时，猜想的关系式不一定成立，如下图：．【点评】此题考查了作图﹣应用与设计作图，关键是通过观察表格，总结出一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式，要注意m、n互质的条件．3. (2016·某某巴蜀·一模）阅读材料：材料一：对于任意的非零实数x和正实数k，如果满足为整数，则称k是x的一个“整商系数”．例如：x=2时，k=3⇒=2，则3是2的一个整商系数；x=2时，k=12⇒=8，则12也是2的一个整商系数；x=时，k=6⇒=1，则6是的一个整商系数；结论：一个非零实数x有无数个整商系数k，其中最小的一个整商系数记为k（x），例如k（2）=材料二：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，两根x1，x2有如下关系：x1+x2=﹣；x1x2=应用：（1）k（）= 2 k（﹣）=（2）若实数a（a＜0）满足k（）＞k（），求a的取值X围？（3）若关于x的方程：x2+bx+4=0的两个根分别为x1、x2，且满足k（x1）+k（x2）=9，则b 的值为多少？【分析】（1）求出最小的个整商系数即可．（2）根据k（）＞k（）分类讨论列出不等式解不等式即可．（3）利用根与系数关系把k（x1）+k（x2）=9，转化为含有b的方程，记得分类讨论即可．【解答】解：（1）k（）=2，k（﹣）=．故答案分别为2，．（2）∵k（）＞k（），当﹣1＜a＜0时，原式化为＞3（a+1）∴a＜﹣，即﹣1＜a＜﹣，当a＜﹣1时，原式化为＞﹣3（a+1）解得a＞﹣2，故可知a的取值X围为﹣2＜a＜﹣1或﹣1＜a＜﹣．（3）设方程的两个根有x1＜x2，由于x1x2=，故x1与x2同号．当x2＜0时，k（x1）+k（x2）=﹣=﹣=，解得b=12．当x1＞0时，k（x1）+k（x2）===，解得b=﹣12．综上b=±12．。

《规律探索》中考专练附答案

规律探索1.〔2021•湖北省鄂州市•3分〕如图, 在平面直角坐标系中, 点A1、A2、A3…A n在x轴上, B1、B2、B3…B n在直线y＝x上, 假设A1〔1, 0〕, 且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形, 从左到右的小三角形〔阴影局部〕的面积分别记为S1、S2、S3…S n．那么S n可表示为〔〕A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【分析】直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°, 可得∠OB2A2＝30°, …, ∠OB n A n＝30°, ∠OB1A2＝90°, …, ∠OB n A n+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1, B2A2＝OA2＝2, B3A3＝4, …, B n A n＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝, B2B3＝2, …, B n B n+1＝2n, 再由面积公式即可求解；【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形,∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n, B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1, △A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形,∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°, ∠OA1B1＝120°,∴∠OB1A1＝30°,∴OA1＝A1B1,∵A1〔1, 0〕,∴A1B1＝1,同理∠OB2A2＝30°, …, ∠OB n A n＝30°,∴B2A2＝OA2＝2, B3A3＝4, …, B n A n＝2n﹣1,易得∠OB1A2＝90°, …, ∠OB n A n+1＝90°,∴B1B2＝, B2B3＝2, …, B n B n+1＝2n,∴S1＝×1×＝, S2＝×2×2＝2, …, S n＝×2n﹣1×2n＝；应选：D．【点评】此题考查一次函数的图象及性质, 等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形, 并求出每边长是解题的关键．2.〔2021•四川省达州市•3分〕a是不为1的有理数, 我们把称为a的差倒数, 如2的差倒数为＝﹣1, ﹣1的差倒数＝, a1＝5, a2是a1的差倒数, a3是a2的差倒数, a4是a3的差倒数…, 依此类推, a2021的值是〔〕A．5 B．﹣C．D．【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现, 每3个数为一个循环组依次循环, 用2021除以3, 根据余数的情况确定出与a2021相同的数即可得解．【解答】解：∵a1＝5,a2＝＝＝﹣,a3＝＝＝,a4＝＝＝5,…∴数列以5, ﹣, 三个数依次不断循环,∵2021÷3＝673,∴a2021＝a3＝,应选：D．【点评】此题是对数字变化规律的考查, 理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．3.〔2021湖南常德3分〕观察以下等式：70＝1, 71＝7, 72＝49, 73＝343, 74＝2401, 75＝16807, …,根据其中的规律可得70+71+72+…+72021的结果的个位数字是〔〕A．0 B．1 C．7 D．8【分析】首先得出尾数变化规律, 进而得出70+71+72+…+72021的结果的个位数字．【解答】解：∵70＝1, 71＝7, 72＝49, 73＝343, 74＝2401, 75＝16807, …, ∴个位数4个数一循环, ∴〔2021+1〕÷4＝505, ∴1+7+9+3＝20,∴70+71+72+…+72021的结果的个位数字是：0．应选：A ．【点评】此题主要考查了尾数特征, 正确得出尾数变化规律是解题关键．4.〔2021云南4分〕按一定规律排列的单项式：x 3, －x 5, x 7, －x 9, x 11, ……第n 个单项式是A.〔－1〕n －1x 2n －1B.〔－1〕n x 2n －1C.〔－1〕n －1x 2n ＋1D.〔－1〕n x 2n ＋1【解析】观察可知, 奇数项系数为正, 偶数项系数为负, ∴可以用1)1(--n 或1)1(+-n , 〔n 为大于等于1的整数〕来控制正负, 指数为从第3开始的奇数, 所以指数局部规律为12+n , 应选C5 〔2021·广西贺州·3分〕计算++++…+的结果是〔〕 A ．B ．C ．D ．【分析】把每个分数写成两个分数之差的一半, 然后再进行简便运算．【解答】解：原式＝＝＝．应选：B ．【点评】此题是一个规律计算题, 主要考查了有理数的混合运算, 关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．6．(2021•湖南常德•3分)观察以下等式：70＝1, 71＝7, 72＝49, 73＝343, 74＝2401, 75＝16807, …, 根据其中的规律可得70+71+72+…+72021的结果的个位数字是( ) A ．0B ．1C ．7D ．8【考点】规律探究．【分析】首先得出尾数变化规律, 进而得出70+71+72+…+72021的结果的个位数字．【解答】解：∵70＝1, 71＝7, 72＝49, 73＝343, 74＝2401, 75＝16807, …, ∴个位数4个数一循环,∴(2021+1)÷4＝505, ∴1+7+9+3＝20,∴70+71+72+…+72021的结果的个位数字是0．应选A ．【点评】此题主要考查了尾数特征, 正确得出尾数变化规律是解题关键．7．(2021•云南•4分)按一定规律排列的单项式：x 3, －x 5, x 7, －x 9, x 11, ……第n 个单项式是( ) A ．121)1(---n n x B ．12)1(--n n x C ．121)1(+--n n x D ．12)1(+-n n x【考点】规律探究．【分析】观察各单项式, 发现奇数项系数为正, 偶数项系数为负, ∴可以用1)1(--n 或1)1(+-n (n 为大于等于1的整数)来控制正负, 指数为从第3开始的奇数, 所以指数局部规律为12+n ．【解答】解：观察可知, 奇数项系数为正, 偶数项系数为负, ∴可以用1)1(--n 或1)1(+-n (n 为大于等于1的整数)来控制正负, 指数为从第3开始的奇数, 所以指数局部规律为12+n , 应选C ．【点评】此题主要考查了数式规律探究．奇数项系数为正, 偶数项系数为负, 一般可用1)1(--n 或1)1(+-n (n 为大于等于1的整数)来调节正负．8．〔2021湖北省鄂州市〕〔3分〕如图, 在平面直角坐标系中, 点A 1、A 2、A 3…A n 在x 轴上, B 1、B 2、B 3…B n 在直线y ＝x 上, 假设A 1〔1, 0〕, 且△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3…△A n B n A n +1都是等边三角形, 从左到右的小三角形〔阴影局部〕的面积分别记为S 1、S 2、S 3…S n ．那么S n 可表示为〔〕A ．22nB ．22n﹣1C ．22n﹣2D ．22n﹣3【分析】直线y ＝x 与x 轴的成角∠B 1OA 1＝30°, 可得∠OB 2A 2＝30°, …, ∠OB n A n ＝30°,∠OB1A2＝90°, …, ∠OB n A n+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1, B2A2＝OA2＝2, B3A3＝4, …, B n A n＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝, B2B3＝2, …, B n B n+1＝2n, 再由面积公式即可求解；【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形,∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n, B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1, △A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形,∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°, ∠OA1B1＝120°,∴∠OB1A1＝30°,∴OA1＝A1B1,∵A1〔1, 0〕,∴A1B1＝1,同理∠OB2A2＝30°, …, ∠OB n A n＝30°,∴B2A2＝OA2＝2, B3A3＝4, …, B n A n＝2n﹣1,易得∠OB1A2＝90°, …, ∠OB n A n+1＝90°,∴B1B2＝, B2B3＝2, …, B n B n+1＝2n,∴S1＝×1×＝, S2＝×2×2＝2, …, S n＝×2n﹣1×2n＝；应选：D．【点评】此题考查一次函数的图象及性质, 等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形, 并求出每边长是解题的关键．1．〔2021黑龙江省绥化3分〕在平面直角坐标系中, 假设干个边长为1个单位长度的等边三角形, 按如图中的规律摆放．点P从原点O出发, 以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…〞的路线运动, 设第n秒运动到点P n〔n 为正整数〕, 那么点P2021的坐标是．答案：2019322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，考点：找规律解析：2 〔2021•海南省•4分〕有2021个数排成一行, 对于任意相邻的三个数, 都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0, 第二个数是1, 那么前6个数的和是0, 这2021个数的和是2．【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数, 从而可以数字的变化规律, 此题得以解决．【解答】解：由题意可得,这列数为：0, 1, 1, 0, ﹣1, ﹣1, 0, 1, 1, …,∴前6个数的和是：0+1+1+0+〔﹣1〕+〔﹣1〕＝0,∵2021÷6＝336…3,∴这2021个数的和是：0×336+〔0+1+1〕＝2,故答案为：0, 2．【点评】此题考查数字的变化类, 解答此题的关键是明确题意, 发现题目中数字的变化规律, 每六个数重复出现．3 〔2021•黑龙江省绥化市•3分〕在平面直角坐标系中, 假设干个边长为1个单位长度的等边三角形, 按如图中的规律摆放．点P从原点O出发, 以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…〞的路线运动, 设第n秒运动到点P n 〔n为正整数〕, 那么点P2021的坐标是．答案：2019322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，考点：找规律解析：4. 〔2021•贵州省铜仁市•4分〕按一定规律排列的一列数依次为：﹣, , ﹣, , …〔a≠0〕, 按此规律排列下去, 这列数中的第n个数是．〔n为正整数〕〔﹣1〕n•．【解答】解：第1个数为〔﹣1〕1•,第2个数为〔﹣1〕2•,第3个数为〔﹣1〕3•,第4个数为〔﹣1〕4•,…,所以这列数中的第n个数是〔﹣1〕n•．5.〔2021•湖北省仙桃市•3分〕如图, 在平面直角坐标系中, 四边形OA1B1C1, A1A2B2C2,A2A3B3C3, …都是菱形, 点A1, A2, A3, …都在x轴上, 点C1, C2, C3, …都在直线y＝x+上, 且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°, OA1＝1, 那么点C6的坐标是〔95, 32〕．【分析】根据菱形的边长求得A1、A2、A3…的坐标然后分别表示出C1、C2、C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标．【解答】解：∵OA1＝1,∴OC1＝1,∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°,∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝, 横坐标为cos60°•OC1＝,∴C1〔, 〕,∵四边形OA1B1C1, A1A2B2C2, A2A3B3C3, …都是菱形,∴A1C2＝2, A2C3＝4, A3C4＝8, …,∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝, 代入y＝x+求得横坐标为2,∴C2〔, 2, 〕,C3的纵坐标为：sin60°•A2C3＝4, 代入y＝x+求得横坐标为11,∴C3〔11, 4〕,∴C4〔23, 8〕,C5〔47, 16〕,∴C6〔95, 32〕；故答案为〔95, 32〕．【点评】此题是对点的坐标变化规律的考查, 主要利用了菱形的性质, 解直角三角形, 根据点的变化规律求出菱形的边长, 得出系列C点的坐标, 找出规律是解题的关键．6.〔2021•湖北省咸宁市•3分〕有一列数, 按一定规律排列成1, ﹣2, 4, ﹣8, 16, ﹣32, …, 其中某三个相邻数的积是412, 那么这三个数的和是﹣384．【分析】根据题目中的数字, 可以发现它们的变化规律, 再根据其中某三个相邻数的积是412, 可以求得这三个数, 从而可以求得这三个数的和．【解答】解：∵一列数为1, ﹣2, 4, ﹣8, 16, ﹣32, …,∴这列数的第n个数可以表示为〔﹣2〕n﹣1,∵其中某三个相邻数的积是412,∴设这三个相邻的数为〔﹣2〕n﹣1.〔﹣2〕n、〔﹣2〕n+1,那么〔﹣2〕n﹣1•〔﹣2〕n•〔﹣2〕n+1＝412,即〔﹣2〕3n＝〔22〕12,∴〔﹣2〕3n＝224,∴3n＝24,解得, n＝8,∴这三个数的和是：〔﹣2〕7+〔﹣2〕8+〔﹣2〕9＝〔﹣2〕7×〔1﹣2+4〕＝〔﹣128〕×3＝﹣384,故答案为：﹣384．【点评】此题考查数字的变化类, 解答此题的关键是明确题意, 发现题目中数字的变化规律．7.〔2021•四川省广安市•3分〕如图, 在平面直角坐标系中, 点A1的坐标为〔1, 0〕, 以OA1为直角边作Rt△OA1A2, 并使∠A1OA2＝60°, 再以OA2为直角边作Rt△OA2A3, 并使∠A2OA3＝60°, 再以OA3为直角边作Rt△OA3A4, 并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去, 那么点A2021的坐标为〔﹣22021, 22021〕．【分析】通过解直角三角形, 依次求A1, A2, A3, A4, …各点的坐标, 再从其中找出规律, 便可得结论．【解答】解：由题意得,A1的坐标为〔1, 0〕,A2的坐标为〔1, 〕,A3的坐标为〔﹣2, 2〕,A4的坐标为〔﹣8, 0〕,A5的坐标为〔﹣8, ﹣8〕,A6的坐标为〔16, ﹣16〕,A7的坐标为〔64, 0〕,…由上可知, A点的方位是每6个循环,与第一点方位相同的点在x正半轴上, 其横坐标为2n﹣1, 其纵坐标为0,与第二点方位相同的点在第一象限内, 其横坐标为2n﹣2, 纵坐标为2n﹣2,与第三点方位相同的点在第二象限内, 其横坐标为﹣2n﹣2, 纵坐标为2n﹣2,与第四点方位相同的点在x负半轴上, 其横坐标为﹣2n﹣1, 纵坐标为0,与第五点方位相同的点在第三象限内, 其横坐标为﹣2n﹣2, 纵坐标为﹣2n﹣2,与第六点方位相同的点在第四象限内, 其横坐标为2n﹣2, 纵坐标为﹣2n﹣2,∵2021÷6＝336…3,∴点A2021的方位与点A23的方位相同, 在第二象限内, 其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22021, 纵坐标为22021,故答案为：〔﹣22021, 22021〕．【点评】此题主点的坐标的规律题, 主要考查了解直角三角形的知识, 关键是求出前面7个点的坐标, 找出其存在的规律．8.〔2021湖南益阳4分〕观察以下等式：①3﹣2＝〔﹣1〕2,②5﹣2＝〔﹣〕2,③7﹣2＝〔﹣〕2,…请你根据以上规律, 写出第6个等式13﹣2＝〔﹣〕2．【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1, 根号下的数为n〔n+1〕, 利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为〔﹣〕2〔n≥1的整数〕．【解答】解：写出第6个等式为13﹣2＝〔﹣〕2．故答案为13﹣2＝〔﹣〕2．【点评】此题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式, 然后进行二次根式的乘除运算, 再合并即可．在二次根式的混合运算中, 如能结合题目特点, 灵活运用二次根式的性质, 选择恰当的解题途径, 往往能事半功倍．9. 〔2021•甘肃庆阳•4分〕一列数a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, ……, 按照这个规律写下去,第9个数是13a+21b．【分析】由题意得出从第3个数开始, 每个数均为前两个数的和, 从而得出答案．【解答】解：由题意知第7个数是5a+8b, 第8个数是8a+13b, 第9个数是13a+21b, 故答案为：13a+21b．【点评】此题主要考查数字的变化规律, 解题的关键是得出从第3个数开始, 每个数均为前两个数的和的规律．10. 〔2021·贵州安顺·4分〕如图, 将从1开始的自然数按下规律排列, 例如位于第3行、第4列的数是12, 那么位于第45行、第7列的数是．【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2,∴第45行第一个数是2025,∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2021,故答案为202111. 〔2021•黑龙江省齐齐哈尔市•3分〕如图, 直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1, 过点A1作A1B1⊥l, 交x轴于点B1, 过点B1作B1A2⊥x轴, 交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l, 交x轴于点B2, 过点B2作B2A3⊥x轴, 交直线l于点A3, 依此规律…, 假设图中阴影△A1OB1的面积为S1, 阴影△A2B1B2的面积为S2, 阴影△A3B2B3的面积为S3…, 那么S n＝．【分析】由直线l：y＝x+1可求出与x轴交点A的坐标, 与y轴交点A1的坐标, 进而得到OA, OA1的长, 也可求出Rt△OAA1的各个内角的度数, 是一个特殊的直角三角形, 以下所作的三角形都是含有30°角的直角三角形, 然后这个求出S1、S2、S3、S4、……根据规律得出Sn．【解答】解：直线l：y＝x+1, 当x＝0时, y＝1；当y＝0时, x＝﹣∴A〔﹣, 0〕A1〔0, 1〕∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l,∴∠OA1B1＝30°,在Rt△OA1B1中, OB1＝•OA1＝,∴S1＝；同理可求出：A2B1＝, B1B2＝,∴S2＝＝＝；依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……因此：S n＝故答案为：．12．〔2021•山东泰安•4分〕在平面直角坐标系中, 直线l：y＝x+1与y轴交于点A1, 如下图, 依次作正方形OA1B1C1, 正方形C1A2B2C2, 正方形C2A3B3C3, 正方形C3A4B4C4, ……, 点A1, A2, A3, A4, ……在直线l上, 点C1, C2, C3, C4, ……在x轴正半轴上, 那么前n个正方形对角线长的和是〔2n﹣1〕．【分析】根据题意和函数图象可以求得点A1, A2, A3, A4的坐标, 从而可以得到前n个正方形对角线长的和, 此题得以解决．【解答】解：由题意可得,点A1的坐标为〔0, 1〕, 点A2的坐标为〔1, 2〕, 点A3的坐标为〔3, 4〕, 点A4的坐标为〔7, 8〕, ……,∴OA1＝1, C1A2＝2, C2A3＝4, C3A4＝8, ……,∴前n个正方形对角线长的和是：〔OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n〕＝〔1+2+4+8+…+2n﹣1〕,设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1, 那么2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n,那么2S﹣S＝2n﹣1,∴S＝2n﹣1,∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1,∴前n个正方形对角线长的和是：×〔2n﹣1〕,故答案为：〔2n﹣1〕,【点评】此题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标, 解答此题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答．13．〔2021•山东潍坊•3分〕如下图, 在平面直角坐标系xoy中, 一组同心圆的圆心为坐标原点O, 它们的半径分别为1, 2, 3, …, 按照“加1”依次递增；一组平行线, l0, l1, l2, l3, …都与x轴垂直, 相邻两直线的间距为l, 其中l0与y轴重合假设半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1, 半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2, …, 半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n, 那么点P n的坐标为〔n, 〕．〔n为正整数〕【分析】连OP1, OP2, OP3, l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3, 在Rt△OA1P1中, OA1＝1, OP1＝2, 由勾股定理得出A1P1＝＝, 同理：A2P2＝, A3P3＝, ……, 得出P1的坐标为〔1, 〕, P2的坐标为〔2, 〕, P3的坐标为〔3, 〕, ……, 得出规律, 即可得出结果．【解答】解：连接OP1, OP2, OP3, l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3, 如下图：在Rt△OA1P1中, OA1＝1, OP1＝2,∴A1P1＝＝＝,同理：A2P2＝＝, A3P3＝＝, ……,∴P1的坐标为〔1, 〕, P2的坐标为〔2, 〕, P3的坐标为〔3, 〕, ……,…按照此规律可得点P n的坐标是〔n, 〕, 即〔n, 〕故答案为：〔n, 〕．【点评】此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理；由题意得出规律是解题的关键．14．(2021•湖南益阳•4分)观察以下等式：2＝(2－1)2,①3－22＝(3－2)2,②5－62＝(4－3)2,③7－12…请你根据以上规律, 写出第6个等式．【考点】规律探究---二次根式化简．【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1, 根号下的数为n(n+1), 利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为(－)2(n≥1的整数)．【解答】解：写出第6个等式为13－2＝(－)2．故答案为13－2＝(－)2．【点评】此题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式, 然后进行二次根式的乘除运算, 再合并即可．在二次根式的混合运算中, 如能结合题目特点, 灵活运用二次根式的性质, 选择恰当的解题途径, 往往能事半功倍．15(2021湖北仙桃)〔3分〕如图, 在平面直角坐标系中, 四边形OA1B1C1, A1A2B2C2,A2A3B3C3, …都是菱形, 点A1, A2, A3, …都在x轴上, 点C1, C2, C3, …都在直线y＝x+上, 且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°, OA1＝1, 那么点C6的坐标是〔95, 32〕．【分析】根据菱形的边长求得A1、A2、A3…的坐标然后分别表示出C1、C2、C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标．【解答】解：∵OA1＝1,∴OC1＝1,∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°,∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝, 横坐标为cos60°•OC1＝,∴C1〔, 〕,∵四边形OA1B1C1, A1A2B2C2, A2A3B3C3, …都是菱形,∴A1C2＝2, A2C3＝4, A3C4＝8, …,∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝, 代入y＝x+求得横坐标为2,∴C2〔, 2, 〕,C3的纵坐标为：sin60°•A2C3＝4, 代入y＝x+求得横坐标为11,∴C3〔11, 4〕,∴C4〔23, 8〕,C5〔47, 16〕,∴C6〔95, 32〕；故答案为〔95, 32〕．【点评】此题是对点的坐标变化规律的考查, 主要利用了菱形的性质, 解直角三角形, 根据点的变化规律求出菱形的边长, 得出系列C点的坐标, 找出规律是解题的关键．16. (2021湖北咸宁市3分)有一列数, 按一定规律排列成1, ﹣2, 4, ﹣8, 16, ﹣32, …, 其中某三个相邻数的积是412, 那么这三个数的和是﹣384．【分析】根据题目中的数字, 可以发现它们的变化规律, 再根据其中某三个相邻数的积是412, 可以求得这三个数, 从而可以求得这三个数的和．【解答】解：∵一列数为1, ﹣2, 4, ﹣8, 16, ﹣32, …,∴这列数的第n个数可以表示为〔﹣2〕n﹣1,∵其中某三个相邻数的积是412,∴设这三个相邻的数为〔﹣2〕n﹣1.〔﹣2〕n、〔﹣2〕n+1,那么〔﹣2〕n﹣1•〔﹣2〕n•〔﹣2〕n+1＝412,即〔﹣2〕3n＝〔22〕12,∴〔﹣2〕3n＝224,∴3n＝24,解得, n＝8,∴这三个数的和是：〔﹣2〕7+〔﹣2〕8+〔﹣2〕9＝〔﹣2〕7×〔1﹣2+4〕＝〔﹣128〕×3＝﹣384,故答案为：﹣384．【点评】此题考查数字的变化类, 解答此题的关键是明确题意, 发现题目中数字的变化规律．1.〔2021•四川省达州市•11分〕箭头四角形模型规律如图1, 延长CO交AB于点D, 那么∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头, 其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C〞这个规律, 所以我们把这个模型叫做“箭头四角形〞．模型应用〔1〕直接应用：①如图2, ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α．②如图3, ∠ABE、∠ACE的2等分线〔即角平分线〕BF、CF交于点F, ∠BEC＝120°, ∠BAC＝50°, 那么∠BFC＝85°．③如图4, BO i、CO i分别为∠ABO、∠ACO的2021等分线〔i＝1, 2, 3, …, 2021, 2021〕．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2021．∠BOC＝m°, ∠BAC＝n°, 那么∠BO1000C ＝〔m+n〕度．〔2〕拓展应用：如图5, 在四边形ABCD中, BC＝CD, ∠BCD＝2∠BA D．O是四边形ABCD 内一点, 且OA＝OB＝O D．求证：四边形OBCD是菱形．【分析】〔1〕①由∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α, ∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α可得答案；②由∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F, ∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A且∠EBF＝∠ABF, ∠ECF＝∠ACF知∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F, 从而得∠F＝, 代入计算可得；③由∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BO1000C, ∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BAC知∠ABO+∠ACO＝〔∠BO1000C﹣∠BAC〕, 代入∠BOC＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BO1000C得∠BOC＝×〔∠BO1000C﹣∠BAC〕+∠BO1000C, 据此得出∠BO1000C＝〔∠BOC+∠BAC〕＝∠BOC+∠BAC, 代入可得答案；〔2〕由∠OAB＝∠OBA, ∠OAD＝∠ODA知∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD, 结合∠BCD＝2∠BAD得∠BCD＝∠BOD, 连接OC, 根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．【解答】解：〔1〕①如图2,在凹四边形ABOC中, ∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α,在凹四边形DOEF中, ∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α；②如图3,∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F, ∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A, 且∠EBF＝∠ABF, ∠ECF＝∠ACF,∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F,∴∠F＝,∵∠BEC＝120°, ∠BAC＝50°,∴∠F＝85°；③如图3,由题意知∠ABO1000＝∠ABO, ∠OBO1000＝∠ABO,∠ACO1000＝∠ACO, ∠OCO1000＝∠ACO,∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BO1000C,∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BAC,那么∠ABO+∠ACO＝〔∠BO1000C﹣∠BAC〕,代入∠BOC＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BO1000C得∠BOC＝×〔∠BO1000C ﹣∠BAC〕+∠BO1000C,解得：∠BO1000C＝〔∠BOC+∠BAC〕＝∠BOC+∠BAC,∵∠BOC＝m°, ∠BAC＝n°,∴∠BO1000C＝m°+n°；故答案为：①2α；②85°；③〔m+n〕；〔2〕如图5, 连接OC,∵OA＝OB＝OD,∴∠OAB＝∠OBA, ∠OAD＝∠ODA,∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD,∵∠BCD＝2∠BAD,∴∠BCD＝∠BOD,∵BC＝CD, OA＝OB＝OD, OC是公共边,∴△OBC≌△ODC〔SSS〕,∴∠BOC＝∠DOC, ∠BCO＝∠DCO,∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC, ∠BCD＝∠BCO+∠DCO,∴∠BOC＝∠BOD, ∠BCO＝∠BCD,又∠BOD＝∠BCD,∴∠BOC＝∠BCO,∴BO＝BC,又OB＝OD, BC＝CD,∴OB＝BC＝CD＝DO,∴四边形OBCD是菱形．【点评】此题主要考查四边形的综合问题, 解题的关键是掌握“箭头四角形〞的性质∠BOC＝∠A+∠B+∠C及其运用, 全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识点．2．〔2021•山东青岛•10分〕问题提出：如图, 图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L〞形纸片, 图②是一张a×b的方格纸〔a×b的方格纸指边长分别为a, b的矩形, 被分成a×b个边长为1的小正方形, 其中a≥2, b≥2, 且a, b为正整数〕．把图①放置在图②中, 使它恰好盖住图②中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律, 我们采用一般问题特殊化的策略, 先从最简单的情形入手, 再逐次递进, 最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？如图③, 对于2×2的方格纸, 要用图①盖住其中的三个小正方形, 显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？如图④, 在3×2的方格纸中, 共可以找到2个位置不同的 2 2×方格, 依据探究一的结论可知, 把图①放置在3×2的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？如图⑤, 在a×2的方格纸中, 共可以找到〔a﹣1〕个位置不同的2×2方格, 依据探究一的结论可知, 把图①放置在a×2的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有〔4a﹣4〕种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？如图⑥, 在a×3的方格纸中, 共可以找到〔2a﹣2〕个位置不同的2×2方格, 依据探究一的结论可知, 把图①放置在a×3的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有〔8a﹣8〕种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？〔仿照前面的探究方法, 写出解答过程, 不需画图．〕问题拓展：如图, 图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体, 图⑧是一个长、宽、高分别为a, b, c〔a≥2, b≥2, c≥2, 且a, b, c是正整数〕的长方体, 被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到8〔a﹣1〕〔b﹣1〕〔c﹣1〕个图⑦这样的几何体．【分析】对于图形的变化类的规律题, 首先应找出图形哪些局部发生了变化, 是按照什么规律变化的, 通过分析找到各局部的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考, 善用联想来解决这类问题．【解答】解：探究三：根据探究二, a×2的方格纸中, 共可以找到〔a﹣1〕个位置不同的2×2方格,根据探究一结论可知, 每个2×2方格中有4种放置方法, 所以在a×2的方格纸中, 共可以找到〔a﹣1〕×4＝〔4a﹣4〕种不同的放置方法；故答案为a﹣1, 4a﹣4；探究四：与探究三相比, 此题矩形的宽改变了, 可以沿用上一问的思路：边长为a, 有〔a﹣1〕条边长为2的线段,同理, 边长为3, 那么有3﹣1＝2条边长为2的线段,所以在a×3的方格中, 可以找到2〔a﹣1〕＝〔2a﹣2〕个位置不同的2×2方格,根据探究一, 在在a×3的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有〔2a﹣2〕×4＝〔8a﹣8〕种不同的放置方法．故答案为2a﹣2, 8a﹣8；问题解决：在a×b的方格纸中, 共可以找到〔a﹣1〕〔b﹣1〕个位置不同的2×2方格,依照探究一的结论可知, 把图①放置在a×b的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有4〔a﹣1〕〔b﹣1〕种不同的放置方法；问题拓展：发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一局部, 利用前面的思路,这个长方体的长宽高分别为a、b、c, 那么分别可以找到〔a﹣1〕、〔b﹣1〕、〔c﹣1〕条边长为2的线段,所以在a×b×c的长方体共可以找到〔a﹣1〕〔b﹣1〕〔c﹣1〕位置不同的2×2×2的正方体, 再根据探究一类比发现, 每个2×2×2的正方体有8种放置方法,所以在a×b×c的长方体中共可以找到8〔a﹣1〕〔b﹣1〕〔c﹣1〕个图⑦这样的几何体；故答案为8〔a﹣1〕〔b﹣1〕〔c﹣1〕．【点评】此题考查了平面图形的有规律变化, 要求学生通过观察图形, 分析、归纳并发现其中的规律, 并应用规律解决问题是解题的关键．。

中招数学规律探索型问题 (附答案)

类型一数字规律探索1.(2016.济宁)按一定规律排列的一列数：，1，1，□，，，，…请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为.2.观察下列等式：71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649，...则71+72+73+ (72017)末位数是——————。

3.观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…，试猜想，32017的个位数字是4.（2015•孝感）观察下列等式：1 2 =1，1+3=2 2 ，1+3+5=3 2 ，1+3+5+7=4 2 ，…，则1+3+5+7+…+2015=____________．5.（2016.南宁）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第层．类型二数式规律探索．6.古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，······叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为______7.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21……叫做三角形数，它有一定的规律性.若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，……，第个三角形数记为，计算……，由此推算，____________，__________.8.（2015•武威）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是，2016是第个三角形数．类型三图形规律探索9. （2016.重庆）观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）A ．43B ．45C ．51D ．5310. 如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 9的值为（）A ．（）6B ．（）7C ．（）6 D ．（）711. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，那么第4个图形中的x= ，一般地，用含有m ，n 的代数式表示y ，即y=12．（2015.河南）在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1,O 2,O 3…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则2015秒时，点P 的坐标是（）A.（2014，0）B.（2015，-1）C.（2015，1）D.（2015，0）13.（2015•宜宾）如图，以点O 为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（）A．231πB．210πC．190πD．171π类型四坐标中的规律探索14. （2016•聊城）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是14题图15题图15. 如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1（3，0），A3（1，0），A5（4，0），A7（0，0），A9（5，0），依据图形所反映的规律，则A100的坐标为．16.（2015•丹东，）如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA1的长为1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3…△AnAn+1Bn均为等边三角形，点A1、A2、A3…An+1在x轴的正半轴上依次排列，点B1、B2、B3…Bn在直线OD上依次排列，那么点Bn的坐标为.答案1.【解答】解：把整数1化为，得，，，（），，，…可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，所以，第4个数的分子是2，分母是3，故答案为：．2.答案73.观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…，试猜想，32017的个位数字是3.【解答】解：设n为自然数，∵34n+1的个位数字是3，与31的个位数字相同，34n+2的个位数字是9，与32的个位数字相同，34n+3的个位数字是7，与33的个位数字相同，34n的个位数字是1，与34的个位数字相同，∴32016=3504×4的个位数字与34的个位数字相同，应为1，故答案为：34.（2015•孝感）观察下列等式：1 2 =1，1+3=2 2 ，1+3+5=3 2 ，1+3+5+7=4 2 ，…，则1+3+5+7+…+2015= ——————————．4.解答：解：因为 1=1 2 ；1+3=2 2 ；1+3+5=3 2 ；1+3+5+7=4 2 ；…，所以 1+3+5+…+2015=1+3+5+…+（2×1008﹣1）=1008 2=1016064故答案为：1016064．【解答】解：第一层：第一个数为12=1，最后一个数为22﹣1=3，第二层：第一个数为22=4，最后一个数为23﹣1=8，第三层：第一个数为32=9，最后一个数为24﹣1=15，∵442=1936，452=2025，又∵1936＜2016＜2025，∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层，故答案为：44类型二数式规律探索．由三角数规律可知，可知三角数的每一项中后一项比前一项多的点数为后一项最底层的点数，因而可知第30项比第29个项点数多30个，而第29项比第28项多29个，故可求出第30个三角数比第28个三角数多的点数59个7.解答：解：a 2-a1=3-1=2；a 3-a2=6-3=3；a 4-a3=10-6=4；…；a n -an-1=n．所以a100-a99=100．∵（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）=2+3+4+…+n=-1=an -a1，∴a100==5050．类型三图形规律探索9.【解答】解：设图形n中星星的颗数是a n（n为自然是），观察，发现规律：a1=2，a2=6=a1+3+1，a3=11=a2+4+1，a4=17=a3+5+1，…，∴a n=2+．令n=8，则a8=2+=51．10.【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2+CE 2=CD 2，DE=CE ， ∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=22=4，S 2=S 1=2，S 3=S 2=1，S 4=S 3=，…，∴S n =（）n ﹣3．当n=9时，S 9=（）9﹣3=（）6，故选：A ．11.【解答】解：观察，发现规律：3=1×（2+1），15=3×（4+1），35=5×（6+1）， ∴x=7×（8+1）=63，y=m （n +1）．故答案为：63；m （n +1）． 12.【解析】：一个半圆的周长是πr=π，速度×时间=2π×2015，设点P 走了n 个半圆，则有2π×2015=n π，所以n=20152个2，即100712个2，1007个2时正好是上半圆弧，还有12半圆弧，正好在下半圆弧的中点，因此的P 在（2015，-1）处。

中考规律探索题及答案

探索规律题类型一数字规律1、下面是按一定规律排列的一列数：，那么第n个数是．解析∵分子分别为1、3、5、7，…，∴第n个数的分子是2n﹣1。

？∵4﹣3=1=12，7﹣3=4=22，12﹣3=9=32，19﹣3=16=42，…，∴第n个数的分母为n2+3。

∴第n个数是。

2、观察下列等式：，，，，，，。

试猜想，的个位数字是_____ 。

解析本题主要考查规律探索。

观察等式：，，，，，可得，次方的个位数字是，次方的个位数字是，次方的个位数字是，次方的个位数字是，次方的个位数字是，个位数字的变化是以、、、为周期，即周期为，又因为，所以的个位数字与的个位数字相同为。

故本题正确答案为。

考点规律探索。

3、古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,叫做三角形数,它有一定的规律性,若把第一个三角形数记为,第二个三角形数记为,第n个三角形数记为,则．答案解:,═,,═,═,…,,则,因此，本题正确答案是:.解析根据三角形数得到,,,,,即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和,即、,然后计算可得.4、按一定规律排列的一列数：，，，，，，，，请你仔细观察，按照此规律对应的数字应为_____。

答案解析本题主要考查规律探索。

将中间两个化为分数之后为：，，，，，，，，观察可知分子是从开始不断递增的奇数，分母是从开始不断递增的质数，那么根据这个规律即可得到。

故本题正确答案为。

考点规律探索。

5、如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律,依此规律,那么第4个图形中的,一般地,用含有m,n的代数式表示y,即.？答案解:观察,发现规律:,,,？,因此，本题正确答案是:63;解析观察给定图形,发现右下的数字=右上数字(左下数字,依此规律即可得出结论.6、观察下列数据：，，，，，，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个数据是_____。

答案解析本题主要考查规律探索。

由数据，，，，，，可观察到，第奇数个数据为负数，第偶数个数据为正数，所以数据中带有这个因式，将化成，则这组数据变成，，，，，，由此可观察出，每一个分数的分子都是分母的平方再加，所以这组数据中第个分数为，将代入可得出分数。

2016全国各地中考数学分类汇编：规律探索(含解析)

规律探索1．（2016·山东省德州市·4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l2于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为（21008，21009）．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】规律型；一次函数及其应用．【分析】写出部分A n点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n 为自然数）”，依此规律即可得出结论．【解答】解：观察，发现规律：A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…，∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）．∵2017=1008×2+1，∴A2017的坐标为（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）=（21008，21009）．故答案为：（21008，21009）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中坐标的变化，解题的关键是找出变化规律“A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分A n点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．2.（2016·四川内江）一组正方形按如图3所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是( )A．(12)2015B．(12)2016C．3)2016D．32015[答案] D[考点]三角形的相似，推理、猜想。

[解析]易知△B 2C 2E 2∽△C 1D 1E 1，∴2211B C C D ＝2211B E C E ＝1111D EC E ＝tan 30°． ∴B 2C 2＝C 1D 1·tan 30°＝33．∴C 2D 2＝33．同理，B 3C 3＝C 2D 2·tan 30°＝(33)2；由此猜想B n C n ＝(33)n －1．当n ＝2016时，B 2016C 2016＝(33)2015．故选D ．3. （2016·湖北荆州·3分）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n 个图案中有2017个白色纸片，则n 的值为（）A ．671B ．672C ．673D ．674【分析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加3个白色纸片；据此可得第n 个图案中白色纸片数，从而可得关于n 的方程，解方程可得．【解答】解：∵第1个图案中白色纸片有4=1+1×3张；第2个图案中白色纸片有7=1+2×3张；第3个图案中白色纸片有10=1+3×3张； …∴第n 个图案中白色纸片有1+n×3=3n+1（张），根据题意得：3n+1=2017，解得：n=672，x OyC 1D 1 A 1B 1E 1E 2 E 3 E 4 C 2D 2 A 2B 2C 3D 3 A 3B 3故选：B．【点评】本题考查了图形的变化问题，观察出后一个图形比前一个图形的白色纸片的块数多3块，从而总结出第n个图形的白色纸片的块数是解题的关键．4. （2016·重庆市A卷·4分）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A．64 B．77 C．80 D．85【分析】观察图形特点，从中找出规律，小圆圈的个数分别是3+12，6+22，10+32，15+42，…，总结出其规律为+n2，根据规律求解．【解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第一个图形为：+12=4，第二个图形为：+22=6，第三个图形为：+32=10，第四个图形为：+42=15，…，所以第n个图形为：+n2，当n=7时，+72=85，故选D．【点评】此题主要考查了学生分析问题、观察总结规律的能力．关键是通过观察分析得出规律．5. （2016·重庆市B卷·4分）观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）A．43 B．45 C．51 D．53【考点】规律型：图形的变化类．【分析】设图形n中星星的颗数是a n（n为自然是），列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化规律“a n=2+”，结合该规律即可得出结论．【解答】解：设图形n中星星的颗数是a n（n为自然是），观察，发现规律：a1=2，a2=6=a1+3+1，a3=11=a2+4+1，a4=17=a3+5+1，…，∴a n=2+．令n=8，则a8=2+=51．故选C．【点评】本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变化规律“a n=2+”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定条件列出部分数据，根据数据的变化找出变化规律是关键．二、填空题1. （2016·山东潍坊·3分）在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形A n B n C n C n﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，探究规律后即可解决问题．【解答】解：∵y=x﹣1与x轴交于点A1，∴A1点坐标（1，0），∵四边形A1B1C1O是正方形，∴B1坐标（1，1），∵C1A2∥x轴，∴A2坐标（2，1），∵四边形A2B2C2C1是正方形，∴B2坐标（2，3），∵C2A3∥x轴，∴A3坐标（4，3），∵四边形A3B3C3C2是正方形，∴B3（4，7），∵B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），B3（22，23﹣1），…，∴B n坐标（2n﹣1，2n﹣1）．故答案为（2n﹣1，2n﹣1）．2.（2016·黑龙江龙东·3分）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC 的顶点C的坐标为．【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．【解答】解：解：∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2，∴点C到x轴的距离为1+2×=+1，横坐标为2，∴A（2，+1），第2016次变换后的三角形在x轴上方，点A的纵坐标为+1，横坐标为2-2016×1=-2014，所以，点A的对应点A′的坐标是(-2014，+1)故答案为：(-2014，+1)．3．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n OC n B n的对角线交点的坐标为（﹣，）．【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得B n的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标．【解答】解：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，∵OA=2，OC=1．∵点B的坐标为（﹣2，1），∴点B1的坐标为（﹣2×，1×），∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，∴B2（﹣2××，1××），∴B n（﹣2×，1×），∵矩形A n OC n B n的对角线交点（﹣2××，1××），即（﹣，），故答案为：（﹣，）．4．（2016·湖北黄石·3分）观察下列等式：第1个等式：a1==﹣1，第2个等式：a2==﹣，第3个等式：a3==2﹣，第4个等式：a4==﹣2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：a n==﹣；；（2）a1+a2+a3+…+a n=﹣1．【分析】（1）根据题意可知，a1==﹣1，a2==﹣，a3==2﹣，a4==﹣2，…由此得出第n个等式：a n==﹣；（2）将每一个等式化简即可求得答案．【解答】解：（1）∵第1个等式：a1==﹣1，第2个等式：a2==﹣，第3个等式：a3==2﹣，第4个等式：a4==﹣2，∴第n个等式：a n==﹣；（2）a1+a2+a3+…+a n=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）=﹣1．故答案为=﹣；﹣1．【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．5．按一定规律排列的一列数：，1，1，□，，，，…请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】把整数1化为，可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，分析即可求解．【解答】解：把整数1化为，得，，，（），，，…可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，所以，第4个数的分子是2，分母是3，故答案为：．6．（2016·山东省东营市·4分）在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S ＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38 ①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S ＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39 ②， ②一①得：3S ―S ＝39－1，即2S ＝39－1， ∴S ＝39―12.得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m （m ≠0且m ≠1），能否求出1＋m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016的值？如能求出，其正确答案是___________. 【专题】规律探究——数式规律【答案】m 2017－1m －1.【解析】设S ＝1＋m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016 …………………①，在①式的两边都乘以m ，得：mS ＝m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016＋m 2017 …………………② ②一①得：mS ―S ＝m 2017－1. ∴S ＝m 2017－1m －1.【点拨】仔细理解题目中所给的求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值过程，仿照其解法，即可得到求出1＋m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016的值的方法.7．（2016·山东省滨州市·4分）观察下列式子：1×3+1=22；7×9+1=82；25×27+1=262；79×81+1=802；…可猜想第2016个式子为（32016﹣2）×32016+1=（32016﹣1）2．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】观察等式两边的数的特点，用n表示其规律，代入n=2016即可求解．【解答】解：观察发现，第n个等式可以表示为：（3n﹣2）×3n+1=（3n﹣1）2，当n=2016时，（32016﹣2）×32016+1=（32016﹣1）2，故答案为：（32016﹣2）×32016+1=（32016﹣1）2．【点评】此题主要考查数的规律探索，观察发现等式中的每一个数与序数n之间的关系是解题的关键．8．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x 轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=﹣1．【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．【专题】规律型．【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．【解答】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），∴顶点坐标为（1，1），∴A1坐标为（2，0）∵C2由C1旋转得到，∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；∴m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．9.（2016·福建龙岩·3分）如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=π．【考点】三角形的内切圆与内心；规律型：图形的变化类．【分析】（1）图1，作辅助线构建正方形OECF，设圆O的半径为r，根据切线长定理表示出AD 和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r=（a、b是直角边，c为斜边），运用圆面积公式=πr2求出面积=π；（2）图2，先求斜边上的高CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径r=（a、b 是直角边，c为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π；（3）图3，继续求高DM和CM、BM，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=π；综上所述：发现S1+S2+S3+…+S10=π．【解答】解：（1）图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°∵∠C=90°∴四边形OECF为矩形∵OE=OF∴矩形OECF为正方形设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r∴3﹣r+4+r=5，r==1∴S1=π×12=π（2）图2，由S△ABC=×3×4=×5×CD∴CD=由勾股定理得：AD==，BD=5﹣=由（1）得：⊙O的半径==，⊙E的半径==∴S1+S2=π×+π×=π（3）图3，由S△CDB=××=×4×MD∴MD=由勾股定理得：CM==，MB=4﹣=由（1）得：⊙O的半径=，：⊙E的半径==，：⊙F的半径==∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π∴图4中的S1+S2+S3+S4=π则S1+S2+S3+…+S10=π故答案为：π．10.（2016·广西百色·3分）观察下列各式的规律：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4…可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017．【考点】平方差公式；多项式乘多项式．【分析】根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出所求式子结果即可．【解答】解：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；…可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017，故答案为：a2017﹣b201711.（2016·贵州安顺·4分）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为4．【分析】观察图形我们可以得出x和y的关系式为：y=2x2﹣4，因此将x的值代入就可以计算出y 的值．如果计算的结果＜0则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值＞0为止，即可得出y的值．【解答】解：依据题中的计算程序列出算式：12×2﹣4．由于12×2﹣4=﹣2，﹣2＜0，∴应该按照计算程序继续计算，（﹣2）2×2﹣4=4，∴y=4．故答案为：4．【点评】解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．由于代入1计算出y的值是﹣2，但﹣2＜0不是要输出y的值，这是本题易出错的地方，还应将x=﹣2代入y=2x2﹣4继续计算．12.（2016·贵州安顺·4分）观察下列砌钢管的横截面图：则第n个图的钢管数是n2+n（用含n的式子表示）【分析】本题可依次解出n=1，2，3，…，钢管的个数．再根据规律以此类推，可得出第n堆的钢管个数．【解答】解：第一个图中钢管数为1+2=3；第二个图中钢管数为2+3+4=9；第三个图中钢管数为3+4+5+6=18；第四个图中钢管数为4+5+6+7+8=30，依此类推，第n个图中钢管数为n+（n+1）+（n+2）+…+2n=+=n2+n，故答案为：n2+n．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．13.（2016广西南宁3分）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】先按图示规律计算出每一层的第一个数和最后一个数；发现第一个数分别是每一层层数的平方，那么只要知道2016介于哪两个数的平方即可，通过计算可知：442＜2016＜452，则2016在第44层．【解答】解：第一层：第一个数为12=1，最后一个数为22﹣1=3，第二层：第一个数为22=4，最后一个数为23﹣1=8，第三层：第一个数为32=9，最后一个数为24﹣1=15，∵442=1936，452=2025，又∵1936＜2016＜2025，∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层，故答案为：44【点评】本题考查了数学变化类的规律题，这类题的解题思路是：①从第一个数起，认真观察、仔细思考，能不能用平方或奇偶或加、减、乘、除等规律来表示；②利用方程来解决问题，先设一个未知数，找到符合条件的方程即可；本题以每一行的第一个数为突破口，找出其规律，得出结论．14.(2016河北4分）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OBOB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°-7°=83°.第19题图当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A=__76___°.……若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值=___6____°.解析：此题有些难度，第一问简单，先求∠2，再求∠AA1A2，进而求∠A；第二问有些难度，原路返回，那么最后的线垂直于BO，中间的角，从里往外，是7°的2倍，4倍，8倍......，2∠1=180°-14°×n ，在利用外角性质，∠A=∠1-7°=83°-7°×n，当n=11时，∠A=6°。

2016届中考数学专题突破七规律探究题型课件

【分析】要得到这个多位数前100位的所有数字之和，必须知道各个数位上的数字的排列规律。因此必须按照这种多位数的构造方法进行必要的尝试，进而可以发现这个数是36248624……也就是说，从左起第2位数字起按6、2、4、8进行循环排列，所以前100位的所有数字之和是 3+(6+2+4+8)×24+6+2+4=495。故选A。这个问题中呈现的规律是一个周期性的变化规律，解题时要通过操作(计算，推理)直到得出特定对象重复出现，进而找出“循环节”，从而完成对问题的求解。【解】 A
2
2
【分析】(1)通过观察，可以发现这一组等式结构是相同的，显然这种不变的结构在猜想的第n个等式中必须得到保留；而变化的部分呈现一种序列的变化规律，这种变化规律一般与正整数序列(有时是自然数序列或相关序列)相关，因此我们要做的就是把这种规律用含n的式子加以表示即可。 (2)要证明一个猜想的等式成立，只要证明其左边等于右边即可。因此可以选择从待证等式的一边出发经过合理的变形得出另一边(有时也可能是分别对两边进行合理的变形，得出都等于相同的中间量)。
专题七 ┃ 热点探究
图形规律型问题
例 5 [2012· 安徽] 在由 m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数 f. (1) 当 m、n 互质(m、n 除 1 外无其他公因数)时，观察图 X7－1 并完成下表：
图 X7－1
专题七 ┃ 热点探究
m＋ n m n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 5 7 3 4 7 猜想：当 m、n 互质时，在 m×n 的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数 f 与 m、n 的关系式是________(不需要证明)； (2)当 m、n 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．

中考数学复习《探索规律问题》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《探索规律问题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解探索规律问题是中考数学中的常考问题，往往以选择题或填空题中的压轴题形式出现，主要命题方向有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等．基本解题思路为：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，最后验证结论的正确性．即“从特殊情形入手→探索发现规律→猜想结论→验证”．类型一数式规律这类问题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．例1 (2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an ，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝．【分析】首先计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4的值，然后总结规律根据规律得出结论，进而求出a399＋a400的值．【自主解答】∵a1＋a2＝1＋3＝4＝22，a2＋a3＝3＋6＝9＝32，a3＋a4＝6＋10＝16＝42，…，∴an ＋an＋1＝(n＋1)2.∴a399＋a400＝4002＝160 000.故答案为160 000.变式训练：1．(2017·遵义)按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第100个数是．2．(2017年黄石)观察下列格式：=1﹣=+=1﹣+﹣=++=1﹣+﹣+﹣=…请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数）．（写出最简计算结果即可）类型二图形规律这类题目通常是给出一组图形的排列(或通过操作得到一系列的图形)，探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．解决此类问题先观察图案的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值．例2 (2016·重庆)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )A．64 B．77 C．80 D．85【分析】观察图形特点，可将图形分为两部分：上面的三角形和下面的正方形，因此小圆圈的个数分别是3＋12，6＋22，10＋32，15＋42，…，据此总结出规律求解即可．【自主解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第一个图形为：+12=4，第二个图形为：+22=6，第三个图形为：+32=10，第四个图形为：+42=15 …，所以第n个图形为：+n2，当n=7时，+72=85，故选D．变式训练：3．(2017·随州)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为( )A．84株 B．88株 C．92株 D．121株4．(2015·德州)如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠A＝60°.取AB的中点A1，连接A1C，再分别取A1C，BC的中点D1，C1，连接D1C1，得到四边形A1BC1D1.如图2，同样方法操作得到四边形A2BC2D2，如图3，…，如此进行下去，则四边形An BCnDn的面积为_______类型三点的坐标规律这类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．例3 (2017·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．21433an【分析】先根据直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1=1，∠OB1D=30°，再，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，A2的横坐标为，A3的横坐标为，进而得到An的横坐标为，据此可得点A2017的横坐标．【自主解答】解：由直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），D（﹣，0），∴OB1=1，∠OB1D=30°，如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA=OB1=，即A1的横坐标为=，由题可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，∴∠A1B1B2=90°，∴A1B2=2A1B1=2，过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B=A1B2=1，即A2的横坐标为+1==，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C=A2B3=2，即A3的横坐标为+1+2==，同理可得，A4的横坐标为+1+2+4==，由此可得，An的横坐标为，∴点A2017的横坐标是，故答案为：．变式训练5．(2016·德州)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2 017的坐标为__6．(2017·安顺)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形An Bn－1Bn顶点Bn的横坐标为___。

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