高中数学《两条直线的垂直与平行》导学课件 北师大版必修2

问题3 两直线垂直的判定
(1)斜截式:已知直线m的方程为y=k1x+b1,直线n的方程为 y=k2x+b2,m⊥n⇔k1·k2=-1. (2)一般式:直线m的方程为A1x+B1y+C1=0,直线n的方程为 A2x+B2y+C2=0,m⊥n⇔A1A2+B1B2=0.
问题3 中心对称问题
(2)直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点, 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点 式求出直线方程.
3
整理得 4x+3y-17=0.
对称问题 光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x 反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(1,6),求BC所在直线的方程.
【解析】作出草图,如图所示.
设 A 点关于直线 y=x 的对称点为 A'点,D 点关于 y 轴的对称点为 D'点,则易得 A'(-2,-4),D'(1,6). 由入射角等于反射角可得 A'D'所在直线经过点 B 与 C,故 BC 所在的直线方程为y-6 =x-1 ,即 10x-3y+8=0.
(2)因为所求直线垂直于直线 y=-2,所以所求直线的斜率不 存在.又因为直线经过点(-1,1),所以所求直线方程为 x=-1.
平面几何中的平行与垂直问题
已知A(1,1),B(5,4),C(2,3).
(1)求一点D,使四边形ABDC为平行四边形.
(2)求△ABC中AB边上的高所在的直线方程.
【解析】设 D(m,n),由已知得 kAB=34,kAC=2,kBD=mn--45,kCD=mn--32.
问题1 在上述情境中,当m∥n时,直线n的方程为 2x-y-3=0; 当m⊥n时,直线n的方程为 x+2y+1=0 .
问题2 两直线平行的判定 (1)斜截式:直线m的方程为y=k1x+b1,直线n的方程为y=k2x+b2,则 m∥n⇔k1=k2且b1≠b2;直线m,n重合⇔k1=k2且b1=b2. (2)一般式:直线m的方程为A1x+B1y+C1=0,直线n的方程为 A2x+B2y+C2=0, 则m∥n⇔A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1、B1C2≠B2C1, 两个 不等式至少有一; 个成立 直线m,n重合⇔ A1B2=A2B1且A1C2=A2.C1、
问题5 轴对称问题 (1)点(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0对称的对称点(x2,y2)
可由
得出对称点坐标.
(2)直线关于直线对称
求直线l1:A1x+B1y+C1=0关于l:Ax+By+C=0对称的直 线l2的方程的方法:转化为点关于直线对称.在l1上任取两点 P1和P2,求出P1,P2关于l的对称点,再用两点式求出l2的方程.
因为四边形 ABDC 是平行四边形,如图, 所以由 AB∥CD⇒34=mn--32,① 由 AC∥BD⇒2=mn--45,②
(2)设 AB 边上的高所在的直线斜率为 k,则 k·kAB=-1,
因为
kAB=45--11=34,所以
k=-4,且经过点
3
C,
故 AB 边上的高所在的直线方程为 y-3=-4(x-2),
A.1
B. 2
C.3
D.4
【解析】②中斜率可能不存在,①③④⑤正确.
2 已知点M(2,2)和N(5,-2),点P在x轴上,且∠MPN为直角, 则点P的坐标是( A ).
A.(1,0)或(6,0) B.(1,0)
C.(-6,0)
D.(1,0)或(-6,0)
【解析】设 P(x,0),则0-2·0+2=-1,∴x=1 或 x=6.
1 已知两条不重合的直线l1、l2,有下列说法: ①若直线l1与l2的斜率相等,则l1∥l2; ②若直线l1∥l2,则两直线的斜率相等; ③若直线l1、l2的斜率均不存在,则l1∥l2; ④若两直线的斜率不相等,则两直线不平行; ⑤如果直线l1、l2平行,且l1的斜率不存在,那么l2的斜率也不存 在. 其中正确的个数是( D ).
第4课时 两条直线的平行与垂直
1.掌握直线与直线的位置关系. 2.能根据直线的方程判定两条直线平行或垂直,能利用 两条直线平行或垂直的关系求直线的方程. 3.会求关于已知直线对称的直线方程.
如图,直线m的方程为2x-y+2=0,直线n绕着点P(1,-1) 旋转,当直线n旋转到与直线m平行的时候,直线n的斜率是 多少?当直线n旋转到与直线m垂直的时候,直线n的斜率是 多少?
【解析】(1)x=-3,即 x+3=0. (2)y=3,即 y-3=0.
直线方程的应用 (1)求经过点(1,1),且与直线y=2x+7平行的直线方程; (2)求经过点(-1,1),且与直线y=-2垂直的直线方程.
【解析】(1)由 y=2x+7 得 k1=2,因为所求直线与直线 y=2x+7 平行,所以 k=k1=2,所以所求直线方程为 y-1=2(x-1).
2
2
∴λ =8.
故所求直线的方程为 y=-2x+8,即 2x+y-8=0.
6+4 1+2
(1)求与直线y=-2x+10平行,且在x轴、y轴上的截距之和为 12的直线的方程.
(2)求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程.
【解析】(1)设所求直线的方程为 y=-2x+λ ,则
它在 y 轴上的截距为 λ ,在 x 轴上的截距为
1λ ,∴λ +1λ =12,
【解析】(1)倾斜角为 90°的直线没有斜率;(2)直线的倾斜 角的取值范围是[0°,180°);(4)斜率的绝对值越大,其对应的直 线越靠近 y 轴;(6)倾斜角为 90°的直线没有斜率.
4 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方 程: (1)过点 B(-3,0),且垂直于 x 轴; (2)在 y 轴上的截距为 3,且平行于 x.
3 下列命题正确的有 (3)(5) . (1)任何一条直线都有倾斜角,也有斜率;(2)平行于x轴的直线的
倾斜角是0°或180°;(3)直线的斜率范围是(-∞,+∞);(4)过原点的 直线,斜率越大越靠近x轴;(5)两条直线的斜率相等,则它们的倾斜角 相等;(6)两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率相等.