合肥市高三第一次教学质量检测数学试题文科含答案

6. 设 a 0.23 ， b log2 0.3 ， c log 3 2 ，则(
).
A. a b c B. a c b C. b a c D. c a b
7. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计， 得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、 90 后从
事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是 ( ).
x0
y0
13. 设 x， y 满足约束条件 x y 1 0 ，则 z 2x y 的取值范围为
.
x y3 0
14. 部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形 . 谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾 斯基 1915 年提出. 具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成 4 个小三角形，去 掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图 .
20
设事件 A “3 名学生睡眠时间既有多于 x 、又有少于 x 的学生”. 丙班睡眠时间少于 x 的有 4 人，设
为 A1，A2，A3，A4 ，多于 x 的有 2 人，设为 B1，B2 . 从这 6 名学生中随机选取 3 人的基本事件共有 20 种， 而不满足条件的基本事件 (3 人睡眠时间都低于 x ) 有 A1 A2 A3 , A1A2 A4 , A1A3 A4 , A2 A3 A4 共 4 种情况，所以满足
3 ，即 k kOM 6
1 ，
2
∴ kOM
1. 2k
同理可得 kON
1 ，∴ kOM 2k
kON ，所以 O，M ，N 三点共线. ……………………… 12分
21.( 本小题满分 12 分)
( Ⅰ) g x
fx
ex 1 1 a x 0 ， g x x
ex 1
1 x2 .
令
x
gx
ex 1
1 x2 x
0 ，∴
∴ ADB 30 ，
∴ AD CD ，∴ BM // AD .
又∵ BM 平面 PAD ， AD 平面 PAD ，
∴ BM ∥平面 PAD .
∵ E 为 PC 的中点， M 为 CD 的中点，∴ EM ∥ PD .
又∵ EM 平面 PAD ， PD 平面 PAD ，
∴ EM ∥平面 PAD .
∵ EM BM M ，∴平面 BEM ∥平面 PAD .
12
12
( Ⅱ)由 g
1 得 sin 2 63
2 sin 2
1，
63
33
∴ sin 2
1 ，即 h
1.
33
3
…分)
( Ⅰ) 取 CD 的中点为 M ，连结 EM ， BM .
∵ BCD 为等边三角形，∴ BM CD .
∵ BAD 120 ， AD AB ，
2. 设 i 是虚数单位，复数 a i 1 2i 为纯虚数，则实数 a 为(
).
A.-2 B.2 C.
1
1
D.
2
2
3.
设双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1( a
0，b
0 ) 的虚轴长为 4，一条渐近
线为 y
1 x ，则双曲线 C 的方程为(
).
2
A. x2
y2 1
B.
x2 y2 1
16 4
4 16
2
2
).
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 已知过抛物线 y 2 4 2x 焦点 F 的直线与抛物线交于点 A ， B ， AF 3FB ，抛物线的准线 l 与 x
轴交于点 C ， AM l 于点 M ，则四边形 AMCF 的面积为(
).
A. 12 3 B. 12 C. 8 3 D. 6 3
x12 联立方程得 6
y1 2 3
1 相减得 x12
y12
x22
y2 2 1
63
63
x2 2 y22 63
0，
∴ x12 x2 2 6
y12 y22 ， 3
x1 x2 x1 x2 6
y1 y2 y1 y2 ， 3
∴ y1 y2 y1 y2 x1 x2 x1 x2
3 ， y1 y2 y0 6 x1 x2 x0
设椭圆
E:
x2 a2
y2 b2
1( a
b 0 ) 的左、右焦点分别为 F1，F2 ，过 F1 的直线交椭圆于 A ， B 两点，若
椭圆 E 的离心率为 2 ， ABF2 的周长为 4 6 . 2
( Ⅰ) 求椭圆 E 的方程；
( Ⅱ) 设不经过椭圆的中心而平行于弦 AB 的直线交椭圆 E 于点 C ， D ，设弦 AB ， CD 的中点分别为
C. x y 1
64 16
2
D.
x2 y 1
4
4. 执行右图所示的程序框图，则输出 n 的值为( ).
A.63 B.47
C.23 D.7
5. 设向量 a 3，4 ，向量 b 与向量 a 方向相反，且 b 10 ，则
向量 b 的坐标为(
).
A. 6，8 B. 55
6，8 C. 6 ， 8 D. 6， 8 55
8. 已知 cos sin
1 ，则 cos 2
=(
).
5
2
A. 24 B. 25
4
24 C.
D. 4
5
25
5
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表
面积为(
).
A. 6
B. 24
C. 48
D. 96
10. 已知函数 f x x ex e x ，对于实数 a，b ，“ a b 0 ”是“ f a f b 0 ”的(
极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 =2cos .
( Ⅰ) 求 C1 、 C2 交点的直角坐标；
为参数). 以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为
( Ⅱ) 设点 A 的极坐标为 4， ，点 B 是曲线 C2 上的点，求 AOB 面积的最大值 . 3
23.( 本小题满分 10 分)选修 4-5 ：不等式选讲 设函数 f x x 1 . ( Ⅰ) 若 f x 2x 2 ，求实数 x 的取值范围； ( Ⅱ) 设 g x f x f ax ( a 1 ) ，若 g x 的最小值为 1 ，求 a 的值.
又∵ BE 平面 BEM ，∴ BE ∥平面 PAD .
………………………… 5 分
( Ⅱ) 连结 AC 交 BD 于 O ，连结 PO .
∵ CB CD，AB AD ，
∴ AD BD . O 为 BD 的中点.
又∵ BAD 120 ， BD 2 3 ， PBD ≌ ABD ，∴ AO PO 1.
又∵ PA 2 ，∴ PA 2 PO 2 OA 2 ，∴ PO OA. 又∵ PO BD ，∴ PO ⊥平面 ABD ，即四棱锥 P ABCD 的高为 PO=1 ，
M ，N ，证明： O，M ，N 三点共线.
21.( 本小题满分 12 分)
已知函数 f x
x1
e ax
1 lnx ( a R，e 是自然对数的底数 ).
( Ⅰ) 设 g x f x ( 其中 f x 是 f x 的导数) ，求 g x 的极小值；
( Ⅱ) 若对 x 1， ，都有 f x 1 成立，求实数 a 的取值范围.
2
合肥市 2019 届高三第一次教学质量检测数学试题(文科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 C
B
A
C
D
D
D
C
B
C
A
A
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13.[-1 ，6] 14.
9
16
15. n 4n 1
∴四棱锥 P ABCD 的体积 V 1 3
3
21
23
23 1
1 4 3.
4
2
3
………………………… 12 分
19.( 本小题满分 12 分)
( Ⅰ) 甲班：140 ( Ⅱ) x 34 .
7 49 ( 人) ，乙班 140
20
7 49 ( 人) ，丙班 140
20
6 42 ( 人). ……………5 分
f x gx.
18. 本小题满分 12 分)
已 知 ： 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， BCD 为 等 边 三 角 形 ， BD AB AD PB PD ， BAD 120 .
( Ⅰ) 若点 E 为 PC 的中点，求证： BE ∥平面 PAD ； ( Ⅱ) 求四棱锥 P ABCD 的体积.
又∵ e 2 ，∴ c 3 ， b 3 ， 2
∴椭圆 E 的方程为 x2 y2 1 . 63
………………………… 5 分
( Ⅱ) 易知，当直线 AB、CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点 M ， N 在 x 轴上，O，M ，N
三点共线；
当直线 AB，CD 的斜率存在时，设其斜率为 k ，且设 A x1，y 1 ，B x 2 ，y 2 ，M x 0 ，y 0 .
12. 若关于 x 的方程 ex ax a 0 没有实数根，则实数 a 的取值范围是 (
).
A. e2，0
B.
0， e2
C.
e， 0
D. 0， e
第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分 . 第 13 题—第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 . 第 22 题、
第 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 把答案填在答题卡的相应位置 .
注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年之间出生， 80 前指 1979 年及以前出生 .
A. 互联网行业从业人员中 90后占一半以上
B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C.互联网行业中从事运营岗位的人数 90后比 80 前多 D.互联网行业中从事技术岗位的人数 90后比 80 后多
合肥市 2019 届高三第一次教学质量检测
数学试题 ( 文科)
(考试时间：120 分钟 满分：150 分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .
1. 若集合 A x 1 x 2 ， B x x 1 0 ，则 A B =(
).
A. x x 1 B. x 1 x 1 C. x x 2 D. x 2 x 1
x
ex 1
2 x3
0，
∴ g x 在 0， 上为增函数， g 1 0 .
现在上述图(3) 中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为
.
15. 设等差数列 an 满足 a2
5 ， a6
a8
30 ，则数列
1 an 2 1
的前 n 项的和等于
.
16. 设 ABC 的内角 A，B，C 的对边长 a，b，c 成等比数列，cos A C
若 BD 2 ，则 ACD 面积的最大值为
.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答 . 注意：只能做所选定的题目， 如果多做，则按所做的第一个题 目计分，作答时，请用 2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑 .
22.( 本小题满分 10 分)选修 4-4 ：坐标系与参数方程
x cos
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为
(
y sin
cos B
1 ，延长 BC 至 D ，
2
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.( 本小题满分 12 分)
将函数 f x sin2 x 的图像向左平移 个单位后得到函数 g x 的图像，设函数 h x 6
( Ⅰ) 求函数 h x 的单调递增区间；
( Ⅱ)若 g
1 ，求 h 63
的值.
；
丙班 30 30 31 33.5 39 40.
( Ⅰ) 试估算每一个班的学生数；
( Ⅱ) 设抽取的这 20 位学生睡眠时间的平均数为 x . 若在丙班抽取的 6 名学生中，再随机选取 3 人作进
一步地调查，求选取的这 3 名学生睡眠时间既有多于 x 、又有少于 x 的概率.
20.( 本小题满分 12 分)
条件的基本事件数为 16 种， P(A) 16 4 ，即在丙班被抽取的 6 名学生中，再随机地选取 3 人作进一步 20 5
地调查，选取的 3 人睡眠时间既有多于 x 、又有少于 x 学生的概率为 4 . …………………… 12 分 5
20.( 本小题满分 12 分)
( Ⅰ) 由题意知， 4a 4 6，a 6 .
2 3 ， PA 2 ， P
E
D
A
C
B
19.( 本小题满分 12 分)
某学校九年级三个班共有学生 140 人. 为了了解学生的睡眠情况，现通过分层抽样的方法获得这三个
班部分学生周一至周五睡眠时间的数据 (单位：小时 )
甲班 30 31 32 32.5 34 35 36
；
乙班 30 32 33 35.5 37 39 39.5
三、解答题：
17.( 本小题满分 12 分)
16.
3
4
( Ⅰ) 由已知可得 g x sin 2x
，则 h x sin2 x sin 2 x
sin 2 x
.
3
3
3
令
2k
2
2x
2k ，k Z ，解得
k
32
12
5
x
k ，k Z .
12
∴函数 h x 的单调递增区间为
k ，5 k k Z . ………………………… 5 分