上海市虹口区2014届高三数学5月模拟考试 理(虹口三模)试题沪教版

虹口区2014届高三5月模拟考试（三模）
数学学科（理科）
（时间120分钟，满分150分）
一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、θ是第二象限角，则2
θ
是第 象限角． 分析： 一或三
2、复数z 满足1z z i -=-，则此复数z 所对应的点的轨迹方程是 . 分析：0x y -=．
3、已知全集U R =，集合{
}
2
230,A x x x x R =-->∈,{}
22B x m x m =-≤≤+, 若(){}
03U C A B x x ⋂=≤≤，则实数m 的值为 . 分析：[]1,3U C A =-，则2m =
4、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都 与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球 的体积之比为 .
分析： 设底面半径为r ，则它们的高2h r =
23
122V r r r ππ=⋅=，23212233V r r r ππ=
⋅=，334
3
V r π=， 则123::3:1:2V V V =. 5、已知1tan 63πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值为 . 分析： 设6
t π
α=-，即6t π
α=
-，1
tan 3
t = 则()2
22tan 3cos 2cos 2cos 231tan 5t t t t παπ⎛⎫
+=-=-=-=-
⎪+⎝⎭
. 6、定义在R 上的奇函数()f x ，()12f -=，且当0x ≥时， ()()22x
f x a x b =+++（,a b
为常数），则()10f -的值为 .
分析：()010f b =+=，b a f f +++=-=--=222)1()1(，则1-=b ,5-=a ，当0x ≥时，132)(--=x x f x
，993)10()10(-=-=-f f .
7、公差不为零的等差数列}{n a 中，2
37110a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77a b =，
则1213b b b ⋅等于 .
分析： 等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，则2
7720a a -=，70,2a =
取772b a ==，13
1312
13728192b b b b ⋅===.
8、已知等差数列{}n a 的通项公式为35n a n =-，则
5671)1)1)x x x +++++（（（的展开式中4x 项的系数是数列{}n a 中的第 项．
分析： 20
9、已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点O ，极轴与x 轴的非负半轴重合.若直线l 的极坐
标方程为3π
θ=)R ρ∈（，曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y θ
θ=⎧⎨=+⎩
(θ为参数，且)R θ∈，则直
线l 与曲线C 的交点的直角坐标为 .
分析：0,0)（；注意参数方程中22x -≤≤
10、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1
分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 . 分析：设取红球x 个，白球y 个，则5(04)
27(06)
x y x x y y +=≤≤⎧⎨
+≥≤≤⎩
234,,321
x x x y y y ===⎧⎧⎧∴⎨
⎨⎨
===⎩⎩⎩，取法为233241
464646186C C C C C C ++=. 11、棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -及其内部一动点P ，集合{}
1Q P PA =≤,则集合
Q 构成的几何体表面积为 .
分析： 22115
1341484
S πππ=
⋅⋅+⋅⋅= .
12、P 是双曲线
22
1916
x y －＝的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于 .
分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，21max +=PF PM ，22max -=PF PN ，再根据双曲线的定义得 PM PN -的最大值等于9.
13、设,x y 为实数，且满足：()()3
2014201320142013x x -+-=-，
()
()3
2014201320142013y y -+-=，则x y += .
分析：()()()()3
3
2014201320142014201320142013x x y y -+-=-+-=-，
令()()32013f t t t t R =+∈，则()f t 是递增函数，且()()20142014f x f y -=- 则20142014x y -=-，即4028x y +=.
14、在区间[]0,π上，关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+解的个数为 ． 分析：令5cos 5sin x y αα
=⎧⎨
=⎩，[]0,απ∈，则22
25x y +=，[]0,5y ∈
5sin 45cos 2αα+=+化为24y x =+-
考察2
2
25x y +=的上半圆与函数24y x =+-的图象可知有一个公共点， 故关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+有1个解. 二、选择题（每小题5分，满分20分） 15、已知θ
为实数，若复数)
sin 211z i
θθ=-+-是纯虚数，则z 的虚部为（ ）
A 、2
B 、0
C 、2-
D 、2i -
分析：sin 21sin 210410cos 2,2244
k k k πθθπθππθθθππ⎧=⎧=+⎪-=⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨-≠≠⎪⎪≠+-
⎩⎪⎩ 则()524
k k Z π
θπ=+
∈
12θ-=-，选C . 16、“1=a ”是“函数()||f x x a b =-+（,a b R ∈）在区间[)1,+∞上为增函数”的( )
x
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
分析：1=a 时，()|1|f x x b =-+在[)1,+∞上为增函数；
反之，()||f x x a b =-+在区间[)1,+∞上为增函数，则1a ≤，故选A .
17、如果函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值分别为M 、m ，那么
()()()b a m b a f x M b a -≤∆≤-.根据这一结论求出2
212
x
--∆的取值范围（ ）. A 、[0,3] B 、3[,3]16 C 、33[,
]162 D 、3
[,3]2
分析：求2
2
x -在[]2,1-上的最值，选B .
18、如图，已知点(2,
0)P ，正方形ABCD 内接于⊙22
:2O x y +=，M 、N 分别为边AB 、
BC 的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅
的取值范围是（ ）
A
、[1,1]- B 、[
C 、
[2,2]- D 、[2
2
-
分析：OM ON ⊥ 且长度为1，可设)sin ,
cos (ααM )cos ,sin (αα-N ，然后用坐标求解.
也可以OP OM PM -=，答案选C . 三、解答题（满分74分）
19、（本题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，
90BAD ∠=︒，P 是棱CD 上一点，2AB =，AD =13AA =，3CP =，1PD =.
（1）求异面直线1A P 与1BC 所成的角； （2）求证：PB ⊥平面11BCC B .
解：（1）以D 原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y
P
D
C
B
A
D 1
C 1
B 1
A 1
轴、z 轴建立空间直角坐标系.
则10,3)A ，(0,1,0)P
，20B ，）
，1(0,4,3)C .………………3分
于是1(2,1,3)PA =-,1(2,3)BC =-
,1111
cos 612PA BC PA BC θ⋅=
=
=⋅,
∴异面直线1A P 与1BC 所成的角的大小等于
arccos 6
.…………6分
（2）过B 作BM CD ⊥交CD 于M
，在Rt BMC ∆中，
21PC PB =1B B ⊥平面20、（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：
()()112,4,13213
n
n n n n a a a n b a n λ+==+-=--+，其中λ为实数，n 为正整数.
（1）对任意实数λ，求证：123,,a a a 不成等比数列； （2）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.
解（1）证明：假设存在一个实数λ，使123,,a a a 是等比数列，则有2
213a a a =,
即,0949
4
9494)494()332(
222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以123,,a a a 不成等比数列.…………………………6分
（2）因为()
()()
1
1
1121312112143n n n n n b a n a n ++++⎛⎫
=--++=--
+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
y
22
(1)(321)33
n n n a n b =--+=-……………………9分
又1(18)b λ=-+,
所以当18λ=-，10n b b ==，(n 为正整数)，此时{}n b 不是等比数列：……11分
当18λ≠-时，10b ≠，由上式可知0n b ≠，∴
12
3
n n b b +=-(n 为正整数) ， 故当
18λ≠-时，数列{}n b 是以()18λ-+为首项，－
3
2
为公比的等比数列.…………14分
21、（本题满分14分）如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA =km ，2DB =km ，AB 两端之间的距离为6km .
（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置.
（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置
.
A
B
C D
Q
P
D
C B
A
解：（1）设PA x =，CPA α∠=，DPB β∠=.
依题意有1tan x α=
，2
tan 6x
β=-.……………………3分 由tan tan αβ=，得12
6x x
=-，解得2x =，故点P 应选在距A 点2km 处.…………6分
（2）设PA x =，CQA α∠=，DQB β∠=. 依题意有1tan x α=
，2tan 6x
β=-，
2
126
6tan tan[()]tan()126216x x x CQD x x x x παβαβ+
+-∠=-+=-+=-=-+-⋅
-…………10分 令6t x =+，由06x <<，得612t <<，2261
tan 7462187418x t CQD x x t t t t
+∠===
-+-++-， ………………12分
747455274663t
t ≤+
<+=，741
18183
t t ∴
≤+-<，
当74
18180t
t -≤+-<，
所张的角为钝角，
最大角当即6
x =时取得，故点Q 应选在距A 点6-km 处.………………14分 22、（本题满分16分）阅读：
应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111
y a b c
=++的最小值； （2）已知10,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x
=+-的最小值； （3）已知正数1a 、2a 、3,
,n a a ，1231n a a a a +++
+=，
求证：2222
312
122334112
n n a a a a S a a a a a a a a =+++
+≥++++. 解（1）()1111113b a c a c b y a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫=
++=++++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ……………………………………2分
而
6b a c a c b
a b a c b c
+++++≥， 当且仅当13a b c ===时取到等号，则9y ≥，即111
y a b c
=++的最小值为9.
…………………………5分
（2）()282
81222121028212212212x x y x x x x x x x x
-⎛⎫=
+=+⋅+-=+⋅+⋅ ⎪---⎝⎭， ………………………………7分
而10,
2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，122288212x x x x
-⋅+⋅≥=-， 当且仅当12228212x x
x x
-⋅
=⋅
-，即110,62x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取到等号，则18y ≥， 所以函数18
12y x x
=
+
-的最小值为18.……………………10分 （3）()()()2
22
12
1223112
2312n
n n a a a S a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=++
+++++++⎡⎤ ⎪⎣
⎦+++⎝⎭
()()()()()2
22
2
2
22
12
11
2
231212112
23112n n
n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤=++
++⋅++⋅++
+⋅++⋅+⎢⎥++++⎣⎦
()()()2
22
21212231122221n n n a a a a a a a a a a a a ≥++
++++
+=+++=
当且仅当121n a a a n ==
==
时取到等号，则1
2
S ≥.………………16分 23、（本题满分18分）已知函数2
()5b f x ax x
=++(常数,a b R ∈）满足(1)(1)14f f +-=.
（1）求出a 的值，并就常数b 的不同取值讨论函数()f x 奇偶性；
（2）若()f x 在区间-∞（，上单调递减，求b 的最小值；
（3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：()f x 恰有一个零点q 且存在递增的正整数数列{}n a ，使得
3122
5
n a a a a q q q q =+++++
成立.
解：（1）由(1)(1)14f f +-=得
5)(5)14a b a b +++-+=（，解得2a =. 从而2
()25b
f x x x
=+
+，定义域为00-∞⋃+∞（，）（，）
当0b =时，对于定义域内的任意x ，有2
()()25f x f x x -==+，()f x 为偶函数……2分 当0b ≠时，(1)(1)140f f +-=≠从而(1)(1)f f -≠，()f x 不是奇函数；
(1)(1)20f f b --=-≠，()f x 不是偶函数，()f x ∴非奇非偶.………………4分
（2）对于任意
的12x x <<，总有12()()0f x f x ->恒成立，即
22
12122525b b x x x x +
+-++（）（）>0，得121212
2()0x x x x b x x -++>.…………6分
12x x <<2312(x
x >，122x x +<-12122()2x x x x -+>.
又12122()b x x x x >+，2b ∴≤-，b 的最小值等于2-.………………10分 （3）在（2）的条件下，2
2
()25f x x x
=-
+. 当0x <时，()0f x >恒成立，函数()f x 在0-∞（，）无零点.…………12分
当0x >时，对于任意的210x x >>，恒有21212112
1
()()2()()0f x f x x x x x x x -=-++
>， 即21()()f x f x >，所以函数()f x 在0∞（，+）上递增，又1
23
()048
f =-
<，(1)50f =>，
∴()f x 在1
14
（，）
是有一个零点q . 综上()f x 恰有一个零点q ，且1
(,1)4
q ∈……………………15分
22()250f q q q =-
+=，得3
251q q =-， 又
47323
1n q q q q q q -=+++++
-，故
47322
5
n q q q q -=+++++
，取
32n a n =-…………………………18分。