北京市清华大学附中高考数学复习讲义 第一讲 不等式(

第一讲 不等式
一、知识扩展 1. 均值不等式
.1112121212
2221n
n n n n a a a n
a a a n a a a n a a a 2. 柯西不等式
设),2,1(,,n i R b a i i ，则
222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a
当且仅当
i b a b a b a n
n 22
11时，等号成立. 推论（1）当121 n b b b 时，
2
212
2221n n a a a a a a n
可以推出.
2122221n
a a a n a a a n n R a a a n ,,,21 （2）当n
n a b a b a b 1
,,1,12211
时，
2
222
2
1
2
2221111n a a a a a a n
n
（3）若
R b a i i , ),,2,1(n i ，则
2
21212
211n n n n a a a b b b b a b a b a
3. 排序不等式：两组实数n n b b b a a a 2121,，
则有n n jn n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221122111121，递序和≤乱序和≤顺序和.
4. 琴生不等式：若)(x f 是),(b a 上的凸函数，则 .)()()(2121
n x f x f x f n x x x f n n
5. 含有立方的几个不等式：
R
c b a ,,
（1）;2
233ab b a b a （2）abc c b a 33
3
3
，
);)((32
22333ac bc ab c b a c b a abc c b a
（3）;3333
333
3
c
b a
c b a abc c b a abc
（4）2
)(3
1
c b a ac bc ab （c b a 时取等号）
6. 常用不等式放缩法 （1）
n
n n n n n n n n 1
11)1(11)1(11112 2 n
（2）11
1
21111 n n n n n n n n n
1 n .
二、例题解析
<一>、不等式解析
例1（2011年复旦大学千分考）设n 是一个正整数，则函数x nx x n
在1
轴正半轴上的最小值是（ ）
A ．n
n 1
B ．
1
2
n n C ．
n
n 1
D ．
1
n n
例2：（2009清华）已知0,0,0 z y x ，c b a ,,是z y x ,,的一个排列，求证：
3 z
c
y b x a
例4：（山东2008预赛）若0,0,0 z y x ，且1 xyz . 求证：211
11111 z
y x .
例5：（34届俄罗斯竞赛）设c b a ,,是△ABC 三边长，且0 m 求征：m
c c
m b b m a a
例6：（学生练，35届俄罗斯）设1,01
21
n
i i
n i
x x x x 且
求证：
1
1
2 n
i i
x
例7：（2010浙江大学）小于1的正数. n x x x x ,,,,321 )2( n
且121 n x x x . 求证：41
113
322311 n
n x x x x x x .
例8：（2013复旦）设n a a a a ,,,,321 是各不相同的正自然数2 a .
求证：21111321
a
n a a a a a a a .
10.(2014北约) 已知:
123,,,n x x x x R
L 且
12 1.
n x x x L 求证
：
1
21n
n x x x
L
.
11（2014华约）7. 已知：,.n N x n
求证：21.n
x x n n e x n
<二>、不等式与方程
例9：（2012北约）求1210272611 x x x x 的实根个数.
例10：（2008同济）即方程组
392468492
22z y x z y x。