上海市黄浦区2019-2020学年高考数学二月模拟试卷含解析

上海市黄浦区2019-2020学年高考数学二月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()2
20y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，
且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )
A
B ．
23
C
．
2
D ．1
【答案】C 【解析】
试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112()(,)3333633
y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ，可得：
2000
23
263
OM y k y p y p p y p =
=
≤
=
++
，当且仅当22002,y p y ==时取等号，故选C ． 考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．
【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2PM MF =，利用向量的运算可知
200(,)633
y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问
题．
2．8
21x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
的展开式中12x y -的系数是（ ） A ．160 B ．240
C ．280
D ．320
【答案】C 【解析】 【分析】
首先把1x x +看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2y 的系数，再求7
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的展开式中1x -的系数，
二者相乘即可求解. 【详解】
由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181r
r r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则
7
1228
1T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又7
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为727
1771r
r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪
⎝⎭
，令3r =，则3735C =，所
以12
x y -的系数是358280⨯=. 故选：C 【点睛】
本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.
3．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．【答案】B 【解析】 【分析】
利用正弦定理求出CD ，可得出BC ，然后利用余弦定理求出cos B ，进而求出sin B ，然后利用三角形的面积公式可计算出ABD ∆的面积. 【详解】
AD Q 为BAC ∠的角平分线，则BAD CAD ∠=∠.
ADB ADC π∠+∠=Q ，则ADC ADB π∠=-∠，
()sin sin sin ADC ADB ADB π∴∠=-∠=∠，
在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin AB BD
ADB BAD =∠∠，即42sin sin ADB BAD =∠∠，①
在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC ADC =∠∠，即8sin sin CD
ADC CAD
=∠∠，②
①÷②得
21
2
CD =，解得4CD =，6BC BD CD ∴=+=，
由余弦定理得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅，sin B ∴==
因此，ABD ∆的面积为1
sin 2
ABD S AB BD B ∆=⋅=故选：B. 【点睛】
本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
4．已知函数()sin(2)4f x x π
=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4
g x x π
=+的图象，则ϕ的最小值为（ ）
A ．
4
π B ．
38
π C ．
2
π D ．
58
π 【答案】A 【解析】 【分析】
首先求得平移后的函数()sin 224g x x πϕ⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭
，再根据sin 22sin 244x x ππϕ⎛⎫
⎛
⎫+-
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭求ϕ的最小值. 【详解】
根据题意，()f x 的图象向左平移ϕ个单位后，所得图象对应的函数
()sin 2()sin(22)sin(2)444g x x x x πππϕϕ⎡
⎤=+-=+-=+⎢⎥⎣
⎦，
所以22,4
4
k k Z π
π
ϕπ-=+
∈，所以,4k k Z π
ϕπ=+
∈．又0ϕ>，所以ϕ的最小值为4
π
． 故选：A 【点睛】
本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型. 5．已知复数()()2019
311i i z i
--=
（
i 为虚数单位）
，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4
B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限
C ．z 的共轭复数42z i =-
D ．z =【答案】D 【解析】 【分析】
利用i 的周期性先将复数z 化简为42i z =-+即可得到答案. 【详解】
因为2i 1=-，41i =，5i i =，所以i 的周期为4，故45043
34i 24i 24i 2
42i i i i
z ⨯++++=
===-+-， 故z 的虚部为2，A 错误；z 在复平面内对应的点为(4,2)-，在第二象限，B 错误；z 的共
轭复数为42z i =--，C 错误；z ==D 正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基
础题.
6．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y
⎧==
⎨⎩则()U A B =I ð（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞
D ．[1,)+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】
{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1
,U A ∴=+∞ð， ()[)1
,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D . 【点睛】
本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 7．a 为正实数，i 为虚数单位，
2a i
i
+=，则a=（ ）
A ．2 B
C
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
|
|220,a i
a a a i
+==∴=>∴=Q B. 8．
2020
1i i
=-（ ）
A ．
2
B ．
C ．1
D ．1
4
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的乘方和除法法则将复数2020
1i i
-化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.
【详解】
()
505
2020
4505
1
1i
i
===，
()()20201111
111122
i i i i i i i +===+---+，
因此，202012i i ==-. 故选：A. 【点睛】
本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 9．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ） A ．
25
B ．
1325
C ．
35
D ．
1925
【答案】D 【解析】 【分析】
三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决. 【详解】
由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有2231
3
353523322
22
C C C C A A A A + 150=种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有122
332C C A 种情况；若为第二
种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有1
1
2
332C C A 种，故甲、乙两人在同一个单位的概率 为
36615025
=，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为619
12525P =-
=. 故选：D. 【点睛】
本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.
10．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下： 小王说：“入班即静”是我写的；
小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的；
小李说：“细节决定成败”不是我写的.
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ） A ．小王或小李 B ．小王 C ．小董 D ．小李
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，分别假设一个正确，推理出与假设不矛盾，即可得出结论. 【详解】
解：由题意知，若只有小王的说法正确，则小王对应“入班即静”， 而否定小董说法后得出：小王对应“天道酬勤”，则矛盾； 若只有小董的说法正确，则小董对应“天道酬勤”， 否定小李的说法后得出：小李对应“细节决定成败”， 所以剩下小王对应“入班即静”，但与小王的错误的说法矛盾； 若小李的说法正确，则“细节决定成败”不是小李的， 则否定小董的说法得出：小王对应“天道酬勤”，
所以得出“细节决定成败”是小董的，剩下“入班即静”是小李的，符合题意. 所以“入班即静”的书写者是：小李. 故选：D. 【点睛】
本题考查推理证明的实际应用.
11．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ）
A ．1
B ．1或
12
C ．
2
D ．2
±
【答案】C 【解析】 【分析】
由2474S S =可得()()123434a a a a +=+，故可求q 的值. 【详解】
因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+，
故2
34q =
，因{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以2
q =，故选C. 【点睛】
一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：
（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；
（2）公比1q ≠时，则有n
n S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；
（3）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n
q .
12．
已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为2
3
-
，则此双曲线的方程是 A ．22
134
x y -
= B ．22
143
x y -
= C ．22
152
x y -=
D ．22
125
x y -=
【答案】D 【解析】 【分析】 根据点差法得2225
a b
=，再根据焦点坐标得227a b +=，解方程组得22a =，25b =，即得结果. 【详解】
设双曲线的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN
的中点为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由2211221x y a b -=且22
22221x y
a b
-=，得()()1
2122x x x x a +-= ()()12122y y y y b +-，2223a ⨯-=（） 2
5
23b ⨯-（），即2225a b
=，联立227a b +=，解得22a =，2
5b =，故所求双曲线的方程为
22125
x y -=．故选D ． 【点睛】
本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩
，则()5f -=__________；()()5f f -=__________.
【答案】0 1 【解析】 【分析】
根据分段函数解析式，代入即可求解.
函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩
， 所以
()()()5130f f f -=-==，
()()()()5041f f f f -===.
故答案为：0；1. 【点睛】
本题考查了分段函数求值的简单应用，属于基础题.
14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．
【答案】130. 15. 【解析】 【分析】
由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值. 【详解】
(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,
120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.
120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y
y x y x -≥≤
,即min
158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15. 【点睛】
本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
15．已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()121cos x
n n f x e a a x +=-+在R 上有唯一零点，则数列|{}n a 的
前n 项和n S =__________. 【答案】122n n +--
【分析】
由函数()f x 为偶函数，可得唯一零点为0x =，代入可得数列{}n a 的递推关系式，再进行配凑转换为等比数列，最后运用分部求和可得答案. 【详解】
因为()f x 为偶函数，()f x 在R 上有唯一零点，
所以()00f =，∴121n n a a +=+，∴()1121n n a a ++=+，
∴{}1n a +为首项为2，公比为2的等比数列.所以21n n a =-，1
22n n S n +=--.
故答案为：122n n +-- 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和函数的零点,同时也考查了由递推关系式求数列的通项,考查了数列的分部求和，属于中档题.
16．已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()0,1-，则PF
PA
的最小值为______________．
【解析】 【分析】
过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，
则sin PF PM PAM PA PA
==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PF
PA 的值最小.
再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PF
PA
的最小值.
【详解】
解：由题意可得，抛物线2
4x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，
过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，
则
sin PF PM
PAM PA PA
==∠，PAM ∠为锐角. 故当PAM ∠最小时，PF
PA
的值最小.
设切点()
P a ，由214y x =的导数为1
2
y x '=，
则PA 的斜率为
1
2⋅==，
求得1a =，可得()2,1P ，
∴2PM =，22PA
=， ∴2sin PM PAM PA ∠==.
故答案为：22
. 【点睛】
本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．百年大计，教育为本.某校积极响应教育部号召，不断加大拔尖人才的培养力度，为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.（其中x 表示通过自主招生获得降分资格的学生人数，y 表示被清华、北大等名校录取的学生人数） 年份（届）
2014 2015 2016 2017 2018 x
41 49 55 57 63 y
82
96
108
106
123
（1）通过画散点图发现x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（保留两位有效数字） （2）若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人，预测2019年高考该校考人名校的人数；
（3）若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传，在选取的5个人中再选取2人进行演讲，求进行演讲的两人是2018年毕业的人数x 的分布列和期望.
参考公式：1
2
21
ˆ==-⋅=-∑∑n
i i
i n
i i x y nx y
b
x nx
，ˆˆa
y bx =- 参考数据：53x =，103y =，
5
1
27797i i
i x y
==∑，5
21
14325i i x ==∑
【答案】（1）ˆ 1.798.02y x =+；（2）117人；（3）分布列见解析，6
5
E ξ=
【解析】 【分析】
（1）首先求得x 和y ，再代入公式即可列方程，由此求得y 关于x 的线性回归方程； （2）根据回归直线方程计算公式，计算可得人数；
（3）和被选中的人数分别为2和3，利用超几何分布分布列的计算公式，计算出ξ的分布列，并求得数学期望. 【详解】
（1）由题1
22
21
7797553103251
ˆ 1.7914325553140
n
i i
i n
i i x y nx y
b
x nx
==-⋅-⨯⨯==
=≈-⨯-∑∑，
ˆ103 1.792538.02a
=-⨯= 所以线性回归方程为ˆ 1.798.02y
x =+ （若第一问求出ˆ103 1.79538.13a
=-⨯= ˆ 1.798.13y x =+.） （2）当61x =时， 1.79618.02117y =⨯+≈ 所以预测2019年高考该校考入名校的人数约为117人
（3）由题知和被选中的人数分别为2和3，进行演讲的两人是2018年毕业的人数ξ的所有可能取值为0，1，2
()2
2251
010C P C ξ===，()112325315C C P C ξ===，()23253210
C P C ξ===
ξ的分布列为
012105105
E ξ=⨯
+⨯+⨯= 【点睛】
本小题主要考查平均数有关计算，考查回归直线方程的计算，考查期望的计算，考查超几何分布和数据处理能力，属于中档题.
18．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c a b
c
-=
.
（1）求角A 的大小；
（2）若2sin sin 1cos A B C =+，BAC ∠的平分线与BC 交于点D ，与ABC V 的外接圆交于点E （异于点A ），AE AD λ=u u u r u u u r
，求λ的值.
【答案】（1）30A =︒；（2）3
【解析】 【分析】
（1a b
c
-=
，利用正弦定理转化整理为222a b c =+，再利用余弦定理求解. （2）根据2sin sin 1cos A B C =+，利用两角和的余弦得到()cos 1A B -=，利用数形结合，设1AC =，在ADC V 中，由正弦定理求得AD ，在AOE △中，求得AE 再求解. 【详解】
（1a b
c
-=
，
所以()
()()c c a b a b =+-，
即222a b c =+-，即cos A =
30A =︒. （2）∵()2sin sin 1cos 1cos A B C A B =+=-+，
1cos cos sin sin A B A B =-+.
所以()cos 1A B -=，从而A B =. 所以30B =︒，120C =︒.
不妨设1AC =，O 为ABC V 外接圆圆心
则AO=1，AB =45ADC EAO ∠=∠=︒. 在ADC V 中，由正弦定理知，有
1
sin120sin sin 45AD AC ADC ==︒∠︒
.
即2
AD =
；
在AOE △中，由45OAE OEA ∠=∠=︒，1OA =， 从而2AE =所以3
3
AE AD λ=
=
. 【点睛】
本题主要考查平面向量的模的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题. 19．已知02
π
ϕ<<，函数()()23
2cos f x x x ϕ=
+-． （1）若3
π
ϕ=，求()f x 的单调递增区间；
（2）若164f π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
，求sin ϕ的值． 【答案】（1）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2332+【解析】 【分析】
（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()11sin 2262f x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭，然后解不等式
()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，可得出函数()y f x =的单调递增区间；
（2）由164f π⎛⎫=-
⎪⎝⎭得出3sin 33
πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，并求出cos 3πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用两角差的正弦公式可求出sin ϕ的值.
【详解】
（1）当3π
ϕ=时，()2
33131cos 22cos sin 22322x f x x x x x π⎫+⎛⎫=+-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
31111
2cos 2sin 242262
x x x π⎛⎫=
+-=+- ⎪⎝⎭，
由()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，得()3
6
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈，
因此，函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
；
（2）s 331in 6244f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，sin 332πϕ⎛⎫
∴+=< ⎪
⎝⎭
，
02
π
ϕ<<
Q ，53
3
6π
π
πϕ∴
<
+<
，5236πππϕ∴<+<，cos 3πϕ⎛⎫
∴+= ⎪⎝⎭
1sin sin sin 33233ππππϕϕϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴=+-=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属中等题． 20．设函数()(1)ln(1)f x ax a x =-++. （1）1a =时，求()f x 的单调区间；
（2）当0a >时，设()f x 的最小值为()g a ，若()g a t <恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(1,1)-；（2）0t ≥. 【解析】 【分析】
（1）求出函数()(1)(1)(1)f x ax a ln x a =-++>-的导数，由于参数a 的范围对导数的符号有影响，对参数分类，再研究函数的单调区间；
（2）由（1）的结论，求出()g a 的表达式，由于()g a t <恒成立，故求出()g a 的最大值，即得实数t 的取值范围的左端点． 【详解】
解：（1）解：11
()(1)11
a ax f x a x x x +-'=-=>-++， 当1a =时，1
()1
x f x x -'=
+，解()0f x '>得()f x 的增区间为(1,)+∞， 解()0f x '<得()f x 的减区间为(1,1)-. （2）解：若0a >，由()0f x '>得1x a >
，由()0f x '<得11x a
-<<， 所以函数()f x 的减区间为11,
a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
；
11()1(1)ln 1g a f a a a ⎛⎫⎛⎫
==-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
因为0a >，所以()g a t <，()0g a t
a a
∴
-<，1111ln 10t a a a a ⎛⎫⎛⎫∴-++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
令()(1)ln(1)(0)h x x x x tx x =-++->，则()0h x <恒成立， 由于()ln(1)h x x t '=-+-，
当0t ≥时，()0h x '<，故函数()h x 在(0,)+∞上是减函数， 所以()(0)0h x h <=成立；
当0t <时，若()0h x '>则01t x e -<<-，故函数()h x 在(0,1)t e --上是增函数， 即对01t x e -<<-时，()(0)0h x h >=，与题意不符； 综上，0t ≥为所求． 【点睛】
本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性，由最值的定义得出函数的最值，本题中第一小题是求出函数的单调区间，第二小题是一个求函数的最值的问题，此类题运算量较大，转化灵活，解题时极易因为变形与运算出错，故做题时要认真仔细．
21．电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名
观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E(X)和方差D(X)．
附：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++. P(K 2≥k) 0.05 0.01 k
3.841
6.635
【答案】 (1)无关；(2) 34，9
16
. 【解析】 【分析】 【详解】
(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而可得列联表如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计
75
25
100
将22列联表中的数据代入公式计算，得
.
因为3.030<3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.由题意知X ～B(3，)，从而X 的分布列为 X 0 1 2 3 P
E(X)＝np ＝
34
＝.D(X)＝np(1－p)＝9
16
22．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点是1F ，2F ，)
2,1M
在椭圆C 上，且
124MF MF +=，O 为坐标原点，直线l 与直线OM 平行，且与椭圆交于A ，B 两点.连接MA 、MB 与x
轴交于点D ，E .
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求证：OD OE +u u u r u u u r
为定值.
【答案】（1）22
142
x y +=（2）证明见解析
【解析】 【分析】
（1）根据椭圆的定义可得2a =，将M 代入椭圆方程，即可求得b 的值，求得椭圆方程；
（2）设直线AB 的方程，代入椭圆方程，求得直线MA 和MB 的方程，求得D 和E 的横坐标，表示出
OD OE +u u u r u u u r ，根据韦达定理即可求证OD OE +u u u r u u u r
为定值.
【详解】
（1）因为124MF MF +=，由椭圆的定义得24a =，2a =，
点)
M
在椭圆C 上，代入椭圆方程，解得22b =，
所以C 的方程为22142
x y +=；
（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB
的斜率为
2
，设直线l
的方程为2y x t =+，
联立方程组22
2
14
2y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y
，整理得2220x t ++-=，
所以12x x +=，2
122x x t =-，
直线MA
的直线方程为1y x -=
-，令0y =
，则111
D x x y -=-+-
同理2E x =+
所以：221O x OE y D =+-+u u u r u u u
r 12+⎝=⎭
=
()()(
)()()
121212122122
22
11x x x x t x x y y -++-=-+--，
代入整理得
22OD OE +=u u u r u u u r ， 所以OD OE +u u u r u u u r
为定值.
【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题. 23．已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程的根.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和. 【答案】（1）112n a n =+;（2）1422
n n n S ++=-. 【解析】 【分析】 （1）方程
的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，在利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可求出． 【详解】
方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3. 由题意得a 2＝2，a 4＝3.
设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而得a 1＝3
2
. 所以{a n }的通项公式为a n ＝
1
2
n ＋1. （2）设2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为S n ， 由（1）知
2n n
a ＝122n n ++，
则S n ＝
23
2＋3
42
＋…＋12n n +＋122n n ++， 12S n ＝332＋44
2
＋…＋112n n ++＋222n n ++， 两式相减得
1
2S n ＝34＋31112
2n +⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭－222n n ++
＝
34＋111142n -⎛
⎫- ⎪⎝⎭－222
n n ++， 所以S n ＝2－
1
4
2n n ++. 考点：等差数列的性质；数列的求和． 【方法点晴】
本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程
的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，即可求解数列的
通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．。