北京市部分区2016届高三上学期期中期末考试数学文分类汇编：圆锥曲线 含答案

北京市部分区2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编
圆锥曲线
一、选择题
1、（朝阳区2016届高三上学期期末）设斜率为2的直线l 过抛物线
2(0)y ax a =≠的焦点
F ，且与y 轴交于点A ，若OAF ∆（O 为坐标原点）的
面积为4,则抛物线方程为 A.2
4y
x
=± B 。

24y x
= C 。

2
8y
x
=± D 。

28y x =
2、(大兴区2016届高三上学期期末）抛物线2
y x =的准线方程是
（A ） 1
4y =- (B)
12
y =-
（C ） 14
x =-
（D ）12
x =-
3、（丰台区2016届高三上学期期末)如
图,在
圆2
24x
y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足。

当点P 在圆上运动时，线
段PD 的中点M 的轨迹是椭圆,那么这个椭圆
的离心率是 （A ）12
（B ）1
4
（
（D
4、（海淀区2016届高三上学期期末)已知点(5,0)A ,抛物线2
:4C y
x
=的焦点
为F ,点P 在抛物线C 上,若点F 恰好在PA 的 垂直平分线上，则PA 的长度为
A 。

2
B. C. 3 D 。

4
5、（延庆区2016届高三3月一模）已知双曲线的离心率53
e =,且焦点
到渐近线的距离为4，则该双曲线实轴长为（ ）
A 。

6
B 。

5 C 。

4 D 。

3
参考答案
1、C
2、A
3、D
4、D
5、A
二、填空题 1、(昌平区2016
届高三上学期期末）若双曲线22
149
x y -=的左支上一点
P 到右焦点的距离是6，则点P 到左焦点的距离为 。

2、(朝阳区2016届高三上学期期末）双曲线2
2
1
3
y x -=的渐近线方程
为 . 3、（大兴区2016
届高三上学期期末）双曲线2
2
13
y x -=的焦点到渐近线
的距离等于 4、(东城区2016届高三上学期期末）双曲线22
1169
x y -=的离心率是
_________。

5、（海淀区2016届高三上学期期末）已知双曲线2
2
21(0)
y x b b
-=>的一条
渐近线通过点(1,2)， 则___,b = 其离心率为__. 6、（顺义区2016
届高三上学期期末)过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点垂
直于x 轴的弦长为a 。

则双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为___________.
7、（西城区2016届高三上学期期末)若抛物线2
2C y
px
=：的焦点在直线
30
x y +-=上，则实数p =____;抛物线C 的准线方程为____。

参考答案
1、2
2、
y = 3
4、54
5、2
6、
2
7、6 ； 3x =-
三、解答题
1、(昌平区2016届高三上学期期末）已知椭圆C 22
22:1(0)x y a b a b +=>>的离
心率为
2
，点1
)2
在椭圆C 上。

（I ）求椭圆C 的方程；
(II)若直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 中点为M ,点O 为坐标原点。

证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。

2、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知圆:O 2
21x
y +=的切线l 与椭圆
:C 2234x y +=相交于A ，B 两点。

（Ⅰ)求椭圆C 的离心率; (Ⅱ）求证：OA OB ⊥；
（Ⅲ)求OAB ∆面积的最大值.
3、（大兴区2016
届高三上学期期末）已知椭圆22
22: 1 (0)x y C a b a b
+=>>的一
个顶点为
(0,1)M ,,直线: (0)l y kx m k =+≠与椭圆C 交于,A B 两点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程;
（Ⅱ)若存在关于过点M 的直线，使得点A 与点B 关于该直线对称，求实数m 的取值范围；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，用m 表示MAB ∆的面积S ，并判断S 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
4、（东城区2016
届高三上学期期末）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>过点
(0,2)，且满足32a b +=。

（Ⅰ） 求椭圆C 的方程;
(Ⅱ) 斜率为1
2的直线交椭圆C 于两个不同点A ，B ，点M 的坐标为
(2,1)，设直线MA 与MB
的斜率分别为1
k ，2
k ．
① 若直线过椭圆C 的左顶点，求此时1k ，2
k 的值； ② 试探究2
1k k +是否为定值?并说明理由。

5、(丰台区2016届高三上学期期末）已知点F 为抛物线C ：
2
2(0)
y px p =>的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C
交于M ，
N
两点，如图.当直线l 与x 轴垂直
时,||4MN =.
(Ⅰ）求抛物线C 的方程;
（Ⅱ）已知点(1,0)P -，设直线PM 的斜
率为1
k ，
直线PN 的斜率为2
k .请判断1
2k
k +是否为定值，若是,写出这个定
值，并证明你的结论；若不是,说明理由。

6、（海淀区2016届高三上学期期末）
率为
，
如图，椭圆
22
22:1(0)
x y W a b a b
+=>>的离心
其左顶点A 在圆2
2:16
O x
y +=上。

（Ⅰ）求椭圆W 的方程;
(Ⅱ）直线AP 与椭圆W 的另一个交点为P ,与圆O 的
另一个
交点为Q .
（i
）当||AP =时，求直线AP 的斜率;
(ii ）是否存在直线AP ,使得||
3||
PQ AP =？ 若存在，求出直线AP 的斜率；若不存在，
说明理由。

7、（石景山区2016
届高三上学期期末）已知椭圆C :)0(122
22>>=+b a b y a x ，
其中2
1=e （e 为椭圆离心率）,焦距为2,过点)0,4(M 的直线l 与椭圆C 交于点B A ,,点B 在AM 之间．又点B A ,的中点横坐标为7
4．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程; （Ⅱ)求直线l 的方程．
8、（顺义区2016届高三上学期期末)已知椭圆:E 22
221x y a b
+=(0)a b >>的一
个顶点A ，离心率12
e =
. （Ⅰ）求椭圆E 的方程;
（Ⅱ）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 相切于点P ，且与直线4x =相交于点
y
x
O
B
A
Q .
求证：以PQ 为直径的圆过定点(1,0)N 。

9、（西城区2016届高三上学期期末）已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b y a x 的
，点A 在椭圆C 上,O 为坐标原点。

(Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ)设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆2
25
x
y +=的
相交于不在坐标轴上的两点1
P ,2
P ，记直线1
OP ，2
OP 的斜率分别为1
k ,2
k ,
求证：1
2
k k ⋅为定值。

参考答案
1、解：(I
）由题意得22
22231
1,4.c e a a
b a b
c ⎧==⎪
⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩
解得2
24,1a
b ==.
所以椭圆C 的方程为
2
2 1.4
x y += ……………………5分
（Ⅱ）法一:
设1
1
(,)A x y ，2
2
(,)B x y ，(,)M
M M x
y ．
将y kx m =+代入2
2 1.4
x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，
2221228(8)4(41)(44)0,,41
km
km k m x x k -=-+->+=
+
故1224241
M
x x km
x
k +=
=-+，
241
M M m y kx m k =+=
+．于是直线OM 的斜率1
4M OM
M y k x k ==-，即1
4
OM
k
k ⋅=-
． 所以直线
OM
的斜率与
l
的斜率的乘积为定值
1
4
-
． ……………………13分
法二：
设1
1
(,)A x y ,2
2
(,)B x y ，(,)M
M M x
y ．则120,0,M x x x ≠-≠
由22
112
222
14
1
4
x y x y +⎧⎪+=⎨=⎪⎪⎪⎩ 得1
2
1
2
1212
()()()()04
x x x x y y y y +-++-= ，
则1212()1
()4
M
M y y y x x x -=--,
即1
4
OM
k
k ⋅=-
．
所以直线
OM
的斜率与
l
的斜率的乘积为定值
1
4
-． …………………13分
2、解：（Ⅰ）由题意可知2
4a
=，243
b =，所以2
228
3
c
a b =-=
． 所
以
c e a =
=．所以椭圆
C
的离心率
为
…………………………3分
（Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．
在22
3144
x y +=中令1x =得1y =±．
不妨设(1,1),(1,1)A B -,则110OA OB ⋅=-=．所以OA OB ⊥． 同理,当:1l x =-时,也有OA OB ⊥．
若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+
1=，即221k m +=．
由2
2
34
y kx m
x y =+⎧⎨
+=⎩,得2
22(31)6340k
x kmx m +++-=．显然0∆>．
设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631
km
x x k +=-+，21223431m x x k -=+．
所以2212
121212()()()y y
kx m kx m k x x km x x m =++=+++。

所以12
12OA OB x x
y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++
22
222346(1)3131
m km
k km m k k -=+-+++
222222
2(1)(34)6(31)31
k m k m k m k +--++=+
22244431m k k --=+222
4(1)44031
k k k +--==+． 所以OA OB ⊥． 综
上
所
述
,
总
有
OA OB
⊥成
立． ………………………………………………9分 （Ⅲ)因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高. 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB
S ∆=.
当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，
AB ==
2
31
k =+
22
3131k k ==++
=． 所以
22422
2
2242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961
k k k k k AB k k k k k ++++===++++++
2422
216416
4164419613396
k k k k k
=+⋅=+≤+=++++
（当且仅当k =时，等号成立）．
所以max
AB
=
．此时，
max (S )OAB ∆=
. 综上所述,当且仅
当
k =时，
OAB
∆面积的最大值
为
3
．…………14分
3、(I)因为椭圆C 的一个顶点为(,)01M -
所以1=b ……1分 因为离心率为3
6
所以3
6=
a
c ……2分
所以22
23a c =
因为222
c b a +=
所以32
=a
……3分
所以椭圆13
22
=+y x C :
……4分
（II)设(,)1
1
A x y ，(,)2
2
B x y
由⎩⎨⎧+==+m
kx y y x 3322
得0336132
2
2
=-+++m kmx x k )(
所以()()(),2
2
2
6431330km k m ∆=-+->2
231m
k <+ ……1分
122631
km
x x k +=-+， 21223331m x x k -=+
……2分
122231
m
y y k +=+.
因为,A B 关于过点(,)01M -的直线对称， 所以MA MB = 所以222
22121
11)()(++=++y x y x
所以021*******
=-+++-+))(())((y y y y x x x x
所以()()2
12120x
x k y y ++++=
(3)
分
所以021*******=++++-
k k m
k km )(
所以()2
231 1 0m k
k =+>≠， (4)
分
所
以
0212>-=∆)(m m
……5分
所以
221
<<m
……6分
(III
）AB == ……1分
A 到:l y kx m =+
的距离d =12
MAB
S AB d ∆
=12= ……2分
所以)(222343m m
S -+=
设()f m m m m
=+-<<2
213 （2）2
则()22
20f m m m
'=--
< 所以()f m 在1（，2）2
上是减函数 ……3分
所以面积S 无最大值. ……4分
4、解：
（Ⅰ）由椭圆过点(0
，则b =
又a b +=
故a =.
所以椭圆C 的方程为
12
82
2=+y x . ………………………………4分 （Ⅱ）①
若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是1
:2l y x =+
由22121
8
2y x x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
解得110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，
或220.x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
故2
1
21
--
=k
，2
1
22-=
k . ………………………………8分
②21
k k
+ 为定值，且021
=+k k。

设直线的方程为m x y +=21。

由2212
18
2y x m x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得042222=-++m mx x 。

当0168422
>+-=∆m m
，即22<<-m 时,直线与椭圆交于两点。

设),(1
1
y x A 。

),(22
y x B ,则1
2
2x x
m +=-，42221-=m x x 。

又21111--=
x y k ,21
2
22--=x y k ，
故2121221121--+--=
+x y x y k k =)
2)(2()
2)(1()2)(1(211221----+--x x x y x y 。

又m x y +=1121，m x y +=2221,
所以)2)(1()2)(1(1
221--+--x y x y
)2)(12
1
()2)(121(1221--++--+=x m x x m x )1(4))(2(2121--+-+=m x x m x x 0)1(4)2)(2(422=----+-=m m m m 。

故
021=+k k 。

……………………………14分
5、解（Ⅰ)∵F 为抛物线2
2(0)y
px p =>的焦点,
∴(,0)2
p F ．…………1分 又∵l 与
x
轴垂直，且4MN =，
∴(,2)2
p M ．…………2分 又∵点M 在抛物线上，
∴2
422
p p p =⨯=，
∴2p =， ∴求抛物线C 的方程为2
4y
x =．……………5分
(Ⅱ）结论:1
20k
k +=，为定值．
设直线l 与抛物线交于不同两点1
1
(,)M x y ,2
2
(,)N x y ,
①当直线l 斜率不存在时，知直线PM 与PN 关于x 轴对称， ∴1
20k
k +=．
②当直线l 斜率存在时，直线l 的方程设为(1)y k x =-， 联立2
(1)
4y k x y x
=-⎧⎨
=⎩,得2
222(24)0k
x k x k -++=，
∴212224
k x x k
++=,121x x =．
又∵1
1
11y k
x =
+,2221
y k x =+，
且1
1(1)y k x =-, 22(1)y k x =-,
∴12121211
y y
k
k x x +=
+++ 122112(1)(1)
(1)(1)
y x y x x x +++=
++
122112(1)(1)(1)(1)
(1)(1)k x x k x x x x -++-+=
++
1212122(1)
()1
k x x x x x x -=
+++．
∵12
1x x =，
∴1
20k
k +=．
综上所述1
20k
k +=． ……………………14分
6、解:(Ⅰ） 因为椭圆
W
的左顶点
A
在圆
22:16
O x y +=上,所以
4a =.
………………………….1分 又离
心
率
为
，所
以
e c a =
=,所
以
c = (2)
所以2
224
b
a c =-=， (3)
所以W 的方程为22
1164
x y +=. …………………………….4分
（Ⅱ）（i)
法一：设点1
1
2
2
(,),(,)P x y Q x y ，显然直线AP 存在斜率，
设
直线
AP
的方程为
(4)
y k x =+， (5)
与椭圆方程联立得2
2
(4)1164
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,
化简得到2
222(14)3264160
k x k x k +++-=， (6)
分 因为4
-为上面方程的一个根，所以
2
12
32(4)14k x k -+-=
+，所以
2
12
41614k x k -=
+ .…………………………….7分
由1||(4)|AP x =
--=
…………………………….8分
代入得到||AP ==
,解得1k =±, ………………………。

9
分
所以直线AP 的斜率为1,1-。

（ii ）因为圆心到直线AP
的距离为d =， (10)
所
以
||AQ ===。

…………………………
….11分 因
为
||||||||
1||||||
PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-， ………………………
…….12分 代入得到
22222
||1433113||111PQ k k AP k k k +=-=-==-+++. …………………………….
13分
显然2
3
331k -
≠+，所以不存在直线AP ,使得
||
3||
PQ AP =。

……………。

14
分
法二：（i)设点1
1
2
2
(,),(,)P x y Q x y ，显然直线AP 存在斜率且不为0 ，
设直线AP 的方程为4x my =-， …………………………。

5分 与椭圆方程联立得22
41164
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，
化简得到2
2(4)80
m y my +-=， …………………………….6分
显然
4
-上面方程的一个根,所以另一个根,即
1284
m
y m =
+, (7)
由1||0|AP y =-=
……………………………。

8分 代
入得
到
||AP ==，解得
1
m =±。

………………………。

9分 所以直线AP 的斜率为1,1- （
ii)
因
为
圆
心
到
直
线
AP
的
距
离
为
d =
， (10)
所
以
||AQ ===
……………………………。

11
分 因为||||||||
1||||||
PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-， (12)
分
代入得到
222
||4311||11PQ m AP m m +==-=++。

…………………………
…。

13分 若2
3
31m =+,则0m =，与直线AP 存在斜率矛盾,
所
以不
存
在
直
线
AP
,使得
||
3||
PQ AP =. (14)
7、解：（Ⅰ)由条件可知，1,2c a ==，故
2223b a c =-=，
………3分
椭圆的标准方程是
22
143
x y +=． ………4分
（Ⅱ）由已知,,A B M 三点共线, 设点1
1
(,)A x y ，点2
2
(,)B x y ．
若直线AB x ⊥轴，则1
24x
x ==，不合题
意． ………5分
当AB 所在直线l 的斜率k 存在时,设直线l 的方程为
(4)y k x =-．
…6分
由22(4)3412
y k x x y =-⎧⎨+=⎩
消去y 得，2
222(34)3264120k
x k x k +-+-=．① (8)
分
由①的判别式△=4
2223224(43)(6412)144(14)0k
k k k -+-=->，
…9分
解得
214
k <
， (10)
分
21223243
k x x k +=+，21226412
43k x x k -=+.
(11)
分
由21221642437x x k k +==+,可得21
8
k =,即有24k =±.
………12分
即
所求直线
方
程
为
2
(4)4
y x =±
-。

………13分
8、解：(Ⅰ）由（Ⅰ)由已知, 【2分】 解得，所求椭圆方程为
【4分】
（Ⅱ)
消去得 曲线与直线只有一个公共点，，
可得（＊) 故 设，
，。

【8分】
又由
，
，， 【10分】
，
以为直径的圆过定点 【14分】 9
、（
Ⅰ
）
解
：
由
题
意
，
得
3c a =，
222
a b c =+, ……………… 2分
又因为点3(1,A 在椭圆C 上，
所
以
22
13
14a b +=， …………
…… 3分
解得2a =,1b =，3c ， 所
以椭圆C 的方程为
14
22
=+y x 。

……………… 5分
（Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 易
得
直
线
1OP ，
2
OP
的
斜
率
之
积
1214
k k ⋅=-。

…………… 6分
当直线
l
的斜率存在时,设
l
的方程为
m
kx y +=. …………… 7分
由方
程
组
22
,
1,4
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得
448)14(222=-+++m kmx x k ， ……………… 8分
因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 所
以
222(8)4(41)(44)0
km k m ∆=-+-=，
即
2241
m k =+。

……………… 9分
由方程组
22
,5,
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得
222(1)250
k x kmx m +++-=, ……………… 10分
设1
1
1
(,)P x y ，2
2
2
(,)P x y ，则12221
km x x k -+=+,2122
5
1m x x k -⋅=+， (11)
分
所以
22
1212121212121212
()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅===
22
2
222222252511551
m km
k km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==
--+， ……………… 13分
将2
241
m k =+代入上式,
得
212211
444
k k k k -+⋅==-
-。

综
上,
12
k k ⋅为定值
14
-. ……………… 14分。