课时跟踪检测(四十一) 平行、垂直与空间角

课时跟踪检测（四十一） 平行、垂直与空间角
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )
A ．l ∥α
B ．l ⊥α
C ．l ⊂α
D ．l 与α斜交
解析：选B ∵a ＝(1,0,2)，n ＝(－2,0，－4)，∴n ＝－2a ，
即a ∥n ，∴l ⊥α.
2．(2018·嘉兴模拟)已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )
A ．(2,4，－1)
B ．(2,3,1)
C ．(－3,1,5)
D ．(5,13，－3)
解析：选D 由题意知，AB ―→＝(－2，－6，－2)，
设点D (x ，y ，z )，则DC ―→＝(3－x,7－y ，－5－z )，
因为AB ―→＝DC ―→，所以x ＝5，y ＝13，z ＝－3，故选D.
3．(2018·舟山模拟)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O 为坐标原点，OA ―→＋λOB ―→与OB ―→的夹
角为120°，则λ的值为( )
A ．±66
B ．66
C ．－66
D ．±6
解析：选C 因为OA ―→＋λOB ―→＝(1，－λ，λ)，
所以cos 120°＝λ＋λ
1＋2λ2·2＝－12，解得λ＝－66
. 4．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________. 解析：因为α∥β，所以u 1∥u 2，所以－36＝y －2
＝2z ， 所以y ＝1，z ＝－4，所以y ＋z ＝－3.
答案：－3
5．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以
BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为________．
解析：由题意知AB ―→·AC ―→＝0，|AB ―→|＝|AC ―→|，
又AB ―→＝(6，－2，－3)，AC ―→＝(x －4,3，－6)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
6(x －4)－6＋18＝0，
(x －4)2＝4，解得x ＝2. 答案：2
6．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP ―→＝13
VC ―→，VM ―→＝23VB ―→，VN ―→＝23
VD ―→.则VA 与平面PMN 的位置关系是________．
解析：如图，设VA ―→＝a ，VB ―→＝b ，VC ―→＝c ，
则VD ―→＝a ＋c －b ，
由题意知PM ―→＝23b －13
c ， PN ―→＝23VD ―→－13VC ―→＝23a －23b ＋13
c . 因此VA ―→＝32PM ―→＋32
PN ―→， ∴VA ―→，PM ―→，PN ―→共面．
又∵VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN .
答案：平行
二保高考，全练题型做到高考达标
1.如图，在多面体ABC -A
1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝
AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊12
BC ，二面角A 1 -AB -C 是直二面角． 求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ；
(2)AB 1∥平面A 1C 1C .
证明：∵二面角A 1 -AB -C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形，
∴AA 1⊥平面ABC .
又∵AB ＝AC ，BC ＝2AB ，∴∠CAB ＝90°，
即CA ⊥AB ，∴AB ，AC ，AA 1两两互相垂直．
建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，
设AB ＝2，则A (0,0,0)，B 1(0,2,2)，
A 1(0,0,2)，C (2,0,0)，C 1(1,1,2)．
(1) A 1B 1―→＝(0,2,0)，A 1A ―→＝(0,0，－2)，AC ―→＝(2,0,0)，
设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·
A 1A ―→＝0，n ·AC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－2z ＝0，2x ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，
z ＝0.
取y ＝1，则n ＝(0,1,0)． ∴A 1B 1―→＝2n ，即A 1B 1―→∥n .∴A 1B 1⊥平面AA 1C .
(2)易知AB 1―→＝(0,2,2)，A 1C 1―→＝(1,1,0)，A 1C ―→＝(2,0，－2)，
设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·
A 1C 1―→＝0，m ·A 1C ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0， 令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1,1)．
∴AB 1―→·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，
∴AB 1―→⊥m .又AB 1⊄平面A 1C 1C ，
∴AB 1∥平面A 1C 1C .
2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱
形，AB ＝2，∠BAD ＝60°.
(1)求证：BD ⊥平面PAC .
(2)若PA ＝AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值．
解：(1)证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .
又因为PA ⊥平面ABCD .所以PA ⊥BD .
因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC .
(2)设AC ∩BD ＝O .因为∠BAD ＝60°，PA ＝AB ＝2，
所以BO ＝1，AO ＝CO ＝ 3.如图，
以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)．
所以PB ―→＝(1，3，－2)，AC ―→＝(0,23，0)，
设PB 与AC 所成角为θ，
则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB ―→·AC
―→|PB ―→|·|AC ―→|＝622×23＝6
4.
3.如图，已知在六面体ABCDEF 中，四边形ABCD 与四边形
DBFE 均为菱形，且AB ＝BD ＝DF ，AF ＝CF .
(1)判断直线CF 与平面ADE 的位置关系，并给予证明；
(2)求直线FA 与平面FBC 所成角的余弦值．
解：(1)直线CF ∥平面ADE .
证明如下：
因为四边形ABCD 为菱形，所以BC ∥AD .
因为AD ⊂平面ADE ，BC ⊄平面ADE ，
所以BC ∥平面ADE .
同理可证BF ∥平面ADE .
又BC ∩BF ＝B ，
所以平面ADE ∥平面BCF .
因为CF ⊂平面BCF ，
所以直线CF ∥平面ADE .
(2)如图，连接AC ，设AC ∩BD ＝O ，连接FO ，
因为四边形ABCD 是菱形，
所以AC ⊥BD .
因为AF ＝CF ，O 为AC 的中点，
所以FO ⊥AC .
因为四边形DBFE 是菱形，且BD ＝DF ，
所以△DBF 为等边三角形．
因为O 为BD 的中点，
所以FO ⊥BD .
又AC ∩BD ＝O ，
所以FO ⊥平面ABCD .
所以OA ，OB ，OF 两两垂直．
以O 为坐标原点，OA ，OB ，OF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝2，则BD ＝2，OB ＝1，OA ＝
OF ＝3，所以O (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (－3，0,0)，F (0，0，3)，D (0，－1,0)，
所以CB ―→＝(3，1,0)，BF ―→＝(0，－1，3)，
设平面FBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CB ―→＝0，n ·BF ―→＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋y ＝0，－y ＋3z ＝0，取y ＝－3， 得n ＝(1，－3，－1)为平面FBC 的一个法向量．
又FA ―→＝(3，0，－3)，
设直线FA 与平面FBC 所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈FA ―→，n 〉|＝|FA ―→·n ||FA ―→||n |＝236×5＝105. 因为0°≤θ≤90°，
所以cos θ＝1－sin 2θ＝155
. 即直线FA 与平面FBC 所成角的余弦值为
155.
4．如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝
O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．
(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；
(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1 -OB 1 -D 的余弦值．
解：(1)证明：因为四边形ACC 1A 1为矩形，
所以CC 1⊥AC ，同理DD 1⊥BD ，
因为CC 1∥DD 1，
所以CC 1⊥BD ，而AC ∩BD ＝O ，
因此CC 1⊥底面ABCD .
由题设知，O 1O ∥C 1C ，故O 1O ⊥底面ABCD .
(2)因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，
所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .
又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直．
如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别
为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz .
不妨设AB ＝2，
因为∠CBA ＝60°，
所以OB ＝3，OC ＝1.
于是相关各点的坐标为：O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)．
易知n 1＝(0,1,0)是平面BDD 1B 1的一个法向量．
设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，
则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·OB 1―→＝0，n 2·OC 1―→＝0，即⎩⎨⎧
3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0. 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，
所以n 2＝(2,23，－3)，
设二面角C 1 -OB 1 -D 的大小为θ，易知θ是锐角，
于是cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝2319＝25719.
故二面角C 1 -OB 1 -D 的余弦值为25719
. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB ―→·AC ―→＝0，AC ―→·AD ―→＝0，AB ―→·AD ―→＝
0，M 为BC 中点，则△AMD 是( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定 解析：选C ∵M 为BC 中点，
∴AM ―→＝12
(AB ―→＋AC ―→)． ∴AM ―→·AD ―→＝12
(AB ―→＋AC ―→)·AD ―→ ＝12 AB ―→·AD ―→＋12
AC ―→·AD ―→＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．
2．(2017·天津高考)如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝
90°.点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA ＝AC ＝4，AB ＝2.
(1)求证：MN ∥平面BDE ；
(2)求二面角C -EM -N 的正弦值；
(3)已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为
721，求线段AH 的长． 解：由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以
AB ―→，AC ―→，AP ―→方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间
直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，B (2，0,0)，C (0,4,0)，P (0,0,4)，
D (0,0,2)，
E (0,2,2)，M (0,0,1)，N (1,2,0)．
(1)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→＝(2,0，－2)．
设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量，
则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·
DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2y ＝0，2x －2z ＝0.
不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)．
又MN ―→＝(1,2，－1)，可得MN ―→·n ＝0.
因为MN ⊄平面BDE ，
所以MN ∥平面BDE .
(2)易知n 1＝(1,0,0)为平面CEM 的一个法向量． 设n 2＝(x 1，y 1，z 1)为平面EMN 的法向量， 又EM ―→＝(0，－2，－1)，MN ―→＝(1,2，－1)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·EM ―→＝0，n 2·MN ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－2y 1－z 1＝0，
x 1＋2y 1－z 1＝0. 不妨取y 1＝1，可得n 2＝(－4,1，－2)．
因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－421
， 于是sin 〈n 1，n 2〉＝10521
. 所以二面角C -EM -N 的正弦值为
10521. (3)依题意，设AH ＝h (0≤h ≤4)，则H (0,0，h )，
进而可得NH ―→＝(－1，－2，h )，BE ―→＝(－2,2,2)．
由已知，得|cos 〈NH ―→，BE ―→〉|＝|NH ―→·BE ―→||NH ―→||BE ―→|＝
|2h －2|h 2＋5×23＝721， 整理得10h 2－21h ＋8＝0，
解得h ＝85或h ＝12
. 所以线段AH 的长为 85 或 12
.。