九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 2 矩形的性质与判定《矩形》知识讲解及例题演练 (新版)北师大版

矩形
【学习目标】
1. 理解矩形的概念.
2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.
【要点梳理】
要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角
看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的
直角边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
【典型例题】
类型一、矩形的性质
1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩
形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．
【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC 和△QCD 都是等边三角形，容易求得∠PBA 和∠PCQ 度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA ＝PQ ．
【答案与解析】
证明：(1)∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ ∠ABC＝∠BCD＝90°．
∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，
∴ ∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，
∴ ∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．
∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30°
(2)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB＝DC ．
∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，
∴ PB＝PC ，QC ＝DC ＝AB ．
∵ AB＝QC ，∠PBA＝∠PCQ，PB ＝PC ．
∴ △PAB≌△PQC，∴ PA＝PQ ．
【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．
举一反三：
【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在
点A '处．
(1)求证：B E BF '=；
(2)设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想a b c 、、之间有何等量关系，并给予证明．
【答案】
证明：(1)由折叠可得B FE BFE '∠=∠．
∵ AD∥BC， ∴ B EF BFE B FE ''∠=∠=∠，
∴ B E B F ''=，
∴ B E BF '=．
(2)猜想222
a b c +=．理由：
由题意，得A E AE a '==，A B AB b ''==．
由(1)知B E BF c '==．
在A B E ''△中，∵ 90A '∠=°，A E a '=，A B b ''=，B E c '=，
∴ 222
a b c +=．
2、如图所示，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE＝15°，求∠BOE 的度数．
【思路点拨】∠BOE 在△BOE 中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE 有困难，转为考虑证BO ＝BE ．由AE 平分∠B AD 可求∠BAE＝45°得到AB ＝BE ，进一步可得等边△AOB．有AB ＝OB ．证得BO ＝BE ．
【答案与解析】
解：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ ∠DAB＝∠ABC＝90°，AO ＝12AC ，BO ＝12
BD ，AC ＝BD ． ∴ AO＝BO ．
∵ AE 平分∠BAD，∴ ∠BAE＝45°．
∴ ∠AEB＝90°－45°＝45°＝∠BAE．
∴ BE＝AB ．
∵ ∠CAE＝15°，∴ ∠BAO＝60°．
∴ △ABO 是等边三角形．
∴ BO＝AB ，∠ABO＝60°．
∴ BE＝BO ，∠OBE＝30°．
∴ ∠BOE＝18030752
-=°°°． 【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决．
类型二、矩形的判定
3、如图，在▱ABCD 中，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ，连接BD ．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB ，求证：四边形DFBE 是矩形．
【思路点拨】（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出
∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；
（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．
【答案与解析】
证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB．
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．
∴∠ABE=∠CDF．
∵在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∴平行四边形DFBE是矩形．
【总结升华】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
举一反三：
【变式】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，且
∠ABC+∠ADC=180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？
【答案】
（1）证明：∵A0=C0，B0=D0
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD 是矩形；
（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，
∴∠FDC=36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO=90°﹣36°=54°，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴OC=OD，
∴∠ODC=54°
∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．
类型三、直角三角形斜边上的中线的性质
4、如图所示，BD 、CE 是△ABC 两边上的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点．
求证：FG⊥DE．
【答案与解析】
证明：连接EG 、DG ，∵ CE 是高，
∴ CE⊥AB．
∵ 在Rt△CEB 中，G 是BC 的中点，
∴ EG＝12BC ，同理DG ＝12
BC ． ∴ EG＝DG ．
又∵ F 是ED 的中点，
∴ FG⊥DE．
【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的．根据这个性质．又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形．温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题． 举一反三：
【变式】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上
运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）
15 D.52
【答案】A ；
解：如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，
∵OD≤OE＋DE ，
∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大， 此时，∵AB＝2，BC ＝1，
∴OE＝AE ＝1
2AB ＝1，
DE ==
∴OD 1.。