弹性波动理论

四、波动方程 若应力体内两相邻质点应力相同，无相对运动，静止平衡状态
若二者之间有应力差，产生波动
为研究弹性波动形成的物理机制和传播规律，须建立波的运动方程（波动方程）
波动方程: 研究介质中质点位移随时间和空间的变化规律。
在弹性理论中，对于均匀、各向同性、理想弹性介质中的三维波动方程式为
(
)
x
2u
2u t 2
一个体积为V的立方体，在流体静压力P的挤压下所发生体积形变。即每个正
截面的压体变模量（压缩模量）: 压力P与体积相对变化之比
P K=-
(1.7)
(4) 切变模量（μ）
切变模量（刚性模量）:表示了物体切应力与切应变之比
μ=
(1.8)
对于液体: μ=0，不产生切应变，只有体积变化。
(5) 拉梅常数（λ、μ） 弹性力学中：受力物体内任意点受力 沿坐标轴分为三个分力，每个分力 都会引起纵向和横向沿三个轴的应力与应变。
因此：振动图是描述地震波质点位移随时间的变化规律的图像。 图中： t1――初至，质点刚开始振动 △t――波（质点振动）的延续时间，△t的大小直接影响地震勘探的分辨率。
1.8 (a) 振动图 (b)波形记录
体波：纵、横波，在整个空间
面波：弹性分界面附近 瑞利面波：自由界面，地滚波，R波 特点：低频、低速，能量大（强振幅），旋转（铅垂面，椭圆，逆转）
天然地震中，危害极大 勒夫面波：低速带顶底界面，平行界面的波动，振动方向垂直传播方向，
SH波 特点：对纵波勘探影响不大，对横波勘探严重干扰
图1.5 (a)瑞雷面波的传播 (b)勒夫面波的传播
自然界中绝大部分物体，在外力作用下，既可显弹，也可显塑
地震勘探，震源是脉冲式的，作用时间很短（持续十几～几十毫秒），岩土受 到的作用力很小，可把岩、土介质看作弹性介质，用弹性波理论来研究地震波。
各向同性介质：凡弹性性质与空间方向无关的介质 各向异性介质: 凡弹性性质与空间方向有关的介质 沉积稳定的沉积岩区，各向同性，简化问题 地震勘探中，只要岩土性质差异不大，都可以将岩土作为各向同性介质来研究， 这样可使很多弹性理论问题的讨论大为简化。
疏密波与剪切波的波动方程可以写成如下简单的形式
式中:Vp
2 t 2
Vp2
2 t 2
Vs2
2
，Vs
(1.14)
分别代表纵波（疏密波）和横波（剪切波）的传播速度。
第二节 地震波的基本类型
波动产生：弹性体内相邻质点间的应力变化会产生质点的相对位移，存在应力梯度时 下面讨论地震波的形成过程： 物体在受到由小逐渐增大的力作用时，大体上经历三种状态： 外力小：在弹性限度以内，物体产生弹性形变； 外力增大：到超过弹性限度，物体产生塑性形变； 外力继续增大：超过了物体的极限强度，物体就会被拉断或压碎。 岩层中用炸药爆炸：激发地震波时 炸药包附近：压力＞周围岩石的弹性极限，岩石被破碎形成一个破坏圈
0
(
)
y
2v
2v t 2
0
(
)
z
2w
2w t 2
0
(1.11)
式中，u,v,w分别为x,y,z方向上的位移，λ,μ为拉梅常数，ρ为介质密度
u v
x y z
为体积应变。
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
为拉普拉斯算子。
若波动引起介质的形变，只有体积上的变化而无旋转时，那么方程式变为
3.5
0.20～ ～2.65
0.32
对于同一岩砂、岩 土介4.5质，弹3模数值除1.5了与岩2性.5 有关外00..22，08～还与～测2.4试5 的方法不同而异。
静弹模：用页静岩 力测3 试的方2法所得弹1 模，用1Es表示00；..2420～ ～2.35 动弹模：用弹性波（地震或声波测试）测试的方法称为动力法，所得弹模，用Ed表示。
直角的改变量 (也叫偏转角)来度量
eτ
L
= L =
(1.4)
图1.2 立方体单元受力后的形变 (a) 体积压缩 (b) 剪切应变
1．弹性模量的定义
三、弹性模量
弹性模量也叫弹性参数或弹性系数，它表示了弹性体应力与应变之间的关系， 反映了弹性体的弹性性质。
(1) 杨氏模量
当弹性体在弹性限度内单向拉伸时，应力与应变的比值称为杨氏模量（拉伸模量）。
一般：动弹模＞静弹模
优缺点： 静力法：测得的静弹模值与地基受力条件相似，但现场测试设备笨重，测试时间
长、费用高，因此只能选择有代表性的少数测点进行测试，而少数测点难以对整 个场地岩、土介质的力学性质做出总体评价。
动力法：是用地震或声波仪进行测试，具有简便、快速、经济等优点。 但是目前工程设计人员一般还是要求给出与地基受力条件近似的静弹模数值， 因此往往要把地震或声波测得的动弹模值换算成静弹模值。
上式称为视速度定理，它表示了视速度与真速度的关系。
讨论： (1)当α=90°，波沿测线方向入射，Va=V，波传向与测向一致； (2)当α=0°，波垂直测线方向，Va→∞。波前同时到达地面各点； (3)α总在0°＜α＜90°（一般情况）， Va＞V。
浅层地震勘探中：近炮点反射波视速度高，相邻记录道之间反射波 的时差小；远炮点反射波视速度低，相邻记录道接收到的反射波时差大。
σ
0 0.1 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
Vp/Vs 1.41 1.50 1.63 1.73 1.87 2.45 ∞
讨论：①σ＝0.25, 一般岩石, Vp/Vs = 3
②σ＝0，极坚硬岩石, Vp/Vs = 2
③σ＝0.5，浮土,於泥土, Vp/Vs ∞
④横波最小波速=0, 液体和气体中不存在横波。 解决某些特殊问题，如探测充满液体的洞穴（如溶洞）, Vs=0
离开震源一定距离：压力减小，但仍超过岩石的弹性限度，岩石不发生破碎，但发生 塑性形变，形成一系列裂缝的塑性及非线性形变带
塑性带以外：随着距离增加，压力降低到弹性限度内，岩石发生弹性形变 因此，地震波是一种在岩层中传播的弹性波
二、纵、横波的形成及其特点 从上讨论知: 外力作用下，存在两种扰动 胀缩力 体积应变，引起的波动（纵波，P波）； 旋转力 剪切应变，引起的波动（横波，S波）。 统称体波 纵波：间隔形成压缩带（密集带）和膨胀带（稀疏带），传播方向与振动方向 一致，Vp
表1.1介质的弹性参数
参数 介质
杨氏模量 体变模量 切变模量 拉梅系数 泊松比σ
E
K
μ
λ
(N/cm2×106)
密度ρ
(g/cm2)
钢
20
17
8
11
0.30
7.70
铝
7
7.5
2.5
5.5
0.35
2.70
玻璃 7
5
3
3
0.25
～2.55
花岗 7
3
2
2.5
0.25
～2.67
岩
石灰 5.5
3.5
2
2. 动弹模和静岩弹模的关系
横波：传播方向与振动方向相垂直，波速――Vs
水平面内分量：称SH波 垂直面内分量：称SV波
从波动方程知：纵、横波传播速度为
Vp
( 2)
E 1 (1 )(1 2 )
Vs
E1 2 (1 )
则纵、横波速度之比为
(1.15)
Vp 1 Vs 0.5
(1.16)
表1.2 Vp/Vs值与介质泊松比的关系
视速度：在地面上沿观测方向测得的ห้องสมุดไป่ตู้的速度值，用Va表示。
如图示：S1、S2为两检波点，道间距――△X 则视速度为：
Va
X t
而真速度为：
V s t
由三角关系： △S=△X·sinα，那么
即：
V
Va sin
V
s t
X t
sin
Va
s in
式中：α为平面波波前与地面的夹角（或称波射线与地面法线的夹角），
费马原理（射线原理）：波沿射线传播的时间和沿其它任何路径传播的 时间之比为最小。 即波沿旅行时最小的路径传播。这一最小路径称作射线。
均匀介质中：射线为自震源发出的一簇辐射直线；平面波射线是垂直于 波前的平行直线。
非均匀介质中：射线为曲线。但射线与波前面总是垂直的。
3.视速度定理
真速度：波沿射线方向传播的速度。测真速度V，沿射线方向，实际不能。
按照广义虎克定律，应力与应变之间存在线性关系，于是应有36个弹性系数。 对各向同性介质，这些系数大都对应相等，可归结为:
两个系数λ、μ（合称拉梅系数）: 应力与应变方向一致和互相垂直 以上五个弹性参量，由弹性理论可证明，对于各向同性介质，其中任意一个
参量，都可以用任意两个其它的参量表示出来，只写出其中一组：
E (3 2)
2( )
(1.9)
K 2 3
以上讨论可知，弹性参数是应力与应变的比例常数，表示介质抵抗形变的能力， 其数值愈大，表示该介质愈难以产生形变。
据试验和理论推导，E、σ、μ都大于零，泊松比(σ)在0～0.5之间变化。一般 岩石的σ值在0.25左右，极坚硬岩石的σ值仅为0.05，流体的σ值为0.5，而软的、 没有很好胶结土的σ值可达0.45。表1.1中列举出一些岩石和介质的弹性参数。
二、动力学的基本知识
1.振动图与波剖面
地震波在岩层中传播时，质点振动的位移（u）随不同的时间（t）和 位置（X）是不相同的， u是t和X的二元函数，写为
u=u(x,t)
于是：可以分别从二个坐标系统来观察波动。
(1) 当X为某一特定值(X=X1)时，u=u(x,t)
u=u(t)。
振动图：从某一确定的距离观察该处质点位移随时间变化的图形
2.粘弹性体（介质） 粘滞性：小外力、长时间 不能恢复原状 粘弹性：既有弹性，又有粘滞性的性质 浅震中：接收信号 （不同）激发信号――波形变“胖”，振幅变小。 原因：吸收高频，能量损耗。 显然，岩土既有弹性、又有粘滞性，岩土层就可以称为粘弹性体（介质）。
二、应力和应变
1．应力 设有一直杆，长L，直径d，横截面积为S 受外力F拉长，长变为 Lˊ=L+ L，直径变为dˊ=d- d 直杆内部质点之间会产生一个对抗外力使物体恢复原状的内力。显然，大小和 外力相等，方向相反。 正应力：单位面积上所产生的内力，用 T 表示
剪切应力：相切于单位面积上的内力，用τ表示
T＝＝ F S
(1.1)
2．应变
定义：弹性介质在应力作用下产生的形状和体积的变化
体应变：体积发生变化（膨胀或压缩）
θ = V (1.2)
V 线应变：单位长度的伸长（或缩短）量
e = L
(1.3)
L
剪切应变：弹性介质在剪切力作用下，形状发生变化。当切应力较小时，可用
惠更斯原理：在弹性介质中，t时刻的同一 波前面上的各点，可以把这些点看作从该时刻
产生子波的新的点振源，经过△t时刻后，这些 子波的包络面就是t+△t时刻新的波前面。
图1.6 波前、波后和射线
据惠更斯原理可以从已知波前面的位置求
出以后各时刻波前面的位置。但是，惠更斯原 理只给出了波传播的空间几何位置，而没有描 述波到达该位置时的物理状态。
第三节 地震波场的基本知识 地震波场的基本理论包括：运动学，动力学。 运动学（几何地震学）：研究地震波在传播中的空间位置与传播时间的关系， 动力学：研究地震波传播时的波形、振幅、频率、相位等与空间位置的关系。
一、运动学的基本知识 1.惠更斯—菲涅尔原理
波前：把在某一时刻介质中刚开始振动的点连接起来成一曲面 波后：把在同一时刻刚停止振动的点连接成的曲面 振动带：波前与波后之间的各点均在振动 波前面形状与介质波速有关，介质波速结构的变化，波前面形状也会产生变化： 均匀介质，波前是以震源O为中心的一簇同心球（半球）面，称球面波（当球面波 半径很大时，称平面波，而对于非均匀介质，波前面为曲面。
(
2 ) 2u
2u t 2
0
(
2
)2v
2v t 2
0
(
2
)2w
2w t 2
0
(1.12)
此方程代表的波称为疏密波，或压缩波。
若波动引起介质的形变，只有剪切变形和转动而无体积变化时，则方程变为
2u
2u t 2
0
2v
2v t 2
0
2w
2w t 2
0
(1.13)
此方程代表的波称为剪切波，或等容波
菲涅尔补充：由波前面上各点所产生的子波，在观测点上相互干涉叠加，其叠加 结果就是我们在该点观测到的总振动。
惠更斯—菲涅尔原理（又称波前原理）：既可用于均匀介质，也可用于非均匀介 质，利用这个原理可以构制反射界面、折射界面等。
2.费马原理 弹性波的传播，除了可用波前来描述外，还可用射线来描述：
射线：波从空间一点到另一点的传播路径。在任一点上，射线总是垂直于波前。
E = F/S T
L / L e
(1.5)
(2) 泊松比（σ） 在拉伸形变中，直杆的横切面会减小。反之，在轴向挤压时，横截面将增大。
也就是说，在拉伸或压缩形变中，纵向增量 L和横向增量 d的符号总是相
反的。
泊松比: 介质的横向应变与纵向应变的比值
σ
=-
d / d L / L
(1.6)
(3) 体变模量