浙江省新昌中学2012届高三上学期期中考试试题(数学文)

浙江省新昌中学
2012届高三上学期期中考试 数学（文）试题
注意：本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟 参考公式：
球的表面积公式：2
4π=S R ，其中R 表示球的半径
球的体积公式：3
34
R V π=，其中R 表示球的半径
柱体的体积公式：=V Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
锥体的体积公式：
13=V Sh
，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式：)(31
2211S S S S h V ++=，其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表
示台体的高
如果事件,A B 互斥，那么
()()()
+=+P A B P A P B
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{,}
A y y x x R ==∈，
2{,}
B y y x x R ==∈，则集合A B ⋂=（ ）
A ．
[)0,+∞ B ．{0,1}
C ．
(){0,1}
D ．R
2.设i 为虚数单位，则11+i =
（ ）
A ．12--i
B ．12-+i
C ．12i -
D ．12i +
3.袋中有4个形状大小一样的球，编号分别为1,2,3,4，从中任取2个球，则这2个球的编号之和为偶数的概率为（ ）
A ．16
B ．13
C ．12
D ．23
4.在等差数列
{}
n a 中，若
456450
a a a ++=，则
28
a a +的值为( )
A ．150
B ．200
C ．250
D ．300
5.在△ABC 中，“cos cos A B =”是“sin sin A B =”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
6.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥
7.右图给出的是计算21＋41＋61＋ … ＋201
的值的一个程序
框图，其中判断框内应填入的条件是( ) A ．10i ≤? B ．10i <? C ．10i >? D ．20i ≤?
8.若实数x 、y 满足不等式组2402402-+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
x y x y x ，则x y +的最大值
为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9.设函数
2
()2f x ax bx =+()0a >，若0a b +>，则当0x >时，有( ) A.(1)(1)f x f x -<+ B. (1)(1)f x f x ->+
C. (1)(1)f x f x -=+
D. (1)f x -与(1)f x +的大小关系不能确定
10.双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，渐近线为1l 、2l ，点P 在
第一象限内且在1l
上，若21
l PF ⊥，2l
∥
2
PF ,则双曲线的离心率是( )
A ．5 B. 2
C.
3 D. 2
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11.某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶5，为了了解该校学生的视力状况，用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n 的样本，
若已知高三年级被抽到的
第7题
人数为60人，则n 等于________.
12.已知函数
1, (0)()(), (0)x x f x g x x +<⎧=⎨
>⎩为奇函数，则(2)g =________. 13.函数
44
sin cos y x x =-的最小正周期是________. 14.已知圆()2
2:()4
-+-=P x m y n 与y 轴交于A 、B 两点，
且
10
+=PA PB =
AB ．
15.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积（单位：
cm3）为 cm3．
16.观察以下三个等式：⑴ 3
3
129+=； ⑵ 3
3
3
12336++=； ⑶ 3
3
3
3
1234100+++=， 归纳其特点可以获得一个猜想是：
3333123n +++
+= （*n N ∈）．
17.函数
1
()ln 1f x x x =-
-在区间(),1k k +（*k N ∈）上存在零点，则k 的值为______ .
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分)
设ABC ∆为锐角三角形，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，∆ABC 的面积为S ，
且满足2224a b c S +-=
.
（1）求角C 的大小； （2
）证明：c b <<.
19.(本题满分14分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S =-()*∈n N .
（1）求数列
{}
n a 的通项公式；
第15题
E
D
C
M
A
（第20题）
B
（2）设
n n n
b S a =⋅，且数列
{}n b 的前n 项和为n T ，求6n n a T -的最大值及此时n 的值.
20.(本题满分14分)
在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且
2
AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点． （1）求证：CM EM ⊥；
（2）求直线DE 与平面CEM 所成角的正切值.
21.(本题满分15分)
设函数
2
()(1),x f x x e ax a R =--∈，其中e 为自然对数的底数. （1）若
1
2a =
，求)(x f 的单调递增区间；
（2）若当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
22.(本题满分15分) 已知抛物线
()
220y px p =>上一个横坐标为2的点
到其焦点的距离为5
2.
（1）求p 的值；
第22题
（2）若A 是抛物线2
2y px =上的一动点，过A 作圆()2
2:11M x y -+=的两条切线分别
切圆于E 、F 两点，交y 轴于B 、C 两点，当A 点横坐标大于2时，求ABC ∆的面积的最小值.
参考答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，满分50分.
1. A
2. C
3. B
4. D
5. C
6. C
7. A
8. D
9. A 10. B
二、填空题:每小题4分，满分28分.
11. 156 12. 1 13. π
14.
15. π+
16. 22
(1)4n n + 17. 0或2
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（满分14分）
解：（1）依题意，2221
sin 42a b c ab C +-=，…………………………………………3分 ∴222
sin 2a b c C
ab +-=，即cos sin C C =， …………………………………………6分
tan 1C ∴=，
C 为锐角，
4C π
∴=
. …………………………………………7分
（2
）由正弦定理得，
sin sin
b c
B C
==
，
sin
b B
∴=…………………………………………9分
,A B为锐角，且
3
4
A B
π
+=
，
2
342
42
B
B
B
π
ππ
ππ
⎧
<<
⎪⎪
∴⇒<<
⎨
⎪<-<
⎪⎩
，…………………………………………13分
sin1
2
B
<<
所以c b
<<. …………………………………………14分19.（满分14分）
解：（1）当1
n=时，111
a S
==
， (2)
分
当1
n>时，
()()
111
1
2121222
n n n n n
n n n
a S S---
-
=-=---=-=
，
1
1
a =
适合上式，∴
{}
n
a
的通项公式是
1
2n
n
a-
=
. …………………………………6分（2）
()1211
21222
n n n n
n
b---
=-=-
，…………………………………………7分()()
135210121
22222222
n n
n
T--
∴=++++-++++
()
2141224221
2142
1412333
n n n
n n n
--⋅-
=-=-+=⋅-+
-- (11)
分
故
()2
21217
644223
3333
n n n
n n
a T
-=-⋅+⋅-=--+
，
所以当1
n=或2时，()max
65
n n
a T
-=
(14)
分
20.（满分14分）
解：(1)证明：因为AC=BC，M是AB的中点，
所以CM⊥AB．……………………………………………………………………2分
又EA ⊥平面ABC ，
所以CM ⊥EA ………………………………4分 因为AB
EA=A
所以CM ⊥平面EAB.
所以CM ⊥EM ． ………………………………6分 (2)连结MD ，
设EA ＝a ，BD ＝BC ＝AC ＝2 a ， 在直角梯形ABDE 中， AB ＝
a ，M 是AB 的中点，
所以DE ＝3a ，EM
，DM
，
得△DEM 是直角三角形，其中DM ⊥EM ，…………9分 又因为DM ⊥CM, 因为EM
CM=M,
所以DM ⊥平面CEM
所以∠DEM 是直线DE 和平面CEM 所成的角．……12分
在Rt △DEM 中，tan ∠DEM
＝DM EM ==，
故直线DE 与平面CEM
.…………14分 21.（满分15分）
解：（1）
12a =
时，2
1
()(1)2x f x x e x =--，
'()1(1)(1)x x x f x e xe x e x =-+-=-+. …………………………………3分
令()0f x '>，得1x <-或0x >， …………………………………5分
所以()f x 的单调递增区间为
(),1-∞-，()0,+∞ …………………………………7分
（2）
()(1)x
f x x e ax =-- 令()1x
g x e ax =--，则
'()x g x e a =-。

若1a ≤，则当
()
0,x ∈+∞时，'()g x >0，()g x 为减函数，
而(0)0g =，从而当x≥0时，()g x ≥0，即()f x ≥0. ………………………………11分 若a >1，则当
()
0,ln x a ∈时，'()g x <0，()g x 为减函数，
E
D
C
M
A
（第20题）
B
而(0)0g =，从而当
()
0,ln x a ∈时()g x ＜0，即()f x ＜0.
所以不合，舍去. …………………………………14分 综合得a 的取值范围为(],1-∞ …………………………………15分
22.（满分15分）
解：（1）由抛物线的定义知，
5222p +
=
，
所以1p =. ……………………………………4分 （2）设A （x0，y0），B （0，b ），C （0，c ），
直线AB 的方程为y －b ＝
x x b
y 0
0-，
即（y0－b ）x －x0y ＋x0b ＝0
又圆心（1，0）到AB 的距离为1，所以
2
2000)(|
-|x b y b x b y +-+＝1， ……………7分
即（y0－b ）2＋x
20＝（y0－b ）2＋2x0b （y0－b ）+ x
20b2
又x0＞2，上式化简得（x0－2）b2＋2y0b －x0＝0 ……………………………………9分
同理有（x0－2）c2＋2y0c －x0＝0
故b ，c 是方程（x0－2）t2＋2y0t －x0＝0的两个实数根
所以b ＋c ＝
2
-2-00x y ，bc ＝0
2x x --， ……………………………………11分
则（b －c ）2＝
()
22000
2
04482x y x x +--＝()2
02
42x x -，
即︱b －c ︱＝
2
-200
x x ，
∴S △ABC ＝21
︱b －c ︱x0＝200
2x x -＝x0－2＋2-40x ＋4≥24＋4＝8 (13)
分
当（x0－2）2＝4时，上式取等号，此时x0＝4，y ＝±22
因此S △ABC 的最小值为8. ……………………………………15分。