2012自主招生考试数学问题

以下题目所给答案为非官方人士自行编制，有些许错误，请老师帮忙解答和改正
1、对函数f:[0,1]→[0,1]，定义f 1(x)=f(x)，……，f n (x) =f(f n-1(x))，n=1,2,3,……。

满足f n (x)=x 的点x ∈[0,1]称为f 的一个n-周期点。

现设⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=121,22,210,2)(x x x x x f 问f 的n-周期点的个数是_____C______。

A.2n 个；
B.2n 2个；
C.2n 个；
D.2(2n -1)个.
2、已知常数k 1,k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1。

设C 1和C 2分别是以y=±k 1(x-1)+1和y=±k 2(x-1)+1为渐近线且通过原点的双曲线。

则C 1和C 2的离心率之比e 1/e ²等于___C____。

A.
222111k k ++; B.212211k k ++ C.1 D.k 1/k 2
3、参数方程0,)
cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 所表示的函数y=f(x)是______C______。

A ．图像关于原点对称； B ．图像关于直线x=π对称；
C ．周期为2a π的周期函数
D ．周期为2π的周期函数.
4、将同时满足不等式x-ky-2≤0，2x+3y-6≥0，x+6y-10≤0 (k>0)的点(x,y)组成集合D 称为可行域，将函数(y+1)/x 称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点(x,y)使目标函数达到在可行域上的最小值。

如果这个规划问题有无穷多个解(x,y)，则k 的取值为__C___。

A.k ≥1;
B.k ≤2
C.k=2;
D.k=1.
5、对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是____D____。

A. 逆命题为“周期函数不是单调函数”；
B. 否命题为“单调函数是周期函数”；
C. 逆否命题为“周期函数是单调函数”；
D. 以上三者都不正确
6、设计和X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a>0，都存在x ∈X 使得0<|x-x 0|<a ，则称x 0为集合X 的聚点。

用Z 表示整数集，则在下列集合
(1){n/(n+1)|n ∈Z, n ≥0}， (2) R\{0}， (3){1/n|n ∈Z, n ≠0}， (4)整数集Z 中，以0为聚点的集合有__A___。

A ．(2), (3)；
B ．(1), (4)；
C ．(1), (3)；
D ．(1), (2), (4) 本题中(2) R\{0}为何意
7、已知x x x x f 2c o s 3c o s s i n )(+=，定义域⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=ππ127,121)(f D ，则
=-)(1x f __A___
A ．π12123arccos 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x
B ．π6
123arccos 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C ．π12123arcsin 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x D ．π6
123arcsin 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 本题我算出的是D
8、在Oxy 坐标平面上给定点)1,2(),3,2(),2,1(C B A ，矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112k 将向量,,分别变换成向量',','，如果它们的终点',','C B A 连线构成直角三角形，斜边为''C B ，则k 的取值为___B___
A ．2±
B ．2
C ．0
D ．0，-2 本题我算出的是A
9、经过坐标变换⎩⎨⎧+-=+=θ
θθθcos sin 'sin cos 'y x y y x x 将二次曲线06532322=-+-y xy x 转化为形如1''22
22=±b
y a x 的标准方程，求θ的取值并判断二次曲线的类型___B____ A ．)(6Z k k ∈+=ππθ，为椭圆 B ．)(6
2Z k k ∈+=
ππθ，为椭圆 C ．)(6Z k k ∈-=ππθ，为双曲线 D ．)(62Z k k ∈-=ππθ，为双曲线
10、设是有理数集，集合X={X|X=2+
，a ，b }，在下列集合中 (1){2x|x
} (2){x/
} (3){1/x|x
} (4){x 2|x } 中和X 相同的集合有___C_____个。

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
11、一个菱形边长与其内切圆的直径之比为k:1（k>1），则这个菱形的一个小于
的内角等
于_____C______ A.arctan(k-
) B.arctan C.arctan() D.arctan
本题我算出的是D
12、设a,b 是实常数，则二元一次方程组无解的充分必要条件是___B___
A.2a+b=0且a
B.2a+b=0且a+b -1
C.a=1,b=-2或a=-1，b=2
D.2a+b=0
13、三棱柱ABC-A ’B ’C ’的底是边长为1的正三角形，高AA ’=1，在AB 上取一点P ，设三角形PA ’C ’与底的二面角为,三角形PB ’C ’与底的二面角为，则tan()的最小值为__B_____ A. 4
33- B. 15
36- C. 13
38- D. 835-
本题我算了很长时间，算出的是C
14、136.设三角形ABC的三边之比AB:BC:CA=3:2:4，已知顶点A的坐标是（0,0），B的坐标是（a,b）,则C的坐标一定是___C____
A.()
B.()
C.()
D.()
15、设实数a,b,c0,,,成等差数列，则下列不等式一定成立的是___D___
A.|b||ac|
B.b2|ac|
C.a2
D.|b|
16、复平面上点z o=1+2i关于直线l：|z-2-2i|=|z|的对称点的复数表示是____A___
A.-i
B.1-i
C.1+i
D.i
17、设实数r>1，如果复平面上的动点z满足|z|=r,则动点w=z+的轨迹是___D_____-
A.焦距为4的椭圆
B.焦距为的椭圆
C.焦距为2的椭圆
D.焦距为的椭圆
18、在二项式n x x )21(41
21+
的展开式中，若前3项的系数成等差数列，则展开式的
有理项的项数为______B_______。

A 、2；
B 、3；
C 、4；
D 、5
本题认为有问题，n 无法算出
19、
在如图所示的棱长均为1的正四面体ABCD 中，点M 和N 分别是边AB 和CD 的中点。

则线段MN 的长度为_____A_____。

A 、21
；
B 、2；
C 、31
； D 、2
本题的两组平行直线夹角是否相等，直线平行时方向同或反怎样判断
20、当不等式
022)4tan(cos 4)4(cos tan 22222≤++---a x a x ππ关于x 有有限个解时，a 的取值是______C__________。

A 、全体实数；
B 、一个唯一的实数；
C 、两个不同的实数；
D 、无法确定。

21、方程组⎩
⎨⎧==+-1x y y x y
x y x 有______B_____解。

A 、一个；
B 、两个；
C 、三个；
D 、四个。

22、在如图所示的三棱柱中，点A ，BB 1的中点以及B 1C 1的中点所决定的平面把三棱柱切割成体积不相同的两部分，问小部分的体积和大部分的体积比为___D____。

A 、31
； B 、74；
C 、1711
； D 、2313
本题我花了很长时间算的是A
23、椭圆1
3122
2=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若PF 1的中点在y
轴上，则
||1PF 是||2PF 的_____A_______。

A 、3倍；
B 、5倍；
C 、7倍；
D 、9倍。

本题我认为应选C
1、设},,{321a a a A 是由三个不同元素所组成的集合，且T 是A 的子集族满足性质：空集和A 属于T ，并且T 中任何两个元的交集和并集还属于T 。

问所有可能的T 的个数为__A_____。

A 、29；
B 、33；
C 、43；
D 、59
2、已知异面直线a ，b 成60°角。

A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 ( ) A 有且只有一个 B 有且只有两个 C 有且只有三个 D 有且只有四个
[分析]已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了。

因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系。

于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线。

答案是4个。

为何会有4个，不应只有两个吗？
3将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）
A 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形
B 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形
C 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形
D 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。

如图，假设ΔABC 是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF (不妨设在AC 的另一边)的(其中的边EF 有可能与AC 重合)的∠D 一定是钝角。

事实上，∠D ≥ ∠ADC ，而四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠ADC = 180°-∠B ，所以∠D 为钝角。

这样就排除了B ，C 。

下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。

假设ΔABC 中∠B 是钝角，在AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC 的另一侧的相邻(指有公共边AC ) ΔACD
，则∠D = 180°-∠B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。

所以答案是D 。

这步没有看懂，为何到最后能找到一个锐角三角形
28、将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以pn 表示未出现连续3次正面的概率。

（I ）求p1，p2，p3，p4；
(II)探究数列{ pn}的递推公式，并给出证明；
(III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。

29、知双曲线22
1222:1(0,0),,x y C a b F F a b -=>>分别为C 的左右焦点。

P 为C 右支上一点，
且使2
1212=,3F PF F PF π
∠∆又的面积为。

（I ）求C 的离心率e ；
(II)设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得
22QF A QAF λ∠=∠恒成立。

若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。