全国高考理科数学考试卷江苏试卷参考答案

高考理科数学考试真题（江苏卷）
参考答案
1．π【解析】：2=
=2
T π
π
2．5【解析】：34,Z i Z =-= 3．3
y=4x ±
4．8【解析】：3
28=（个）
5．3【解析】：n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4． 6．2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：905
92
88919089=++++=
x ．
方差为：25
)9092()9088()9091()9090()9089(2
22222
=-+-+-+-+-=
S ． 7．
63
20
【解析】：m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个,
所以总共有7963⨯=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个 符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520⨯=种可能符合题意 所以符合题意的概率为
2063
8．1：24【解析】：三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相
似比为1：2，故体积之比为1：8．
又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体
积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．
另：112211111
334224
ADE ABC V S h S h V =
=⨯⨯= 所以121
:24V V =
9．[—2，12
]【解析】抛物线2
x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，
y ＝—12 x ＋z 2
．
画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12
．
10．1
2 【解析】：易知()
121212232363
DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+
所以121
2
λλ+=
11．(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
【解析】做出x x x f 4)(2
-= (0>x )的图像，如下图所示。

由于)(x f 是定义在R 上的奇
函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像。

不等式x x f >)(，表示函数y ＝)(x f 的图像在y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。

12．33【解析】如图，l ：x ＝c a 2，2d ＝c a 2－c ＝c b 2，由等面积得：1d ＝a
bc。

若126d d =，
则c b 2＝6a bc ，整理得：06622=--b ab a ，两边同除以：2a ，得：
0662
=+⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a b a b ，
解之得：a b ＝36，所以，离心率为：331e 2
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a b ． y
x O
y ＝2x —1
y ＝—1
2
x
x
y
y ＝x
y ＝x 2—4P (5,5)
Q (﹣5, ﹣5)
13．1或10【解析】：由题意设()0001,
,0P x x x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
则有 ()2
2
2
222200000200000111112++2=+-2+22
PA x a a x a x a x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 令()00
1
t 2x t x +
=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a =
1．2a ≤时，22min (2)242PA f a a ==-+，∴2
2428a a -+=
1a =- ， 3a =（舍去）
2．2a >时，22min ()2PA f a a ==-，∴2
28a -=
a =，
a =
综上1a =-
或a =
14．【解析】设正项等比数列}{n a 首项为a 1，公比为q ，则⎪⎩⎪⎨⎧
=+=
3
)1(2
15141q q a q a ，
得：a 1＝132 ，q ＝2，a n ＝26－
n ．记5212
12-=+++=n
n n a a a T ， 2
)1(212
n
n n n a a a -==∏ ．n n T ∏>，则2
)1(5
221
2n n n ->-，
化简得：52
112122
12+->-n n n
，当52
11
212+->
n n n 时，12212113≈+=
n ． 当n ＝12时，1212∏>T ，当n ＝13时，1313∏<T ，故n max ＝12． 15．【解析】：（1）(cos cos ,sin sin )αβαβ-=--a b ，
222|(cos cos )(sin sin )αβαβ-=-+-a b |=22(cos cos sin sin )2αβαβ-⋅+⋅=
所以，cos cos sin sin αβαβ⋅+⋅＝0， 所以，b a ⊥．
（2）⎩⎨
⎧=+=+②
1
sin sin ①0cos cos βαβα，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12 ．
所以，α－β＝
π32，α＝π3
2
＋β， 带入②得：sin(
π3
2＋β)＋sin β＝23cosβ＋1
2 sin β＝sin(3π＋β)＝1， 所以，
3π＋β＝2π
． 所以，α＝65π，β＝6
π
．
16．【解析】：(1),E G 分别是侧棱,SA SC 的中点，EG AC ∴∥
AC 在平面ABC 中，EG 在平面外，EG ∴∥平面ABC
,AS AB AF SB =⊥，F ∴为SB 中点，EF AB ∴∥
AB 在平面ABC 中，EF 在平面外，EF ∴∥平面ABC
EF 与EG 相交于E ，,EF EG 在平面EFG 中
∴ 平面EFG //平面ABC ． (2) 平面SAB ⊥平面SBC ，SB 为交线
AF 在SAB 中，AF SB ⊥
AF ∴⊥平面SBC AF BC ∴⊥
BC AB ⊥
AF 与AB 相交于A ,AF AB 在平面SAB 中 BC ∴⊥平面SAB BC SA ∴⊥
17．【解析】：（1）由题设点(,24)C a a -，又C 也在直线1-=x y 上，241,3a a a ∴-=-∴=
22:(3)(2)1C x y ∴-+-=，由题，过A 点切线方程可设为3y kx =+，
即30kx y -+=，则
1=，解得：3
0,4
k =-
，∴所求切线为3y =或
3
34
y x =-+
（2）设点(,24)C a a -，00(,)M x y ，
2MA MO =，)3,0(A ，(0,0)O ，
22220000(3)4()x y x y ∴+-=+，即2200032x y y +=-，又点M 在圆C 上，2200()(24)1x a y a ∴-+-+=，两式相减得
2
005(23)(89)02
a ax a y a +---+=，由题以上两式有公共点
，
2
1≤
整理得：2
5|63|2
a a -+≤，即222(5126)4(5129)a a a a -+≤-+，
令25126t a a =-+，则
24(3)t t ≤+，解得：26t -≤≤，2251266a a ∴-≤-+≤，解得：1205
a ≤≤
． 18．【解析】：（1）在ABC ∆中，1312cos =A ，53
cos =C ，5sin 13A ∴=，4sin 5
C =，
63sin sin()sin cos cos sin 65B A C A C A C ∴=+=+=，sin sin AB AC
C B
=，5651260
463
AB ⨯∴=
， 1040AB ∴=．答:索道AB 的长为1040m ．
（2）设乙出发min t 到点P ，则甲出发(2)min t +到点Q ，130AP t =，50(2)AQ t =+，
在APQ ∆中，
222222122cos (130)50(2)213050(2)13
PQ AP AQ APAQ A t t t t =+-=++-⨯⨯+⨯
， 2222222100[(13)5(2)120(2)]100[16925(2)120(2)]PQ t t t t t t t t ∴=++-+=++-+
22100(74140100)PQ t t ∴=-+，当且仅当35
min 37
t =
时，PQ 最小． 答：乙出发
35
37
分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短． （3）甲走完长为m 1260的山路AC ，共需1260
25.250
=分钟，设乙总用时为min t ，
乙步行的速度为/min vm ，则22.228.2t ≤≤，由题104021130BC
t v
=+++
，在ABC ∆中，由正弦定理求得500BC =，
50011[22.2,28.2]t v ∴=+
∈，500[11.2,17.2]v ∴∈，11
[,]50017.211.2v ∴∈，500500[,]17.211.2v ∴∈，500500[,]17.211.2v ∴∈，50005000[,]172112v ∴∈，50005000[,]172112v ∴∈，
39
[29,44]4314v ∴∈
答：为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制
329
/min 43m 到9
44/min 14
m 内． 19．【证明】：（1）若0=c ，则n n S b n =，*N n ∈，又由题(1)2
n n n d
S na -=+，
12n n S n b a d n -∴==+，112
n n b b d +∴-=，
{}n b ∴是等差数列，首项为a ，公差为2
d
，)0(≠d ，又421b b b ，，成等比数列，
2
2
14b b b ∴=，23()()22
d d
a a a ∴+=+，23()42d d ad a ∴+=，0d ≠，2d a ∴=，2n S n a ∴=，
222222(),nk k S nk a n k a n S n k a ∴===，2nk k S n S ∴=（*,N n k ∈）
． （2）由题c n nS b n n +=2，*
N n ∈，22[2(1)]2()
n n a n d b n c +-=+，若}{n b 是等差数列，则可设
n b x yn =+，,x y 是常数，22
[2(1)]2()n a n d x yn n c +-=++关于*
N n ∈恒成立．整理得：32(2)(22)220d y n a d x n cyn cx -+----=
关于*N n ∈恒成立．20,220,20,20d y a d x cy cx ∴-=--===，
20,22,0,0d y a x d cy cx ∴=≠-===
0c ∴=。

20．【解析】：（1）由题1'()0f x a x =
-≤在),1(+∞上恒成立，1
a x
∴≥在),1(+∞上恒成立，1a ∴≥；'()x g x e a =-
若0a ≤，则'()0x
g x e a =->在),1(+∞上恒成立，)(x g 在),1(+∞上递增，()g x ∴
在),1(+∞上没有最小值，0a ∴>， 当ln x a =时，'()0g x =，由于'()x
g x e a =-在
),1(+∞递增，
ln x a ∴>时'()0g x >，)(x g 递增，ln x a <时'()0g x <，)(x g 递减，从而ln x a =为)(x g 的可疑极小点，由题ln 1a >，a e ∴>， 综上a 的取值范围为a e >．
（2）由题'()0x
g x e a =-≥在(1,)-+∞上恒成立，
x e a ∴≥在(1,)-+∞上恒成立，1
a e ∴≤
， 由()ln 0,(0)f x x ax x =-=>得 ln ,(0)x
a x x
=>，
令ln (),(0)x h x x x =>，则2
1ln '(),(0)x
h x x x -=>，
当0x e <<时，'()0h x >，ln (),(0)x
h x x x =>递增，
当x e >时，'()0h x <，ln (),(0)x
h x x x
=>递减，
x e ∴=时，ln (),(0)x h x x x =>最大值为1
e ，
又01x <<时，ln ()0x
h x x
=<，1x >时，
ln ()0x h x x
=>，
据此作出ln (),(0)x
h x x x =>的大致图象，由图
知：当0a ≤或1
a e
=时，)(x f 的零点有1个, 当
1
0a e
<<时，)(x f 的零点有2个．。