罗湖区望桐路七年级数学 第13讲 平行线的性质及其应用培优讲义(无答案) 新人教版(2021年整理)

广东省深圳市罗湖区望桐路七年级数学第13讲平行线的性质及其应用培优讲义（无答案）新人教版
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第13讲 平行线的性质及其应用
考点·方法·破译
1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；
3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典·考题·赏析
【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A ＝38°，求∠C 的度数. 【解法指导】
两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行,同旁内角互补.
平行线的性质是推导角关系的重要依据之一,必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键。

【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD
∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行,同旁内角互补） ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38° 【变式题组】
01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°,则∠DBC 的度数为（ ）
A ．155°
B ．50°
C ．45°
D ．25°
02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ )
A ． 50°
B ． 55°
C ． 60°
D ．65°
03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ,∠α：∠D :∠B ＝2： 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数。

【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝
45°，求∠BCG 的度数。

【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和
角平分
线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.
【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD （两条
直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°
【变式题组】
01．如图，已知AF ∥BC ， 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________
02。

如图，已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ,DE 过点O 与BC 平行，则∠
BOC ＝___________
A
B
C
D
O
E F
A
E
B
C （第1题图）
（第2题图）
E
A
F
G D C
B B
A
M
C
D
N P （第3题图）
03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.
【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证:∠A ＝∠F .
【解法指导】
因果转化，综合运用。

逆向思维:要证明∠A ＝∠F ,即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC ， 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC ＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要 证明∠1＝∠3。

证明:∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行,内错角相等)
【变式题组】
01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG
02．如图,已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB
03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行
C
D
A
B
E F
1 3
2 G B
3 C
A
1
D 2
E F （第1题图）
A 2
C
F 3 E D
1
B
（第2题图）
D
A 2
E
1
B
C F E A 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线
于α，则角θ等于_________。

【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ,∠1＝∠3。

求证：AD 平分∠BAC ．
【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论
的条件,要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3）
证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义)∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】
01．如图，若AE ⊥BC 于E ,∠1＝∠2，求证:DC ⊥BC ．
02．如图,在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ， AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠
BDF 。

3
1
A
B
G D C
E
3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCM 的度数。

【例５】已知,如图，AB ∥EF ，求证:∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键. 【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝
180°
(两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ,∴CD ∥EF （平行 于同一条直线的两直线平行) ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】
01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所
得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性。

结论:⑴____________________________ ⑵____________________________
⑶____________________________ ⑷____________________________
F
E
D
2
1 A B C
α
β
P B C
D
A ∠P ＝α＋β
3 2
1
γ 4 ψ D
α β
E B C A
F H
F
γ D α
β
E
B
C A
F
D
E
B C A
【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180°
【解法指导】基本图形
善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.
【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行,内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行)∴∠2＝∠3 又∵AB ∥
CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行)∴∠ψ＋∠4＝180°(两直线平行,同旁内角
互补)∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°
【变式题组】
01．如图， AB ∥EF ,∠C ＝90°,则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）
A ． ∠β＝∠α＋∠γ
B ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°
C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°
D ．∠β＋∠γ－∠α＝90°
02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数。

B
A
P
C
A
C C
D
A
A P
C
B
D P
B
P
D B
D ⑴
⑵
⑶
⑷
B C
A
A ′
l
B ′
C ′
【例７】如图,平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /,画出平移后的三角形A /B /C /
. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连。

⑴定：确定平移的方向和距离。

⑵找：找出图形的关键点.
⑶移：过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点.
⑷连: 按原图形顺次连接对应点.
【解】①连接AA / ②过点B 作AA /的平行线l ③在l 截取BB /＝AA /，则点B /
就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C /
.连接A /B /
,B /C /
，C /A /
就得到平移后的三角形A /B /C /。

【变式题组】
01．如图,把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.
02．如图，已知三角形ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A /B /C
/
的位置，若平移距离为3, 求△ABC 与△A /B /C /
的重叠部分的面积。

03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此
图形，求阴影部分的面积.(单位：厘米)
B B /
A
A /
C C /
西
B 30° A
北
东
南
演练巩固 反馈提高
01．如图，由A 测B 得方向是（ ）
A ．南偏东30°
B ．南偏东60°
C ．北偏西30°
D ．北偏西60°
02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行
于同一条直线的两直线垂直。

其中的真命题的有（ )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
03．一个学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的
角度可能是( )
A ．第一次向左拐30°,第二次向右拐30°
B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°
04．下列命题中，正确的是（ ）
A ．对顶角相等
B ． 同位角相等
C ．内错角相等
D ．同旁内角互补
05．学习了平行线后,小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法,是通过折一张半透
明的纸得到的［如图⑴—⑷]
从图中可知,小敏画平行线的依据有（ )
①两直线平行，同位角相等;②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④
内错角相等,两直线平行。

A．①②B．②③C．③④D．①④
06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是( ）A．北偏东52°B．南偏东52°C．西偏北52°D．北偏西38°
07．下列几种运动中属于平移的有（）
①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动)；
③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.
A．1种B．2种C．3种D．4种
08．如图,网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）
09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）
10．如图，AD∥BC,AB∥CD，AE⊥BC,现将△ABE进行平移。

平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长,则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分。

150°120°
D
B
C
E 湖
11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例。

⑴对顶角是相等的角;⑵相等的角是对顶角；
⑶两个锐角的和是钝角;⑷同旁内角互补，两直线平行。

12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假。

⑴互补的角是邻补角；
⑵两个锐角的和是锐角；
⑶直角都相等。

13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行,问∠C是多少度？并说明理由。

14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当
4
3 2
1 A
B
E
F C
D
4
P 2
3
1 A
B
E
F
C
D
小船行驶到河中F 点时，看B 点和D 点的视线FB 、FD 恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F 与码头B 、D 所形成的角∠BFD 的度数吗?
15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.
培优升级·奥赛检测
01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样
在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在
△ABC 内由△
DEF 平移得到的三角形共有( ）个
02．如图,一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来,运动员立即从A
处以匀速直线奔跑前去拦截足球。

若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出
运动员的平移方向及最快能截住足球的位置。

（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）
03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC ＝
3cm ,高AA 1＝2cm 。

将AC 平移到A 1C 1的位置上时,平移的距离是___________,平移的方向是___________。

04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长
均为a ，竖直方向的边长为b )；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2,得到封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴]；将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2
A 3
B 3B 2B 1 [即阴影部分如图⑵］;
⑴在图⑶中,请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.
⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________， S 2＝________, S 3＝________。

⑶联想与探究:如图⑷,在一矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？
C
B 1
A
A 1
C 1
D 1
B
D
.
B
.
O
. A
F
E
B
A
C
G
D
05
．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜
180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ）
A ．720°
B ．108°或144°
C ．144°
D ．720°或144°
06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b 上顺次有10
个点B 1、B 2、…、B 9,将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点,则这些选段的交点个数是( ）
A ．90
B ．1620
C ．6480
D ．2006
07．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF 。

求∠BEG 和∠DEG 。

08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没
有与AB 平行的直线?为什么?
09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE
平分∠COF 。

F
E
B
A
C
G
D 100°
⑶
⑷
⑴求∠EOB 的度数；
⑵若平行移动AB ,那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化,找出变化规律；若不变，求出这个比值.
⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.
10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中,至
少有一个角不超过36°，请说明理由。

11．如图,正方形ABCD 的边长为5，把它的对角线AC 分成n 段,以每一小段为对角线作小正方
形，这n 个小正方形的周长之和为多少？
12．如图将面积为a 2
的小正方形和面积为b 2
的大正方形放在一起,用添补法如何求出阴影部分
面积？
F
E
B
A
C
O
A
B
C
D。