江西省南昌市第二中学2016-2017学年高二下学期第三次月考数学(文)试题(解析版)

南昌二中2016—2017学年度下学期第三次阶段性考试
高二数学（文）试卷
一、选择题
1.已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
由得：，由得，
则，故选B.
2.设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，所以．
考点：1．对数；2．大小比较．
3.已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则( )
A. m∥l
B. m∥n
C. n⊥l
D. m⊥n
【答案】C
【解析】
∵互相垂直的平面，交于直线，直线，满足，
∴或或与相交，，∵，∴．
故选C.
4.函数f(x)＝的零点所在的区间为( )
A. B. C. D. (1，2)
【答案】B
【解析】
由于为连续函数，，，
，故函数的零点所在的区间为，故选B.
5. 下列说法正确的是（）
A. 命题“若, 则”的逆否命题是“若, 则或”;
B. 命题“,”的否定是“,”；
C. “”是“函数在区间上单调递减”的充要条件；
D. 已知命题；命题, 则“为真命题”
【答案】D
【解析】
试题分析：因为是大前提，所以不能有，故A是错的，关于全称命题的否定是特称命题，任意应该改为存在，故B事错的，函数也满足在给定区间上式减函数，所以应该是充分不必要条件，故C是错的，对于D项，命题是假命题，命题是真命题，，所以满足为真命题，故D是正确的，故选D．
考点：判断命题的真假．
6.若正实数满足，则的最小值为（）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】A
【解析】
∵正实数满足，∴，
∴，当且仅当即且时取等号，故选A.
点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
7.已知函数是R上的增函数，则的取值范围是（）
A. ≤＜0
B. ＜0
C. ≤
D. ≤≤
【答案】D
【解析】
要使函数在R上为增函数，须有在上递增，在上递增，
且，所以有，解得，则的取值范围
为，故选D.
8.某空间几何体的三视图如图所示，图中主视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为4，俯视图中的四边形为正方形，则这个几何体的体积是( )
A. B. C. 16 D. 32
【答案】A
【解析】
由三视图得到几何体，如图：
所以体积为，故选A.
9.函数的大致图象是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵，其定义域为，∴，由，
得，由得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴时，函数取得极大值，又，
∴函数的图象在轴下方，可排除A、C、D，故选B.
10.直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
【答案】C
【解析】
本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为600，故选C．
11.已知不等式，若对任意及，该不等式恒成立，则实数的范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：因为及，所以由可得：．令，结合及
可得，，于是问题转化为恒成立，显然在上单调递减，所以当时其取得最大值且为，所以，故应选．
考点：1、函数恒成立问题；2、不等式及其不等关系；
12.已知函数，与函数，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
关于直线的对称函数为，则与在上有交点，作出与
在上的函数图象如图所示：
设经过点，则，设与相切，切点为，
则，解得，，∴，故选B.
点睛：本题考查了函数零点与函数图象的关系，将对称问题转化为交点问题是解题关键，属于中档题；求出的反函数，则与的图象在上有交点，借助函数图象及导数的几何意义即可求出的范围.
二、填空题
13.设函数，且f（x）为奇函数，则g（）=
【答案】2
【解析】
由于为奇函数，则，故答案为2.
14.已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为
_______.
【答案】；
【解析】
试题分析：由题如图,设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AH∶HB=1∶2,所以.由勾股定理,，又由题意得,故.由球的表面积公式得;
考点：球体的几何性质及表面积。

15.若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
若“，使得成立”是假命题，即“，使得成立”是假命题，由，当
时，函数取最小值，故实数的取值范围为，故答案为.
点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了特称命题，函数恒成立问题，对勾函数的图象和性质等知识点，难度中档；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
16.已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，
则函数的零点个数为．
【答案】
【解析】
试题分析：由知，所以函数周期为，又是定义在R上的偶函数，作出函数在一个周期上的图象，再扩展到定义域上，作图如下，由图象知，当时，，所以从图象看出有个交点，所以零点个数为．所以答案应填：．
考点：1、函数的周期性；2、函数的奇偶性；3、函数的零点．
【思路点晴】本题主要考查的是函数的对称性，函数的奇偶性，函数的周期性及函数零点的概念，涉及到指数函数图象，数形结合的思想，属于中档题．本题通过函数性质，求出周期，根据指数函数图象作出一个周期的图象，拓展到定义域上得到的图象，再作出的图象，观察分析函数图象的交点个数，得到的零点个数．
三、解答题
17.设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
试题分析：（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞1解集;（2）根据题意可得|x+2|-|x-1|+4≥|1-m|有解，即|x+2|-|x-1|+4 的最大值大于或等于|1-m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|-|x-1|+4 的最大值，从而求得m的范围．
试题解析：
（1）函数可化为
当时，，不合题意；当时，，即；当时，，即.综上，不等式的解集为.
（2）关于的不等式有解等价于，由（1）可知，（也可由
，得），即，解得.
18.已知函数是偶函数，且在上单调递增．
（1）求m的值，并确定的解析式；
（2），求的定义域和值域。

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）由函数在上单调递增，可得，解出的值，再检验哪个值符合题意即可；（2）先写出的解析式，即可求函数的定义，求出函数的值域，即可求函数
的值域.
试题解析：（1）因为在上单调递增，所以，解之得，，所以或，当
时，为奇函数，不符合题意，当时，为偶函数，所以
，;
（2）由（1）知，由得，所以的定义域为。

设，则，
此时的值域，就是函数的值域.在区间上是增函数，所以；
所以函数的值域为.
考点：1.函数的奇偶性与单调性；2.幂函数的性质；3.对数函数的性质.
19.已知命题p:“两个正实数x，y满足，且x＋2y>11a-2a2-8恒成立＂，命题q：“函数
在[0,1]上是减函数”，
(1)若命题
(2)若“或为假”，求实数的取值范围．
【答案】（１）或.;（２）.
【解析】
试题分析：（1）利用基本不等式求出的最小值，解不等式即可；(2)根据复合命题的真假可得假真，求其交集即可.
试题解析：（1）真：，当且仅当，即时等号成立．可知
，解得或.
(2)真：若“或为假”，则假真，可得.
20.图1，平行四边形中，，，现将沿折起，得到三棱锥（如图2），且，点为侧棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）在的角平分线上是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由平面几何知识先证明，再由线面垂直的判定的定理可得平面，从而得，进而可得平面，最后由由线面垂直的判定的定理可得结论；（Ⅱ）由等积变换可得，
进而可得结果；（Ⅱ）取中点，连接并延长至点，使，连接，，，先证四边形为平行四边形，则有∥，利用平面几何知识可得结果.
试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，有，又因为为侧棱的中点，
所以；
又因为，，且，所以平面.
又因为平面，所以；
因为，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
（Ⅱ）解：因为，平面，所以是三棱锥的高，
故，
又因为，,，所以，
所以有.
（Ⅲ）解：取中点，连接并延长至点，使，连接，，.
因为，所以射线是角的角分线.
又因为点是的中点，所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面.
因为、互相平分，
故四边形为平行四边形，有∥.
又因为，所以有，
又因为，故.
21.已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，·＝12.
(1)求抛物线的方程；
(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．
【答案】：(1)y2＝4x;(2) x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【解析】
试题分析：（1）设，代入，可得根与系数的关系，再利用，可得，代入即可得出；（2）由（1）（∗）化为，设AB的中点为M，可得，又
，联立解出即可得出．
试题解析：(1)设直线l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0.(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝＝4.
因为·＝12，所以x 1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，
得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)将(*)化为y2－4my＋8＝0.则y1＋y2＝4m，y1y2＝8.
设AB的中点为M(x M，y M)，则|AB|＝2x M＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①
又|AB|＝|y1－y2|＝，②
由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，
解得m2＝3，m＝±.
所以直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.
22.已知函数，在x=1处的切线与直线垂直，函数．
(1)求实数的值；
(2)设是函数的两个极值点，记，若，
①的取值范围；②求的最小值．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
试题分析：(1)切点为，利用在处的切线与直线垂直，可得得出,解方程即可．(2)先对进
行求导，得出的关系，根据，考虑令，构造一个新的函数来求解．
试题解析：（1）由题可得
由题意知，即
（2）由，
令即
而
由，即，解上不等式可得：
而
构造函数
由，
故在定义域内单调递减，
所以的最小值为
考点：1、函数的切线问题；2、导数研究函数的性质；3、化归与转化的思想．
【思路点睛】本题第一问是函数的切线问题，只要牢牢把握住切点和斜率，此类问题会很快解决．第二问是压轴问，突破口有两个地方，一个是“是函数的极值点”转化为函数导数等于零；另一个是题目要求解的表达式，先求出该式子，再用换元法解决．解决此类问题，采用步步稳盈，层层推进的方法，将题目的文字语言逐步用数学式子表示出来，问题也就迎刃而解了．。