电路邱关源第五版09第九章
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+ + R1 R2 L2 _ _ +
解 方法一、 画相量图分析。
q
q2
_
返 回
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q
q2
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方法二、
+ + 其余步骤同解法一。 R1
_ R2
L2 _ +
_
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例9 移相桥电路。当R2由0时，
+ _ + + R1 R2 a b R1 + + b b
-
a 当R2=0，q 180； 当R2 ，q 0。
>1/L，B>0，y>0，电路为容性，
电流超前电压。 相量图：选电压为参考向量，
2 G 2 B
u 0
2 G 2
I I I I ( IC I L )
y
IB
注意
RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象
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等效电路
+
R -
（3）C<1/L，B<0，y<0，电路为感性，
+ + -
KVL：
U 1 Z R jL j R jX Z z I C
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Z — 复阻抗；|Z| —复阻抗的模；z —阻抗角； R —电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)。 转换关系：
或
R=|Z|cosz X=|Z|sinz
|Z| 阻抗三角形
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有功，无功，视在功率的关系：
P=UIcos 无功功率: Q=UIsin
有功功率: 视在功率: S=UI
单位：W 单位：var 单位：VA
S P Q
2
2
S
P
Q
功率三角形
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5. R、L、C元件的有功功率和无功功率
i
+ u i + u i + u -
PR =UIcos =UIcos0 =UI=I2R=U2/R R QR =UIsin =UIsin0 =0 PL=UIcos =UIcos90 =0 L QL =UIsin =UIsin90 =UI=I2XL PC=UIcos =UIcos(-90)=0 C QC =UIsin =UIsin (-90)= -UI= I2XC
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例 图为RC选频网络，求u1和u0同相位的条件及 解 设：Z1=R+jXC, Z2=R//jXC
＋
R
u1
－
jXC R
＋
jXC
uo
－
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9.3
正弦稳态电路的分析
电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
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结论
1. 引入相量法，电阻电路和正弦电流电路依据 的电路定律是相似的。 2. 引入电路的相量模型，把列写时域微分方 程转为直接列写相量形式的代数方程。 3.引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的所有 网络定理和分析方法都推广应用于正弦稳态 的相量分析中。直流（f =0)是一个特例。
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i t
o
出现瞬时电流大 于稳态电流现象
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9.4
+
正弦稳态电路的功率
无源 网络ຫໍສະໝຸດ 1. 瞬时功率 iu
_
第一种分解方法； 第二种分解方法。
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第一种分解方法： p u UIcos 恒定分量。
o
i
t
UIcos (2 t －) 为正弦分量。
p 有时为正, 有时为负； p>0, 电路吸收功率； p<0，电路发出功率；
R2 100 0.1F
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例2 图示电路对外呈现感性还是容性？
解1 等效阻抗为： －j6 3 5 j4
3
电路对外呈现容性
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解2
用相量图求解，取电感电流为参考相量： 3 －j6
＋
I
－
－ j4 5 － 3
＋
电压滞后于电流，电路 对外呈现容性。
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6. 任意阻抗的功率计算 i + u Z
L’
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注意
①一端口N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、结 构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下， 其每一部分都是频率的函数，随频率而变； ②一端口N0中如不含受控源，则有 或 但有受控源时，可能会出现 或 其实部将为负值，其等效电路要设定受控 源来表示实部；
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注意
+ L R4 R1 R2 C R3 _
S U
R4
+ R1
R2
R3
解
回路方程
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_
+
R1
R2
R4
结点方程
R3
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例3
Z2 Z1 Z3 Z Z1Z3 + Z2 Z
解 方法1：电源变换
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方法2：戴维宁等效变换
Z2
Z1 求开路电压： 求等效电阻： Z3
②导纳的并联
+ Y1 － Y2 Yn
+
Y
-
Y Yk (Gk jBk )
k 1 k 1
n
n
分流公式
Yi Ii I Y
两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：
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例1 求图示电路的等效阻抗， ＝105rad/s 。
解 感抗和容抗为： R1
30 1mH
+
z
R + 返 回 上 页 下 页
UX
等效电路 + -
j Leq
（3）L<1/C，
X<0， z <0，电路为容性，
R + -
电压落后电流。 U U 2 U 2 U 2 (U U )2 R X R C L
z
UX 等效电路
+ + -
（4）L=1/C ，X=0，
z=0，电路为电阻性，
电流落后电压；
y
I I I I ( I L IC )
2 G 2 B 2 G
2
返 回
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等效电路
+
R
（4）C=1/L，B=0， y
j Leg
=0，电路为电阻性，
电流与电压同相。 等效电路 + + -
R
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5. 复阻抗和复导纳的等效互换
Z R jX Y G jB
Y—复导纳；|Y| —复导纳的模；y—导纳角； G —电导(导纳的实部)；B —电纳(导纳的虚部)； 转换关系：
或
G=|Y|cos y
B=|Y|sin y
|Y|
导纳三角形
y
B
G
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分析 R、L、C 并联电路得出：
（1）Y=G+j(C-1/L)=|Y|∠y为复数，称复导纳； （2）C
z
R
X
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分析 R、L、C 串联电路得出：
（1）Z=R+j(L-1/C)=|Z|∠z 为复数，称复阻抗 （2）L
> 1/C ，X>0， z>0，电路为感性，
电压超前电流。 相量图：一般选电流为参考向量， i 0
电压 三角 形
2 2 2 U UR UX UR (U L U C )2
注意 一般情况G1/R ，B1/X。若Z为感
性，X>0，则 B<0，即仍为感性。
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同样，若由Y变为Z，则有：
Y G jB
Z
R
jX
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6rad/s时的等效并 RL 串联电路如图，求在 ＝ 10 例 联电路。 50 解 RL串联电路的阻抗为：
0.06mH
R’
解 用相量图分析
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例10 图示电路，
R1 + _ 解 + _
jXC jXL
R2
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例11 求RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。
解 应用三要素法： + R + L _
用相量法求正弦稳态解
_
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注意 过渡过程与接入时刻有关
i o t
直接进入稳定状态
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+
Zeq +
-
Z
-
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例4 求图示电路的戴维宁等效电路。
50 50 j300 + + _
+ 100
+ _
_ +
j300 _
_
解 求开路电压：
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+ 100 + _
_ + j300 _ 100 + _
求短路电流：
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例5 用叠加定理计算电流
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第二种分解方法：
UIcos (1-cos2 t) 为不可逆分量。
t
o UIsin sin2 t为 可逆分量。 部分能量在电源和一端口之间来回交换。
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2.平均功率 P
P UI cos φ
P 的单位：W（瓦）
=u-i：功率因数角。对无源网络，为
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则
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相量图
-3.4°
注意
UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
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3.导纳
+ -
正弦稳态情况下
无源 线性 网络
+
Y
-
I 定义导纳 Y | Y | φy S U
导纳模 导纳角
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对同一二端网络:
1 1 Z ,Y Y Z
正弦稳态情况下
Z
-
U Z | Z | φz I
阻抗模 阻抗角
欧姆定律的相 量形式
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当无源网络内为单个元件时有：
+
R
+ -
C
+
L
-
-
表明 Z 可以是实数，也可以是虚数。
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2. RLC串联电路
L + + uR - + uL - + uC u C i R R j L - + - + -
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例1 已知：
i2 R1 i1
+ u _ 解 i3 C R2 + _ Z1 求:各支路电流。 R1
R2
L
Z2
画出电路的相量模型
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R1 + _ Z1 R2
Z2
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R1 + R2 Z1
Z2
_
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例2
_
列写电路的回路电流方程和结点电压方程
Z1
Z3 解
Z2 +
-
Z1
Z3
Z2
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Z1
Z2 +
Z1
Z3
Z2 +
-
Z3
-
返 回
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例6
已知平衡电桥 Z1=R1 , Z2=R2 , Z3=R3+jL3。 求：Zx=Rx+jLx。
解 平衡条件：Z1 Z3= Z2 Zx 得：
|Z1|1 •|Z3|3 = |Z2|2 •|Zx|x |Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|
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3. 无功功率 Q
Q UI sin φ
def
单位：var (乏)。
Q>0，表示网络吸收无功功率； Q<0，表示网络发出无功功率。 Q
的大小反映网络与外电路交换功率的速率。 是由储能元件L、C的性质决定的
电气设备的容量
4. 视在功率S
S UI
def
单位 : VA (伏安)
当无源网络内为单个元件时有：
+ +
R
L
+
C
-
-
表明 Y 可以是实数，也可以是虚数。
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4. RLC并联电路
i
+ u
-
iR R L
iL C
iC
+ R jL
由KCL：
I 1 Y G jC j G jB Y y U L
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Z1
1 +3 = 2 +x
R1(R3+jL3)=R2(Rx+jLx)
Z2
∴ Rx=R1R3 /R2 , Lx=L3 R1/R2
Zx
Z3
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例7
+ _
已知：Z=10+j50 , Z1=400+j1000。 Z 解 Z1
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例8
已知：U=115V, U1=55.4V , U2=80V, R1=32 , f=50Hz。 求：线圈的电阻R2和电感L2 。
其等效阻抗的阻抗角。
cos ：功率因数。
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cos
1, 纯电阻 0， 纯电抗
一般地 , 有： 0cos1
X>0, >0 , 感性， X<0, <0 , 容性， 结论
平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有 功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电 压电流有效值有关，而且与 cos 有关，这是交 流和直流的很大区别 , 主要由于电压、电流存在 相位差。
第9章 正弦稳态电路的分析
本章重点
9.1 9.3 9.4 9.5 9.6 阻抗和导纳
正弦稳态电路的分析
正弦稳态电路的功率 复功率 最大功率传输
首页
重点： 1. 阻抗和导纳； 2. 正弦稳态电路的分析； 3. 正弦稳态电路的功率分析；
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9.1
1. 阻抗
+ def
阻抗和导纳
无源 线性 网络
+
③一端口N0的两种参数Z和Y具有同等效用，彼 此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换 条件为
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6. 阻抗（导纳）的串联和并联 ①阻抗的串联
Z1 + Z2 Zn
+
Z
－
-
Z Z k ( Rk jX k )
k 1 k 1
n
n
分压公式
解 方法一、 画相量图分析。
q
q2
_
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q
q2
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方法二、
+ + 其余步骤同解法一。 R1
_ R2
L2 _ +
_
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例9 移相桥电路。当R2由0时，
+ _ + + R1 R2 a b R1 + + b b
-
a 当R2=0，q 180； 当R2 ，q 0。
>1/L，B>0，y>0，电路为容性，
电流超前电压。 相量图：选电压为参考向量，
2 G 2 B
u 0
2 G 2
I I I I ( IC I L )
y
IB
注意
RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象
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等效电路
+
R -
（3）C<1/L，B<0，y<0，电路为感性，
+ + -
KVL：
U 1 Z R jL j R jX Z z I C
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Z — 复阻抗；|Z| —复阻抗的模；z —阻抗角； R —电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)。 转换关系：
或
R=|Z|cosz X=|Z|sinz
|Z| 阻抗三角形
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有功，无功，视在功率的关系：
P=UIcos 无功功率: Q=UIsin
有功功率: 视在功率: S=UI
单位：W 单位：var 单位：VA
S P Q
2
2
S
P
Q
功率三角形
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5. R、L、C元件的有功功率和无功功率
i
+ u i + u i + u -
PR =UIcos =UIcos0 =UI=I2R=U2/R R QR =UIsin =UIsin0 =0 PL=UIcos =UIcos90 =0 L QL =UIsin =UIsin90 =UI=I2XL PC=UIcos =UIcos(-90)=0 C QC =UIsin =UIsin (-90)= -UI= I2XC
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例 图为RC选频网络，求u1和u0同相位的条件及 解 设：Z1=R+jXC, Z2=R//jXC
＋
R
u1
－
jXC R
＋
jXC
uo
－
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9.3
正弦稳态电路的分析
电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
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结论
1. 引入相量法，电阻电路和正弦电流电路依据 的电路定律是相似的。 2. 引入电路的相量模型，把列写时域微分方 程转为直接列写相量形式的代数方程。 3.引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的所有 网络定理和分析方法都推广应用于正弦稳态 的相量分析中。直流（f =0)是一个特例。
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i t
o
出现瞬时电流大 于稳态电流现象
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9.4
+
正弦稳态电路的功率
无源 网络ຫໍສະໝຸດ 1. 瞬时功率 iu
_
第一种分解方法； 第二种分解方法。
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第一种分解方法： p u UIcos 恒定分量。
o
i
t
UIcos (2 t －) 为正弦分量。
p 有时为正, 有时为负； p>0, 电路吸收功率； p<0，电路发出功率；
R2 100 0.1F
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例2 图示电路对外呈现感性还是容性？
解1 等效阻抗为： －j6 3 5 j4
3
电路对外呈现容性
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解2
用相量图求解，取电感电流为参考相量： 3 －j6
＋
I
－
－ j4 5 － 3
＋
电压滞后于电流，电路 对外呈现容性。
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6. 任意阻抗的功率计算 i + u Z
L’
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注意
①一端口N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、结 构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下， 其每一部分都是频率的函数，随频率而变； ②一端口N0中如不含受控源，则有 或 但有受控源时，可能会出现 或 其实部将为负值，其等效电路要设定受控 源来表示实部；
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注意
+ L R4 R1 R2 C R3 _
S U
R4
+ R1
R2
R3
解
回路方程
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_
+
R1
R2
R4
结点方程
R3
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例3
Z2 Z1 Z3 Z Z1Z3 + Z2 Z
解 方法1：电源变换
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方法2：戴维宁等效变换
Z2
Z1 求开路电压： 求等效电阻： Z3
②导纳的并联
+ Y1 － Y2 Yn
+
Y
-
Y Yk (Gk jBk )
k 1 k 1
n
n
分流公式
Yi Ii I Y
两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：
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例1 求图示电路的等效阻抗， ＝105rad/s 。
解 感抗和容抗为： R1
30 1mH
+
z
R + 返 回 上 页 下 页
UX
等效电路 + -
j Leq
（3）L<1/C，
X<0， z <0，电路为容性，
R + -
电压落后电流。 U U 2 U 2 U 2 (U U )2 R X R C L
z
UX 等效电路
+ + -
（4）L=1/C ，X=0，
z=0，电路为电阻性，
电流落后电压；
y
I I I I ( I L IC )
2 G 2 B 2 G
2
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等效电路
+
R
（4）C=1/L，B=0， y
j Leg
=0，电路为电阻性，
电流与电压同相。 等效电路 + + -
R
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5. 复阻抗和复导纳的等效互换
Z R jX Y G jB
Y—复导纳；|Y| —复导纳的模；y—导纳角； G —电导(导纳的实部)；B —电纳(导纳的虚部)； 转换关系：
或
G=|Y|cos y
B=|Y|sin y
|Y|
导纳三角形
y
B
G
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分析 R、L、C 并联电路得出：
（1）Y=G+j(C-1/L)=|Y|∠y为复数，称复导纳； （2）C
z
R
X
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分析 R、L、C 串联电路得出：
（1）Z=R+j(L-1/C)=|Z|∠z 为复数，称复阻抗 （2）L
> 1/C ，X>0， z>0，电路为感性，
电压超前电流。 相量图：一般选电流为参考向量， i 0
电压 三角 形
2 2 2 U UR UX UR (U L U C )2
注意 一般情况G1/R ，B1/X。若Z为感
性，X>0，则 B<0，即仍为感性。
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同样，若由Y变为Z，则有：
Y G jB
Z
R
jX
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6rad/s时的等效并 RL 串联电路如图，求在 ＝ 10 例 联电路。 50 解 RL串联电路的阻抗为：
0.06mH
R’
解 用相量图分析
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例10 图示电路，
R1 + _ 解 + _
jXC jXL
R2
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例11 求RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。
解 应用三要素法： + R + L _
用相量法求正弦稳态解
_
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注意 过渡过程与接入时刻有关
i o t
直接进入稳定状态
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+
Zeq +
-
Z
-
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例4 求图示电路的戴维宁等效电路。
50 50 j300 + + _
+ 100
+ _
_ +
j300 _
_
解 求开路电压：
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+ 100 + _
_ + j300 _ 100 + _
求短路电流：
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例5 用叠加定理计算电流
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第二种分解方法：
UIcos (1-cos2 t) 为不可逆分量。
t
o UIsin sin2 t为 可逆分量。 部分能量在电源和一端口之间来回交换。
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2.平均功率 P
P UI cos φ
P 的单位：W（瓦）
=u-i：功率因数角。对无源网络，为
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则
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相量图
-3.4°
注意
UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
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3.导纳
+ -
正弦稳态情况下
无源 线性 网络
+
Y
-
I 定义导纳 Y | Y | φy S U
导纳模 导纳角
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对同一二端网络:
1 1 Z ,Y Y Z
正弦稳态情况下
Z
-
U Z | Z | φz I
阻抗模 阻抗角
欧姆定律的相 量形式
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当无源网络内为单个元件时有：
+
R
+ -
C
+
L
-
-
表明 Z 可以是实数，也可以是虚数。
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2. RLC串联电路
L + + uR - + uL - + uC u C i R R j L - + - + -
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例1 已知：
i2 R1 i1
+ u _ 解 i3 C R2 + _ Z1 求:各支路电流。 R1
R2
L
Z2
画出电路的相量模型
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R1 + _ Z1 R2
Z2
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R1 + R2 Z1
Z2
_
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例2
_
列写电路的回路电流方程和结点电压方程
Z1
Z3 解
Z2 +
-
Z1
Z3
Z2
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Z1
Z2 +
Z1
Z3
Z2 +
-
Z3
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例6
已知平衡电桥 Z1=R1 , Z2=R2 , Z3=R3+jL3。 求：Zx=Rx+jLx。
解 平衡条件：Z1 Z3= Z2 Zx 得：
|Z1|1 •|Z3|3 = |Z2|2 •|Zx|x |Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|
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3. 无功功率 Q
Q UI sin φ
def
单位：var (乏)。
Q>0，表示网络吸收无功功率； Q<0，表示网络发出无功功率。 Q
的大小反映网络与外电路交换功率的速率。 是由储能元件L、C的性质决定的
电气设备的容量
4. 视在功率S
S UI
def
单位 : VA (伏安)
当无源网络内为单个元件时有：
+ +
R
L
+
C
-
-
表明 Y 可以是实数，也可以是虚数。
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4. RLC并联电路
i
+ u
-
iR R L
iL C
iC
+ R jL
由KCL：
I 1 Y G jC j G jB Y y U L
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Z1
1 +3 = 2 +x
R1(R3+jL3)=R2(Rx+jLx)
Z2
∴ Rx=R1R3 /R2 , Lx=L3 R1/R2
Zx
Z3
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例7
+ _
已知：Z=10+j50 , Z1=400+j1000。 Z 解 Z1
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例8
已知：U=115V, U1=55.4V , U2=80V, R1=32 , f=50Hz。 求：线圈的电阻R2和电感L2 。
其等效阻抗的阻抗角。
cos ：功率因数。
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cos
1, 纯电阻 0， 纯电抗
一般地 , 有： 0cos1
X>0, >0 , 感性， X<0, <0 , 容性， 结论
平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有 功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电 压电流有效值有关，而且与 cos 有关，这是交 流和直流的很大区别 , 主要由于电压、电流存在 相位差。
第9章 正弦稳态电路的分析
本章重点
9.1 9.3 9.4 9.5 9.6 阻抗和导纳
正弦稳态电路的分析
正弦稳态电路的功率 复功率 最大功率传输
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重点： 1. 阻抗和导纳； 2. 正弦稳态电路的分析； 3. 正弦稳态电路的功率分析；
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9.1
1. 阻抗
+ def
阻抗和导纳
无源 线性 网络
+
③一端口N0的两种参数Z和Y具有同等效用，彼 此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换 条件为
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6. 阻抗（导纳）的串联和并联 ①阻抗的串联
Z1 + Z2 Zn
+
Z
－
-
Z Z k ( Rk jX k )
k 1 k 1
n
n
分压公式