人教版初中数学九年级数学上册第四单元《圆》测试(有答案解析)

一、选择题
1．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中6AB =，120AOC ∠=︒，P 为O 上的动点，连AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为（ ）
A ．37
B ．3272+
C ．237+
D ．33722+ 2．如图，在等边ABC 中，点O 在边AB 上，O 过点B 且分别与边AB BC 、相交于点D 、
E ，
F 是AC 上的点，判断下列说法错误的是（ ）
A ．若EF AC ⊥，则EF 是
O 的切线 B ．若EF 是
O 的切线，则EF AC ⊥ C ．若3BE EC =，则AC 是O 的切线 D ．若BE EC =，则AC 是O 的切线
3．如图，EM 经过圆心O ，EM CD ⊥于M ，若4CD =，6EM =，则CED 所在圆的半径为（ ）
A ．103
B ．83
C ．3
D ．4
4．如图，A 、B 、C 三点在O 上，D 是CB 延长线上的一点，40ABD ∠=︒，那么AOC ∠的度数为（ ）．
A ．80°
B ．70°
C ．50°
D ．40°
5．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，同勾中 容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步？”该问题的答案是（ ） A ．8.5 B ．17 C ．3 D ．6
6．如图△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝28°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，则AD 的度数为（ ）
A ．28°
B ．56 °
C ．62°
D ．112° 7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为BD 的中点．若50A ∠=︒，则B 的度数是（ ）
A ．50︒
B ．55︒
C ．60︒
D ．65︒ 8．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒ ，3AB = ，A ，B 的半径分别为2和1，P ，
E ，
F 分别是CD 边、A 和B 上的动点，则PE PF +的最小值是（ ）
A ．333-
B ．2
C ．3
D ．33 9．如图，⊙O 的直径2AB AM =，和BN 是它的两条切线，D
E 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ，则四边形ABCD 的面积S 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．2
D ．4
10．如图，⊙O 是四边形 ABCD 的内切圆，连接 OA 、OB 、OC 、OD ．若∠AOB ＝110°，则∠COD 的度数是（ ）
A ．60°
B ．70°
C ．80°
D ．45°
11．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在O 上，点D 在ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（ ）
A ．112.5°
B ．120°
C ．135°
D ．150° 12．在△ABC 中，∠ACB 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作弧BAC ，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S 1，S 2，两个弓形面积分别
为S 3，S 4，S 1-S 2=14π，则S 3-S 4的值是( )
A ．294π
B ．234π
C ．114π
D ．5
4
π 二、填空题
13．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，若OA=2，∠P=60°，则AB 的长为________
14．已知ABC 的周长为30，面积为20，其内角平分线交于点O ，则点O 到边BC 的距离为________．
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,,A B C 的坐标分别是(0,),(22,0),()4,0,M
是ABC ∆的外接圆，则圆心M 的坐标为__________________，M 的半径为
_______________________．
16．在直径为10cm 的⊙O 中，弦AB=5cm ，则∠AOB 的度数为_______．
17．如图，A 是半径为1的O 外一点，2OA =，AB 是O 的切线，点B 是切点，弦//BC OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为________．
18．如图，在扇形AOB 中90AOB ∠=︒，正方形CDEF 的顶点C 是AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为________．
19．如图，MN 是O 的直径，2MN =，点A 在O 上，30AMN ∠=︒，B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA PB +的最小值为_______．
20．在半径为4cm 的圆中，长为4cm 的弦所对的圆周角的度数为________
三、解答题
21．如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD CE =．
（1）求证：BE ＝CE ；
（2）若∠B ＝50°，求∠AOC 的度数．
22．如图，在Rt △OAB 中，∠OAB =90°，且点B 的坐标为（4，2）．
（1）画出△OAB 关于绕着点O 逆时针旋转180°得到的△OA 1B 1，并写出点B 1的坐标； （2）点A 旋转到点A 1所经过的路径长为__________（结果保留π）．
23．如图，AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CD AB ⊥，垂足为E ．1CE =，3ED =．
（1）求O 的半径．
（2）求AB 的长．
24．如图，已知A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上．
（1）若∠ABC=120°，求∠AOC 的度数；
（2）在（1）的条件下，若点B 是弧AC 的中点，求证：四边形OABC 为菱形．
25．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB AC =，BD AC ⊥，垂足为E ．
（1）若40BAC ∠=︒，求ADC ∠的度数；
（2）求证：2BAC DAC ∠=∠．
26．如图，AB ，AC 是⊙O 的弦，过点C 作CE AB ⊥于点D ，交⊙O 于点E ，过点B 作BF AC ⊥于点F ，交CE 于点G ，连接BE ．
（1）求证：BE BG =；
（2）过点B 作BH AB ⊥交⊙O 于点H ，若BE 的长等于半径，4BH =，43AC =，求CD 的长．
参考答案
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
如图，连接OQ ，作CH ⊥AB 于H ．首先证明点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大，利用勾股定理求出CK 即可解决问题；
【详解】
如图，连接OQ ，作CH ⊥AB 于H ．
∵AQ ＝QP ，
∴OQ ⊥PA ，
∴∠AQO ＝90°，
∴点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，
当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大,
∵120AOC ∠=︒∴∠COH ＝60°
在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC=1
2
AB=3，
∴OH＝1
2OC＝
3
2
，CH＝22
33
2
OC OH
+=，
在Rt△CKH中，CK＝
2
2
33
3
2
⎛⎫
+=
⎪
⎪
⎝⎭
3
7
2
，
∴CQ的最大值为337
22
+，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
2．D
解析：D
【分析】
A、如图1，连接OE，根据同圆的半径相等得到OB=OE，根据等边三角形的性质得到
∠BOE=∠BAC，求得OE∥AC，于是得到A选项正确；B、由于EF是⊙O的切线，得到OE⊥EF，根据平行线的性质得到B选项正确；C、根据等边三角形的性质和圆的性质得到
AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，根据三角函数得到OH=
3
2
AO≠OB，于是得到C选
项正确；由于C正确，D自然就错误了．【详解】
解：A、如图，连接OE，
则OB=OE，
∵∠B=60°
∴∠BOE=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOE=∠BAC，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
∴A选项正确
B、∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
由A知：OE∥AC，
∴AC⊥EF，
∴B选项正确；
C、如图，∵BE=
，
2
∴BE，
∵AB=BC，BO=BE，
∴OB，
∴，
∴AC是⊙O的切线，
∴C选项正确．
D、∵∠B=60°，OB=OE，
∴BE=OB，
∵BE=CE，
∴BC=AB=2BO，
∴AO=OB，
如图，过O作OH⊥AC于H，
∵∠BAC=60°，
∴OH=
AO≠OB，
2
∴D选项错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．A
解析：A
【分析】
如图，连接OD，设半径为r，则OM=6-r;再由垂径定理求出MD的长，然后根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：如图，连接OD，设半径为r，则OM=6-r
∵EM CD ⊥
∴MD=12
CD=2 在Rt △MOD 中，OD=r ，OM=6-r ，MD=2 ∴222OM MD OD +=,即()22262r r -+=，解得r=
103． 故答案为A ．
【点睛】
本题考查了圆的垂径定理和勾股定理，根据垂径定理求得MD 的长是解答本题的关键． 4．A
解析：A
【分析】
作弧ABC 所对的圆周角∠AEC ，如图，先利用邻补角计算出∠ABC=140°，再利用圆内接四边形的性质计算出∠E=40°，然后根据圆周角定理得到∠AOC 的度数．
【详解】
解：作弧ABC 所对的圆周角∠AEC ，
∵∠ABD=40°，
∴∠ABC=180°-40°=140°，
∵∠AEC+∠ABC=180°，
∴∠E=40°，
∴∠AOC=2∠AEC=2×40°=80°．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形对角互补，以及圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
解析：D
【分析】
先根据勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形内切圆半径公式求出半径，从而得到直径．
【详解】
解：根据勾股定理，斜边是22
81517
+=，
直角三角形的内切圆半径
81517
3
2
+-
==，
∴直径是6．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形的内切圆，解题的关键是掌握直角三角形内切圆半径的求解方法．
6．B
解析：B
【分析】
连接CD，如图，利用互余计算出∠A=62°，则∠A=∠ADC=62°，再根据三角形内角和定理计算出∠ACD=56°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【详解】
解：连接CD，如图，
∵∠C=90°，∠B=28°，
∴∠A=90°-28°=62°，
∵CA=CD，
∴∠A=∠ADC=62°，
∴∠ACD=180°-2×62°=56°
∴AD的度数为56°；
故选：B．
【点睛】
本题考查了同圆的半径相等、直角三角形的两锐角互余、等腰三角形的性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．
解析：D
【分析】
连接AC，根据圆心角、弧、弦的关系求出∠BAC，根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：连接AC，
∵点C为BD的中点，
∠BAD=25°，
∴∠BAC=1
2
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠BAC=65°，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
的最小值，进而求解即可．利用菱形的性质及相切两圆的性质得出P与D重合时PE PF
【详解】
解：作点A关于直线CD的对称点A´，连接BD，DA´，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∵∠BDC=∠ADB=60°，
∴∠ADN =60°，
∴∠A´DN=60°，
∴∠ADB+∠ADA´=180°，
∴A´，D，B在一条直线上，
+最小，
由此可得：当点P和点D重合，E点在AD上，F点在BD上，此时PE PF
∵在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD，
则△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=AD=3，
∵⊙A，⊙B的半径分别为2和1，
∴PE=1，DF=2，
+的最小值为3．
∴PE PF
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系等知识．根据题意得出点P位置是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
由切线的性质得到AM、BN与AB垂直，过点D作DF⊥BC于F，，构造一个直角三角形DFC，再由切线长定理和勾股定理列方程，得出关于y的函数关系式，根据直角梯形的面积公式求解．
【详解】
∵AB是直径，AM、BN是切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN．
过点D作DF⊥BC于F，则AB∥DF．
∴四边形ABFD为矩形．
∴DF ＝AB ＝2，BF ＝AD ．
∵DE 、DA ，CE 、CB 都是切线，
∴根据切线长定理，设DE ＝DA ＝x ，CE ＝CB ＝y ．
在Rt △DFC 中，DF ＝2，DC ＝DE +CE ＝x +y ，CF ＝BC ﹣BF ＝y ﹣x ，
∴（x +y ）2＝22+（y ﹣x ）2，
∴y ＝1x
， ∴四边形的面积S ＝
12AB （AD +BC ）＝12×2×（x +1x ），即S ＝x +1x （x ＞0）． ∵
（x +
1
x ）﹣2＝x ﹣2+1x 2≥0，当且仅当x ＝1时，等号成立． ∴x +1x
≥2，即S ≥2， ∴四边形ABCD 的面积S 的最小值为2．
故选：C ．
【点睛】
考查了切线的性质、平行线的判定、矩形的性质和勾股定理，解题关键是作出辅助线． 10．B
解析：B
【分析】
设四个切点分别为E 、F 、G 、H ，分别连接切点和圆心，利用切线性质和HL 定理可以得到4对全等三角形，进而可得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，根据8个角之和为360°即可求解．
【详解】
解：设四个切点分别为E 、F 、G 、H ，分别连接切点和圆心，
则OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，OG ⊥CD ，OH ⊥AD ，OE=OF=OG=OH ，
在Rt △BEO 和△BFO 中，
OE OF OB OB =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △BEO ≌△BFO （HL ）
∴∠1=∠2，
同理可得：∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，
∴∠1+∠8=∠2+∠7，∠4+∠5=∠3+∠6，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°，
∴∠1+∠8+∠4+∠5=180°，
即∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=110°，
∴∠COD=180°﹣∠AOB=180°﹣110°=70°，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了圆的切线性质、全等三角形的判定与性质，利用圆的的切线性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
11．C
解析：C
【分析】
延长DO 交AB 于点H ，连接OB ，证明△△AOD BOD ≅，OD 是AOB ∠的角平分线，求得290345∠=︒-∠=︒，进行求解即可；
【详解】
延长DO 交AB 于点H ，连接OB ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，45C ∠=︒，
∴345∠=︒，
∵DA DB =，OA OB =，
∴△△AOD BOD ≅，
∴OD 是AOB ∠的角平分线，
又∵AO BO =，
∴DH AB ⊥，
∴290345∠=︒-∠=︒，
又∵221∠=∠，
∴18045135AOD ∠=︒-︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了与圆有关的计算，结合全等三角形的性质和角平分线的性质计算即可． 12．D
解析：D
【分析】
根据AB 和AC 的长和圆的面积公式可求得S 1+S 3，S 2+S 4的值，然后再两值相减即可得出结论．
【详解】
解：∵AB=4，AC=2，
∴S 1+S 3=2π，S 2+S 4=2π， ∴（S 1+S 3）﹣（S 2+S 4）=（S 1﹣S 2）+（S 3﹣S 4）=
32π ∵S 1-S 2=
14
π， ∴S 3-S 4= 32π﹣14
π= 54π， 故选：D ．
【点睛】 本题考查了圆的面积，正确表示出S 1+S 3，S 2+S 4的值是解答的关键．
二、填空题
13．【分析】连接AB 并延长BO 交圆于C 连接ACPAPB 是⊙O 的切线由切线长定理知PA=PB ；又∠P=60°则等腰三角形APB 是等边三角形则有∠ABP=60°BC 是直径；由直径对的圆周角是直角得∠PBC=
解析：23
【分析】
连接AB ，并延长BO 交圆于C ，连接AC ，PA 、PB 是⊙O 的切线，由切线长定理知PA=PB ；又∠P=60°，则等腰三角形APB 是等边三角形，则有∠ABP=60°，BC 是直径；由直径对的圆周角是直角得∠PBC=90°，则在Rt △ABC 中，有∠ABC=30°，进而可知AB 的长．
【详解】
解：连接AB ，并延长BO 交圆于C ，连接AC ，
∵PA 、PB 是⊙O 的切线，
∴PA=PB ，
又∵∠P=60°，
∴∠PBA=60°；
又∵BC是圆的直径，∴CB⊥PB，∠BAC=90°，∴∠ABC=30°，
而BC=4，
∴在Rt△ABC中，cos30°=AB BC
，
∴AB=4×3=23．
故答案为：23
【点睛】
本题利用了切线长定理，等边三角形的判定和性质，弦切角定理，直角三角形的性质，正弦的概念求解．注意本题的解法不唯一．掌握相关知识是解题的关键．
14．【分析】过O作OD⊥BC于DOE⊥AB于EOF⊥AC于F连接OAOBOC根据三角形的内心和角平分线的性质得出OE=OD=OF再根据三角形的面积公式求出即可【详解】如图过O作OD⊥BC于DOE⊥AB于
解析：4 3
【分析】
过O作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB、OC，根据三角形的内心和角平分线的性质得出OE=OD=OF，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
如图，过O作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB、OC，
∵O是△ABC内角平分线的交点，
∴OE=OF=OD，
∵△ABC的面积是20，
∴S△AOB+S△BOC+S△AOC=20，
∴111
AB OE BC OD
222
⨯⨯+⨯⨯+×AC×OF=20，
∴(AB+BC+AC)×OD=40，
∵△ABC的周长为30，
∴AB+BC+AC=30，
∴OD=404
303
=，
∴即O到BC的距离是4
3
，
故答案为：4
3
．
【点睛】
本题考查了三角形的内心，角平分线的性质和三角形的面积等知识点，能求出OD=OE=OF 是解此题的关键．
15．【分析】M点为BC和AB的垂直平分线的交点利用点ABC坐标易得BC的垂直平分线为直线x=3AB的垂直平分线为直线y=x从而得到M点的坐标然后计算MB得到⊙M的半径【详解】解：∵点ABC的坐标分别是（
解析：()
3,3
【分析】
M点为BC和AB的垂直平分线的交点，利用点A、B、C坐标易得BC的垂直平分线为直线x=3，AB的垂直平分线为直线y=x，从而得到M点的坐标，然后计算MB得到⊙M的半径．
【详解】
解：∵点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），
∴BC的垂直平分线为直线x=3，
∵OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x，
∵直线x=3与直线y=x的交点为M点，
∴M点的坐标为（3，3），
∵
MB==
∴⊙M．
故答案为（3，3．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了坐标与图形的性质．
16．60°【分析】如图连接OAOB根据等边三角形的性质求出∠AOB的度数【详解】解：如图在⊙O中直径为10cm弦
AB=5cm∴OA=OB=5cm∴OA=OB=AB∴△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°
解析：60°
【分析】
如图，连接OA、OB，根据等边三角形的性质，求出∠AOB的度数.
【详解】
解：如图，在⊙O 中，直径为10cm ，弦AB=5cm ，
∴OA=OB=5cm ，，
∴OA=OB=AB
∴△OAB 是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故答案为：60°．
【点睛】
考查了圆的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握运算性质定理是解题的关键. 17．【分析】连接OCOB 易证△OAB 为等边三角形由BC ∥OA 得S △OCB ＝S △ACB 把阴影部分的面积转化为扇形OBC 的面积【详解】连接OCOB ∵是的切线∴OB ⊥AB 在Rt △OBA 中∵OB=1OA=2∴∠ 解析：6π
【分析】
连接OC ，OB ，易证△OAB 为等边三角形，由BC ∥OA ，得S △OCB ＝S △ACB ，把阴影部分的面积转化为扇形OBC 的面积．
【详解】
连接OC ，OB
∵AB 是O 的切线
∴OB ⊥AB
在Rt △OBA 中
∵OB=1，OA=2
∴∠AOB=60°
又∵//BC OA
∴∠OBC=60°
∵OB=OC
∴△OAB 为等边三角形
又∵BC ∥OA ∴S △OCB ＝S △ACB
∴S 阴＝S 扇形OBC =2601360
π⨯⨯ =6π
故答案为：6
π 【点睛】 本题考查扇形面积的求解，将不规则图形转化成规则的扇形是解题的关键．
18．【分析】连结OC 根据勾股定理可求OC 的长根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-三角形ODC 的面积依此列式计算即可求解【详解】连接如图∵在扇形中又故答案为：【点睛】考查了正方形的性质和扇形面
解析：24π-
【分析】
连结OC ，根据勾股定理可求OC 的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-三角形ODC 的面积，依此列式计算即可求解．
【详解】
连接OC ，如图，
∵在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，AC BC =，
45COD ∴∠=︒，
又CD DE ⊥，
45OCD COD ∴∠=∠=︒，
22OD CD ∴==
22(22)(22)4OC ∴=+=，
224541(22)243602ODC BOC S S S
ππ⨯∴=-=-⨯=-阴影扇形． 故答案为：24π-．
【点睛】
考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度． 19．【分析】作点A 的对称点根据中位线可知最小时P 正好在上在根据圆周角定理和等弧所对圆心角相等求得再利用勾股定理即可求解【详解】如图作点关于的垂线交圆与连接交于点连接则此时的值最小∵∴∵点是的中点∴∵关于
解析：2
【分析】
作点A 的对称点，根据中位线可知PA PA =' ，PA PB +最小时P 正好在A B '上，在根据圆周角定理和等弧所对圆心角相等求得90AOB ∠'=︒，再利用勾股定理即可求解．
【详解】
如图，作点A 关于MN 的垂线交圆与A ' ，
连接A B ' 交MN 于点P ，连接AP OB OA OA '、、、 ，
则此时AP BP + 的值最小A B =' ，
∵30AMN ∠=︒，
∴60AON ∠=︒，
∵点B 是AN 的中点，
∴30BON ∠=︒ ，
∵A A '、 关于MN 对称，
∴60AON AON ∠'=∠=︒，
∴306090AOB ∠'=︒+︒=︒，
又∵112122
OA OB MN '==
=⨯=， 在RT A OB '△中 ∴221+1=2A B '=AP BP + 的值最小2 2．
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理、垂直平分线定理、勾股定理等．在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．本题是与圆有关的将军饮马模型． 20．或【分析】首先根据题意画出图形然后在优弧上取点C 连接ACBC 在劣弧上取点D 连接ADBD 易得是等边三角形再利用圆周角定理即可得出答案【详解】解：如图在优弧上取点C 连接ACBC 在劣弧上取点D 连接ADBD 解析：30或150︒
【分析】
首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点C ，连接AC 、BC ，在劣弧上取点D ，连接AD 、
BD ，易得OAB 是等边三角形，再利用圆周角定理，即可得出答案．
【详解】
解：如图，在优弧上取点C ，连接AC 、BC ，
在劣弧上取点D ，连接AD 、BD ，
4,4OA OB cm AB cm OA OB AB
===∴== OAB ∴是等边三角形，
60
1302
180150AOB C AOB D C ∴∠=︒
∴∠=∠=︒∴∠=︒-∠=︒
∴所对的圆周角度数为：30或150︒
故答案为：30或150︒．
【点睛】
本题考查圆周角定理及等边三角形的判定与性质，注意两种情况．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）20°
【分析】
（1）根据∠AOD=∠BOE 可知AD
BE ，再由AD CE =即可得出结论； （2）先根据等腰三角形的性质求出∠BOE 的度数，再由BE=CE 可得出∠BOE=∠COE ，根据补角的定义即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：∵∠AOD=∠BOE ，
∴AD BE ．
∵AD CE =，
∴BE CE =，
∴BE=CE ；
（2）∵∠B=50°，OB=OE ，
∴∠BOE=180°-50°-50°=80°．
∵由（1）知，BE=CE ，
∴∠COE=∠BOE=80°，
∴∠AOC=180°-80°-80°=20°．
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解答此题的关键． 22．（1）作图见解析，B 1（-4，-2）；（2）4π．
【分析】
（1）将点A 和点B 分别绕点O 逆时针旋转90°后所得对应点，再顺次连接即可得； （2）根据弧长公式计算可得．
【详解】
解：（1）∴△OA 1B 1即为所求作三角形，
如图，点B 1（-4，-2）．
（2）∵OA ＝4，∠1AOA ＝180°，
∴点A 旋转到点A 1所经过的路径长为
1804180
π⋅=4π． 【点睛】
本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点，及弧长公式．
23．（1）2；（2）23
【分析】
（1）求出CD ，即可得出答案；
（2）求出OA 、OE ，根据勾股定理求出AE ，根据垂径定理求出AB=2AE ，即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵CE=1，ED=3，
∴CD=CE+DE=4，
∴⊙O 的半径为2；
（2）∵直径CD ⊥AB ，
∴AB=2AE ，∠OEA=90°，
连接OA，
则OA=OC=2，OE=OC-CE=2-1=1，
在Rt△OEA中，由勾股定理得：AE=2222
-=-=，
OA OE
213
∴AB=2AE=23．
【点睛】
本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，能根据垂径定理求出AB=2AE是解此题的关键．24．（1）∠AOC=120°；（2）见解析
【分析】
（1）先由圆内接四边形的性质得∠ADC=60°，再由圆周角定理即可得出答案；
（2）证△OAB和△OBC都是等边三角形，则AB=OA=OC=BC，根据菱形的判定方法即可得到结论．
【详解】
（1）∵A、B、C、D四点都在⊙O上
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠ADC=60°，
∴∠AOC=2∠ADC=120°；
（2）连接OB，如图所示：
∵点B是弧AC的中点，∠AOC=l20°，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAB和△OBC都是等边三角形，
∴AB=OA=OC=BC，
∴四边形OABC是菱形．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆
中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定． 25．（1）110ADC ∠=︒；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】
（1）解：AB AC =，40BAC ∠=︒，
70ABC ACB ∴∠=∠=︒，
四边形ABCD 是O 的内接四边形，
180110ADC BAC ∴∠=︒-∠=︒，
（2）证明：
BD AC ⊥，
90AEB BEC ∴∠=∠=︒，
90ACB CBD ∴∠=︒-∠，
AB AC =，
90ABC ACB CBD ∴∠=∠=︒-∠，
18022BAC ABC CBD ∴∠=︒-∠=∠，
DAC CBD ∠=∠，
2BAC DAC ∠=∠∴；
【点睛】 本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）6．
【分析】
（1）根据圆周角定理得到BAC BEC ∠=∠，根据直角三角形的性质、对顶角相等得到BEC BGE ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）连接OB 、OE 、AE 、CH ，根据平行四边形的判定和性质得到4CG BH ==，根据等边三角形的性质得到60BOE ∠=︒，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【详解】
（1）证明：由圆周角定理得，BAC BEC ∠=∠，
CE AB ⊥，BF AC ⊥，
90ADC GFC ∴∠=∠=︒，
CGF BAC ∴∠=∠，
BEC CGF ∴∠=∠，
BGE CGF ∠=∠，
BEC BGE ∴∠=∠，
BE BG ∴=；
（2）解：连接OB 、OE 、AE 、CH ，
BH AB ⊥，CE AB ⊥
//BH CE ∴，
四边形ABHC 是O 的内接四边形，
90ACH ABH ∴∠=∠=︒，
//BF CH ∴，
∴四边形CGBH 为平行四边形，
4CG BH ∴==，
OE OB BE ==，
BOE ∴∆为等边三角形，
60BOE ∴∠=︒，
1302
BAE BOE ∴∠=∠=︒， 12
DE AE ∴=， 设DE x =，则2AE x =， 由勾股定理得，223AD AE DE x =-=，
BE BG =，AB CD ⊥，
DG DE x ∴==，
4CD x ∴=+，
在Rt ADC ∆中，222AD CD AC +=，即)()(22
23434x x ++=， 化简得：2280x x +-=
解得，12x =，240x =-<（舍去）
则24=6CD =+．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质，灵活运用圆周角定理是解题的关键．。