电路理论(第三章)09y
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电源极性与绕行方 向相反取“+”
(∑ Rk ik=∑ uSk)
与绕行方向 一致取“+” ∑ ik=0
(4) 求解上述方程，得到b个支路电流； (5) 其它分析。
支路电流分析法的特点： 支路电流法是最基本的方法，在方程数目不多的 情况下可以使用。由于支路法要同时列写 KCL和KVL 方程， 所以方程数较多，且规律性不强(相对于后面的 方法)，手工求解比较繁琐，也不便于计算机编程求解。
电路理论
主讲 骆建
第三章 网络分析的一般方法
(General Techniques of Network Analysis)
主讲
开课单位：电气与电子工程学院电工教学基地
骆建
1
2
第三章
网络分析的一般方法
3.1 支路电流分析法 3.2 节点电压分析法 3.3 回路电流分析法
了解支路电流分析法 重点掌握回路（电流）分析法 重点掌握节点（电压）分析法
1 2 6
VCR代入 KVL中
− uS 1 + R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 − R3 i3 + R4 i4 + R5 i5 + R5 i S 5 = 0
b-(n–1)=6-3=3
i6 R6
+ u6 – R4 i4 i2 R2 3 – ① + u2 – ② + u4 – R1 + u1 + 1 R3 u3 2 R5 uS1 – i3 + – i1 0
Gii —自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之 和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。 Gij = Gji—互电导，等于接在节点i与节点j之间的所
3
4
3-1 支路电流分析法 (branch current method )
目的：找出一般(对任何线性电路均适用)的求解线性网络的 系统方法(易于计算机编程序求解) 。 对象：含独立源、受控源的电阻网络的直流稳态解。 应用：主要用于复杂的线性电路的求解。 元件特性(约束) (对电阻电路，即欧姆定律) 基础： 电路性质 结构(约束)(KCL，KVL) 特点：不改变电路的结构，直接根据已知电路列写方程。 复杂电路的分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电 流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分 为支路法、回路分析法和节点分析法。
3-2-1
节点电压方程
以节点电压为未知量 节点电压的独立方程数为 (n-1)。与支路电流法相比， 方程数可减少b-(n-1)个。
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0
20
iS6 u1 = un1 − u0 = un1 = R1 i1 + R1 i S 1 u2 = un 2 − u0 = un 2 = R2 i2 R6 u3 = un 3 − u0 = un 3 = R3 i3 + uS 3 i6 R4 i ② R5 i5 ① 4 ③ u4 = un1 − un 2 = R4 i4 i1 i3 u5 = un 2 − un 3 = R5 i5 i2 i R3 u6 = un1 − un 3 = R6 i6 − R6 i S 6S1 R2 + R1 u u _ S3 i1 = n1 − i S 1 = G1 un1 − i S 1 R1 0 u i2 = n 2 = G2 un 2 u − un 3 i5 = n 2 = G5 ( un 2 − un 3 ) R2 R5 u − uS 3 i3 = n 3 = G3 ( un 3 − uS 3 ) i = un1 − un 3 + i = G ( u − u ) + i 6 S6 6 n1 n3 S6 R3 R6 u − un 2 i 4 = n1 = G4 ( un1 − un 2 ) R4
验证功率守恒：
P发=715 W P发= P吸
R1I1–R2I2=US1–US2 R2I2+R3I3= US2
I1–0.6I2=130–117=13 0.6I2+24I3= 117
11
PR 1吸=R1I12=100 W PR 2吸=R2I22=15 W PR 3吸=R3I32=600 W P吸=715 W
− R2 i2 − R4 i4 + R6 i6 = 0
习惯将电源移到等式右端
R1 i1 + R2 i 2 + R3 i 3 = uS 1
− R3 i3 + R4 i4 + R5 i5 = − R5 i S 5
支路 电流 方程
− R2 i2 − R4 i4 + R6 i6 = 0
− i1 − i2 − i6 = 0
支路 电压 与节 点电 压关 系
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( G1 + G4 + G6 )un1 − G4 un 2 − G6 un 3 = i S 1 − i S 6 − G4 un1 + ( G2 + G4 + G5 )un 2 − G5 un 3 = 0 − G6 un1 − G5 un 2 + ( G3 + G5 + G6 )un 3 = G3 us 3 + i S 6
u1 + u2 + u3 = 0 KVL： − u3 + u4 + u5 = 0 − u2 − u4 + u6 = 0 u1 = R1 i1 − uS 1 u2 = R2 i 2 ③ + u3 = R3 i 3 iS5 VCR: u4 = R4 i4 u5 u5 = R5 i5 + R5 i S 5 i5 – u6 = R6 i6
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3
3. 2 节点电压分析法 (node voltage method)
基本思想：以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。 节点电压求得后。则各支路电压、支路电流可用节 点电压来求出。 在列取以节点电压为未知量 KCL 时，应用了全部支路 电压与节点电压关系， 即KVL自动满足。则节点电压法不 必再列KVL方程，只需对独立节点列写KCL方程。
9 10
例1.
US1=130V, US2=117V, R1=1Ω, R2=0.6Ω, R3=24Ω.
(3) 联立求解
–I1–I2+I3=0 I1–0.6I2=130–117=13 I1=10 A I2= –5 A I3= 5 A I1 R1 US1
a
I1 R1 US1 I2 R2 1 + US2 – I3
5 6
基本思想：以支路电流为未知量，列写独立的KCL和KVL方程
3-1-1
推导支路电流方程：
支路电流方程
相互独立
举例说明： 支路电流与支路电压取关联方向，电流源与电阻 并联等效为电压源与电阻的串联。
1
(n–1)=4-1=3
KCL:
i −i −i = 0
− i2 + i3 + i4 = 0 − i4 + i5 − i6 = 0
b i'5= i5- i6
α R5 i1
KCL方程： -i1- i2+ i3 + i4=0 (1) -i3- i4+ i’5 =0 (2)
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KVL方程：
R4 i4 i1 R1 uS + – c a i2 1R2 + 3 R3 + u2 2 – R5
3-1-3
方法：
网络含无伴电源电路的处理
µ u2
− i 2 + i 3 + i4 = 0 − i4 + i5 − i6 = 0
7
8
支路电流分析法的一般步骤： 支路电流方程标准式：
(1) 标定各支路电流、电压的参考方向； (2) 选定(n–1)个节点，列写其KCL方程； (3) 选定b–(n–1)个独立回路，指定绕行方向，列 写其KVL方程； (元件特性代入) （观察法）
求各支路电流及电压源 各自发出的功率3
0.6I2+24I3= 117 (4) 功率分析
+ –
US2
a I2 R2 + – b
I3 R3
b
解 (1) n–1=1个KCL方程：
节点a：–I1–I2+I3=0 ∑ (2) b–( n–1)=2个KVL方程： U=∑US
PU S1发=US1I1=130×10=1300 W PU S2发=US2I2=117×(–5)=–585 W
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2
3-1-2
方法：
含受控电源电路的支路电流方程
先将受控电源视作独立电源，按上节的方法列出 支路电流方程，然后把用支路电流表示的受控电源移 到方程的左边。
例2. 列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。 R4 µ u2 + – µ u2 R4 + – i4 i4 3 3 i3 R3 i3 b i6 R3 a a i1 i2 + i1 i2 i5 + R1 + R1 – 1R2 u2 2 α i1 u + R5 R 4 R5 S – + 1 2 u2 2 uS – – c – c 解：
un1un2un321i1i6i5i4i3r3i20us3is16r1r2r6r5is6r4支路电压与节点电压关系???011uuuuuun11111sniriru022n222irunu033uuun3333snuiri4u4421ruunn???5u5532iruunn6u66631snniriruu?1111111snsniugiruui??22222nnugruiuugruisnsn3333333??uugruuinnnn2144214??uugr?uuinnnn3255u325??631666316snnsnniuugirui?226136241641ssnnniiuguguggg???uu0g35254214?gg???nnnuguugggggg63336532516ssnnniuugg11g1g4g6节点1的自电导g22g2g4g5节点2的自电导g12g21g4节点1与节点2之间的互电导不含受控源g33g3g5g6节点3的自电导g13g31g6节点1与节点3之间的互电导不含受控源g23g32g5节点2与节点3之间的互电导不含受控源isn1is1is6流入节点1的电流源电流的代数和
i3
–
+
b i'5= i5- i6
R1i1- R2i2= uS (3) R2i2+ R3i3 +R5i’5= -α R5 i1 (4) -R3i3+R4i4= -µu2 (5)
补充方程：
1、增设末知量——电流源端电电压。 2、选取独立回路时，使无伴电流源支路只属于某一 独立回路,则无需列写其KVL方程。
– α R5 i1
i6= αi1 u2= -R2i2
(6) (7)
整理为： -i1- i2+ i3 + i4=0 (1) -i3- i4+ i’5 =0 (2)
R1i1- R2i2= uS (3) α R5 i1 +R2i2+ R3i3 +R5i’5= 0 (4) -µ R2i2 -R3i3+R4i4= 0 (5)
节点电压：选择参考节点后，其余节点对参考节点的电压。节 点电压也是一种假想的电压。表示为：unj
iS6 R6 i6 iS1
① R4 i4 ② R5 i5 ③ i1 i3 i2 R3 R2 + R1 u _ S3
un1
un2
un3
推导节点电压方程：
i1 + i4 + i6 = 0 KCL： i2 − i4 + i5 = 0 i3 − i5 − i6 = 0
G11=G1+G4+G6—节点1的自电导 G22=G2+G4+G5 —节点2的自电导 G33=G3+G5+G6 —节点3的自电导 G12=G21=-G4—节点1与节点2之间的互电导(不含受控源） G13=G31=-G6—节点1与节点3之间的互电导(不含受控源） G23=G32=-G5—节点2与节点3之间的互电导(不含受控源） iSn1=iS1-iS6—流入节点1的电流源电流的代数和。 iSn2=0 —流入节点2的电流源电流的代数和。 iSn3=G3uS3+i S6—流入节点3的电流源电流的代数和。
6 1
u2= R2i2
(8)
去掉方程(6)。
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例4. 列写如图电路的支路电流方程(含理想电流源支路)。 i i a R3 3 b 5 b=5, n=3 i1 i2 i4 + 解：方法一 R1 iS u R2 KCL方程： R4 + uS - i1- i2 + i3 = 0 (1) – – - i3+ i4 - i5 = 0 (2) c KVL方程： * 理想电流源的处理：由于i5 = R1 i1-R2i2 = uS (3) iS，所以在选择独立回路时， R2 i2+R3i3 + R4 i4 = 0 (4) 可不选含此支路的回路。 - R4 i4+u = 0 (5) 对此例，可不选回路 3 ，即去 i5 = iS (6) 掉方程(5)，而只列(1)~(4)及(6)。 方法二
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− G6 un1 − G5 un 2 + ( G3 + G5 + G6 )un 3 = G3 us 3 + i S 6 iS6 R6 i6 iS1
① R4 i4 ② R5 i5 ③ i1 i3 i2 R3 R2 + R1 u _ S3
一般情况（观察法）： （设电路具有n个节点） KCL：通过电阻 G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1 流出节点的电流 G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2 代数和=各电源流 入节点的电流代 数和 Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,n-1un,n-1=iSn,n-1 其中
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例3. 列写下图所示含受控电流源电路的支路电流方程。 R4 µ u2 + – 解： KCL方程： i4 3 -i1- i2+ i3 + i4=0 (1) R3 i3 b i6 a -i3- i4+ i5 – i6=0 (2) i1 i2 i5 + + R1 u α i1 KVL方程： R5 R 4 + 1 2 u2 2 uS – – R1i1- R2i2= uS (3) – R2i2+ R3i3 +R5i5= 0 (4) c R3i3- R4i4= µu2 (5) 补充方程： R5i5= u (6) i = αi (7)
(∑ Rk ik=∑ uSk)
与绕行方向 一致取“+” ∑ ik=0
(4) 求解上述方程，得到b个支路电流； (5) 其它分析。
支路电流分析法的特点： 支路电流法是最基本的方法，在方程数目不多的 情况下可以使用。由于支路法要同时列写 KCL和KVL 方程， 所以方程数较多，且规律性不强(相对于后面的 方法)，手工求解比较繁琐，也不便于计算机编程求解。
电路理论
主讲 骆建
第三章 网络分析的一般方法
(General Techniques of Network Analysis)
主讲
开课单位：电气与电子工程学院电工教学基地
骆建
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第三章
网络分析的一般方法
3.1 支路电流分析法 3.2 节点电压分析法 3.3 回路电流分析法
了解支路电流分析法 重点掌握回路（电流）分析法 重点掌握节点（电压）分析法
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VCR代入 KVL中
− uS 1 + R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 − R3 i3 + R4 i4 + R5 i5 + R5 i S 5 = 0
b-(n–1)=6-3=3
i6 R6
+ u6 – R4 i4 i2 R2 3 – ① + u2 – ② + u4 – R1 + u1 + 1 R3 u3 2 R5 uS1 – i3 + – i1 0
Gii —自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之 和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。 Gij = Gji—互电导，等于接在节点i与节点j之间的所
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3-1 支路电流分析法 (branch current method )
目的：找出一般(对任何线性电路均适用)的求解线性网络的 系统方法(易于计算机编程序求解) 。 对象：含独立源、受控源的电阻网络的直流稳态解。 应用：主要用于复杂的线性电路的求解。 元件特性(约束) (对电阻电路，即欧姆定律) 基础： 电路性质 结构(约束)(KCL，KVL) 特点：不改变电路的结构，直接根据已知电路列写方程。 复杂电路的分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电 流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分 为支路法、回路分析法和节点分析法。
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节点电压方程
以节点电压为未知量 节点电压的独立方程数为 (n-1)。与支路电流法相比， 方程数可减少b-(n-1)个。
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iS6 u1 = un1 − u0 = un1 = R1 i1 + R1 i S 1 u2 = un 2 − u0 = un 2 = R2 i2 R6 u3 = un 3 − u0 = un 3 = R3 i3 + uS 3 i6 R4 i ② R5 i5 ① 4 ③ u4 = un1 − un 2 = R4 i4 i1 i3 u5 = un 2 − un 3 = R5 i5 i2 i R3 u6 = un1 − un 3 = R6 i6 − R6 i S 6S1 R2 + R1 u u _ S3 i1 = n1 − i S 1 = G1 un1 − i S 1 R1 0 u i2 = n 2 = G2 un 2 u − un 3 i5 = n 2 = G5 ( un 2 − un 3 ) R2 R5 u − uS 3 i3 = n 3 = G3 ( un 3 − uS 3 ) i = un1 − un 3 + i = G ( u − u ) + i 6 S6 6 n1 n3 S6 R3 R6 u − un 2 i 4 = n1 = G4 ( un1 − un 2 ) R4
验证功率守恒：
P发=715 W P发= P吸
R1I1–R2I2=US1–US2 R2I2+R3I3= US2
I1–0.6I2=130–117=13 0.6I2+24I3= 117
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PR 1吸=R1I12=100 W PR 2吸=R2I22=15 W PR 3吸=R3I32=600 W P吸=715 W
− R2 i2 − R4 i4 + R6 i6 = 0
习惯将电源移到等式右端
R1 i1 + R2 i 2 + R3 i 3 = uS 1
− R3 i3 + R4 i4 + R5 i5 = − R5 i S 5
支路 电流 方程
− R2 i2 − R4 i4 + R6 i6 = 0
− i1 − i2 − i6 = 0
支路 电压 与节 点电 压关 系
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( G1 + G4 + G6 )un1 − G4 un 2 − G6 un 3 = i S 1 − i S 6 − G4 un1 + ( G2 + G4 + G5 )un 2 − G5 un 3 = 0 − G6 un1 − G5 un 2 + ( G3 + G5 + G6 )un 3 = G3 us 3 + i S 6
u1 + u2 + u3 = 0 KVL： − u3 + u4 + u5 = 0 − u2 − u4 + u6 = 0 u1 = R1 i1 − uS 1 u2 = R2 i 2 ③ + u3 = R3 i 3 iS5 VCR: u4 = R4 i4 u5 u5 = R5 i5 + R5 i S 5 i5 – u6 = R6 i6
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3. 2 节点电压分析法 (node voltage method)
基本思想：以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。 节点电压求得后。则各支路电压、支路电流可用节 点电压来求出。 在列取以节点电压为未知量 KCL 时，应用了全部支路 电压与节点电压关系， 即KVL自动满足。则节点电压法不 必再列KVL方程，只需对独立节点列写KCL方程。
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例1.
US1=130V, US2=117V, R1=1Ω, R2=0.6Ω, R3=24Ω.
(3) 联立求解
–I1–I2+I3=0 I1–0.6I2=130–117=13 I1=10 A I2= –5 A I3= 5 A I1 R1 US1
a
I1 R1 US1 I2 R2 1 + US2 – I3
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基本思想：以支路电流为未知量，列写独立的KCL和KVL方程
3-1-1
推导支路电流方程：
支路电流方程
相互独立
举例说明： 支路电流与支路电压取关联方向，电流源与电阻 并联等效为电压源与电阻的串联。
1
(n–1)=4-1=3
KCL:
i −i −i = 0
− i2 + i3 + i4 = 0 − i4 + i5 − i6 = 0
b i'5= i5- i6
α R5 i1
KCL方程： -i1- i2+ i3 + i4=0 (1) -i3- i4+ i’5 =0 (2)
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KVL方程：
R4 i4 i1 R1 uS + – c a i2 1R2 + 3 R3 + u2 2 – R5
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方法：
网络含无伴电源电路的处理
µ u2
− i 2 + i 3 + i4 = 0 − i4 + i5 − i6 = 0
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支路电流分析法的一般步骤： 支路电流方程标准式：
(1) 标定各支路电流、电压的参考方向； (2) 选定(n–1)个节点，列写其KCL方程； (3) 选定b–(n–1)个独立回路，指定绕行方向，列 写其KVL方程； (元件特性代入) （观察法）
求各支路电流及电压源 各自发出的功率3
0.6I2+24I3= 117 (4) 功率分析
+ –
US2
a I2 R2 + – b
I3 R3
b
解 (1) n–1=1个KCL方程：
节点a：–I1–I2+I3=0 ∑ (2) b–( n–1)=2个KVL方程： U=∑US
PU S1发=US1I1=130×10=1300 W PU S2发=US2I2=117×(–5)=–585 W
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方法：
含受控电源电路的支路电流方程
先将受控电源视作独立电源，按上节的方法列出 支路电流方程，然后把用支路电流表示的受控电源移 到方程的左边。
例2. 列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。 R4 µ u2 + – µ u2 R4 + – i4 i4 3 3 i3 R3 i3 b i6 R3 a a i1 i2 + i1 i2 i5 + R1 + R1 – 1R2 u2 2 α i1 u + R5 R 4 R5 S – + 1 2 u2 2 uS – – c – c 解：
un1un2un321i1i6i5i4i3r3i20us3is16r1r2r6r5is6r4支路电压与节点电压关系???011uuuuuun11111sniriru022n222irunu033uuun3333snuiri4u4421ruunn???5u5532iruunn6u66631snniriruu?1111111snsniugiruui??22222nnugruiuugruisnsn3333333??uugruuinnnn2144214??uugr?uuinnnn3255u325??631666316snnsnniuugirui?226136241641ssnnniiuguguggg???uu0g35254214?gg???nnnuguugggggg63336532516ssnnniuugg11g1g4g6节点1的自电导g22g2g4g5节点2的自电导g12g21g4节点1与节点2之间的互电导不含受控源g33g3g5g6节点3的自电导g13g31g6节点1与节点3之间的互电导不含受控源g23g32g5节点2与节点3之间的互电导不含受控源isn1is1is6流入节点1的电流源电流的代数和
i3
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+
b i'5= i5- i6
R1i1- R2i2= uS (3) R2i2+ R3i3 +R5i’5= -α R5 i1 (4) -R3i3+R4i4= -µu2 (5)
补充方程：
1、增设末知量——电流源端电电压。 2、选取独立回路时，使无伴电流源支路只属于某一 独立回路,则无需列写其KVL方程。
– α R5 i1
i6= αi1 u2= -R2i2
(6) (7)
整理为： -i1- i2+ i3 + i4=0 (1) -i3- i4+ i’5 =0 (2)
R1i1- R2i2= uS (3) α R5 i1 +R2i2+ R3i3 +R5i’5= 0 (4) -µ R2i2 -R3i3+R4i4= 0 (5)
节点电压：选择参考节点后，其余节点对参考节点的电压。节 点电压也是一种假想的电压。表示为：unj
iS6 R6 i6 iS1
① R4 i4 ② R5 i5 ③ i1 i3 i2 R3 R2 + R1 u _ S3
un1
un2
un3
推导节点电压方程：
i1 + i4 + i6 = 0 KCL： i2 − i4 + i5 = 0 i3 − i5 − i6 = 0
G11=G1+G4+G6—节点1的自电导 G22=G2+G4+G5 —节点2的自电导 G33=G3+G5+G6 —节点3的自电导 G12=G21=-G4—节点1与节点2之间的互电导(不含受控源） G13=G31=-G6—节点1与节点3之间的互电导(不含受控源） G23=G32=-G5—节点2与节点3之间的互电导(不含受控源） iSn1=iS1-iS6—流入节点1的电流源电流的代数和。 iSn2=0 —流入节点2的电流源电流的代数和。 iSn3=G3uS3+i S6—流入节点3的电流源电流的代数和。
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u2= R2i2
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去掉方程(6)。
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例4. 列写如图电路的支路电流方程(含理想电流源支路)。 i i a R3 3 b 5 b=5, n=3 i1 i2 i4 + 解：方法一 R1 iS u R2 KCL方程： R4 + uS - i1- i2 + i3 = 0 (1) – – - i3+ i4 - i5 = 0 (2) c KVL方程： * 理想电流源的处理：由于i5 = R1 i1-R2i2 = uS (3) iS，所以在选择独立回路时， R2 i2+R3i3 + R4 i4 = 0 (4) 可不选含此支路的回路。 - R4 i4+u = 0 (5) 对此例，可不选回路 3 ，即去 i5 = iS (6) 掉方程(5)，而只列(1)~(4)及(6)。 方法二
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− G6 un1 − G5 un 2 + ( G3 + G5 + G6 )un 3 = G3 us 3 + i S 6 iS6 R6 i6 iS1
① R4 i4 ② R5 i5 ③ i1 i3 i2 R3 R2 + R1 u _ S3
一般情况（观察法）： （设电路具有n个节点） KCL：通过电阻 G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1 流出节点的电流 G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2 代数和=各电源流 入节点的电流代 数和 Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,n-1un,n-1=iSn,n-1 其中
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例3. 列写下图所示含受控电流源电路的支路电流方程。 R4 µ u2 + – 解： KCL方程： i4 3 -i1- i2+ i3 + i4=0 (1) R3 i3 b i6 a -i3- i4+ i5 – i6=0 (2) i1 i2 i5 + + R1 u α i1 KVL方程： R5 R 4 + 1 2 u2 2 uS – – R1i1- R2i2= uS (3) – R2i2+ R3i3 +R5i5= 0 (4) c R3i3- R4i4= µu2 (5) 补充方程： R5i5= u (6) i = αi (7)