北京市东城区2020届高三上学期期末教学统一检测数学试题答案(pdf版)

东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学参考答案及评分标准 2020.1
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）D （2）C （3）B （4）A （5）B （6）C （7） A （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）4
（10）
14524
（11）0（答案不唯一） （12）4（13）2或10
（14）② >
三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ
）由正弦定理可得sin sin sin =0C A C A +.
因为sin 0A >，
所以tan C =又因为0C <∠<π, 所以2π
=
3
C ∠. ..................................................................................................7分 （Ⅱ
）由正弦定理得2sin 1sin =2b C B c ==, 又因为03
B π<∠<， 所以ππ
,66
B A B
C ∠=
∠=π-∠-∠=
. 所以△ABC
的面积111
sin 2222
S bc A ==⨯⨯=. ...............................................13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本
中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即270530
0.810001000
+=. .............................3分 （II ）由题意X 的所有可能值为0,1,2.
记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 由题意可知，事件，A B 相互独立，且
()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=，
所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X=P AB ==--=，
(1)()()()()(1())(1()()0.610.5510.6)0.550.49P X P AB+AB P AB P AB P A P B P A P B ===+=-+-=⨯-+-⨯=（）（，
()()0.60.550.33.P X=2P AB ==⨯=
所以X 的分布列为
故X 的数学期望00.1810.4920.33 1.15（）E X =⨯+⨯+⨯=. ……………10分 （III ）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么
3
270
31000
()0.02.C P D C =≈
回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. ……………13分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，由于1BB ⊥平面ABC ，
所以1BB ⊥平面111A B C ．又1BB ⊂平面11B BCC ， 所以平面11B BCC ⊥平面111A B C ，交线为11B C . 又因为AB BC ⊥， 所以1111A B B C ⊥． 所以11A B ⊥平面11B BCC ． 因为1BC ⊂平面11B BCC ， 所以111.A B BC ⊥ 又因为12BB BC ==， 所以11B C BC ⊥． 又11
A B 11B C B =,
所以1BC ⊥平面11A B C ． …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥．
如图建立空间直角坐标系B xyz -．由题意得(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，1(0,2,2)A ，1(0,0,2)B ．
所以1(2,0,2)B C =-uuu r
，1(0,2,2)A B =--uuu r ．
所以1111111
cos ,2
||||A B B C A B B C BA B C ⋅〈〉==uuu r uuu r
uuu r uuu r uuu r uuu r ．
故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3
π
． …………9分
（Ⅲ）易知平面11A ACC 的一个法向量为(1,1,0)=n ，
由
11B M
B C
λ=，得(2,0,22).M λλ- 设
11A N
A B
μ=，得(0,22,22)N μμ--， 则(2,22,22)MN λμλμ−−→
=---
因为//MN 平面11A ACC ，所以0MN −−→
⋅=n ， 即(2,22,22)(1,1,0)0λμλμ---⋅=， 解得1μλ=-． 所以
111A N
A B
λ=-． …………14分
（18）（共13分） 解：(Ⅰ) 因为 3
21()33
f x x x ax =
-+， 所以 ()2
23f x x x a '=-+.
由()f x 在1x =-时，有极值得 ()11230f a '-=++= ， 解得 1a =- .
经检验，1a =-时，()f x 有极值.
综上，1a =-. ……………4分
（Ⅱ）不妨设在直线1x =上存在一点(1,)P b ，
设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为00(,)x y ， 则切线l 方程为32200000013(23)()3
y x x ax x x a x x -
+-=-+-.
又直线l 过(1,)P b ，有322
00000013(23)(1)3b x x ax x x a x -+-=-+-，
即
3200022+2303
x x x a b --+=. 设3
22()2233
g x x x x a b =
-+-+， 22'()2422(1)0g x x x x =-+=-≥.
所以()g x 在区间(,)-∞+∞上单调递增， 所以()0g x =至多有一个解.
过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条.
故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切. ………………13分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ
）由题意222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，，解得2
2a =.
所以椭圆C 的方程为2
2 1.
2x y +=
…………4分 （Ⅱ）由已知直线l 的斜率不为0.
设直线l 方程为()1y k x =-.直线l 与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y .
由()22112
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，
得()2222214220k x k x k +-+-=.
由已知，判别式0∆>恒成立，且2212122
2422
,.2121
k k x x x x k k -+==++① 直线1F A 的方程为()1111y y x x =
++，令0x =，则11(0,)1
y
M x +. 同理可得2
2(0,
)1
y N x +. 所以()()()()()()
21212
11121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+
=+
++++uuu u r uuu r
()()()()2
2
2
212
1
2
121212121212111111
1
k x x k x x k
k x x x x x x x x x x x x ++-+++-++⎡⎤⎣⎦=+
=
++++++.
将①代入并化简，得
2112
71
81
k F M F N k -⋅=-uuu u r uuu r . 依题意，1MF N ∠我锐角，所以110F M F N ⋅>，即2112
71
081
k F M F N k -⋅=>-uuu u r uuu r . 解得217k >
或218
k <. 综上，直线l
斜率的取值范围是(,(,0)(0,(,)7447
-∞-
-+∞U U U . ....................14分 （20）（共13分）
解：（Ⅰ）{}=3567910T ，，，，，. …………………………………………………………………3分
（Ⅱ）假设存在i j *
∈N ，
，使得()=1024S i j ，，则有 1102422(1)2(1)()L L i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++，
由于i j +与j i -奇偶性相同， 所以i j +与1j i -+奇偶性不同.
又因为3i j +≥，12j i -+≥， 所以1024必有大于等于3的奇数因子， 这与1024无1以外的奇数因子矛盾.
故不存在i j *
∈N ，
，使得()=1024S i j ，成立. …………………………8分 （Ⅲ）首先证明n a n =时，对任意的m *
∈N 都有2t
m b t *
≠∈N ，.
若,i j *∃∈N ，使得：(1)()
(1)22
L t j i i j i i j -++++++=
=，
由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所以1
(1)()2
t j i i j +-++=不成立.
其次证明除2()t
t ∈N 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和. 若正整数2(21)t h k =+，其中t ∈N ，k *
∈N . 当1
2
21t k +>+时，由等差数列的性质有：
(21)222=(2)(21)2(21)(2)t t t t t t t t
k h k k +=+++-++-+++++个
L L L 144444424444443
此时结论成立. 当1
2
21t k +<+时，由等差数列的性质有：
2(21)(21)(21)=(21)(1)(1)(2)(2),
t t t h k k k k k k k k k =++++++-+++-++++++++个
L 14444444444444244444444444443
L L
此时结论成立.
对于数列22n a n =-. 此问题等价于数列0123n ，，
，，，，L L ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.
由前面的证明可知正整数248163264128256512，
，，，，，，，不是集合T 中的项， 所以n 的最大值为1001. .............................13分。