湖南省邵阳市2019-2020学年中考数学教学质量调研试卷含解析

湖南省邵阳市2019-2020学年中考数学教学质量调研试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若矩形的长和宽是方程x2－7x+12=0的两根，则矩形的对角线长度为（）
A．5 B．7 C．8 D．10
2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB
上，且OC＝3BD，反比例函数y＝k
x
（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（）
A．813
B．
813
C．
813
D．
813
3．2016年底安徽省已有13个市迈入“高铁时代”，现正在建设的“合安高铁”项目，计划总投资334亿元人民币.把334亿用科学记数法可表示为（）
A．0.334B．C．D．
4．如图，点ABC在⊙O上，OA∥BC，∠OAC=19°，则∠AOB的大小为（）
A．19°B．29°C．38°D．52°
5．计算12
-+的值（）
A．1 B．1-C．3 D．3-
6．下列运算正确的是（）
A．﹣3a+a=﹣4a B．3x2•2x=6x2
C．4a2﹣5a2=a2D．（2x3）2÷2x2=2x4
7．如果y＝2
x-2x
-，那么y x的算术平方根是（）
A．2 B．3 C．9 D．±3
8．小亮家1月至10月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是（）
A．30和20 B．30和25 C．30和22.5 D．30和17.5
9．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形EBGF，此时恰好四边形AEHB为菱形，连接CH交FG于点M，则HM=（）
A．1
2
B．1 C．
2
D．
3
2
10．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF,连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H,下列结论：
①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF
,其中正确的结论
A．只有①②. B．只有①③. C．只有②③. D．①②③.
11．在六张卡片上分别写有1
3
，π，1.5，5，02六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的
概率是（）
A．1
6
B．
1
3
C．
1
2
D．
5
6
12．下列式子一定成立的是（）
A．2a+3a=6a B．x8÷x2=x4
C．
1
2
a
a
D．（﹣a﹣2）3=﹣
6
1
a
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，正比例函数y 1=k 1x 和反比例函数y 2=2k x
的图象交于A （﹣1，2），B （1，﹣2）两点，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是_____．
14．因式分解：2xy 2xy x ++=______．
15．若向北走5km 记作﹣5km ，则+10km 的含义是_____． 16．若a m =2，a n =3，则a m + 2n =______．
17．因式分解：2xy 4x -= ．
18．某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分
那么，其中最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为____________%
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）向阳中学校园内有一条林萌道叫“勤学路”，道路两边有如图所示的路灯（在铅垂面内的示意图），灯柱BC 的高为10米，灯柱BC 与灯杆AB 的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区
域DE 的长为13.3米，从D 、E 两处测得路灯A 的仰角分别为α和45°，且tanα=1．求灯杆AB 的长度．
20．（6分）已知a 2
+2a=9，求22212321121a a a a a a a +++-÷+--+的值． 21．（6分）关于x 的一元二次方程230x m x m ++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤1 B ．m ＜1 C ．﹣3≤m≤1 D ．﹣3＜m ＜1
22．（8分）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF ．求证：四
边形ACDF是平行四边形；当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
23．（8分）某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图：
(1)在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有______人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为______%，如果学校有800名学生，估计全校学生中有______人喜欢篮球项目．
(2)请将条形统计图补充完整．
(3)在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
24．（10分）新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？
25．（10分）定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆．
如图所示，已知：⊙I是△ABC的BC边上的旁切圆，E、F分别是切点，AD⊥IC于点D．
（1）试探究：D、E、F三点是否同在一条直线上？证明你的结论．
（2）设AB=AC=5，BC=6，如果△DIE和△AEF的面积之比等于m，DE
n
EF
，试作出分别以
m
n
,
n
m
为
两根且二次项系数为6的一个一元二次方程．
26．（12分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；在这4件产品中加入x 件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x 的值大约是多少？ 27．（12分）如图，在△ABC 中，AD 、AE 分别为△ABC 的中线和角平分线．过点C 作CH ⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH ，求证：DH ＝12
BF ．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．A
【解析】
解：设矩形的长和宽分别为a 、b ，则a+b=7，ab=12，所以矩形的对角线长
=22a b +22a b ab （）+-27212-⨯．故选A ．
2．A
【解析】
试题分析：过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，如图所示．
设BD=a ，则OC=3a ．
∵△AOB 为边长为1的等边三角形，∴∠COE=∠DBF=10°，OB=1．
在Rt△COE中，∠COE=10°，∠CEO=90°，OC=3a，∴∠OCE=30°，∴OE=3
2
a，CE=22
OC OE
-=
33
2
a，∴点C（3
2
a，
33
a）．
同理，可求出点D的坐标为（1﹣1
2
a，
3
a）．
∵反比例函数
k
y
x
=（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，∴k=
3
2
a×
33
a=（1﹣
1
2
a）×
3
a，∴a=
6
5
，
k=813
25
．故选A．
3．B
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：334亿=3.34×1010
“点睛”此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．C
【解析】
【分析】
由AO∥BC，得到∠ACB=∠OAC=19°，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=38°.
【详解】
∵AO∥BC，
∴∠ACB=∠OAC，
而∠OAC=19°，
∴∠ACB=19°，
∴∠AOB=2∠ACB=38°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理与平行线的性质．解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键.
5．A
【解析】
【分析】
根据有理数的加法法则进行计算即可．
【详解】
12=1
-+
故选：A．
【点睛】
本题主要考查有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键．
6．D
【解析】
【分析】
根据合并同类项、单项式的乘法、积的乘方和单项式的乘法逐项计算，结合排除法即可得出答案.
【详解】
A. ﹣3a+a=﹣2a，故不正确；
B. 3x2•2x=6x3，故不正确；
C. 4a2﹣5a2=-a2，故不正确；
D. （2x3）2÷2x2=4x6÷2x2=2x4，故正确；
故选D.
【点睛】
本题考查了合并同类项、单项式的乘法、积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键.
7．B
【解析】
解：由题意得：x﹣2≥0，2﹣x≥0，解得：x=2，∴y=1，则y x=9，9的算术平方根是1．故选B．
8．C
【解析】
【分析】
将折线统计图中的数据从小到大重新排列后，根据中位数和众数的定义求解可得．
【详解】
将这10个数据从小到大重新排列为：10、15、15、20、20、25、25、30、30、30，
所以该组数据的众数为30、中位数为=22.5，
故选：C．
【点睛】
此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
9．D
【解析】
【分析】
由旋转的性质得到AB=BE，根据菱形的性质得到AE=AB，推出△ABE是等边三角形，得到AB=3，AD=3，根据三角函数的定义得到∠BAC=30°，求得AC⊥BE，推出C在对角线AH上，得到A，C，H共线，于是得到结论．
【详解】
如图，连接AC交BE于点O，
∵将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形EBGF，
∴AB=BE，
∵四边形AEHB为菱形，
∴AE=AB，
∴AB=AE=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∵AB=3，AD=3，
∴tan∠CAB=
3 BC
AB
，
∴∠BAC=30°，
∴AC⊥BE，
∴C在对角线AH上，∴A，C，H共线，
∴AO=OH=3
AB=
33
，
∵O C=1
2
BC=
3
，
∵∠COB=∠OBG=∠G=90°，∴四边形OBGM是矩形，
∴OM=BG=BC=3，
∴HM=OH﹣OM=3
，
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的应用等，熟练掌握和灵活运用相关的知识是解题的关键.
10．D
【解析】
【详解】
解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD．
∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB；
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．∴CM=CN，
则△CBM≌△CDN，（HL）
∴S四边形BCDG=S四边形CMGN．
S四边形CMGN=1S△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=1
2
CG，CM=
3
CG，
∴S四边形CMGN=1S△CMG=1×1
2
×
1
2
CG×
3
2
CG=CG1．
③过点F作FP∥AE于P点．
∵AF=1FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=1AE，
∴FP：BE=1：6=FG：BG，
即BG=6GF．
故选D．
11．B
【解析】
【分析】
无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.
【详解】
∵这组数中无理数有 ，2共2个，
∴卡片上的数为无理数的概率是21
=
63
.
故选B. 【点睛】
本题考查了无理数的定义及概率的计算.
12．D
【解析】
【分析】
根据合并同类项、同底数幂的除法法则、分数指数运算法则、幂的乘方法则进行计算即可.
【详解】
解：A ：2a+3a=(2+3)a=5a ，故A 错误；
B ：x 8÷x 2=x 8-2=x 6，故B 错误；
C ：12a =a ，故C 错误；
D ：(-a -2)3=-a -6=-
61a
，故D 正确. 故选D.
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂的除法法则、分数指数运算法则、幂的乘方法则.其中指数为分数的情况在初中阶段很少出现.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．x ＜﹣2或0＜x ＜2
【解析】
【分析】
仔细观察图像，图像在上面的函数值大，图像在下面的函数值小，当y 2＞y 2，即正比例函数的图像在上，反比例函数的图像在下时，根据图像写出x 的取值范围即可.
【详解】
解：如图，
结合图象可得：
①当x ＜﹣2时，y 2＞y 2；②当﹣2＜x ＜0时，y 2＜y 2；③当0＜x ＜2时，y 2＞y 2；④当x ＞2时，y 2＜y 2． 综上所述：若y 2＞y 2，则x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜2．
故答案为x ＜﹣2或0＜x ＜2．
【点睛】
本题考查了图像法解不等式，解题的关键是仔细观察图像，全面写出符合条件的x 的取值范围.
14．2(1)x y
【解析】
【分析】
先提取公因式x ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
xy 1+1xy+x ，
=x （y 1+1y+1），
=x （y+1）1．
故答案为：x （y+1）1．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
15．向南走10km
【解析】
【分析】
【详解】
分析：与北相反的方向是南，由题意，负数表示向北走，则正数就表示向南走，据此得出结论. 详解：∵ 向北走5km 记作﹣5km ，
∴ +10km 表示向南走10km.
故答案是：向南走10km.
点睛：本题考查对相反意义量的认识：在一对具有相反意义的量中，先规定一个为正数，则另一个就要用负数表示.
16．18
【解析】
【分析】
运用幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可.
【详解】
解：∵a m =2，a n =3，
∴a 3m+2n =（a m ）3×（a n ）2=23×
32=1． 故答案为1．
【点睛】
本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．
17．．
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式x 后继续应用平方差公式分解即可：()
()()22xy 4x x y 4x y 2y 2-=-=+-． 18．1%
【解析】
【分析】
依据最喜欢羽毛球的学生数以及占被调查总人数的百分比，即可得到被调查总人数，进而得出最喜欢篮球的学生数以及最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比．
【详解】
∵被调查学生的总数为10÷20%=50人，
∴最喜欢篮球的有50×32%=16人，
则最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比=50104166250-----×100%=1%， 故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．灯杆AB 的长度为2.3米．
【解析】
【分析】
过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG=BC=2．设AF=x 知EF=AF=x 、DF=AF tan ADF ∠=6
x ，由DE=13.3求得x=11.4，据此知AG=AF ﹣GF=1.4，再求得∠ABG=∠ABC ﹣∠CBG=30°可得AB=2AG=2.3．
【详解】
过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG=BC=2．
由题意得：∠ADE=α，∠E=45°．
∵∠E=45°，∴EF=AF=x ．
在Rt △ADF 中，∵tan ∠ADF=
AF DF ，∴DF=AF tan ADF ∠=6x ． ∵DE=13.3，∴x+6
x =13.3，∴x=11.4，∴AG=AF ﹣GF=11.4﹣2=1.4． ∵∠ABC=120°，∴∠ABG=∠ABC ﹣∠CBG=120°﹣90°=30°，∴AB=2AG=2.3．
答：灯杆AB 的长度为2.3米．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．
20．22(1)a +，15
． 【解析】
试题分析：原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
试题解析：
22212321121a a a a a a a +++-÷+--+=()()()()()211211112a a a a a a a -+-⨯++-++ =()
21111a a a --++ =()221a +， ∵a 2+2a=9，
∴（a+1）2=1．
∴原式=
21105
=． 21．C
【解析】
【分析】
利用二次根式有意义的条件和判别式的意义得到23040m m +≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩
V ＝，然后解不等式组即可． 【详解】
根据题意得23040m m +≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩V
＝， 解得-3≤m≤1．
故选C ．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方
程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．22．（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.
【解析】
分析：（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．
详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）BC=2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
23．（1）5，20，80；（2）图见解析；（3）3 5 .
【解析】
【分析】（1）根据喜欢跳绳的人数以及所占的比例求得总人数，然后用总人数减去喜欢跳绳、乒乓球、其
它的人数即可得；
（2）用乒乓球的人数除以总人数即可得；
（3）用800乘以喜欢篮球人数所占的比例即可得；
（4）根据（1）中求得的喜欢篮球的人数即可补全条形图；
（5）画树状图可得所有可能的情况，根据树状图求得2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果，根据概率公式进行计算即可.
【详解】（1）调查的总人数为20÷40%=50（人），
喜欢篮球项目的同学的人数=50﹣20﹣10﹣15=5（人）；
（2）“乒乓球”的百分比=10100%50⨯=20%； （3）800×550
=80， 所以估计全校学生中有80人喜欢篮球项目；
（4）如图所示，
（5）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12，所以所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率=123205
=． 24．（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润1元（3）销售单价应定为100元
【解析】
【分析】
（1）用每件的利润()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即
()()()80802320w x y x x =-=--+， 然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()2
21203200w x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2
212032002400x --+=．然后检验即可.
【详解】
（1）()()()80802320w x y x x =-=--+，
2248025600x x =-+-，
w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-；
（2）()2224802560021203200w x x x =-+-=--+，
2080160x -<≤≤Q ，，
∴当120x =时，w 有最大值．w 最大值为1．
答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润1元．
（3）当2400w =时，()2212032002400x --+=．
解得：12100140x x ，．
== ∵想卖得快， 2140x ∴=不符合题意，应舍去．
答：销售单价应定为100元．
25． (1) D 、E 、F 三点是同在一条直线上．(2) 6x 2﹣13x+6=1．
【解析】
（1）利用切线长定理及梅氏定理即可求证；
（2）利用相似和韦达定理即可求解.
解：（1）结论：D 、E 、F 三点是同在一条直线上．
证明：分别延长AD 、BC 交于点K ，
由旁切圆的定义及题中已知条件得：AD=DK ，AC=CK ，
再由切线长定理得：AC+CE=AF ，BE=BF ，
∴KE=AF ．∴1KD AF BE AD BF EK
⨯⨯=， 由梅涅劳斯定理的逆定理可证，D 、E 、F 三点共线，
即D 、E 、F 三点共线．
（2）∵AB=AC=5，BC=6，
∴A 、E 、I 三点共线，CE=BE=3，AE=4，
连接IF ，则△ABE ∽△AIF ，△ADI ∽△CEI ，A 、F 、I 、D 四点共圆．
设⊙I 的半径为r ，则：34,68r r ==， ∴310,6AD AI ID ==，即25AD =，45ID =， ∴由△AEF ∽△DEI 得：
2455455512(),,25,,545
DE IE m DE EF AE EF =======， ∴56
n =． ∴1361m n n m m n n m
⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩， 因此，由韦达定理可知：分别以n m
、m n 为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程是6x 2﹣13x+6=1． 点睛：本是一道关于圆的综合题.正确分析图形并应用图形的性质是解题的关键.
26．（1）
14；（2）12；（3）x=1． 【解析】
【分析】
（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x 的值.
【详解】
解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P （不合格品）=14
； （2）
共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，
P （抽到的都是合格品）=612=12
； （3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴
3
4
x
x
+
+
=0.95，
解得：x=1．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法．
27．见解析.
【解析】
【分析】
先证明△AFC为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一证明H为FC的中点，又D为BC的中点，根据中位线的性质即可证明.
【详解】
∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，
∴△ACF是等腰三角形，
∴AF＝AC，HF＝CH，
∵AD为△ABC的中线，
∴DH是△BCF的中位线，
∴DH＝1
2 BF．
【点睛】
本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质.解决本题的关键是证明H点为FC的中点，然后
利用中位线的性质解决问题.本题中要证明DH＝1
2
BF，一般三角形中出现这种2倍或
1
2
关系时，常用中
位线的性质解决.。