广西南宁市马山县高二数学下学期期末考试试卷 文

2017年春学期期考高二数学（文）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合}2,0,2{-=A ，}02|{2
=--=x x x B ，则=B A Y ( ) A ．∅ B ．}2{ C ．}0{ D ．}2{- 2.
=-+i
i
131（ ） A ．i 21+ B ．i 21+- C ．i 21- D ．i 21--
3.已知双曲线)0(13
2
22>=-
a y a x 的离心率为2，则=a （ ） A ．2 B ．26
C ．2
5 D ．1 4.若3
1
tan =
θ，则=θ2cos （ ） A ．5
4- B ．51- C. 51
D ．54
5.设F E D ,,分别为ABC ∆三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB （ ） A ．AD B ．
AD 21 C ．BC 2
1
D ．BC 6.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．π20
B ．π24 C.π28 D ．π32 7.设3log ,2log ,2log 253===c b a ，则（ ）
A ．b c a >>
B ．a c b >> C. a b c >> D ．b a c >> 8.函数)sin(ϕω+=x A y 的部分图象如图所示，则（ ）
A ．)62sin(2π-=x y
B ．)3
2sin(2π
-=x y C ．)62sin(2π
+
=x y D ．)32sin(2π
+=x y 9.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ） A ．π12 B ．
π3
32
C. π8 D ．π4 10.已知}{n a 是公差为1的等差数列，n S 为}{n a 的前n 项和，则，=10a （ ） A ．
2
17 B ．219 C. 10 D ．12
11.执行如图的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的=S （ ）
A ．4
B ．5 C.6 D ．7
12.已知直三棱柱111C B A ABC -中，0
120=∠ABC ，2=AB ，11==CC BC ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）
A ．23
B ．515 C.
510 D ．3
3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤+-≤-+0220120
2y x y x y x ，则y x z +=3的最大值为 ．
14. 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 .
15.已知向量)1,(),2,1(m b a =-=.若向量b a +与a 垂直，则=m ． 16.已知双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 2
1
±=，则该双曲线的标准方程为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列}{n a 的公差不为零，251=a ，且13111,,a a a 成等比数列. （1）求}{n a 的通项公式； （2）求23741-++++n a a a a Λ.
18.如图，在三棱锥ABC P -中，AB PA ⊥，BC PA ⊥，BC AB ⊥，2===BC AB PA ，
D 为线段AC 的中点，
E 为线段PC 上一点.
（1）求证：平面⊥BDE 平面PAC ；
（2）当//PA 平面BDE 时，求三棱锥BCD E 的体积.
19.某公司为了解用户对其产品的满意度，从B A ,两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.
A 地区用户满意度评分的频率分布直方图
B 地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 )60,50[ )70,60[ )80,70[ )90,80[ ]100,90[
频数 2 8 14 10 6
（1）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.
20.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为22
，点)2,2(在C 上.
（1）求C 分方程；
（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点B A ,，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 21.已知函数)1(ln )(x a x x f -+=. （1）讨论)(x f 的单调性；
（2）当)(x f 有最大值，且最大值大于22-a 时，求a 的取值范围. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为25)6(2
2
=++y x .
（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程是⎩⎨⎧==α
α
sin cos t y t x （t 为参数），l 与C 交于B A ,两点，10||=AB ，
求l 的斜率.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数0|,|2|1|)(>--+=a a x x x f （1）当1=a 时，求不等式1)(>x f 的解集；
（2）若)(x f 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5：BBDDA 6-10：CDAAB 11、12：DC 二、填空题
13．4 14．3
1
15．1422=-y x 16．7 三、解答题
17.（1）设数列}{n a 的公差为d ，由已知得：131211a a a =，即)
1225(25)1025(2
d d +=+解得0=d （舍去）；2-=d ，272+-=n a n .
（2）23741-++++=n n a a a a S Λ，由（1）得31623+-=-n a n ，所以}{23-n a 是首项是25，
公差为6-的等差数列，所以n n n n
a a n S n n 283)566(2
)(22231+-=+-=+=-. 18、解：(1)证明：由已知得⊥PA 平面ABC ，⊂PA 平面PAC ，∴平面⊥PAC 平面ABC ，平面I PAC 平面AC ABC =，⊂BD 平面ABC ，AC BD ⊥，
∴⊥BD 平面PAC ，⊂BD 平面BDE ，∴平面⊥BDE 平面PAC .
(2) //PA 平面BDE ，又平面I PAC 平面DE BDE =，⊂PA 平面PAC ，∴DE PA //，
D 是AC 中点，∴
E 为PC 的中点，∴1=DE ，∴1222
1
2121=⨯⨯⨯==
∆∆ABC BDE S S ，3
11131131=⨯⨯=⨯⨯=-DE V BCD E .
19、解：（1）
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值
高于A 地区用户满意度评分的平均值，B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散.
（2）A 地区用户满意度等级为不满意的概率大.
记A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为不满意”；记B C 表示事件：“B 地区用户满
意度等级为不满意”.由直方图得)(A C P 的估计值为6.010)03.002.001.0(=⨯++，
)(B C P 的估计值为25.010)02.0005.0(=⨯+，
所以A 地区用户满意度等级为不满意的概率大.
20、解：（1）由题意有
12
4,222222=+=-b
a a
b a ，解得4,822==b a ，所以C 的方程为14
82
2=+y x . （2）设直线l ：)0,0(≠≠+=b k b kx y ，),(),,(),,(2211M M y x M y x B y x A ，将b
kx y +=代入14822=+y x 得0824)12(222=-+++b kbx x k ，故1
222221+-=+=k kb
x x x M ，1
22+=
+=k b b kx y M M ，于是直线OM 的斜率k x y k M M OM 21==
，即2
1
-=⋅k k OM ，所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 21、（1）)(x f 的定义域为),0(+∞，a x
x f -=
1
)('，若0≤a ，则0)('>x f ，所以)(x f 在),0(+∞单调递增；若0>a 时，则当)1,0(a x ∈时，0)('>x f ，当),1
(+∞∈a
x 时，0)('<x f ，
所以)(x f 在)1
,0(a 单调递增，在),1(+∞a
单调递减.
（2）由（1）知，当0≤a 时，)(x f 在),0(+∞无最大值；当0>a 时，)(x f 在a
x 1
=
取得最大值，最大值为1ln )11()1ln()1(-+-=-+=a a a a a a f ，因此22)1(->a a
f 等价于
01ln <-+a a ，
令1ln )(-+=a a a g ，则)(a g 在),0(+∞单调递增，0)1(=g ，于是，当10<<a 时，
0)(<a g ；当1>a 时，0)(>a g ，因此，a 的取值范围是)1,0(.
22、（1）解：由θρθρsin ,cos ==y x ，可得C 的极坐标方程011cos 122
=++θρρ.
（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为)(R ∈=ραθ，由B A ,所对应
的极径分别为21,ρρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得011cos 122
=++αρρ，
于是
11
,cos 122121=-=+ρραρρ，
44cos 1444)(||||22122121-=-+=-=αρρρρρρAB ，
由10||=AB 得8
3
cos 2
=
α，315tan ±=α，所以l 的斜率为315或315-.
23、解：（1）当1=a 时，1)(>x f 化为01|1|2|1|>---+x x ，
当1-≤x 时，不等式化为04>-x ，无解；
当11<<-x 时，不等式化为023>-x ，解得
13
2
<<x ； 当1≥x 时，不等式化为02>+-x ，解得21<≤x ；
所以1)(>x f 的解集为}23
2
|
{<<x x . （2）由题设可得，⎪⎩
⎪
⎨⎧>++-≤≤--+-<--=a x a x a x a x x a x x f ,211,2131,21)(，所以函数)(x f 的图象与x 轴围成的三
角形的三个顶点分别为)1,(),0,12(),0,312(
++-a a C a B a A ，ABC ∆的面积为2)1(3
2
+a ，由题设得6)1(3
2
2>+a ，故2>a ，所以a 的取值范围为),2(+∞.。