高中数学总复习之基础知识要点三角函数

高考复习科目：数学 高中数学总复习（四）
复习内容：高中数学第四章-三角函数 复习范围：第四章
I. 基础知识要点
1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{
}
Z k k ∈+⨯=,360|αββ
②终边在x 轴上的角的集合： {
}
Z k k ∈⨯=,180|
ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{
}
Z k k ∈+⨯=,90180|
ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{
}
Z k k ∈⨯=,90|
ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{
}
Z k k ∈+⨯=,45180|
ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{
}
Z k k ∈-⨯=,45180|
ββ
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k
360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=
180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：
90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
4. 三角函数的公式： （一）基本关系
公式组二 公式组三
SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
x
x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x
x x x x
x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-
公式组四 公式组五 公式组六
x
x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x
x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ x
x x x x x x
x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=
--=-=-ππππ
（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ α
αα2tan 1tan 22tan -=
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2
cos 12
sin
α
α-±
= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+ 2
cos 12cos α
α+±=
βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
- 公式组三 公式组四 公式组五
2tan 12tan
2sin 2
ααα+= 2tan 12tan
1cos 22ααα+-= 2
tan 12tan 2tan 2α
αα-=
4
2675cos 15sin -=
= ,4
2615cos 75sin +=
= ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== . 公式组一sin x ·csc x =1
tan x =
x x cos sin sin 2x +cos 2x =1
cos x ·sec x x =x
x sin cos 1+tan 2x =sec 2x tan x ·cot x =1
1+cot 2x =csc 2x
=1()()[]()()[]()()[]
()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=
cos cos 2
1sin sin cos cos 2
1
cos cos sin sin 21sin cos sin sin 2
1
cos sin 2
cos
2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin
2cos 2sin sin β
αβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2
sin 2sin 2cos cos β
αβαβα-+-=-α
ααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=α
απsin )21
cos(-=+α
απcos )2
1
sin(=+α
απcot )21
tan(-=+α
απsin )21
cos(=-α
απcos )21
sin(=-α
απcot )21
tan(=-
注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若)(x f y =在
],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）.
②x y sin =与x y cos =的周期是π.
③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ω
π
2=
T .
2tan x
y =的周期为2π（πω
π2=⇒=T T ，如图，翻折无效）.
④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2
π
π+
=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)cos(ϕω+=x y 的对称轴方
程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,2
1ππ+k ）；
)tan(ϕω+=x y 的对称中心（
0,2
π
k ）. x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称
⑤当αtan ·,1tan =β)(2
Z k k ∈+=+π
πβα；αtan ·,1tan -=β)(2
Z k k ∈+
=-π
πβα.
⑥x y cos =与⎪⎭
⎫
⎝
⎛++
=ππ
k x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数，则 )cos()2
1
sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.
⑦函数
x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为
增函数，同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是
)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对
称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)3
1tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于原
点对称）
奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则
)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）
⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T
）
； x y cos =是周期函数（如图）
；x y cos =为周期函数（π=T ）； 2
12cos +=x y 的周期为π（如图）
，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： R k k x f x f y ∈+===),(5)(.
⑩a
b
b a b a y =
+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1. 反三角函数：⑴反正弦函数
x y arcsin =是奇函数，故x x arcsin )arcsin(-=-，[]1,1-∈x （一定要注
明定义域，若()+∞∞-∈,x ，没有x 与
y 一一对应，故x y sin =无反函数）
注：x x =)sin(arcsin ，[]1,1-∈x ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈2,
2arcsin ππx .
⑵反余弦函数
x y arccos =非奇非偶，但有π
πk x x 2)arccos()arccos(+=+-，[]1,1-∈x .
注：①x x =)cos(arccos ，[]1,1-∈x ，[]π,0arccos ∈x .
②x y cos =是偶函数，x y arccos =非奇非偶，而x y sin =和x y arcsin =为奇函数.
⑶反正切函数：x y arctan =，定义域),(+∞-∞，值域（2
,
2π
π-
），
x y arctan =是奇函数，
x x arctan )arctan(-=-，∈x ),(+∞-∞.
注：x x =)tan(arctan ，∈x ),(+∞-∞.
⑷反余切函数：x arc y cot =，定义域),(+∞-∞，值域（2,
2π
π-
），
x arc y cot =是非奇非偶.
ππk x arc x arc 2)cot()cot(+=+-，∈x ),(+∞-∞.
注：①x x arc =)cot cot(，∈x ),(+∞-∞.
②x y arcsin =与)1arcsin(x y -=互为奇函数，x y arctan =同理为奇而x y arccos =与x arc y cot =非奇非偶但满足]1,1[,2)cot(cot ]1,1[,2arccos )arccos(-∈+=-+-∈+=+-x k x arc x arc x k x x ππππ.
⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：
a 的取值范围 解集 a 的取值范围 解集
①a x =sin 的解集 ②a x =cos 的解集
a
＞1 ∅ a ＞1 ∅ a
=1 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π a =1 {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|π a
＜1 (){}
Z k a k x x k
∈-+=,arcsin 1|π a ＜1 {}Z k a k x x ∈±=,arccos |π
③a x =tan 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,arctan |π ③a x =cot 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,cot arc |π 二、三角恒等式.
α
αααααcos 3cos 43cos sin 4
sin 33sin 33-=-=()()α
ββαβαβα2222cos cos sin sin sin sin -=-+=-y=cos |x|图象
α
αααααsin 22
sin 2cos ...4cos 2cos cos 11++=
n n n
y=|cos2x +1/2|图象
组一 组二
∏==
=n
k n
n n
k
1
2sin
2sin 2
cos
8
cos
4
cos
2
cos
2
cos α
αα
α
α
α
α
∑=++=
+++++=+n
k d
nd x d n nd x d x x kd x 0
sin )
cos())1sin(()cos()cos(cos )cos(
∑
=++=
+++++=+n
k d
nd x d n nd x d x x kd x 0
sin )
sin())1sin(()sin()sin(sin )sin(
α
γγββαγ
βαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(----++=
++
组三 三角函数不等式
x sin ＜x ＜)2,0(,tan π∈x x x
x
x f sin )(=
在),0(π上是减函数 若π=++C B A ，则C xy B xz A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++。