同济六版高数第一册第一单元.ppt

定理 映射 f : X Y 可逆 f 是 X 到Y 的一一映射.
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三. 函数
1.函数概念 定义 设 A , B 是两个实数集, 则称映射 f :AB 为 一 元自变函量数, 记 为因变量 函数值 f : x y f (x), x A .
A 称为函数 f 的定义域, 记作 D( f ).
则 A C.
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2 集合的基本运算
并集
由集合A与集合B的中所有元素构成的集合 称为A与B的并集，记为 A B
AB {x x A或 xB}
An { x n0 N , x An0 }
n1
A A BB
运算律
A A A, A A
B A AB A
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我们也称 f 为“一一映射”. 单位映射: x X , f ( x) x, 即 f : x x
称为X上的单位映射, 记为 I或X I.
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X
Y
f 满射
X f
Y f(X)
单射
X f
Y f(X)
内射
X
Y
f 单满射
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例1 设A表示信管学院所有大一学生的集合, 用一种确定方法 f 给每一个学生分配一 个学号, 将全体学生学号的集合记为B. 这是一个集合 A到集合 B 的映射.
o
U(a, ) { x 0 x a }. 开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
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例1、把-2的1/2邻域表示为开区间
解：U (2, 1) 2
(2 1 ,2 1) 22
( 5 , 3) 22
例2、把U (3,1)表示为开区间.
解 ：U（3，1）（2，3）（3，4）
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二.映射 f
1.映射定义
X
Y
定义 设X , Y 是两个非空集合. 若对每个x X , 按照某种确定的法则f , 有唯一的y Y 与它相 对应, 则称 f 为从 X 到Y 的一个映射, 记作 f :X Y f : x y f (x), x X
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f x
y
像 : 称 y 为 x 在映射 f 下的像 原 像: 称 x 为 y 在映射 f 下的一个原像
定义域: 称集合 X 为映射 f 的定义域: D( f )
值 域: 称D( f ) { y | y f ( x), x X }为 f 的值域
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f
x1
凤凰城1990年6月的日最高温度
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(3) 公式法 公式法使用解析表达式来表示函数, 是最经常使
用的函数表示法. 公式法又可以分为显式表示, 隐 式表示, 参数方程表示.
• 显式表示 函数的显示表示是指将函数表示为 y 的f形(x)式, 又称为显函数. 在用显式表示函数时, 并不要求只 用一个表达式表示对应法则. 很多问题常常需要 在定义域的不同子集上使用不同的表达式, 这种 函数称为分段函数.
常用数集的表示
自然数集 正整数集
N { 0,1, 2, 3, , n, } N { 1, 2, , n, }
整 数 集 Z { 0, 1, 2, , n, }
有理数集 实数集
Q { p p Z, q N , 且 p, q互质} q
R {x |x为实数}
R* {x | x R, x 0} R {x | x R, x 0}
成的集合称为A与B的差集。 记作 A \ B
A\ B {x x A且 xB }
A
B
A\ B
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பைடு நூலகம்
差集、补集（2）
特别，当 B 是 A 的子集时， A \ B称为 B在 A中的补集。记作 CB A
CAB A
B
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差集、补集（3）
在研究某一问题时，常常指, 所定论一的个一集切合集合都是
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(2) 图像表示法 函数 f : X Y 的图像可以定义为如下的集合:
Grf {(x, f (x)| xX } X Y
例2将例1中的表格绘制成函数图像.
50
50
48
48
46
46
44
44
42
42
40
40
38
38
20
22
24
26
28
30
20
22
24
26
28
30
凤凰城1990年6月的日最高温度
解： A B {1,2,3,4} A B {2,3} A \ B {1}
例2 设 A {(x, y) | x 3 y 5 }, B {(x, y) | 2x 5 y 1}
求 A B 解： 解联立方程组，可得：
A B {(2,1)}
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交、并、补的运算规则
用大写字母 A，B，C，… 表示集合， 用小写字母 a，b，c … 表示集合的元素。
如果a是集合A的元素，记为 a A
如果a不是集合A的元素，记为 a A
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集合的表示方法
列举法： A { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
描述法： A { x x 具有性质P(x) }
y x
S ( rr2为圆的半径 ) 对应唯一一个实数 r, 于是就确定了从 A 到 R 的一个映射.
这个映射 S 是单射, 不是满射.
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
名称. 例如,
X (≠ ) f Y (数集)
f
X (≠ )
X
X (数集 或点集 ) f R
交换律
A B B A, A B B A
结合律 分配律 对偶律
A(B C) (A B)C A (B C) (A B) C
A (B C) (A B)(A C)
A(B C) (A B) (AC)
( A B)C AC BC ( A B)C AC BC
C An
AnC
oa
b
x
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{x a x b} 称为左闭右开区间, 记 作[a, b) {x a x b} 称为左开右闭区间, 记 作(a, b]
[a,) {x a x}
有限区间
oa
x
(,b) {x x b}
无限区间
o
b
x
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邻域
以点a 为中心的任何开区间称为a 的邻域, 记作 U (a ).
n1
n1
C An
AnC
n1
n1
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3 区间与邻域
区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记 作(a, b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记 作[a, b]
空集
不含任何元素的集合称为空集. 记为
规定 空集为任何集合的子集.
例如: {x x R, x2 1 0}
相等
若A B, 且B A,就称集合A与B相等. 记为A B
逻辑表述： A B " A B 且 B A "
例如：A {1,2}, C { x x2 3x 2 0},
f 称为X 上的泛函 f 称为X 上的变换
f 称为定义在 X 上的为函数
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3.复合映射
定义 设有两个映射f : A B 和 g : B C,
若规定
(g f )(x) g[ f ( x)]
则映射g f : A C 称为 f 与g的复合映射,
其中 y f ( x) B 称为中间元.
设 是任一正数, 则开区间(a ,a ) 是 a 的一个邻域, 称为点a 的 邻域, 记作U(a, ).
a
a
a
x
点 a 叫做这个邻域的中心, 叫做这个邻域的半径.
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去心邻域:
点 a 的 邻域去掉中心a 后, 称为a 的去心
o
邻域, 记作U (a, ),即
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例1.符号函数
1, 当x 0,
y
sgn
x
0,
当x 0,
1, 当x 0
定义域 D (,),
1
值域 Rf {1, 0, 1},
对于任何实数 x,
有 x sgn x x .
–1
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例2. 绝对值函数
y
x
x, x,
当x 0, 当x 0
定义域 D (,),
交集
由同时属于集合 A 与集合 B 的元素构成的 集合称为A与B的交集。 记作 A B
A B {x x A且 xB }
An { x n N , x An }
n1
A
B
A B
运算律
A A A, A
B A A B B
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差集、补集（1）
由属于集合 A ，但不属于集合 B 的元素构
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A
f
gof
复合映射
B g C
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4.可逆映射
定义 设对 给 定 的 映 射f : X Y , 若 存 在 一 个 映 射g :Y X , 使 g f I X , f g IY 则 称 映 射 f 是 可 逆 映 射, 并 且 称g 是 f 的 逆 映 射, 记 作 g f 1.
第一章 函数与极限
本章介绍映射、函数、极限和函数的连续性等 基本概念，以及它们的一些性质.
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§1 映射与函数
• 一、集合 • 二、映射 • 三、函数
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一.集合
1.集合概念 一个集合是指由具有某种特定属性的具体的或 抽象的事物所组成的一个总体。 该总体中的每一个成员称为这个集合的元素。
它的子集。通常称
为全集。
A在 中的补A集 CA简称为A的补集（余集）。
记 作AC
运算律
A C
A
C , C
A AC A AC A \ B A BC A B A\B
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例1 设 集 合A {1,2,3},B {2,3,4}, 求 A B, A B, A \ B
映射 f 既是单射, 又是满射, 所以是"一 一映射". 此时, 学生与学号之间一一对 应.
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例2 用 X 表示平面上所有三角形的集合,Y 表示 平面上所有圆的集合,定义对应法则为: f : x y ( y 是三角形x 的内切圆)
这是一个集合 X 到集合 Y 的映射. 这个映射 f 是满射, 不是单射. 例3 用 A 表示平面上中心位于原点的所有同心圆 构成的集合, 每个同心圆通过面积公式
2.函数的表示方法
函数的表示:表格法,图像表示法,公式法
(1) 表格法
例11990年夏天, 美国西南部持续高温, 造成极大影 响, 甚至有些航空公司认为无法保证飞机的安全降 落. 下表给出了亚利桑那州凤凰城6月19日至29日 每天的最高气温.
日期 气温/ ℃
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 43 45 46 45 45 45 49 50 48 48 42
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集合间的基本关系 子集/包含
BA
若集合A中的每一个元素都属于集合B， 则称A是B的子集。
记作 A ，B读作 A 包含于B 或者 B ，A读作 B 包含 A
逻辑表述： A B "x A x B "
数集： N N , N Z , Z Q, Q R
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y
x2
注意:
映射要求每一个 x 的像必须是唯一的, 但允许 y 的原像不唯一.
值域不是独立的, 当定义域 D 和对应法则 f
给定以后, 值域随之确定. 定义域与对应关系 是映射的两个基本要素.
值域可以是Y的真子集,不一定充满集合Y.
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2. 映射的分类
满 射: f : X Y , 满足 R( f ) Y 内 射: f : X Y , R( f ) 是Y的 真 子 集 单 射: f : X Y , y Y , y有唯一的原像x 单满射: 如果 f 既是单射,又是满射,称 f 为单满射.
例如:
有限集
A B
{ {
n a}
n
是单小点于集 7
无限集
的非方负程的整平根数面}点集:单位圆
C { x|x2 3x 2 0 }
D { { x, y}空| x集, y 为 实 数 且x2 y2 1 }
E { { x, y}| x, y 为 实 数 且x2 y2 1 }
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{ y | y f ( x), x D( f ) } 称为 f 的值域, 记为 R( f ) 或 f ( A).
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定义域：有实际背景的函数，根据变量的实际意义确定；
抽象的用算式表达的函数，约定它的定义域是
？ 使算式有意义的一切实数组成的集合。
例1.
例2.
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